2022-2023学年杭州市高二上期末考试数学模拟试卷附答案解析

2022-2023学年杭州市高二上期末考试数学模拟试卷一.选择题（共12小题）TOC\o"1-5"\h\z（2019秋•下城区校级期末）已知直线/：*-2=0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（ ）A.1 B.- 1 C. -2或-1D.-2或 1（2019秋•下城区校级期末）边长为2&的正方形，其水平放置的直观图的面积为（ ）A.返 B.1 C. 2亚 D.84（2018秋•杭州期末）设点4（2,3,-4）在平面上的射影为8,则|丽等于（ ）A.V29 B.5 C.275 D.V13（2019春•西城区期末）一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（ ）正（主）视图侧（左）视图m俯视图A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱（2012•厦门一模）如图，。为正方体48C0-481GO1的底面Z8C。的中心，则下列直线中与810垂直的是（ ）A.A\D B.AA\ C.A\D\ D.A\C\（2020•定远县模拟）如图，正四面体中，尸、Q、R在棱4B、AD,AC±,且40=QD,AP=CR=Jl,分别记二面角A-PQ-R,A-PR-Q,A-QR-P的平面角为a、PBRA2TOC\o"1-5"\h\zY，则（ ）A.p>v>aB.y>p>a C.a>y>pD.a>p>y（2010•江西）直线^=履+3与圆（x-3）2+（j-2）2=4相交于〃，N两点，若|MV|22«,则上的取值范围是（ ）A.[-3.,0] B.（-8,-3]“0,+8）4 4C.[-亭亭 D.[->1_,0]（2019秋•杭州期末）在平面直角坐标系中，。是圆O-.x2+炉=9上的动点，满足条件|MO|=2|拉0|的动点M构成集合O,则集合。中任意两点间的距离d的最大值为（ ）A.4 B.4>/2 C.6 D.12（2019秋•杭州期末）已知尸、0分别为直线A：3x+4y-4=0与，2：3x+4y+l=0上的两个动点，则线段尸。的长度的最小值为（ ）A. B.1 C.A D.25 5（2019•新乡二模）已知双曲线C： （a>0,b>0）一条渐近线与直线2x-2,2ab4>2=0垂直，则该双曲线的离心率为（ ）A.V5 B.喙 C.V2 D.2V2（2019秋•下城区校级期末）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①4BLEF；②Z8与CM成60。角；③EF与A/N是异面直线；心MN//CD,其中正确的是（A.①② B.③④ C.②③ D.①③（2020秋•杭州期末）如图，正方形的边长为4,点、E,尸分别是8c的中点，将△加£1,/\EBF,△尸CO分别沿£＞E,EF,尸£＞折起，使得4,B,C三点重合于点⑷,若点G及四面体的四个顶点都在同一个球面上，则以为底面的三棱锥G-OEF的高〃的最大值为（ ）A-近卷B.氓Vc.276d.2V6-y二.填空题（共6小题）2 2（2018秋•舟山期末）已知双曲线。-2_=1,则该双曲线的渐近线方程为4 3焦点坐标为.（2020秋•杭州期末）已知点/（1,-1）,直线/：x-2y+2^0,则点/到直线/的距离是；过点A且垂直于直线I的直线方程是.（2019秋•下城区校级期末）设尸、A,B、C是一个球面上的四个点，PA.PB、尸C两两垂直，且刃=28=1,PC=2,则该球的体积为.（2019秋•杭州期末）过抛物线炉=2x焦点厂的直线与该抛物线交于4B两点,再过点尸作线段48的垂线，交抛物线的准线于点G,若|fg|="|，O为坐标原点，则（2019秋•杭州期末）在矩形中，AD=\,点E为线段C£＞中点，如图所示，将△AED沿着AE翻折至（点。不在平面ABCD内）,记线段中点为F,若三棱锥F- 体积的最大值为金，则线段AB长度的最大值为15D'2 °（2019秋•西湖区校级期末）已知椭圆C：二+y2=i上的三点4B,C,斜率为负数的直线8c与y轴交于M,若原点。是△45C的重心，且△8A/N与△CA/O的面积之比为冬，则直线8C的斜率为.2三.解答题（共4小题）（2019秋•西湖区校级期末）已知x>0,y>0,且2x+5y=20.（1）求中的最大值；（2）求工』的最小值.xy（2019秋•西湖区校级期末）如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0,2）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2,直线/与圆C相交于M,N两点、,且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O.（1）求圆C的方程；（2）求直线的斜率左的取值范围.（2020•柯城区校级一模）已知等腰梯形Z8C。中（如图1）,48=4,BC=CD=DA=2,厂为线段CZ）的中点，E,M为线段力8上的点，AE=EM=l,现将四边形/£77）沿所折起（如图2）.图1 图2（I）求证：4WJI平面BCD；（U）在图2中，若BDf后，求直线8与平面8CFE所成角的正弦值.2 2（2019秋•下城区校级期末）椭圆“上=1（”>6>0）,右焦点为FG/巧，0），4B21n.2

ab是斜率为左（左力0）的弦，4B的中点为E,Z8的垂直平分线交椭圆于C,。两点，CD的中点为N.当/=1时直线OE的斜率为-工（O为坐标原点）.4（1）求椭圆的标准方程；（2）设原点O到直线的距离为d,求画_的取值范围：d（3）若直线OA,直线OB的斜率满足a=koA・koB（左>0）,判断并证明M8F+（马EN|）52是否为定值.

2022-2023学年杭州市高二上期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析选择题（共12小题）（2019秋•下城区校级期末）已知直线/：ox+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等，则实数。的值是（ ）A.1 B.-1 C.-2或-1D.-2或1【考点】直线的截距式方程.【专题】方程思想；综合法；直线与圆.【分析】把直线/：ax+y-2=0化为截距式，利用截距相等即可得出.【解答】解：把直线/：ax+y-2=0化为＞工=1，且2a•.•直线/：”-2=0在x轴和y轴上的截距相等，...2=2,解得a=l,a故选：A.【点评】本题考查了直线的截距式，属于基础题.（2019秋•下城区校级期末）边长为2&的正方形，其水平放置的直观图的面积为（A.返 B.1 C.242 D.84【考点】平面图形的直观图.【专题】转化思想；转化法；立体几何.【分析】根据斜二测画法所得的直观图与原平面图形的面积比是常数，求解即可.【解答】解：边长为2&的正方形，面积为（2&）2=8,水平放置的正方形的面积与斜二测画法所得的直观图的面积之比为2品1,所以这个正方形直观图的面积为:8

所以这个正方形直观图的面积为:8

272=2如.故选：C.【点评】本题考查了斜二测画法与水平放置的平面图形的面积比问题，牢记结论能够提高解题速度.（2018秋•杭州期末）设点4（2,3,-4）在X/平面上的射影为8,则|丽等于（ ）A.V29 B,5 C.2代 D.-/13【考点】空间向量的夹角与距离求解公式.【专题】计算题：方程思想；定义法；空间向量及应用.【分析】根据点8是4（2,3,-4）在X。坐标平面内的射影，所以4与8的横坐标和竖坐标相同，纵坐标为0,得到8的坐标，根据两点之间的距离公式得到结果.【解答】解：•.•点4（2,3,-4）在xQy平面上的射影为8,：.B（2,3,0）,100=44+9+0=>[13-故选：D.【点评】本题考查空间直角坐标系，考查空间中两点间的距离公式，是基础题，解题的关键是，一个点在•个坐标平面上的射影的坐标同这个点的坐标的关系.（2019春•西城区期末）一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（ ）2口正（主）视图侧（无）视图m俯视图A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱【考点】由三视图求面积、体积.【专题】作图题：对应思想；数形结合法：空间位置关系与距离：逻辑推理：直观想象.【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为直四棱柱，从而可知，截去的部分为三棱柱.【解答】解：由三视图还原原几何体如图：

该几何体为直四棱柱-DCFDi,截去的部分为三棱柱BB\E-CCiF.故选：B.【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.（2012•厦门一模）如图，。为正方体48cD-481C1G的底面488的中心，则下列直线中与81。垂直的是（ ）A.A\D B.AA\ C.A\D\ D.A\Ci【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.【专题】证明题.【分析】连接815,根据正方体的性质，得到88i_L平面从而有8历_1_4cl.再根据小51clz）i是正方形,得到SO1L4C1,结合815、是平面内的相交直线，得到小G_L平面881。。，可得因此可得正确答案.【解答】解：连接8101，•：ABCD-A\B\C\D\是正方体J_平面A\B\C\D\,.【iGu平面A\B\C\D\,：.BB\LA\C\•：A\B\C\D\是正方形：.B\D\LA\C\881是平面88101。内的相交直线平面BB\D\D；8iOu平面BB\D\D：.A\C\LB\O故选：D.【点评】本题给出正方体内的一条直线，让我们寻找与之垂直的直线，着重考查了空间中直线与直线之间的位置关系、线面垂直的判定与性质等知识点，属于基础题.（2020•定远县模拟）如图，正四面体48co中，尸、0、R在棱48、AD、ZC上，且=QD,或=里=_1,分别记二面角A-PQ-R,A-PR-Q,A-QR-P的平面角为a、PBRA20、Y>则（ ）A.0>Y>a B.y>p>a C.a>丫>0 D.a>p>y【考点】二面角的平面角及求法.【专题】探究型；运动思想；数形结合法：空间角.【分析】由四面体为正四面体，结合40=00,AP=CR=1,通过图形直观分析得答PBRA2案.【解答】解：观察可知，a>B>y,a为钝角，B，Y均为锐角，B平缓一点，Y陡急一点，•号>3>丫，则a>0>Y，故选：D.【点评】本题考查二面角的平面角及其求法，考查学生通过读图进行直观分析问题与解决问题的能力，是中档题.(2010•江西)直线y=Ax+3与圆(x-3)2+(j-2)2=4相交于N两点，若273，则k的取值范围是( )A.[-2.,0] B.(-8,-S]u[0,+8)4 4C.L喙,率 D.[-1-,0]【考点】直线与圆的位置关系.【专题】直线与圆.【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长等于2愿，故当弦长大于或等于2丁@寸，圆心到直线的距离小于或等于1,解此不等式求出人的取值范围.【解答】解：设圆心(3,2)到直线y=b+3的距离为"，由弦长公式得，MN=Y4_品22如,故即母父母1_<1,化简得8kCk+1)<0,Vk2+1 4

:.-o,4故女的取值范围是［-3,0］.4故选：A.【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，以及弦长公式的应用，属于中档题.(2019秋•杭州期末)在平面直角坐标系中，。是圆O：，+炉=9上的动点，满足条件|必9|=2|M0|的动点M构成集合。，则集合。中任意两点间的距离”的最大值为( )A.4 B.442 C.6 D.12【考点】直线与圆的位置关系.【专题】应用题：方程思想：综合法；直线与圆：数学运算.【分析】设M(x,y),Q(3cos6,3sin0),求出圆M的轨迹方程，再利用几何意义，求出集合。中两点的最大距离.【解答】解：设Af(x,y),Q(3cos0,3sin6),由眼。尸2|坦，则庐］=R(x-3cos8)2+(y-3sin「)2,化简得(x-4cos0)2+(y-4sin0)2=4,即M在以(4cos。，4sin0)为圆心，/*=2为半径的圆上，且圆心在x2+y2=16上运动，所以集合O中两点的最大距离为2(4+2)=12,故选：D.【点评】考查圆与圆，点与圆的位置关系及其应用，中档题.(2019秋•杭州期末)已知P、0分别为直线八：3x+4y-4=0与勿3x+4y+l=0上的两TOC\o"1-5"\h\z个动点，则线段尸。的长度的最小值为( )A.3 B.1 C.A D.25 5【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程.【专题】计算题；方程思想；转化法；直线与圆；数学运算.【分析】直接由两平行线间的距离公式求解.t解答】解：；P、。分别为直线八：3x+4y-4=0与/2：3x+4y+l=0上的两个动点，二线段PQ二线段PQ的长度的最小值为直线h与h的距离,故选:B.【点评】本题考查两平行线间的距离公式，是基础的计算题.（2019•新乡二模）已知双曲线C：式_?_=1（a>0,b>0）一条渐近线与直线2x-2,2ab4行2=0垂直，则该双曲线的离心率为（ ）A.V5 B.匹 C.V2 D.272【考点】双曲线的性质.【专题】方程思想：分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】求得渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1,可得a,b的关系，由离心率公式，可得所求值.2 2【解答】解：双曲线C：2__2_=1（a>0,6>0）的渐近线方程为2V.2ab尸土幺，a由一条渐近线与2x-4八2=0垂直，可得一条渐近线的斜率为-2,即有回=2,可得e=£=J 1+4=收，a aVa2故选：A.【点评】本题考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题.（2019秋•下城区校级期末）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①②N8与CM成60°角：③所与MN是异面直线：④MN//CD,其中正确的是（ ）D.①③A.①② B.③④ C.D.①③【考点】异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系.【专题】作图题.【分析】将其还原成正方体，如图所示，依据图形、正方体的几何性质进行判断各线的位置关系.【解答】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知，ABLEF,E尸与MN是异面直线，AB//CM,MN±CD,只有①③正确，故选：D.BD【点评】考查正方体的几何性质，线线的位置关系，本题涉及到了直线间的几个常见位置关系如平行、垂直、异面.（2020秋•杭州期末）如图，正方形Z8CO的边长为4,点E,F分别是8c的中点，将△加£：,/XEBF,分别沿QE,EF,皿折起，使得Z,B,C三点重合于点4,若点G及四面体⑷DE厂的四个顶点都在同一个球面上，则以尸为底面的三棱锥G-DE尸的高人的最大值为（ ）A,氓卷B.aVC. D.2V6-y【考点】球内接多面体.【专题】转化思想；构造法；立体几何；逻辑推理.【分析】因为4。，A'E,4/两两垂直，则三棱锥放入以HO,A'E,4尸为相邻三条棱的长方形中，进而求得三棱锥外接球的半径，然后在△lDE尸中，利用余弦定理求出cos/DEF,再利用同角三角函数关系求出sinNZ必凡从而利用正弦定理求出△OE尸外接圆的半径为r,进•步利用球和外接圆之间的关系分析即可得到答案.【解答】解：因为BELBF,FCLDC,所以折置以后可以让4跖作为三棱锥的底面，04为三棱锥的高，

则 A'E±A'F,A'FYA'D,所以⑷Z）,A'E,4尸两两垂直,将三棱锥放入以HD,A'E,4尸为相邻三条棱的长方体中,则三棱锥的外接球的直径就是长方体的体对角线，因为4。=4,A'E=2,A'F=2,所以外接球的半径R=^X7A7D2+AyE2+AyF2=7x^42+22+22=V6,

乙 乙在△的在△的中，c"心D嗯荒严20+8-20 =7152X275X272=10所以sin/DEydi-sJ/DEF考2△DEF外接圆的半径为r,则有2*.叽1r=:处=呼smZ.DEr3y10 310所以r*' 故球心O到△£>£尸外心的距离为曰区2_「2=,（/豆2_（5$）2_1.,所以以△£»所为底面的三棱锥G-OEF的高力的最大值为遍」.3故选：A.【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了折叠问题、三棱锥的外接球问题、三角形的外接圆问题，还考查了正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是理解外接球和三角形外接圆之间的关系.二.填空题（共6小题）（2018秋•舟山期末）已知双曲线式-工_=1,则该双曲线的渐近线方程为¥=士4 3亚匚，焦点坐标为（+V7,0）,2【考点】双曲线的性质.【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用双曲线方程求解双曲线的渐近线方程；以及焦点坐标.2 2 _一【解答】解：双曲线号-七=1,可得〃=2,b=g。=有，则该双曲线的渐近线方程为：、=±®;.2焦点坐标为：（±4，0）.故答案为：夕=±醇：（土有，0）.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，考查计算能力.（2020秋•杭州期末）已知点/（1,-1）,直线/：x-2y+2=0,则点Z到直线/的距离是:过点A且垂直于直线I的直线方程是2x+y-l=0.【考点】点到直线的距离公式.【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆；数学运算.【分析】利用点到直线的距离可得一空格答案，在根据直线的点斜式方程可得二空格答案.【解答】解：已知点/（11-1）,直线/：x-2y+2=0,则点/到直线/的距离是4--1+2+21今=而Vl2+（-2）2V5点4为（1,-1）,垂直于直线/的直线方程斜率为二L=-2,kl故过点/且垂直于直线/的直线方程为＞1=-2（x-1）,即2x+y-1=0.【点评】本题考查的知识点是点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，属于基础题.（2019秋•下城区校级期末）设尸、4、B、。是一个球面上的四个点，PA.PB、尸。两两垂直，且刃=尸8=1,PC=2,则该球的体积为_a冗_.【考点】球的体积和表面积.【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；球；逻辑推理；数学运算.【分析】直接利用三棱锥和球的半径的关系和球的体积公式的应用求出结果.【解答】解：由于A.B、C是一个球面上的四个点，PA.PB、尸C两两垂直，且以=PB=\,PC=2,如图所示：设外接球的半径为R，所以（27?）2=12+12+22=6,解得R=逅，2所以丫球="|•■冗,（^^）3=遍兀故答案为：巫穴.【点评】本题考查的知识要点：三棱锥和球的半径的关系，球的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.（2019秋•杭州期末）过抛物线/=2x焦点尸的直线与该抛物线交于48两点，再过点尸作线段"8的垂线，交抛物线的准线于点G,若|fg|=3,O为坐标原点，则=_3__~lr'【考点】直线与抛物线的综合.【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】方法一：根据两点之间的距离公式求得G点坐标，求得直线尸G斜率，可得直线的方程，代入抛物线的方程，根据抛物线的焦点弦公式及三角形的面积公式即可求得△408的面积；方法二：由方法一可知直线N8的斜率，由焦点三角形的面积公式S媪ob=_E_^一，即2sin9可求得△XO8的面积.【解答】解：方法一：由抛物线/=2x焦点尸（工，0）,准线方程工=-工,2 2泗），由题意可知yj+I2=（菅）2,解得外=士亨，若泗=返，则G（-工，近■）,所以直线尸G的斜率左=-返，2 2 2 2

所以直线Z8的斜率直线48的方程为y=—（x-工），设Z（xi，yi）,8（x2,TOC\o"1-5"\h\zV5 -V52 "”），联立方程组4） 7联立方程组2,消去y,整理得4f-14x+l=0,则知+工2=工,2所以|AB|=X[+x?+l=7",则O到直线AB的距离d=, 1 =1,4（泥）2+2232同理可得s0ob=3；4方法二：由2同理可得s0ob=3；4方法二：由方法一可知:斜角为。，贝iJtanS=4，v5若G（-工，返）,

2 2所以sin8=y-直线48的斜率左=3，则直线N8的倾V5「2o则S^AOB=_Pc=—;2sinB4同理可得Saaob=2;4故答案为：.2；4【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及抛物线的焦点弦公式，焦点三角形的面积公式，考查转化思想，属于中档题.（2019秋•杭州期末）在矩形48CQ中，AD=\,点E为线段CD中点，如图所示，将N4ED沿着AE翻折至（点。不在平面ABCD内）,记线段C。中点为F,若三棱锥F-4EO体积的最大值为匹，则线段AB长度的最大值为4.15D'【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】计算题；数形结合；综合法：空间位置关系与距离；逻辑推理.【分析】由以'一花。，=工网，皿，得三棱锥O'-4EC的体积的最大值为2返，当平面ZEO'，平面ZBCE时，三棱锥F-/E沙体积取最大值，由此能求出结果.【解答】解：ED 三棱锥F-AE。体积的最大值为返，2D'-AEC 15三棱锥O'-/EC的体积的最大值为延，15设力8=2。，则EC'=a,当平面/££）'J_平面/8CE时，三棱锥尸-4项）,体积取最大值，此时D'到平面ABCE的距离J=AP，XED，IXa,AE产到平面的距离〃=Ld=—=-2dSAAECfxi或，巾-血qxSAAECXd=yxix7X7=^r,va+1解得a=2,AB=2a=4....三棱锥F- 体积的最大值为返，则线段AB长度的最大值为4.15故答案为：4.Dr【点评】本题考查线段长度的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置有关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.2外（2019秋•西湖区校级期末）已知椭圆C：二+y2=i上的三点4,B,C,斜率为负数的直线8C与y轴交于M,若原点O是△Z8C的重心，且力与△CMO的面积之比为3,则直线8c的斜率为2 —6一【考点】椭圆的性质.【专题】综合题：方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】设B（xi，yt）,C（X2,y2）A（X3,”），M（0,m）,直线BC的方程为夕=去+用.由原点。是△/SC的重心，得△8M4与△CM。的高之比为3,结合与△CM。的面积之比为3,得2BM=MC.可得2xi+x2=0,联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关2系得到36斤/=1-/+必2,利用重心坐标公式求得力的坐标，代入椭圆方程即可求解直线8c的斜率.【解答】解：设6（xi，y\）,C（X2，”）A（工3,”），M（0,〃z）,直线8。的方程为y=kx+m.•・•原点O是△ZBC的重心，•••△8比4与ACMO的高之比为3,又丛BMA与△CMO的面积之比为3,则2BM=MC.2即2而=而得2xi+x2=0,…①/y=kx+in联立/C，得（4F+1）『+8加lx+4/„2-4=0.Lx2+4y2=42则、]+、2=-一班~,；qx2=4m-4,…②l+4k2 l+4k2由①②整理可得：36Mm2=1-/+4.…③•.•原点O是△48C的重心，,x3=-（x1+x2）=8km2,g=-（夕2+丁1）=-伏（xi+x2）+2m]=-―——.l+4k2；x2+4y2=4' （8km）2+4<_2m>2=4.即1+4庐=4m2,…④.3 3 l+4k2 l+4k2由③④可得今,•：k<0.：.k=-返.6故答案为：皇6【点评】本题考查了椭圆的性质，考查了计算能力、转化思想，属于中档题.三.解答题(共4小题)19.(2019秋•西湖区校级期末)已知x>0,j>0,且2x+5y=20.(1)求中的最大值；(2)求工△的最小值.xy【考点】基本不等式及其应用.【专题】方程思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算.【分析】(1)由x>0,y>0,且2x+5y=20.利用基本不等式的性质即可得出中的最大值；(2)由x>0,y>0,且2x+5y=20.可得上+■1>=_l_(2x+5y)•(2=xy20 -xy20xy利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解：(1)Vx>0,y>0,且2x+5y=20....20N25/2x・5y，化为：当且仅当2x=5y=10时取等号.二9的最大值为10.(2)Vx>0,y>0,且2x+5y=20.二]+，L=](2x+5,v),(-l-+.L)——1(7+-^-+-^-)N1(7+215y.2x)=1xy20 xy20xy20yxy20(7+2百5),当且仅当丁承=扬，2x+5y=20取等号..•.工△的最小值为：J_（7+2V10）.Xy 20【点评】本题考查了基本不等式的性质、方程的解法、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.（2019秋•西湖区校级期末）如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0,2）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2,直线/与圆C相交于N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O.（1）求圆C的方程；（2）求直线的斜率上的取值范围.【考点】直线与圆的位置关系.【专题】数形结合：综合法；直线与圆：逻辑推理.【分析】（1）依题意，容易求得半径/■=%圆心坐标为（-4,2）,由此得到方程；（2）依题意，只需求出点N（或M）在劣弧尸。上运动时的直线ON（或OW）斜率，结合图象得解.【解答】解：（1）因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0,2）,所以圆心在直线y=2上，设圆C与x轴交于P,。点，又因为被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2,所以可得NPC0=2兀，所以厂=4,圆心C的坐标：（-4,2）,3所以圆C的方程：（x+4）2+8-2）2=16；（2）依题意，只需求出点N（或在劣弧P0上运动时的直线ON（或OM）斜率，设其直线方程为y=a（z>0）,此时有2<J/耻2<4,解得0<t《旦;TOC\o"1-5"\h\zVt2+1 4若点M在劣弧尸0上，则直线0M的斜率A=f,于是0<k<8；4若点N在劣弧上，则直线OM的斜率k=」，于是k《一占t 3又当％=0时，点N为（0,2）也满足条件；综上所述，所求直线的斜率后的取值范围为（-8, 3].3 4【点评】本题考查圆的标准方程的求法及直线与圆的关系，考查逻辑推理能力，属于中档题.（2020•柯城区校级一模）已知等腰梯形中（如图1）,48=4,BC=CD=DA=2,产为线段8的中点，E,M为线段上的点，AE=EM=\,现将四边形ZE尸。沿M折起（如图2）.图1 图2（I）求证：4WJI平面BCD；（II）在图2中，若BDfR，求直线CO与平面8CFE所成角的正弦值.【考点】直线与平面所成的角.

【专题】数形结合；综合法；立体几何：逻辑推理.【分析】(I)证明四边形NOCM为平行四边形，可得ZA/〃8,进而得证；(II)建立如图所示的空间直角坐标系，再根据已知条件求得点D的坐标以及平面BCEF的一个法向量，利用向量公式即可得所求正弦值.【解答】解：(I)证明：连接CM,由4。平行且等于EF,MC平行且等于所可知，AD平行且等于MC,:.四边形ADCM为平行四边形，J.AM//CD,又4W不在平面8C£>内，8在平面88内,平面BCD；(II)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,0,0),E(-l,0,0),F(0,V3.。)，C(l,6，0),设。(X,y,Z),由DF=1,DE=V3«DB=V6«可得D(0,--CD=(-1,浮季,易知平面BCE尸的•个法向量为7=(o,0,1)，设直线CO与平面8CFE所成角为6,则sin。=|cos<CD，I-I—,- 即直线CD与平面BCFE所成角的|CD||n| 3正弦值为退.3A

X【点评】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解线面角问题，考查逻辑推理以及运算求解能力，属于基础题.2 2(2019秋•下城区校级期末)椭圆2_丁_=1(a>6>0),右焦点为F(J§,0),ABa是斜率为％(攵W0)的弦，48的中点为E,43的垂直平分线交椭圆于C,O两点，CD

的中点为N.当/=1时直线OE的斜率为-工（O为坐标原点）.4（1）求椭圆的标准方程；（2）设原点O到直线的距离为d,求幽_的取值范围：d（3）若直线CM,直线08的斜率满足•心8a>0），判断2是否为定值.【考点】椭圆的性质；直线与椭圆的综合.【专题】方程思想；转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.2盯V1@2+/T【分析】（1）【分析】（1）设/（xi,yi）,A（%2,”）,根据题意得，y2 f =12,2ab的坐标，由题意求出/=4必，再根据焦点坐标得到。=43=厅彳，联立，即可求出。，方的值，从而得到椭圆的方程.（2）设直线48的方程为》=去+阳，A（xi，yi）,B（》2，"），与椭圆的方程联立，根据韦达定理，求出E（-41r1k,m）,得到直线c。的方程，与椭圆的方程联立，l+4k 2 c 2 ca b yt-yo 卜2Xi+x0则:? 2 ，作差整理可得1 2,X2y2