机械运转及其速度波动的调节

8机械的运转及其速度波动的调节8.1概述8.2机械运动的微分方程及其解8.3稳定运转状态下机械的周期性速度波动及其调节Chapter8MotionofMechanicalSystemsandItsVelocityFluctuationRegulation提要研究机械在外力作用下的真实运动规律的分析与求解方法；提出了等效构件、等效质量与等效转动惯量的概念以及等效力与等效力矩的概念；研究了周期性速度波动的机械的速度波动的调节方法。Chapter8MotionofMechanicalSystemsandItsVelocityFluctuationRegulation8.1概述机械在工作时，其上作用有驱动力（矩）、工作阻力（矩）、重力、惯性力（矩）和摩擦力（矩），其中，驱动力矩（电机）常常是速度的函数，工作阻力常常是位移的函数。在它们的共同作用下，机器的速度常常是变化的，在构件之间的相互作用力中，惯性力分量有时超过或远远超过由负载引起的分量。机械的运转及其速度波动的调节研究如何调节机器的速度大小以及使惯性力对机器的影响达到理想状态或较为理想状态。8.2机械运动的微分方程及其解对于单自由度机器，机械动力学将整个机器的动能视与一个假想构件的动能相等，将机器上全部外力（不包括重力）所做的功率视与一个假象构件上具有的功率相同，该假想构件称为等效构件。等效构件的运动规律与机器中某一个构件的运动规律相同。依据这一原理，将对机器的运动微分方程组（3n个）的求解问题转化为一个运动微分方程的求解问题，从而大大简化了求解过程。该运动微分方程为二阶变系数非齐次微分方程。研究机器在已知力作用下的运动时，作用在机器某一构件上的假想F或M代替作用在机器上所有已知外力和力矩。代替条件：机器的运动不变，即：假想力F或力矩M所作的功或所产生的功率等于所有被代替的力和力矩所作的功或所产生的功率之和。假想力F——等效力假想力矩M——等效力矩等效力或等效力矩作用的构件——等效构件等效力作用的点——等效点通常，选择根据其位置便于进行机器运动分析的构件为等效构件。(a)机械的逻辑构成与动力学分析方法干扰二阶变系数非齐次微分方程N个构件n=N－1个可动构件n=N－1个可动质量n=N－1个转动惯量作用有n个阻力矩Mri(含有零阻力矩)作用有n个阻力Fri(含有零阻力)转化为能量输入ωMd能量输出MrtF＝1等效转动构件或等效移动构件此处略去不计图8.2F01机械的逻辑构成与动力学分析方法转化为xy(b)

等效转动构件的动能E与等效转动惯量Je机械的动能E为等效转动构件的动能E为令机械的动能E等于等效转动构件的动能E，得等效转动惯量Je1为φ1Je1(φ1)xy机械ω1图8.2F02等效转动构件Me1(c)

等效转动构件的功率N与等效力矩Me机械的功率为等效转动构件的功率为令机械的功率等于等效转动构件的功率，得等效力矩Me1为φ1Je1(φ1)xy机械ω1图8.2F02等效转动构件Me1(d)

机械运动微分方程由能量守恒原理，即外力对机械所做的功dW等于机械动能的增量dE得分离变量得动能关于时间的导数形式为dE

＝dWφ1Je1(φ1)xyω1图8.2F03等效转动构件的动力学Me1(φ1,ω1,t)(d)

机械运动微分方程(2)Je1为常数时的刚体绕定轴转动的微分方程φ1Je1(φ1)xyω1图8.2F03等效转动构件的动力学Me1(φ1,ω1,t)φ1Je1Me1(φ1,ω1,t)xy图8.2F04Je1为常数时的等效转动构件的动力学1.机构的的运动动分析析下面以以三相异异步电电动机机－曲柄滑滑块机机构－常负载载为例，，介绍绍单自自由度度曲柄滑滑块机机构的动力力学分分析方方法。。φ1Je1(φ1)Me1(φ1,ω1,t)xyAω1(b)φ1Je1(φ1)Me1(φ1,ω1,t)xyAω1飞轮(c)图8－1曲柄滑滑块机机构的的动力力学模模型134B2CeAω1φ2Md1C2Frφ1(a)S(d)(1)三相异异步电电动机机的的机械械特征征曲线线图8.2F05三相异异步电电动机的的机械械特征征曲线线图8.2F06负载的的一般机械械特征征曲线线MrSφT1φT2O(2)负载的的一般般机械特征征曲线线Mdn1On(3)三相异异步电电动机机的机机械特特征式中Me

－电动机的额定转矩，Me

＝9.55×106P/n

，P

的单位为KW，n的单位为r／min，Me

的单位为Nmm；λm－电动机的转矩过载倍数，由电动机的名牌上查得；

s－电动机的转子转速n

相对于定子中磁场转速

n1

的转差率，

s＝(n1－n)／n1；

sm－临界转差率；

se

－额定转差率，se＝（n1－ne）／n1；

ne－电动机转子的额定转速。(4)曲柄滑滑块机机构的的位移移方程程及其其位移移解图8－1曲柄滑滑块机机构的的动力力学模模型134B2CeAω1φ2Md1C2Frφ1(a)S(5)连杆的的角速速度与与曲柄柄角速速度的的比值值为图8－1曲柄滑滑块机机构的的动力力学模模型对位置置方程程求一一阶导导数得得速度度方程程及其其解134B2CeAω1φ2Md1C2Frφ1(a)S(6)连杆杆质质心心的的位位移移与与速速度度分分别别为为图8－1曲柄柄滑滑块块机机构构的的动动力力学学模模型型134B2CeAω1φ2Md1C2Frφ1(a)S8888(7)连杆杆质质心心的的水水平平速速度度与与曲曲柄柄角角速速度度之之比比为为图8－1曲柄柄滑滑块块机机构构的的动动力力学学模模型型134B2CeAω1φ2Md1C2Frφ1(a)S8(8)连杆杆质质心心的的垂垂直直速速度度与与曲曲柄柄角角速速度度之之比比为为图8－1曲柄柄滑滑块块机机构构的的动动力力学学模模型型134B2CeAω1φ2Md1C2Frφ1(a)S8(9)滑块块的的速速度度与与速速比比分分别别为为由以以上上公公式式得得知知，，各构构件件的的速比比与构构件件真真实实速速度度的的大大小小无无关关。。图8－1曲柄柄滑滑块块机机构构的的动动力力学学模模型型134B2CeAω1φ2Md1C2Frφ1(a)S88(10)曲柄柄滑滑块块机机构构动动能能的的表表达达式式将动动能能E表达达为为ω1与机机构构位位置置的的函函数数图8－1曲柄柄滑滑块块机机构构的的动动力力学学模模型型134B2CeAω1φ2Md1C2Frφ1(a)S(11)等效效转转动动惯惯量量Je1表达达式式的的建建立立令两两种种概概念念所所表表示示的的动动能能E相等等，，得得等等效效转转动动惯惯量量Je1的表表达达式式、、等等效效动动力力学学模模型型分分别别为为将动动能能E表达达为为φ1Je1(φ1)Me1(φ1,ω1,t)xyAω1(b)图8－1曲柄柄滑滑块块机机构构的的动动力力学学模模型型8(12)曲柄柄滑滑块块机机构构上上功功的的表表达达式式与与等等效效力力矩矩由外外力力对对曲柄柄滑滑块块机机构构所所做做的的功功等等于于等效效力力矩矩对等等效效转转动动构构件件所所的的功功，，得得等效效力力矩矩为(13)外力力的的功功dW等于于机机构构动动能能的的变变化化量量dE由此此得单单自自由由度度机机械械力力矩矩形形式式的的运动动微微分分方方程程为φ1Je1(φ1)Me1(φ1,ω1,t)xyAω1(b)图8－1曲柄柄滑滑块块机机构构的的动动力力学学模模型型(14)力矩矩形形式式的的运运动动微微分分方方程程与与角角速速度度的的数数值值方方法法求求解解将上上式式化化简简得得力矩矩形形式式的的运运动动微微分分方方程程为(15)飞轮轮转转动动惯惯量量JF的表表达达式式φ1Je1(φ1)Me1(φ1,ω1,t)xyAω1飞轮(c)图8－1曲柄柄滑滑块块机机构构的的动动力力学学模模型型134B2CeAω1φ2Md1C2Frφ1(a)S机械械系系统统的等等效效动动力力学学模模型型对于于单自自由由度度的的机机械械，描描述述它它的的运运动动规规律律只只需需一一个个独独立立广广义义坐标标。。因因此此在在研研究究机机械械在外外力力作作用用下下的的运运动动规规律律时，，只只需需确确定定出出该坐坐标标随随时时间间变变化化的的规规律律即即可可。。为了了求求得得简简单单易易解解的的机机械械运运动动方方程程式式，，对对于于单单自自由由度度机机械械系统统可可以以先将将其其简简化化为为一一等等效效动动力力学学模模型型，，然然后后再再据据此此列列出出其其运运动方方程程式式。机械械的运运动动方方程程式式（1）等等效效动动力力学学模模型型的的概概念念：：结论论：：对于于一一个个单单自自由由度度机机械械系系统统的的运运动动的的研研究究，，可可简简化化为为对对其其一一个个等等效效转转动动构构件件或或等等效效移移动动构构件件的的运运动动的的研研究究。。等效效转转动动惯惯量量（或或等效效质质量量）是是等等效效构构件件具具有有的的假假想想的的转转动动惯量量（（或或质质量量）），，且且使使等等效效构构件件所所具具有有的的动动能能应应等等于于原原机机械械系系统统中所所有有运运动动构构件件的的动动能能之之和和。。等效效力力矩矩（或或等效效力力）是是作作用用在在等等效效构构件件上上的的一一个个假假想想力力矩矩（或或假假想想力力）），，其其瞬瞬时时功功率率应应等等于于作作用用在在原原机机械械系系统统各各构构件件上上的的所有有外外力力在在同同一一瞬瞬时时的的功功率率之之和和。。我们们把把具具有有等效效转转动动惯惯量量（（或或等等效效质质量量）），，其其上上作作用用等等效效力矩矩（（或或等等效效力力））的等效效构构件件称为为原原机机械械系系统统的的等效效动动力力学学模模型。（2）等等效效动动力力学学模模型型的的建建立立首先先，，可可选取取机械械中中待待求求速速度度的的转转动动或或移移动动构构件件为为等效效构构件件，并以以其其位位置置参参数数为为广广义义坐坐标标。其次次，，确确定定系系统统广广义义构构件件的的等等效效转转动动惯惯量量Je或等等效效质质量量me和等效力矩Me或等效力Fe。其中Je或me的大小是根据据等效构件与与原机械系统动能相等的条条件来确定；而Me或Fe的大小则是根根据等效构件与原机机械系统的瞬时功率相等等的条件来确定。Je＝∑[mi(vSi/ω)2＋JSi(ωi/ω)2]Me＝∑[Ficosαi(vi/ω)±Mi(ωi/ω)]me＝∑[mi(vSi/v)2＋JSi(ωi/v)2]Fe＝∑[Ficosαi(vi/v)±Mi(ωi/v)]等效转动惯量量（等效质量量）和等效力力矩（等效力力）的一般计算公式表达达如下：当取转动构件件为等效构件件时，则当取移动构件件为等效构件件时，8.3稳定运转状态态下机械的周周期期性速度波动动及其调节由于等效力矩矩Me1＝Med＋Mer常常表现为机机构的位置与与速度的函数数，等效转动动惯量Je一般表现为机机构位置的函函数，Me1与Je或者没有周期期性，或者具具有不同的周周期，所以，，机构中与等等效构件具有有相同运动规规律的那一个个构件，其速速度一般不为为常数。Med与－Mer的一般变化情情况如图8－2a所示。1.周期性速度波波动产生的原原因由图8－2a可见，当Med＞－Mer时，外力对机机器做正功，，称为盈功，，机器的速度度增加；当Med＜－Mer时，外力对机机器做负功，，称为亏功，，机器的速度度减小。若机机器的速度变变化为周期性性的，其周期期为φT，则Med与Mer在一个周期内内所做功的大大小相等，符符号相反，即即Wd=Wr图8－2动力学曲线关关系图Med－Mer－－＋＋＋abcdefφTMerMed(a)φ1abcdef△Emax△Emin(b)△Eφ1abcdefωmax△W(c)ωminφ1，，如果一个周期期内角速度的的变化如图8－3所示，其最大大、最小角速速度分别为ωmax和ωmin，则一个周期期内角速度的的平均值ωm应为2.周期性速度波波动程度的衡衡量指标ωmωmaxωminOω图8－3角速度关系图φ1φT实际应用中，，角速度的平平均值ωm取如下简单的的形式（2）周期性速度度波动程度的的描述机械速度的高高低，工程上通常用用机械的平均角速度ωm（即算术平均值）来表表示。即ωm＝（ωmax＋ωmin）/2对于不同的机机械，δ的要求不同，，机械速度波动动的程度，则则通常用机械运转速度度不均匀系数数δ来表示，其定义为角速速度波动的幅幅度与平均值值之比，即δ＝（ωmax－ωmin）/ωmωφOφTωminωmax故规定有许用值[δ](表7-2)。造纸织布1/40～1/50纺纱机1/60～1/100发电机1/100～1/300机械名称

[δ]机械名称

[δ]机械名称

[δ]碎石机1/5～1/20汽车拖拉机1/20～1/60冲床、剪床1/7～1/10切削机床1/30～1/40轧压机1/10～1/20水泵、风机1/30～1/50机械速度波动动不均匀系数数δ的许用值3.周期性速度波波动的调节原原理由式(8－28)得外力对机械械所做功的微微元增量dW与机械动能的的变化量dE之间的关系为为将功的微分增增量dW改为增量△W，机械动能的的微分增量dE改为增量△E，当△W达到最大值△Wmax时,△E近似达到最大大值△Emax(由于等效转动动惯量Je为变数)。为此，将式式(8－40)积分得设动能最大时时，ω1=ω1max；动能最小时时，ω1=ω1min，如图8－2b、c所示。为了调调节速度波动动的大小，可可以在机械上上安装一个飞飞轮，其转动惯量为JF，其几何结构构为由轮毂、、轮辐与轮缘缘三部分组成成。设△Wmax已经求出，Je取机械的等效效转动惯量在在一个周期内内的平均值，，则由式(8－41)得abcdef△Emax△Emin(b)△Eφ1abcdefωmax△W(c)ωminφ1等效构件的运运转速度不均匀匀系数由上式求出机机械速度波动动δ的大小为由式(8－44)可见：1)JF与[δ]成反比，当[δ]较小时，飞轮轮的转动惯量量JF将很大，这是是不很合适的的，因此，[δ]不应选得太小小。2)JF与ω21m成反比，为了了减小JF，飞轮应安装装在机器中速速度较高的轴轴上。3)JF与△Wmax成正比，为了了减小JF，应使作用在在机械上的外外力的变化量量不至于过大大。若要求δ≤[δ]，则由式(8-43)得飞轮的转动动惯量JF的设计式为飞轮设计一、Med与Mer均为等效构件件角位移的函函数则系统的最大盈亏功为工作行程开始始时，飞轮达达到最大的角角速度；结束束时，飞轮达达到最小的角角速度。工作作行程飞轮所所释放的能量量应等于系统统的最大盈亏亏功，即故飞轮的转动惯量为为使，必须

当Wn

与一定时，若增大JF

，将减小，可降低机械的速度波动程度。若取值很小，则JF

将很大。有限的JF

，不可能使。故不应过分追求机械运转速度的均匀性，否则会导致飞轮过于笨重。当Wn与一定时，JF与的平方成反比。因此，为减小飞轮的转动惯量，最好将飞轮安装在机械的高速轴上。Wn的求解a)确定与出现的位置(与两曲线的交点处)。若、以的函数表达式的形式给出，则可由直接积分求得各交点处的。若、均以线图或数值表格的形式给出，则可通过计算与之间所包含的各块面积来计算各交点处的盈亏功。b)找到、及其所在位置后，即可求得。Wn的求解任取一点为起起点，按一定定的比例用矢矢量依次表示示相应位置处处Med与Mer之间所包含的的各块面积。。盈功为正，，箭头向上；；亏功为负，，箭头向下。。一个周期始始末位置的动动能相等，能能量指示图的的首尾应在同同一水平线上上。显然，系系统在b点动能最小，，而在c点动能最大；；图中折线最最高、最低点点的距离Amax所代表的盈亏亏功即为Wn。能量指示图Mer二、Med为的函数，Mer为的函数

此类机械的往往较大，安装飞轮主要是为了解决机械的高峰负荷问题。可按或T内所消耗的平均功率来选择电动机。近似认为，则若忽略Med随等效构件角角速度的变化化，则则系统的最大盈亏功为工作行程开始始时，飞轮达达到最大的角角速度；结束束时，飞轮达达到最小的角角速度。工作作行程飞轮所所释放的能量量应等于系统统的最大盈亏亏功，即故飞轮的转动惯量为为使，必须设曲柄的nm=120r/min，机器的[δ]=0.06，试求安装在在曲轴上的JF。例1：图为某内燃机机曲轴上的等等效驱动力矩矩和等效阻抗抗力矩，在一一个工作循环环的变化曲线线。解:M(Nm)fMVdMVrabcdefgh-50-100+125-500+25-50+55001.用能量指示图图求ΔWmax由能量指示图图:ΔWmax=ΔWeb=ΔWcb+ΔWdc+ΔWed=550+(-100)+125=575(Nm)ab-50c+550-100d+125e-500f+25ghDWmax-50JF

=900DWmax

[d]p2nm2900×575=0.06×p2×1202=60.159453(kgm2)≈60.5(kgm2)2.安装在曲轴上上的JF为：如果因某种原因，转化件轴上无法安装质量较大的飞轮，只能装在第i构件的轴上，其飞轮的转动惯量大小还仍为计算所得的JF吗？不是。应按机机械动能不变变的原则进行行换算。假设设安装在第i构件轴上的飞飞轮转动惯量量为JFi，i构件的角速度度为wi，则由此得讨论例2：图a)所示机构中，，i12=2，作用在齿轮轮2上的阻力矩M“2()变化规律如图图b)所示，作用在在齿轮1上的驱动力矩矩M‘1为常数，n2=100rpm，齿轮2的等效转动惯惯量J2=20kgm2，Me与Je的公共周期为为2π，齿轮1的转动惯量忽忽略不计，试试求：1、若[]=0.03，求安装在O2轴上的飞轮转转动惯量JF2；2、若将飞轮装装在O1轴上，则其转转动惯量JF1应为多少？解：1.求作用于轮2上的等效驱动动力矩M2'2.求Wmax3.求JF2J2=20kgm24.求JF10abcd-Ea0-50π-50π-100π0利用它的储能能作用，在选选用较小功率率原动机的情情况下，能帮助克服很很大的尖峰工工作载荷。2）飞轮的主要应应用利用飞轮的储能作用来来进行调速。。用作能量存储储器来提供动动力。如惯性玩具小小汽车。如锻压机械。。利用它的储能能作用实现节节能。如汽车上的一一种飞轮制动器。用作太阳能发发电装置的能能量平衡器。。习题及参考解解答Md·φT＝Mr1·φ11＋Mr2·φ12Md＝（Mr1·φ11＋Mr2·φ12）/φT＝（60××450+10××3150）/3600＝16.25NmW1＝(Md－Mr1)φ11＝（16.25－60）π/4＝－34.36Nm题1，Mr1＝60Nm，φ11＝π／4；Mr2＝10Nm，φ12＝7π／4，n1＝100r／min，[δ]＝0.05，求JF1.计算驱驱动力力矩Mdφ11φ12Mr2Mr1Mrφ1MdφT16题图1－5W1W2题2.最大盈盈亏功功△Wmax的计算算W2＝(Md－Mr2)φ12＝（16.25－10）7π/4＝34.36Nm对功进进行累累加：：W=0，W1，(W1＋W2)=0，－－34.36，0最大盈盈亏功功为△Wmax=0－(－34.36)=34.36Nm2.飞轮转转动惯惯量的的计算算φ11φ12Mr2Mr1Mrφ1MdφT16题图1－5W1W2题1－3图580-520-390-190390190260-320TφMOMd(φ)已知μM＝100Nm/mm，μφ＝0.01rad/mm，曲柄柄的转转速n1＝120r/min，许用用不均均匀系系数[δ]＝0.03，求发发动机机曲柄柄上应应安装装的飞飞轮转转动惯惯量JF。已知多多缸发发动机机曲柄柄输出出的力力矩，，即即Med(φ)在一个个周期期中的的变化化，设设Mer(φ)近似为为一常常数，，Med(φ)与Mer(φ)相围的的每一一个小小区间间的面面积也也已知知。题3：2.最大盈盈亏功功△Wmax为580-520-390-190390190260-320φMOMd(φ)580260650130320-7019003.飞轮的的转动动惯量量JF为△Wmax＝650－(－70)＝720Nm1.将力矩矩对转转角积积分得得功的的分段段数值值如下下图所所示题1－3图的数数值积积分1.非周期期性速速度波波动产产生的的原因因二、非非周期期性速速度波波动及