2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期开学摸底考试数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市德强学校高二上学期开学

摸底考试数学试题一、单选题.已知集合A={Hy=lg(l-x)},B=(x|x2-2x<0},则Au5=( )A.(O,-K») B. C.(0,2) D.(-oo,2)【答案】D【分析】解不等式求得集合5,求函数的定义域求得集合A,由此求得AU3,【详解】x2-2x=x(x-2)<0,所以B=(O,2).1-x>O,x<1,所以A=(-oo,l),所以AuB=(-oo,2).故选：D.下列函数是奇函数的是()A.y=4x B.y=-x2+1 C.y=- D.y=3-xX【答案】c【分析】结合奇偶函数的定义逐一判断选项即可.【详解】A：由奇偶函数的定义域关于原点对称知，A错误；B：函数= 得/(-幻=-(702+1=-/+1=/(了)，故B错误；C：函数f(x)=1,xw0,得/'(-x)=」-=一2=-f(x),故C正确；X —XXD：函数/(x)=3-x,xwR,得/(-x)=3-(-x)=3+x,故D错误.故选：C.设。，力是互不重合的平面，I,m,"是互不重合的直线，下列命题中正确的是()A.若，"ua,"u尸，mlIn,则a〃/7 B.若a[y0=1,mil,机ua,则S_L#C.若a〃夕，mcza,nu/3,贝!]m//〃 D.若机_L/,nil,mua,”ua,则/_La【答案】B【分析】对于A,a,夕可能相交，也可能平行，可判断A;根据面面垂直的性质定理可判

断B;对于C,判断可能平行也可能异面，即可判断正误，对于D,根据线面垂直的的判定定理可判断.【详解】对于A,mua,nu/J,tn!In,则a,夕可能相交，也可能平行，故A错误’对于B,若a",a[\p=l,mil,mua,根据面面垂直的性质定理可知％_LQ,故B正确;对于C,若a/啰，mua,"u夕，则机，〃可能平行也可能异面，故C错误;对于D,若加_L/,nl.1,mcza,〃ua,由于不能确定m,n是否相交，故不能确定/±a,故D错误,故选:B4.在平行四边形4.在平行四边形ABCD中，E,尸分别为C。,BC的中点，则荏=()A.-AD+-AF B.-AD+-AFTOC\o"1-5"\h\z4 2 2 2C.-AD+-AF D.AD+-AF2 4 2【答案】A【分析】根据平面向量的加法法则运算可得解.【详解】由题意可得荏=而+诙=而+1通，AB=AF+FB=AF--AD,2 2^\AE=-AD+-AF.4 2故选：A.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力,属于基础题.2sin2a.若tana=3,则二的值为()・I4)TOC\o"1-5"\h\z3 3A.-3 B. -6 C. —— D.--10 5【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角三角函数间的关系对sin2a化简变形，用tana表示，从而可求出sin2a的值，再利用两角和的正切公式化简计算tan(a+(),然后将所求的2sin2a值代入tanJ+叫计算即可•I4)【详解】因为tana=3,所以sin2a=2sinacosa=2sinacosa所以sin2a=2sinacosa=2sinacosa~•~~2 2sina+cosa2tana

tan2a+12x3332+l-5tana+tan41-tanatan—43tana+tan41-tanatan—43+11-3x1所以2sin2ac32x-5-2故选：D..在“IBC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=\[V3,bc=12,A=—，则人+c=A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【分析】利用余弦定理及完全平方公式计算可得.【详解】解：由余弦定理可得/=从+。2一2/cosA=13，Tt又因为bc=12,A=§,所以从+c2=25.因为S+c)2=b2+c2+2bc=49,所以b+c=7.故选：B_H FF12.在aABC中，。是线段8c上一点（不与顶点重合），^AD=AAB+pAC,则；+一XH的最小值为（）A.2& B.3+2近 C.6 D.9【答案】B【分析】根据三点共线得2+〃=1,然后由基本不等式求得最小值.【详解】因为。是线段BC上一点（不与顶点重合），若而=2而+〃/，所以4+〃=1且2>0,〃>0,所以g+2=（%+〃）（（+2]=3+%+与23+2'^^"^=3+3&,当且仅当3=5,X// p） /JA即2=&-1，〃=2-忘时等号成立,故选:B.8.古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数％（火>0且%H1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知。（0,0）,4（3,0）,圆。:（》-2）2+丫2=产（/>0）上有且仅有一个点尸满足|叫=2俨@,则r的取值为（）A.1 B.5 C.1或5 D.不存在【答案】C【分析】直接设点尸（x,y）,根据=可以求得点P的轨迹为圆，根据题意两圆有且仅有一个公共点，则两圆外切或内切，可得|CCj=r+z;或|CCj=|r-d.【详解】设点P（x»）•••照=2|也即场-3）22= +/整理得：（x+lp+y=4.••点户的轨迹为以G（-1,0）为圆心，半径4=2的圆，•••圆C:（x—2）2+9=，的C（2,0）为圆心，半径r的圆由题意可得：3=|CC1|=r+/;^3=|CC1|=|r-zi|r=l或r=5故选：C.二、多选题.下列说法中，正确的是（ ）A.极差和标准差都能描述一组数据的离散程度B.如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变C.一个样本的方差$2=，［&-3）2+（电-3）2+-+c2。-3）］,则这组数据总和等于60D.数据q,a?，…，。"的方差为$2,则数据2q,2a2，…，2%的方差为2s?【答案】ABC【分析】根据平均数、极差、方差及标准差的概念即得.【详解】根据极差和标准差的定义可知二者均可描述一组数据的离散程度，故A正确，根据平均数及方差的计算公式可得，如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变，故B正确：由一个样本的方差s2=£[a-3)2+(X2-3)2+-+(X2「3)[,可知样本平均数为3,这组数据总和等于60,故C正确；数据q,4，L,。“的方差为52,则数据2q,24,L,2a“的方差为4s故D错误.故选：ABC..已知动直线/：履-y-%+l=0与圆。:》2+/一4'=0,则下列说法正确的是( )A.直线/过定点(1,1)B.圆C的圆心坐标为(0，-2)C.直线/与圆C的相交弦的最小值为2&D.直线/与圆C的相交弦的最大值为4【答案】ACD【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可.【详解】对于A,直线-+1=0,即k(x-l)-y+l=0,[x-1=0 fx=l /、令Jl_y=0，得[v=l'即直线/过定点(LI)，故A正确；对于B,圆C:x?+)：-4y=0,即f+(y-2y=4,圆心坐标为(0,2),故B错误；对于C,因为『+(1-2)2=2V4,所以直线/所过定点(1,1)在圆的内部，不妨设直线/过定点为A(u),当直线/与圆C的相交弦的最小时，AC与相交弦垂直，又因为[AC]=J(1-0)-+(1-2)~=五,所以相交弦的最小为2^r2-|AC|2=2后二层=2&,故C正确；对于D,直线/与圆C的相交弦的最大值为圆C直径4,故D正确.故选：ACD11.已知a,b,c分别是aABC三个内角A,B,C的对边，则下列命题中正确的是( )A.若sinA>sin8,则B.若△ABC是边长为1的正三角形，则福•册=走2C.若8=5，b-y[lc=2,则aABC有一解6D.若。是“IBC所在平面内的一点，且|丽-西=~与+反-2明，则aABC是直角三角形【答案】AD【分析】A由正弦定理边角关系判断；B向量数量积的定义求而x圮；C利用正弦定理解三角形求角C判断；D由已知可得|而卜|福+园，由其几何意义可知CB边上的中线长等于CB的一半，即可判断.nh【详解】A：由-；-一XsinA>sinB,即故A>3,正确；sinAsinBB：由己知而辰=|而||南|cosl2（r=-L错误；2C：由三;=3=2五,贝hinC=也，而0<C<§,故C=£或手，错误；D：\\\OB-OC=CB,OB-OA=AB>OC-OA=AC故|词=|通+园，所以在“8C中CB边上的中线长等于C8的一半，即aABC是A为直角的直角三角形，正确.故选：AD12.在三棱锥A—BCO中，AB=CD=6,AC=BD=5,AD=BC=1,M,N,P,Q分别为棱AB,CD,AD,BC的中点，则（ ）A.直线MN是线段A8和CO的垂直平分线B.四边形MQNP为正方形C.三棱锥A-SCO的体积为2夜D.经过三棱锥A-8C£>各个顶点的球的表面积为557t【答案】ACD【分析】将三棱锥A-BC0放置在长方体4c中，得M、N分别是上下底面的中心，可判断A；求出过同一个顶点的三条棱长可得每一个面都为长方形，由三角形中位线定理可得MQ//AC,PN〃AC,MQ=-AC,PN=-AC,AC与8。不垂直，可判断B；由丫= -4匕moc可判断C；由三棱锥A-BCD的外接球就是长方体的外接球,旦长方体的对角线就是外接球的半径，求出R可判断D.因为aABC和全等，M是AB的中点，所以MC=M£).又因为N是CC的中点，所以MN垂直平分CD,同理MN垂直平分A8,故A正确；因为在三棱锥A-BCD中，AB=CD^6,AC^BD=5,AD=BC=1,故可将三棱锥补成如图所示的长方体，且该长方体的棱长分别为#,M，闻.因为M,N,P,。分别为棱AB,CD,AD,BC的中点，所以MQ〃AC,QN//BD.因为AC,8。所在侧面不是正方形，所以4c与BO不垂直，所以MQ与NQ不垂直，所以四边形MQVP不是正方形，故B不正确；又长方体的体积为6回，所以三棱锥4-8CD的体积为6折-4x；xgx#xMx回=2屈，故C正确；经过三棱锥各顶点的球即为三棱锥的外接球，且该三棱锥和长方体有共同的外接球,其表面积为(6+19+30)兀=55兀，故D正确.故选:ACD.三、填空题13.已知复数Z满足Z(l-i)=(l+i)2,则2=.【分析】利用复数的运算进行化简即可.2 212i(l+i)【详解】z(l-i=1+i2=2i,则2=/==，3寸I，故答案为：—1+i.我国在贵州省平塘县修建的500米口径球面射电望远镜(阳S7)是目前世界上最大单口径射电望远镜.截至2021年5月，该射电望远镜发现脉冲星逾370颗.脉冲星就是旋转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间(脉冲星的自转周期)是一定的，最小的自转周期小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某天文研究机构观测并统计了其中93颗脉冲星的自转周期，绘制了如图所示的频率分布直方图.在这93颗脉冲星中，自转周期在2秒至10秒的颗数大约为颗.【答案】79【分析】根据频率分布直方图计算出自转周期在2秒至10秒的频率后可求相应的颗数.【详解】由频率分布直方图可知，自转周期在0秒至2秒的频率为().O5x2=O.l,自转周期在10秒至12秒的频率为0.025x2=0.05,所以自转周期在2秒至10秒的频率为1-(0.1+0.05)=0.85,所以自转周期在2秒至10秒的颗数大约为0.85x93=79.05=79.故答案为：79..已知球。为三棱锥。-ABC的外接球，球。的体积为誓，正三角形ABC的外接圆半径为2石，则三棱锥。-MC的体积的最大值为.【答案】186【分析】设aABC外接圆的圆心为。-由正弦定理求出AC=6,从而可求出要使三棱锥abc的体积最大，则平面A8C,且球心o在线段a。上，由球的

体积可求出球的半径，从而可求出三棱锥的高，进而可求出体积【详解】设aabc外接圆的圆心为a,因为正三角形ABC的外接圆半径为26，即Q8=2G，由正弦定理二空q=2R=4G,得AC=6,sin60所以"谢=^x6x6xsin600=9>/3,要使三棱锥£>-A8C的体积最大，则OQ，平面ABC,且球心0在线段上，因为球。的体积为电叫=筌如，所以球0的半径为R=4.3 3在RjOOiB中，由勾股定理得Oq=占2-0§=J]6—12=2,所以三棱锥。-ABC体积的最大值y=gsAAk(Oq+R)=；x96x(2+4)=18石.故答案为：18G3"+1,%<03"+1,%<0

|log4x|,x>0【分析】画出〃力t+l,x<0M，x>0图象，换元后得到方程/-(。+2"+3=0在(1,2]内有若关于x的函数g(x)=/(x)-(a+2)/(x)+3恰好有六个零点，则实数。的取值范围是【答案】J石-2,g两个不同的实数根，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数。的取值范围.【详解】作出函数【详解】作出函数/(尤)=，3v+l,x<0 “ 『|陶心>。的图象如图,令〃令〃x)=r,则当re(l,2]‘方程"》)=/有3个不同的实数解,则方程/2(同一(a+2)f(x)+3=0化为/一(a+2)f+3=0,使关于x的方程尸(力-(a+2)/(x)+3=0恰好有六个不同的实数解,则方程--(a+2)f+3=0在(1,2]内有两个不同的实数根,令g(r)=/一(a+2)r+3A=(a+2)2-12>0,。+2-所以1< <2所以2g⑴>。g⑵2。解得:2\/5-2<q,-1所以实数”的取值范围为故答案为(2万-2《.【点睛】复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.四、解答题17.计算：⑴(2芋-(-9.6)。一(33+(1.5产4 82⑵1呜9+怆彳-34-心247【答案】⑴一(3o⑵T【分析】(1)根据指数靠运算性质计算即可；(2)根据对数的运算性质计算即可.【详解】(1)解：(2；)2-(-9.6)°-(363+(1.5)2=(^)2T-§)3+(()2=*1.1-[(T)3]3+€)2=’・(学+(§2294__47~2~49--36；2(2)解：Iog39+lg--lg4-10lg2=2+lg2-lg5-21g2-2=lg2-(1-lg2)-21g2=-1..已知A,B,C为“IBC的三内角，且其对边分别为a,b,c，若cosBcosC-sinBsinC=—.2⑴求A;⑵若a=2及，b+c=4,求aABC的面积.271【答案】(1)年⑵26【分析】(1)利用两角和的余弦函数公式可得cos(8+C)=；,结合范围0<8+。<兀，可TT得B+C=§,根据三角形内角和定理可求A的值.(2)由余弦定理结合已知可得A=8,利用三角形面积公式即可计算得解.【详解】(l)・.・cos3cosC-sin3sinC=g,cos(B+C)=~,XvO<B+C<7i,.\B+C=-,3且A+B+C=7t,.27c/.A=—.3(2)由余弦定理/=从+c2_2bccosA,可得：(2>/2)2=(b+cy-2bc-2bccosy即8=l6-2bc-2bc\——|解得be=8，

/.SARr=—fecsinA=—x8x^-=2>/3.M2 2 2.已知函数/(x)=2sinxcos(x+()+*.⑴求函数〃力的单调递减区间；rr(2)当xe0,-时，〃x)一%>0能成立，求机的取值范围.【答案】(1)专+-葛+“，'kwZ；⑵(y,i)【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数/(X)的解析式，然后由正弦函数的单调性列出不等式，求解即可；(2)由正弦函数的性质，求出/(力的最小值，将不等式恒成立问题转化为m</(刈2,即可得到答案.【详解】(l)/(x)=2【详解】(l)/(x)=2sinxcos(x+5卜9Cnfl凡nLG(2 2J2=sinxcosx->/3sin2x+-2i..5、 .、6=sinlx (1-cos2x)+—2 2 2=sin2x+—,I3广rr tt令—f2A乃<2x+—<--+2上乃，keZ2 32解得ki4x4 fk.7T,keZ,12 12所以f(x)的单调递减区间为仁+丘,7T 7T 7F4乃(2)因为04x4^,则学所以-生sin(2x+邪1,故 =-—>J\zmin 2当xe0,y时，f(x)—m>0能成立,2jy+24,ZcZ；即“〈/(Ha，所以机<1,故m的取值范围为(-8/)..已知圆C:(x-2)?+y2=9.(1)直线4过点。(-L1),且与圆C相切，求直线乙的方程；⑵设直线/2：x+6y-l=0与圆C相交于M,N两点，点P为圆C上的一动点，求aPMN的面积S的最大值.【答案】(l)x=-1或4x—3y+7=0⑵返4【分析】(1)根据直线4的斜率是否存在，分别设出直线方程，再根据圆心到直线的距离等于半径，即可解出；(2)根据弦长公式求出|河，再根据几何性质可知，当他时，点尸到直线距离的最大值为半径加上圆心C到直线AB的距离，即可解出.【详解】(1)由题意得C(2,0),圆C的半径为3.当直线4的斜率存在时，设直线6的方程为(x+l),即日一y+k+l=0,由直线4与圆C相切，得巴。+k+1|=3,解得A=所以直线《的方程为4x—3y+7JF+1 3=0.当直线4的斜率不存在时，直线《的方程为x=-l,显然与圆C相切.综上，直线4的方程为x=-1或4x—3y+7=0.后,(2)由题意得圆心C到直线4的距离削?=；'后,设圆C的半径为r,所以r=3,所以|MN|=2x32-. 7点P到直线4距离的最大值为r+d=］，则4PMN则4PMN的面积的最大值Sa=；x|MN|x(r+d)=gx屈=.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.

0.00300.0030（1）求某户居民的用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：千瓦时）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中今年1月份用电费用小于260元的占80%,求。力的值；（3）根据（2）中求得的数据计算用电量的75%分位数和平均数.0.5x,0<x<200【答案】（l）y=<0.8x-60,200<x<400x-140,x>400（2）a=0.0015,b=0.0020（3）电量的75%分位数为375千瓦时.平均数275千瓦时【分析】（1）根据题目条件，列出函数解析式即可；（2）将y=26O代入（1）中解析式得到x的值，再结合频率分布直方图求a,b的值；（3）根据百分位数和平均数的定义，结合频率分布直方图中的数据，计算即可.【详解】（1）当啖*200时，y=0.5x：当200<%,400时，y=0.5x200+0.8x（x-200）=0.8x-60；当x>400时，y=0.5x200+0.8x200+1.0x(x-400)=x-140.10.5x,0<x<200所以y与x之间的函数解析式为y=0.8x-60,200<x4400x-140,x>400（2）由（1）可知，当y=26。时，x=400,即用电量小于400千瓦时的占80%,结合频率分布直方图可知,O.OOlxlOO+2xlOO/?+O.OO3xlOO=O.8100a+0.0005x100=0.2解得a=0.0015,b=0.0020.结合频率分布直方图可知,(3)设75%分位数为加，由题图知，用电量低于300千瓦时的频率为(0.0010+0.0020+0.0030)x100=0.6,用电量低于400千瓦时的频率为0.8,所以75%分位数在[300,400)内，所以0.6+(m-3(X))x0.(X)20=0.75,解得m=375,即用电量的75%分位数为375千瓦时.平均数=50x0.001x100+150x0.002x100+250x0.003x100+350x0.002x100+450x0.0015x100+550x0.0005*100=275千瓦时.22.某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCO-AlBlCiDl,其底面边长为4,高为1,工作台的上半部分是一个底面半径为夜的圆柱体的四分之一.(1)当圆弧(包括端点)上的点尸与8/的最短距离为5夜时，证明：。8/工平面d2ef.(2)若£>/。2=3.当点P在圆弧66(包括端点)上移动时，求二面角P-A/C/-8/的正切值的取值