第五章-混沌与分形模型初步汇总课件

第二部分

基于过程的动力学模型与应用

第五章混沌与分形模型初步第二部分

基于过程的动力学模型与应用第五章15.1动力学系统与混沌5.1.1混沌(chaos)的发现――洛仑兹关于大气对流的模型图5.2洛仑兹方程在相平面的投影轨迹5.1动力学系统与混沌5.1.1混沌(chaos)的发现―2洛仑兹Lorenz方程式中x、y和z分别与对流强弱、对流引起的水平温差和垂直温差有关的变量，、r和b分别与流体力学中的普兰多数（Prandtl）、瑞利数和区域大小有关的参量。变量上面的“”表示该变量对时间t的一阶导数。洛仑兹Lorenz方程式中x、y和z分别与对流强弱、对3蝴蝶效应蝴蝶效应4

1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远扬了。

“蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。

从科学的角度来看，“蝴蝶效应”反映了混沌运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会5一则西方寓言：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；

马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。折了一匹战马，伤了一位骑士；输了一场战斗，亡了一个帝国。伤了一位骑士，输了一场战斗；一则西方寓言：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折6什么是混沌呢？

混沌学的任务就是寻求混沌现象的规律，加以处理和应用。60年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物理学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域，成为一门新兴学科。它的原意是指无序和混乱的状态（混沌译自英文Chaos）。这些表面上看起来无规律、不可预测的现象，实际上有它自己的规律。什么是混沌呢？混沌学的任务就是寻求混沌现象7混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性--不可重复、不可预测，这就是混沌现象。科学家给混沌下的定义是：混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机科学家给81）、对初始条件的敏感依赖性这是混沌系统的典型特征。初始条件的微小差别在最后的现象中产生极大的差别;或者说，起初小的误差引起灾难性后果。洛伦兹在他的玩具天气模型中发现了这一特性。在生活中，人们知道一串事件往往具有一个临界点，那里小小的变化会放大.然而混沌意味着这种临界点比比皆是。它们无孔不入，无时不在。在天气这样的系统中，对初始条件的敏感依赖性乃是各种大小尺度的运动互相纠缠所不能逃避的后果，因此，洛伦兹断言：长期预报注定要失败。信息从小尺度传向大尺度，把初始的随机性放大。1）、对初始条件的敏感依赖性这是混沌系统的典型特征。初始条件92）、极为有限的可预测性当系统进入混沌过程后，系统或表现为整体的不可预言，或表现为局部的不可预言。混沌研究者们在自然界和社会中发现了大量混沌现象，如湍流中的旋涡，闪电的分支路径，流行病的消胀、股市的升降、心脏的纤颤、精神病行为、城镇空间分布及规模与数量等级等等。信息论认为，信息是对事物不确定性的一种量度。信息量大，消除不确定性的程度就大。我们拥有的关于某物的信息越多，对该事物的预测就会更准确。但是，当系统变得混沌以后，它成了一架产生信息的机器，成了连续的信息源，收集更多的信息变得毫无意义。2）、极为有限的可预测性当系统进入混沌过程后，103）、混沌的内部存在着超载的有序

混沌内部的有序是指混沌内部有结构，而且在不同层次上其结构具有相似性，即所谓的自相似性。混沌内部的有序还表现为不同系统之间跨尺度的相似性，即所谓普适性。费根鲍姆通过两种完全不同的反馈函数Xt+1=rXt(1-Xt)和Xt+1=rsinXt的迭代计算，即取一个数作输入，产生另一个数作输出，再将前次的输出作输入，如此反复迭代计算。当r值较小时，结果趋向一个定数，当r超过某值时，其轨迹出现分岔。。3）、混沌的内部存在着超载的有序混沌内部的有序是115.1.2生态系统中的振荡与混沌令xn和xn+1分别表示亲代和子代的种群数量。很容易看出，xn+1应与xn有关：子代数量xn+1与亲代数量xn的关系应为5.1.2生态系统中的振荡与混沌令xn和xn+112相当于二次函数迭代由f(x)所实现的映射称为逻辑斯蒂（logistic）映射。相当于二次函数迭代由f(x)所实现的映射称为逻辑斯蒂13第五章-混沌与分形模型初步汇总课件14当时，参数变化时，长时间xn演化的形态可以有好多种。时，xn0时，xn周期2，即在两个值上跳动xn周期4，即在四个值上来回跳动

3.57=

xn混沌吸引子当时，参数变化时，长时间时，xn155.1.3混沌的其它例子滴水水龙头5.1.3混沌的其它例子滴水水龙头16混沌的特征1、对初始条件的敏感依赖性。3、混沌的内部存在着超载的有序。2、极为有限的可预测性。混沌的特征1、对初始条件的敏感依赖性。3、混沌的内部175.1.4混沌判断---李雅普诺夫指数稳定5.1.4混沌判断---李雅普诺夫指数稳定18几种混沌图片（1）几种混沌图片（1）19几种混沌图片（2）几种混沌图片（2）20几种混沌图片（3）几种混沌图片（3）21几种混沌图片（4）几种混沌图片（4）225.2分形（fractal）现象与分形维数(Mandelprot)曾说过：“浮云不呈球形，山峰不呈锥体，海岸线不是圆圈，树干不是光溜溜的，闪电永不会沿直线行进”

"Cloudsarenotspheres,mountainsarenotcones,coastlinesarenotcircles,andbarkisnotsmooth,nordoeslightningtravelinastraightline."5.2分形（fractal）现象与分形维数(Mandel23HowlongisthecoastofBritain?(Science,1967)Thetrueansweris:itdepends!Itdependsonthescaleatwhichyoumeasureit.BenoîtMandelbrot122869定义：部分以某种形式与整体相似的形状叫做分形。特点：自相似性；无标度。英国的海岸线有多长？HowlongisthecoastofBrita245.2.1自然界分形现象的几个实例1.菜花形状的特征5.2.1自然界分形现象的几个实例1.菜花形状的特征252.Cantor集合Cantor集合中点数不可数（比有理数还多！），但其区间长度为零！2.Cantor集合Cantor集合中点数不可263.Weierstrass函数其中1<s<2

且，W(x)是处处连续、处处不可微的函数。对应s=1.4,

的图象是3.Weierstrass函数其中1<s<2且274.VanKoch雪花曲线4.VanKoch雪花曲线285.（两种不同的雪花结晶照片，由于晶体结晶的起始位置（晶种）具有一定的随机性，和规则的分形结构相比这两个雪花有些“瑕疵”。）5.（两种不同的雪花结晶照片，由于晶体结晶的29大自然的不规则性：树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不规则的。晶体的生长，分子的运动轨迹等也是不规则的。如何用几何来描述它？B.Mandelbrot观察到英国海岸线与VanKoch曲线的关系，提出了一门描述大自然的几何形态的学科---分形(Fractal)

大自然的不规则性：305.2.2随机分形的几个例子二维土壤切片的数字化图像，白色代表孔隙,黑色代表土壤。5.2.2随机分形的几个例子二维土壤切片的数字化图像，31（二维逾渗模型(percolation)相应的每个格点被孔隙占有的概率为p=0.63，黑色代表孔隙,白色代表土壤）（二维逾渗模型(percolation)相应的每个格点被孔隙32（计算机38000步模拟之后生成的DLA（DiffusionLimitAggregation）结构）（计算机38000步模拟之后生成的DLA（Diffusio33分形的特性1、具有无限精细的结构2、局部与整体的相似性3、具有非拓扑维数，并且它大于对应的 拓扑维数4、具有随机性5、在大多数情况下，分形可以用非常简单的方法确定，可能由迭代产生。分形的特性345.2.3分形与分形维数的定义分形的维数1、相似维数：设分形F是自相似的，即F由m个子集构成，每个子集放大c倍后同F一样，则定义F的维数为

对于Cantor集，对于VanKoch雪花曲线，5.2.3分形与分形维数的定义分形的维数对于Canto35例如，Cantor集的生成元是VanKoch雪花曲线的生成元是其它实例例如，Cantor集的生成元是其它实例362、Minkowski“香肠”2、Minkowski“香肠”373、Sierpinski地毯3、Sierpinski地毯384、龙曲线4、龙曲线395.3L系统简介5.3L系统简介40F表示向前走一定距离B表示分枝

+表示分枝逆时针转一个角度-表示分枝顺时针转一个角度表示分枝转的角度[表示分枝开始]表示分枝结束并回到分枝点F表示向前走一定距离B表示分枝+表示分枝逆时针转一个角41第五章-混沌与分形模型初步汇总课件42第五章-混沌与分形模型初步汇总课件43第五章-混沌与分形模型初步汇总课件44第五章-混沌与分形模型初步汇总课件45第五章-混沌与分形模型初步汇总课件46第五章-混沌与分形模型初步汇总课件47第五章-混沌与分形模型初步汇总课件48第二部分

基于过程的动力学模型与应用

第五章混沌与分形模型初步第二部分

基于过程的动力学模型与应用第五章495.1动力学系统与混沌5.1.1混沌(chaos)的发现――洛仑兹关于大气对流的模型图5.2洛仑兹方程在相平面的投影轨迹5.1动力学系统与混沌5.1.1混沌(chaos)的发现―50洛仑兹Lorenz方程式中x、y和z分别与对流强弱、对流引起的水平温差和垂直温差有关的变量，、r和b分别与流体力学中的普兰多数（Prandtl）、瑞利数和区域大小有关的参量。变量上面的“”表示该变量对时间t的一阶导数。洛仑兹Lorenz方程式中x、y和z分别与对流强弱、对51蝴蝶效应蝴蝶效应52

1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远扬了。

“蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。

从科学的角度来看，“蝴蝶效应”反映了混沌运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会53一则西方寓言：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；

马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。折了一匹战马，伤了一位骑士；输了一场战斗，亡了一个帝国。伤了一位骑士，输了一场战斗；一则西方寓言：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折54什么是混沌呢？

混沌学的任务就是寻求混沌现象的规律，加以处理和应用。60年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物理学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域，成为一门新兴学科。它的原意是指无序和混乱的状态（混沌译自英文Chaos）。这些表面上看起来无规律、不可预测的现象，实际上有它自己的规律。什么是混沌呢？混沌学的任务就是寻求混沌现象55混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性--不可重复、不可预测，这就是混沌现象。科学家给混沌下的定义是：混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机科学家给561）、对初始条件的敏感依赖性这是混沌系统的典型特征。初始条件的微小差别在最后的现象中产生极大的差别;或者说，起初小的误差引起灾难性后果。洛伦兹在他的玩具天气模型中发现了这一特性。在生活中，人们知道一串事件往往具有一个临界点，那里小小的变化会放大.然而混沌意味着这种临界点比比皆是。它们无孔不入，无时不在。在天气这样的系统中，对初始条件的敏感依赖性乃是各种大小尺度的运动互相纠缠所不能逃避的后果，因此，洛伦兹断言：长期预报注定要失败。信息从小尺度传向大尺度，把初始的随机性放大。1）、对初始条件的敏感依赖性这是混沌系统的典型特征。初始条件572）、极为有限的可预测性当系统进入混沌过程后，系统或表现为整体的不可预言，或表现为局部的不可预言。混沌研究者们在自然界和社会中发现了大量混沌现象，如湍流中的旋涡，闪电的分支路径，流行病的消胀、股市的升降、心脏的纤颤、精神病行为、城镇空间分布及规模与数量等级等等。信息论认为，信息是对事物不确定性的一种量度。信息量大，消除不确定性的程度就大。我们拥有的关于某物的信息越多，对该事物的预测就会更准确。但是，当系统变得混沌以后，它成了一架产生信息的机器，成了连续的信息源，收集更多的信息变得毫无意义。2）、极为有限的可预测性当系统进入混沌过程后，583）、混沌的内部存在着超载的有序

混沌内部的有序是指混沌内部有结构，而且在不同层次上其结构具有相似性，即所谓的自相似性。混沌内部的有序还表现为不同系统之间跨尺度的相似性，即所谓普适性。费根鲍姆通过两种完全不同的反馈函数Xt+1=rXt(1-Xt)和Xt+1=rsinXt的迭代计算，即取一个数作输入，产生另一个数作输出，再将前次的输出作输入，如此反复迭代计算。当r值较小时，结果趋向一个定数，当r超过某值时，其轨迹出现分岔。。3）、混沌的内部存在着超载的有序混沌内部的有序是595.1.2生态系统中的振荡与混沌令xn和xn+1分别表示亲代和子代的种群数量。很容易看出，xn+1应与xn有关：子代数量xn+1与亲代数量xn的关系应为5.1.2生态系统中的振荡与混沌令xn和xn+160相当于二次函数迭代由f(x)所实现的映射称为逻辑斯蒂（logistic）映射。相当于二次函数迭代由f(x)所实现的映射称为逻辑斯蒂61第五章-混沌与分形模型初步汇总课件62当时，参数变化时，长时间xn演化的形态可以有好多种。时，xn0时，xn周期2，即在两个值上跳动xn周期4，即在四个值上来回跳动

3.57=

xn混沌吸引子当时，参数变化时，长时间时，xn635.1.3混沌的其它例子滴水水龙头5.1.3混沌的其它例子滴水水龙头64混沌的特征1、对初始条件的敏感依赖性。3、混沌的内部存在着超载的有序。2、极为有限的可预测性。混沌的特征1、对初始条件的敏感依赖性。3、混沌的内部655.1.4混沌判断---李雅普诺夫指数稳定5.1.4混沌判断---李雅普诺夫指数稳定66几种混沌图片（1）几种混沌图片（1）67几种混沌图片（2）几种混沌图片（2）68几种混沌图片（3）几种混沌图片（3）69几种混沌图片（4）几种混沌图片（4）705.2分形（fractal）现象与分形维数(Mandelprot)曾说过：“浮云不呈球形，山峰不呈锥体，海岸线不是圆圈，树干不是光溜溜的，闪电永不会沿直线行进”

"Cloudsarenotspheres,mountainsarenotcones,coastlinesarenotcircles,andbarkisnotsmooth,nordoeslightningtravelinastraightline."5.2分形（fractal）现象与分形维数(Mandel71HowlongisthecoastofBritain?(Science,1967)Thetrueansweris:itdepends!Itdependsonthescaleatwhichyoumeasureit.BenoîtMandelbrot122869定义：部分以某种形式与整体相似的形状叫做分形。特点：自相似性；无标度。英国的海岸线有多长？HowlongisthecoastofBrita725.2.1自然界分形现象的几个实例1.菜花形状的特征5.2.1自然界分形现象的几个实例1.菜花形状的特征732.Cantor集合Cantor集合中点数不可数（比有理数还多！），但其区间长度为零！2.Cantor集合Cantor集合中点数不可743.Weierstrass函数其中1<s<2

且，W(x)是处处连续、处处不可微的函数。对应s=1.4,

的图象是3.Weierstrass函数其中1<s<2且754.VanKoch雪花曲线4.VanKoch雪花曲线765.（两种不同的雪花结晶照片，由于晶体结晶的起始位置（晶种）具有一定的随机性，和规则的分形结构相比这两个雪花有些“瑕疵”。）5.（两种不同的雪花结晶照片，由于晶体结晶的77大自然的不规则性：树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不规则的。晶体的生长，分子的运动轨迹等也是不规则的。如何用几何来描述它？B.Mandelbrot观察到英国海岸线与VanKoch曲线的关系，提出了一门描述大自然的几何形态的学科---分形(Fractal)

大自然的不规则性：785.2.2随机分形的几个例子二维土壤切片的数字化