数学-课程导学第六章第五节

第五节

合情推理与演绎推理1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．要点梳理·基础落实考纲点击一、合情推理知识扫描归纳推理类比推理定义由某类事物的________具有某些特征，推出该类事物的_________都具有这些特征的推理，或者由___________概括出______原理的推理由两类对象具有_______________和其中一类对象的____________，推出另一类对象也具有这些特征的推理部分对象全部对象个别事实一般某些类似特征某些已知特征特点由______到_____，由______到______的推理由____到_____的推理一般步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)部分整体个别一般特殊特殊二、演绎推理定义从______________出发，推出_______________的结论特点由_______到_______的推理模式三段论：①大前提——已知的__________；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对________做出的判断.一般性的原理某个特殊情况下一般特殊一般原理特殊情况[辨析]在演绎推理中，只要符合三段论的推理形式，得到的结论都是正确的吗？提示如果大前提、小前提与推理形式是正确的，结论就是正确的，如果大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，所得的结论也是错误的．1．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误解析由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．答案C小题热身2．给出下列三个类比结论．①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是A．0

B．1

C．2

D．3解析只有③正确．答案B3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．5．观察下列等式：1＝1

13＝11＋2＝313＋23＝91＋2＋3＝613＋23＋33＝361＋2＋3＋4＝1013＋23＋33＋43＝1001＋2＋3＋4＋5＝1513＋23＋33＋43＋53＝225……可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝________．(n∈N＋，用含有n的代数式表示)(1)(2014·陕西)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．考点突破·规律总结考点一归纳推理多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812例1【解析】

由题中所给的三组数据，可得5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，由此可以猜想出一般凸多面体的顶点数V、面数F及棱数E所满足的等式是

F＋V－E＝2.【答案】

F＋V－E＝2[规律方法]

归纳推理的步骤与技巧(1)归纳推理的一般步骤①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．(2)归纳推理是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明，一般地，考察的个体越多，归纳的结论可靠性越大．因此在进行归纳推理时，当规律不明显时，要尽可能多地分析特殊情况，由此发现其中的规律，从而获得一般结论．◎变式训练考点二类比推理例2【答案】

ch(x－y)＝chxchy＋shxshy[规律方法]

类比推理的特点与技巧(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其命题有其特点和求解规律，可以从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比结构．(2)类比推理的一般步骤①找出两类事物之间的相似性或一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．解析因为(2πr4)′＝8πr3，所以猜想W＝2πr4.答案2πr4◎变式训练考点三演绎推理例3[规律方法]

演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．◎变式训练(2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)，∴f(x)＋f(1－x)＝－1，∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1，∴f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.创新设计·素能培优[解题模型构建]

6.归纳推理的解题步骤及模板

给出由整数排列的数表，观察其规律，则第8行第3列处的数是________.典例12345－55－5－4－125666671217222369207621…………【审题】

①信息搜集：表中的第1行，第3行，第5行分别成等差数列；第2行，第4行，第6行分别成等比数列，并且每一行的末位数比下一行的首位数小1.②信息处理：利用等差数列，等比数列的通项公式求解．【解析】

数表的奇数行是公差分别为1，3，5…的等差数列，偶数行分别是公比分别为－1，1，3…的等比数列，下一行首位比上一行末位数大1，通过归纳，第7行公差为7，第8行公比为5，由等差数列、等比数列的通项公式，计算得第7行末位数是622＋3×7＝643，第8行首位数为644，所以第8行第3列处的数是644×52＝16100.【答案】

16100已知函数f1(x)＝x2e－x，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f51(x)＝________．解析f1(x)＝x2e－x，f2(x)＝f1′(x)＝2xe－x－x2e－x，f3(x)＝f2′(x)＝2e－x－4xe－x＋x2e－x，f4(x)＝f3′(x)＝－2e－x－4(e－x－xe－x)＋2xe－x－x2e－x＝－6e－x＋6xe－x－x2e－x，f5(x)＝f4′(x)＝6e－x＋6(e－x－xe－x)－2xe－x＋x2e－x＝12e－x－8xe－x＋x2e－x，…，综上，fn＋1(x)的函数式含有3项．由上述计算过程与函数解析式结果，归纳fn＋1(x)＝(－1)nan＋1e－x＋(－1)n＋1bn＋1xe－x＋(－1)nx2e－x(n∈N*)，模板应用a1＝0，b1＝0；a2＝0，b2＝2；a3＝2，b3＝4；a4＝6，b4＝6；a5＝12，b5＝8；….所以bn＝2(n－1)，an＋1＝an＋bn.于是an＋1－an＝2n－2，an－an－1＝2n－4，…，a3－a2＝2，a2－a1＝0，a1＝0，将上式累加得an＋1＝(2n－2)＋(2n－4)＋…＋2＋0＋0＝n(n－1)．所以fn＋1(x