机器人学基础-第3章-机器人运动学课件

中南大学蔡自兴，谢斌zxcai,xiebin@2010机器人学基础

第三章机器人运动学1Ch.3KinematicsofRobotsFundamentalsofRoboticsFundamentalsofRobotics中南大学机器人学基础

第三章机器人运动学1Ch.313.0IntroductiontoRobotKinematicsKinematicstreatsmotionwithoutregardtotheforcesthatcauseit.Withinthescienceofkinematicsonestudiestheposition,velocity,acceleration,andallhigherorderderivativesofthepositionvariables(withrespecttotimeoranyothervariable).从几何学的观点来处理手指位置P与关节变量L1,L2,和的关系称为运动学(Kinematics)。2

3.0IntroductiontoRobotKinematics3.0IntroductiontoRobotKinInmanipulatorrobotics,therearetwokinematicstasks:Direct(alsoforward)kinematics–Givenarejointrelations(rotations,translations)fortherobotarm.Task:Whatistheorientationandpositionoftheendeffector?Inversekinematics–Givenisdesiredendeffectorpositionandorientation.Task:Whatarethejointrotationsandorientationstoachievethis?3

3.0IntroductiontoRobotKinematics3.0IntroductiontoRobotKinematicsInmanipulatorrobotics,thereExampleofDirectKinematicsDefinepositionofendeffectorandthejointvariable，Accordingtogeometry：Thegeneralvectorform4

3.0IntroductiontoRobotKinematicsExampleofDirectKinematicsDe4式中同样，如果用向量表示上述关系式，其一般可表示为ExampleofInverseKinematics5

3.0IntroductiontoRobotKinematics式中同样，如果用向量表示上述关系式，其一般可表示为Examp5机器人到达给定的手爪位置P

有两个姿态满足要求，即图中的也是其解。此时和变成为另外的值，即逆运动学的解不是惟一的。将运动学公式两边微分即可得到机器人手爪的速度和关节速度的关系，再进一步进行微分将得到加速度之间的关系，处理这些关系也是机器人的运动学问题。

ExampleofInverseKinematics6

3.0IntroductiontoRobotKinematics机器人到达给定的手爪位置P

有两个姿态满足要求，即图中的673.1RepresentationofKinematicsEquationofRobotManipulator3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulatorMechanicsofamanipulatorcanberepresentedasakinematicschainofrigidbodies(links)connectedbyrevoluteorprismaticjoints.Oneendofthechainisconstrainedtoabase,whileanendeffectorismountedtotheotherendofthechain.Theresultingmotionisobtainedbycompositionoftheelementarymotionsofeachlinkwithrespecttothepreviousone.73.1RepresentationofKinema8

机械手是一系列由关节连接起来的连杆构成的。为机械手的每一连杆建立一个坐标系，并用齐次变换来描述这些坐标系间的相对位置和姿态。A矩阵：一个描述两连杆间坐标系相对关系的齐次变换，如；各A矩阵的乘积称为T矩阵。例如：A1，A2，A3T1=A1T2=A1A2T3=A1A2A3

……

3.1RepresentationofKinematicsEquationofRobotManipulator3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator8机械手是一系列由关节连接起来的连杆9T矩阵：A矩阵的乘积。对于六连杆机械手，有下列T矩阵：

一个六连杆机械手可具有六个自由度，每个连杆含有一个自由度，并能在其运动范围内任意定位与定向。3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator3.1RepresentationofKinematicsEquationofRobotManipulator9T矩阵：A矩阵的乘积。3.1Representati103.1RepresentationofKinematicsEquationofRobotManipulator

3.1.1KineticPoseandOrientedAngle运动姿态和方向角MotionDirection原点由矢量p表示。approachvectora：z向矢量orientationvectoro：y向矢量normalvectorn：x向矢量，

Formingaright-handframe：n=o

aora

=no3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator103.1RepresentationofKinem113.1.1KineticPoseandOrientedAngle因此，变换T6具有下列元素（同式2.35）。

六连杆机械手的T矩阵（T6）可由指定其16个元素的数值来决定。在这16个元素中，只有12个元素具有实际含义。

3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator113.1.1KineticPoseandOrie123.1.1KineticPoseandOrientedAngleEulerangletorepresentmotionpose机械手的运动姿态往往由

一个绕轴x，y和z的旋转

序列来规定。这种转角的

序列，称为欧拉（Euler）

角。欧拉角:用一个绕z轴

旋转ф角，再绕新的y轴

y’旋转θ角，最后绕新的z轴z’’旋转ψ角来描述任何可能的姿态。欧拉变换Euler可由连乘三个旋转矩阵来求得，即

（3.3）3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator123.1.1KineticPoseandOrie133.1.1KineticPoseandOrientedAngleRoll,Pitch,Yawtorepresentmotionpose

另一种常用的旋转集合是横滚（roll）、俯仰（pitch）和偏转（yaw）。3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator133.1.1KineticPoseandOrie143.1.1KineticPoseandOrientedAngle对于旋转次序，规定：式中，RPY表示横滚、俯仰和偏转三旋转的组合变换。也就是说，先绕x轴旋转角ψ，再绕y轴旋转角θ，最后绕z轴旋角ф。3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator143.1.1KineticPoseandOrie153.1RepresentationofKineticEquation

ofRobotManipulator

3.1.2KineticPositionandCoordinate运动位置和坐标一旦机械手的运动姿态由某个姿态变换规定之后，它在基系中的位置就能够由左乘一个对应于矢量p的平移变换来确定（参式2.20）：3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator153.1RepresentationofKinet163.1.2KineticPositionandCoordinateDescriptioninCylinderCoordinates

用柱面坐标来表示机械手手臂的位置，即表示其平移变换。这对应于沿x轴平移r，再绕z轴旋转，最后沿z轴平移z。如图3.4(a)所示。

3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator163.1.2KineticPositionand173.1.2KineticPositionandCoordinateDescriptioninSphericalCoordinates用球面坐标表示手臂运动位置矢量的方法，对应于沿z轴平移r，再绕y轴旋转β角，最后绕z轴旋转角，如图3.4(b)所示，即为：3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator173.1.2KineticPositionand183.1RepresentationofKineticEquation

ofRobotManipulator

3.1.3T-MatrixandA-Matrix连杆变换矩阵及其乘积

广义连杆

相邻坐标系间及其相应连杆可以用齐次变换矩阵来表示。要求解操作手所需要的变换矩阵，每个连杆都要用广义连杆来描述。在求得相应的广义变换矩阵之后，可对其加以修正，以适合每个具体的连杆。3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator183.1RepresentationofKinet193.1.3T-MatrixandA-Matrix机器人机械手是由一系列连接在一起的连杆（杆件）构成的。需要用两个参数来描述一个连杆，即公共法线距离所在平面内两轴的夹角；需要另外两个参数来表示相邻两杆的关系，即两连杆的相对位置和两连杆法线的夹角，如图3.5所示。3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator193.1.3T-MatrixandA-Matrix203.1.3T-MatrixandA-Matrix3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulatorai-1:LinkLength-mutualperpendicular uniqueexceptforparallelaxis

:LinkTwist-measuredintheright-handsenseabout203.1.3T-MatrixandA-Matrix213.1.3T-MatrixandA-Matrix3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulatordi:LinkOffset--variableifjointiisprismatic(平动关节):JointAngle--variableifjointiisrevolute(转动关节)213.1.3T-MatrixandA-Matrix223.1.3T-MatrixandA-MatrixDenavit-HartenbergParameters 4D-Hparameters 3fixedlinkparameters 1jointvariable αiandai:describetheLinki diandθi:describetheLink’sconnection3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator223.1.3T-MatrixandA-Matrix233.1.3T-MatrixandA-Matrix3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulatory-vectors:completeright-handframes233.1.3T-MatrixandA-Matrix243.1.3T-MatrixandA-Matrix3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator1.Normals2.Origins3.Z-axes4.X-axes243.1.3T-MatrixandA-Matrix253.1.3T-MatrixandA-Matrix3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator253.1.3T-MatrixandA-Matrix263.1.3T-MatrixandA-Matrix3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulatorExample-RRRArm263.1.3T-MatrixandA-Matrix273.1.3T-MatrixandA-Matrix3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulatorExample-RRRArmlinkdi123=distancefromzitozi+1alongxi=distancefromxi-1toxialongzi=anglefromzitozi+1aboutxi=anglefromxi-1toxiaboutzi273.1.3T-MatrixandA-Matrix283.1.3T-MatrixandA-Matrix3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulatorExample-RRRArmlinkdi1000θ120L10θ230L20θ3=distancefromzitozi+1alongxi=distancefromxi-1toxialongzi=anglefromzitozi+1aboutxi=anglefromxi-1toxiaboutzi283.1.3T-MatrixandA-Matrix293.1.3T-MatrixandA-MatrixDenavit-Hartenbergnotation=distancefromzitozi+1alongxi=distancefromxi-1toxialongzi=anglefromzitozi+1aboutxi=anglefromxi-1toxiaboutzi3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator293.1.3T-MatrixandA-Matrix303.1.3T-MatrixandA-Matrix绕轴旋转角，使

轴转到与同一平面内。

沿轴平移一距离，把移到与同一直线上。

沿xi轴平移一距离ai-1

，使连杆坐标系的原点与连杆

i

的坐标系原点重合。(4)绕

xi

轴旋转

角，使zi－1

转到与zi

同一直线上。3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator303.1.3T-MatrixandA-Matrix3.1.3

T-MatrixandA-Matrix这种关系可由表示连杆相对位置的四个齐次变换来描述，并叫做矩阵。此关系式为：

(3.12)展开上式可得：（3.13）

313.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator3.1.3T-MatrixandA-Matrix这323.1.3T-MatrixandA-MatrixUsingA-MatrixtorepresentT-Matrix机械手的末端装置即为连杆6的坐标系，它与连杆坐标系的关系可由表示为：可得连杆变换通式为：3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator323.1.3T-MatrixandA-Matri333.2SolvingKinematicalEquationofRobot

Manipulator机械手运动学方程的求解大多数机器人程序设计语言使用某个笛卡儿坐标系来指定机械手的末端位置。这一指定可用于求解机械手最后一个连杆的姿态。不过，在机械手能够被驱动至这个姿态之前，必须知道与这个位置有关的所有关节的位置。求解运动方程时，我们从开始求解关节位置。使的符号表达式的各元素等于T6的一般形式，并据此确定。其它五个关节参数不可能从T6求得，因为所求得的运动方程过于复杂而无法求解它们。我们可以由上节讨论的其它T矩阵来求解它们。一旦求得之后，可由左乘的一般形式，得：

(3.18)式中，左边为和各元的函数。此式可用来求解其它各关节变量，如等。

3.2SolvingKinematicsEquation333.2SolvingKinematicalEqu3.2SolvingKinematicsEquation不断地用的逆矩阵左乘式(3.17)，可得下列4个矩阵方程式：

(3.19)(3.20)(3.21)(3.22)上列各方程的左式为和前个关节变量的函数。可用这些方程来确定各关节的位置。34

3.2SolvingKinematicsEquation3.2SolvingKinematicsEquati353.2.1SolutionoftheEulerTransformation欧拉变换解基本隐式方程的解

令由式(3.4)和(3.23)得到：

3.2SolvingKinematicsEquation3.2SolvingKinematicsEquation353.2.1SolutionoftheEuler363.2.1SolutionoftheEulerTransformation令矩阵方程两边各对应元素一一相等，可得到9个隐式方程如下：

3.2SolvingKinematicsEquation363.2.1SolutionoftheEuler373.2.1SolutionoftheEulerTransformation但这些解答是不确定的：（1）当由余弦函数求角度时，不仅此角度的符号是不确定的，并且所求角度的准确度也与该角度本身相关。（2）在求解和时，再次用到反余弦函数，且除式的分母为。当接近于0时，总会产生不准确。（3）当或时，和的求解公式无定义。

3.2SolvingKinematicsEquation373.2.1SolutionoftheEuler383.2.1SolutionoftheEulerTransformation

在求解时，总是采用双变量反正切函数atan2来确定角度。atan2提供二个自变量，即纵坐标和横坐标，见图3.8。当-π≤θ≤π，由atan2反求角度时，同时检查y和x的符号来确定其所在象限。这一函数也能检验什么时候x或y为0，并反求出正确的角度。atan2的精确程度对其整个定义域都是一样的。

3.2SolvingKinematicsEquation用双变量反正切函数(two-argumentarctangentfunction)确定角度383.2.1SolutionoftheEuler393.2.1SolutionoftheEulerTransformation用显式方程求各角度

要求得方程式的解，采用另一种通常能够导致显式解答的方法。用未知逆变换依次左乘已知方程，对于欧拉变换有：

式(3.37)的左式为已知变换的函数，而右式各元素或者为0，或者为常数。

3.2SolvingKinematicsEquation393.2.1SolutionoftheEuler40对方程求解，整理之后确定其等价欧拉角：如果已知一个表示任意旋转的齐次变换，那么就能够确定其等价欧拉角。3.2.1SolutionoftheEulerTransformation

3.2SolvingKinematicsEquation403.2.1SolutionoftheEuler413.2.2SolutionofRPYTransformations

滚、仰、偏变换解

直接从显式方程来求解用滚动、俯仰和偏转表示的变换方程。推导计算可得RPY变换各角如下：

3.2SolvingKinematicsEquation413.2.2SolutionofRPYTrans423.2.3SolutionofSphericalCoordinate

Transformation球面变换解把求解滚、仰和偏变换方程的技术用于球面坐标表示的运动方程。

可推导出球面变换的解为：

3.2SolvingKinematicsEquation423.2.3SolutionofSpherica433.3KinematicEquationofPUMA560

PUMA560机器人运动方程

3.3.1MotionAnalysisofPUMA560PUMA560运动分析（表示）PUMA560是属于关节式机器人，6个关节都是转动关节。前3个关节确定手腕参考点的位置，后3个关节确定手腕的方位。各连杆坐标系如图3.9所示。相应的连杆参数列于表3.1。

3.3KinematicsEquationofPUMA560433.3KinematicEquationof443.3.1MotionAnalysisofPUMA560

3.3KinematicsEquationofPUMA560443.3.1MotionAnalysisofPU453.3.1MotionAnalysisofPUMA560

PUMA560每个关节均有角度零位与正负方向限位开关，机器人的回转机体实现机器人机体绕z0轴的回转（角θ1），它由固定底座和回转工作台组成。安装在轴中心的驱动电机经传动装置，可以实现工作台的回转。

3.3KinematicsEquationofPUMA560453.3.1MotionAnalysisofPU463.3.1MotionAnalysisofPUMA560

大臂、小臂的平衡由机器人中的平衡装置控制，在机器人的回转工作台上安装有大臂台座，将大臂下端关节支承在台座上，大臂的上端关节用于支承小臂。大臂臂体的下端安有直流伺服电机，可控制大臂上下摆动（角θ2）。

3.3KinematicsEquationofPUMA560463.3.1MotionAnalysisofPU473.3.1MotionAnalysisofPUMA560

小臂支承于大臂臂体的上关节处，其驱动电机可带动小臂做上下俯仰（角θ3），以及小臂的回转（θ4）。

3.3KinematicsEquationofPUMA560473.3.1MotionAnalysisofPU483.3.1MotionAnalysisofPUMA560

机器人的腕部位于小臂臂体前端，通过伺服电动机传动，可实现腕部摆动（θ5）和转动（θ6）。

3.3KinematicsEquationofPUMA560483.3.1MotionAnalysisofPU493.3.1MotionAnalysisofPUMA560

3.3KinematicsEquationofPUMA560493.3.1MotionAnalysisofPU50UsingA-MatrixtorepresentT-Matrix机械手的末端装置即为连杆6的坐标系，它与连杆坐标系的关系可由表示为：可得连杆变换通式为：3.3.1MotionAnalysisofPUMA560

3.3KinematicsEquationofPUMA56050UsingA-Matrixtorepresent513.3.1MotionAnalysisofPUMA560

据连杆变换通式式(3.16)和表3.1所示连杆参数，可求得各连杆变换矩阵如下：

3.3KinematicsEquationofPUMA560513.3.1MotionAnalysisofPU523.3.1MotionAnalysisofPUMA560

各连杆变换矩阵相乘，得PUMA

560的机械手变换的T矩阵：即为关节变量的函数。该矩阵描述了末端连杆坐标系{6}相对基坐标系{0}的位姿。

3.3KinematicsEquationofPUMA560523.3.1MotionAnalysisofPU53要求解此运动方程，需先计算某些中间结果4T6

，3T6

，1T3

，1T6

等，见式（3.60）至（3.63）。于是，可求得机械手的T变换矩阵：其中nx,ny,nz,ox,oy,oz,ax,ay,az,px,py,pz见式（3.64）3.3.1MotionAnalysisofPUMA560

3.3KinematicsEquationofPUMA560533.3.1MotionAnalysisofPU54（3.64）3.3.1MotionAnalysisofPUMA560

3.3KinematicsEquationofPUMA560543.3.1MotionAnalysisofPU553.3.2MotionSynthesisofPUMA560

PUMA560运动综合（求解）据式（3.59），可把PUMA560的运动方程（3.64）写为：若末端连杆的位姿已经给定，即为已知，则求关节变量的值称为运动反解。用未知的连杆逆变换左乘方程(3.65)两边，把关节变量分离出来，从而求得的解。

3.3KinematicsEquationofPUMA560553.3.2MotionSynthesisofP563.3.2MotionSynthesisofPUMA5601.求用逆变换左乘式(3.65)两边：

3.3KinematicsEquationofPUMA560563.3.2MotionSynthesisofP573.3.2MotionSynthesisofPUMA5601.求利用三角代换：其中两边(2,4)项元素对应相等：

3.3KinematicsEquationofPUMA560573.3.2MotionSynthesisofP583.3.2MotionSynthesisofPUMA560求式中，正、负号对应于的两个可能解。

3.3KinematicsEquationofPUMA560583.3.2MotionSynthesisofP593.3.2MotionSynthesisofPUMA5602.求两边(1,4)项和(3,4)项元素对应相等：其中

3.3KinematicsEquationofPUMA560593.3.2MotionSynthesisofP603.3.2MotionSynthesisofPUMA560求正、负号对应的两种可能解。求式中，

3.3KinematicsEquationofPUMA560603.3.2MotionSynthesisofP613.3.2MotionSynthesisofPUMA5603.求两边(1,4)项和(2,4)项元素对应相等：

3.3KinematicsEquationofPUMA560613.3.2MotionSynthesisofP623.3.2MotionSynthesisofPUMA560求根据解的四种可能组合可以得到相应的四种可能值，于是可得到的四种可能解：式中，取与相对应的值。

3.3KinematicsEquationofPUMA560623.3.2MotionSynthesisofP633.3.2MotionSynthesisofPUMA5604.求两边(1,3)项和(3,3)项元素对应相等：

3.3KinematicsEquationofPUMA560633.3.2MotionSynthesisofP643.3.2MotionSynthesisofPUMA5605.求两边(1,3)项和(3,3)项元素对应相等：

3.3KinematicsEquationofPUMA560643.3.2MotionSynthesisofP653.3.2MotionSynthesisofPUMA5606.求两边(3,1)项和(1,1)项元素对应相等：

3.3KinematicsEquationofPUMA560653.3.2MotionSynthesisofP663.3.2MotionSynthesisofPUMA560Foreachsolutionpictured,thereisanothersolutioninwhichthelastthreejoints"flip“toanalternateconfigurationaccordingtotheformulas:FoursolutionsofthePUMA560

3.3KinematicsEquationofPUMA560663.3.2MotionSynthesisofP673.3.2MotionSynthesisofPUMA560PUMA560的运动反解可能存在8种解。但是，由于结构的限制，例如各关节变量不能在全部360°范围内运动，有些解不能实现。在机器人存在多种解的情况下，应选取其中最满意的一组解，以满足机器人的工作要求。FoursolutionsofthePUMA560

3.3KinematicsEquationofPUMA560673.3.2MotionSynthesisofP68

3.4Summary小结RepresentationofKinematicsEquation(Analysis)MotionOrientationofManipulatorsEulerAngle->MotionPoseRoll,Pitch,Yaw->MotionPoseSolvingKinematicsEquation(Synthesis)SolutionoftheEulerTransformationSolutionofRoll,PitchandYawSolutionofSphericalCoordinateTransformation

MotionAnalysisandSynthesisofPUMA560

3.4Summary683.4Summary小结Representat中南大学蔡自兴，谢斌zxcai,xiebin@2010机器人学基础

第三章机器人运动学69Ch.3KinematicsofRobotsFundamentalsofRoboticsFundamentalsofRobotics中南大学机器人学基础

第三章机器人运动学1Ch.3693.0IntroductiontoRobotKinematicsKinematicstreatsmotionwithoutregardtotheforcesthatcauseit.Withinthescienceofkinematicsonestudiestheposition,velocity,acceleration,andallhigherorderderivativesofthepositionvariables(withrespecttotimeoranyothervariable).从几何学的观点来处理手指位置P与关节变量L1,L2,和的关系称为运动学(Kinematics)。70

3.0IntroductiontoRobotKinematics3.0IntroductiontoRobotKinInmanipulatorrobotics,therearetwokinematicstasks:Direct(alsoforward)kinematics–Givenarejointrelations(rotations,translations)fortherobotarm.Task:Whatistheorientationandpositionoftheendeffector?Inversekinematics–Givenisdesiredendeffectorpositionandorientation.Task:Whatarethejointrotationsandorientationstoachievethis?71

3.0IntroductiontoRobotKinematics3.0IntroductiontoRobotKinematicsInmanipulatorrobotics,thereExampleofDirectKinematicsDefinepositionofendeffectorandthejointvariable，Accordingtogeometry：Thegeneralvectorform72

3.0IntroductiontoRobotKinematicsExampleofDirectKinematicsDe72式中同样，如果用向量表示上述关系式，其一般可表示为ExampleofInverseKinematics73

3.0IntroductiontoRobotKinematics式中同样，如果用向量表示上述关系式，其一般可表示为Examp73机器人到达给定的手爪位置P

有两个姿态满足要求，即图中的也是其解。此时和变成为另外的值，即逆运动学的解不是惟一的。将运动学公式两边微分即可得到机器人手爪的速度和关节速度的关系，再进一步进行微分将得到加速度之间的关系，处理这些关系也是机器人的运动学问题。

ExampleofInverseKinematics74

3.0IntroductiontoRobotKinematics机器人到达给定的手爪位置P

有两个姿态满足要求，即图中的74753.1RepresentationofKinematicsEquationofRobotManipulator3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulatorMechanicsofamanipulatorcanberepresentedasakinematicschainofrigidbodies(links)connectedbyrevoluteorprismaticjoints.Oneendofthechainisconstrainedtoabase,whileanendeffectorismountedtotheotherendofthechain.Theresultingmotionisobtainedbycompositionoftheelementarymotionsofeachlinkwithrespecttothepreviousone.73.1RepresentationofKinema76

机械手是一系列由关节连接起来的连杆构成的。为机械手的每一连杆建立一个坐标系，并用齐次变换来描述这些坐标系间的相对位置和姿态。A矩阵：一个描述两连杆间坐标系相对关系的齐次变换，如；各A矩阵的乘积称为T矩阵。例如：A1，A2，A3T1=A1T2=A1A2T3=A1A2A3

……

3.1RepresentationofKinematicsEquationofRobotManipulator3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator8机械手是一系列由关节连接起来的连杆77T矩阵：A矩阵的乘积。对于六连杆机械手，有下列T矩阵：

一个六连杆机械手可具有六个自由度，每个连杆含有一个自由度，并能在其运动范围内任意定位与定向。3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator3.1RepresentationofKinematicsEquationofRobotManipulator9T矩阵：A矩阵的乘积。3.1Representati783.1RepresentationofKinematicsEquationofRobotManipulator

3.1.1KineticPoseandOrientedAngle运动姿态和方向角MotionDirection原点由矢量p表示。approachvectora：z向矢量orientationvectoro：y向矢量normalvectorn：x向矢量，

Formingaright-handframe：n=o

aora

=no3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator103.1RepresentationofKinem793.1.1KineticPoseandOrientedAngle因此，变换T6具有下列元素（同式2.35）。

六连杆机械手的T矩阵（T6）可由指定其16个元素的数值来决定。在这16个元素中，只有12个元素具有实际含义。

3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator113.1.1KineticPoseandOrie803.1.1KineticPoseandOrientedAngleEulerangletorepresentmotionpose机械手的运动姿态往往由

一个绕轴x，y和z的旋转

序列来规定。这种转角的

序列，称为欧拉（Euler）

角。欧拉角:用一个绕z轴

旋转ф角，再绕新的y轴

y’旋转θ角，最后绕新的z轴z’’旋转ψ角来描述任何可能的姿态。欧拉变换Euler可由连乘三个旋转矩阵来求得，即

（3.3）3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator123.1.1KineticPoseandOrie813.1.1KineticPoseandOrientedAngleRoll,Pitch,Yawtorepresentmotionpose

另一种常用的旋转集合是横滚（roll）、俯仰（pitch）和偏转（yaw）。3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator133.1.1KineticPoseandOrie823.1.1KineticPoseandOrientedAngle对于旋转次序，规定：式中，RPY表示横滚、俯仰和偏转三旋转的组合变换。也就是说，先绕x轴旋转角ψ，再绕y轴旋转角θ，最后绕z轴旋角ф。3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator143.1.1KineticPoseandOrie833.1RepresentationofKineticEquation

ofRobotManipulator

3.1.2KineticPositionandCoordinate运动位置和坐标一旦机械手的运动姿态由某个姿态变换规定之后，它在基系中的位置就能够由左乘一个对应于矢量p的平移变换来确定（参式2.20）：3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator153.1RepresentationofKinet843.1.2KineticPositionandCoordinateDescriptioninCylinderCoordinates

用柱面坐标来表示机械手手臂的位置，即表示其平移变换。这对应于沿x轴平移r，再绕z轴旋转，最后沿z轴平移z。如图3.4(a)所示。

3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator163.1.2KineticPositionand853.1.2KineticPositionandCoordinateDescriptioninSphericalCoordinates用球面坐标表示手臂运动位置矢量的方法，对应于沿z轴平移r，再绕y轴旋转β角，最后绕z轴旋转角，如图3.4(b)所示，即为：3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator173.1.2KineticPositionand863.1RepresentationofKineticEquation

ofRobotManipulator

3.1.3T-MatrixandA-Matrix连杆变换矩阵及其乘积

广义连杆

相邻坐标系间及其相应连杆可以用齐次变换矩阵来表示。要求解操作手所需要的变换矩阵，每个连杆都要用广义连杆来描述。在求得相应的广义变换矩阵之后，可对其加以修正，以适合每个具体的连杆。3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator183.1RepresentationofKinet873.1.3T-MatrixandA-Matrix机器人机械手是由一系列连接在一起的连杆（杆件）构成的。需要用两个参数来描述一个连杆，即公共法线距离所在平面内两轴的夹角；需要另外两个参数来表示相邻两杆的关系，即两连杆的相对位置和两连杆法线的夹角，如图3.5所示。3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator193.1.3T-MatrixandA-Matrix883.1.3T-MatrixandA-Matrix3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulatorai-1:LinkLength-mutualperpendicular uniqueexceptforparallelaxis

:LinkTwist-measuredintheright-handsenseabout203.1.3T-MatrixandA-Matrix893.1.3T-MatrixandA-Matrix3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulatordi:LinkOffset--variableifjointiisprismatic(平动关节):JointAngle--variableifjointiisrevolute(转动关节)213.1.3T-MatrixandA-Matrix903.1.3T-MatrixandA-MatrixDenavit-HartenbergParameters 4D-Hparameters 3fixedlinkparameters 1jointvariable αiandai:describetheLinki diandθi:describetheLink’sconnection3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator223.1.3T-MatrixandA-Matrix913.1.3T-MatrixandA-Matrix3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulatory-vectors:completeright-handframes233.1.3T-MatrixandA-Matrix923.1.3T-MatrixandA-Matrix3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator1.Normals2.Origins3.Z-axes4.X-axes243.1.3T-MatrixandA-Matrix933.1.3T-MatrixandA-Matrix3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator253.1.3T-MatrixandA-Matrix943.1.3T-MatrixandA-Matrix3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulatorExample-RRRArm263.1.3T-MatrixandA-Matrix953.1.3T-MatrixandA-Matrix3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulatorExample-RRRArmlinkdi123=distancefromzitozi+1alongxi=distancefromxi-1toxialongzi=anglefromzitozi+1aboutxi=anglefromxi-1toxiaboutzi273.1.3T-MatrixandA-Matrix963.1.3T-MatrixandA-Matrix3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulatorExample-RRRArmlinkdi1000θ120L10θ230L20θ3=distancefromzitozi+1alongxi=distancefromxi-1toxialongzi=anglefromzitozi+1aboutxi=anglefromxi-1toxiaboutzi283.1.3T-MatrixandA-Matrix973.1.3T-MatrixandA-MatrixDenavit-Hartenbergnotation=distancefromzitozi+1alongxi=distancefromxi-1toxialongzi=anglefromzitozi+1aboutxi=anglefromxi-1toxiaboutzi3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator293.1.3T-MatrixandA-Matrix983.1.3T-MatrixandA-Matrix绕轴旋转角，使

轴转到与同一平面内。

沿轴平移一距离，把移到与同一直线上。

沿xi轴平移一距离ai-1

，使连杆坐标系的原点与连杆

i

的坐标系原点重合。(4)绕

xi

轴旋转

角，使zi－1

转到与zi

同一直线上。3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator303.1.3T-MatrixandA-Matrix3.1.3

T-MatrixandA-Matrix这种关系可由表示连杆相对位置的四个齐次变换来描述，并叫做矩阵。此关系式为：

(3.12)展开上式可得：（3.13）

993.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator3.1.3T-MatrixandA-Matrix这1003.1.3T-MatrixandA-MatrixUsingA-MatrixtorepresentT-Matrix机械手的末端装置即为连杆6的坐标系，它与连杆坐标系的关系可由表示为：可得连杆变换通式为：3.1RepresentationofKinematicsEquationofManipulator323.1.3T-MatrixandA-Matri1013.2SolvingKinematicalEquationofRobot

Manipulator机械手运动学方程的求解大多数机器人程序设计语言使用某个笛卡儿坐标系来指定机械手的末端位置。这一指定可用于求解机械手最后一个连杆的姿态。不过，在机械手能够被驱动至这个姿态之前，必须知道与这个位置有关的所有关节的位置。求解运动方程时，我们从开始求解关节位置。使的符号表达式的各元素等于T6的一般形式，并据此确定。其它五个关节参数不可能从T6求得，因为所求得的运动方程过于复杂而无法求解它们。我们可以由上节讨论的其它T矩阵来求解它们。一旦求得之后，可由左乘的一般形式，得：