2021-2022学年江西高二（上）月考数学试卷（文科）（10月份）（附答案详解）

2021-2022学年江西科技附中高二（上）月考数学试卷（文科）（10月份）1.过点（5,2）且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（）A.2%4-y—12=0 B.2%+y—12=0或2%—5y=0C.x—2y—1=0 D.x—2y—1=。或2%—5y=0.双曲线C：1过点（女,遮），且离心率为2,则该双曲线的标准方程为（）A.x2-^=1B.--y2=1C.M-迎=1D.巫-y2=i.直线X+y=1与圆/+y2=1的位置关系是（）A.相离 B.相切C,相交且直线经过圆心D.相交但直线不经过圆心.已知圆C：x2+y2=4,直线/：y=x+m,/截得圆C弦长为2近，则m=（）A.±2 B.+>/2 C.±V3 D.±V5.某颜料公司生产A、8两种产品，其中生产每吨A产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨；生产每吨B产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨,且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨、200吨.如果A产品的利润为300元/吨，8产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天内可获得的最大利润为（）A.1400A.140007EB.16000元C.180007UD.20000元6.在平面直角坐标系中，动圆C6.在平面直角坐标系中，动圆C：(x—I)2+(y—I)2=N与直线y+1=m(x—2）（meR）相切，则面积最大的圆的标准方程为（）A.A.(x-I)2+(y-1)2=4C.(x—l)2+(y—l)2=6B.(x-1)2+(y-1)2=5D.(x—l)2+(y—l)2=87.8.A.2B7.8.A.2B.2V3D.V3已知椭圆C：5+'=l（a>b>0）的左、右焦点分别为&、尸2,离心率为?，过户2的直线/交C于A、B两点,若AAFiB的周长为46，则C的方程为（）A.3=l B.%2=iC.3=l D."=l3 2 3 / 12 8 12 4已知点后、F?分别是双曲线C：a―左=1的两个焦点，过&且垂直于x轴的直线与双曲线C交于A、B两点,若A4BF2为等边三角形，则该双曲线的离心率e=（）标的取值范围是（）标的取值范围是（）A.（-■）9.椭圆?+?=1的焦点F1，尸2,点P为其上的动点，当4&PF2为钝角时，点尸横坐9.B.（—言，怜 c.（一手，言） D.（-W，W）10.已知双曲线圣一3=l(a>0,b>)的左、右焦点分别为Fl、尸2,过F1作圆/+y2=的切线，交双曲线右支于点何，若NFiMF2=60。，则双曲线的渐近线方程为()A.y=+(3+V3)x B.y=C.y=±2x D.y=±(1+V3)x.已知椭圆和双曲线有相同的焦点Fi，F2,它们的离心率分别为e「e2,尸是它们的一个公共点，且4F1PF2=g.若e[e2=VI,则e2=()TOC\o"1-5"\h\zAn+i b通+在 cC+O de+2・ 2 * 2 , 2 * 2.定长为6的线段AB两个端点在抛物线y2=4x上移动，记线段AB的中点为M,则M到y轴距离的最小值为()A.- B.V3 C.2 D.73+^2 2.两圆G：/+丫2=1和。2：(X-3)2+(y—4)2=16的公切线有条.(X<1.若实数x,y满足约束条件x+y20 ,则z=2x+y的最大值为 .(x-y+2>0.双曲线C：y2-y=1,设双曲线会卷=1(。>0,匕>0)经过点(4,1),且与C具有相同渐近线，则C的方程为..抛物线/=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线?一?=1相交于两点，若AABF为等边三角形,PJlJp=..在直角坐标系xOy中，圆C的方程为产+(y—2)2=4,以。为极点，工轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线1的极坐标方程是2psin(8+7)=56，射线OM：8=与圆C的交点为O,P，与直线/的交点为。，求线段PQ的长..已知圆C的方程为"+y2-4mx-2y+8m-7=0(mER).(1)试求机的值，使圆C的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆C相切，且过点(4,-3)的直线方程..在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线口的极坐标方程为pcos。=4.(助M为曲线Ci上的动点，点尸在线段OM上，且满足|0M|•|0P|=16,求点尸的轨迹的直角坐标方程；(团)设点A的极坐标为(2,；),点8在曲线上，求AOAB面积的最大值..已知椭圆G：W+《=l(a>b>0)的离心率为白，且过点(3,1).(1)求椭圆G的方程；(2)斜率为/的直线/与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为。(一3,2),求AP4B的面积..已知椭圆G的中心在原点，离心率为g,焦点在x轴上且长轴长为10.过双曲线C2：捺-《=l(a>01>0)的右焦点F2作垂直于x轴的直线交双曲线C2于M,N两点.(1)求椭圆G的标准方程：(2)若双曲线C2与椭圆Ci有公共的焦点，且以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,求双曲线的标准方程..已知抛物线的顶点是坐标原点O,焦点F在x轴的正半轴上，。是抛物线上的点,点Q到焦点F的距离为\,且到y轴的距离是O(1)求抛物线的标准方程；(2)假设直线/通过点M(3,l),与抛物线相交于A,B两点,且。AJ.OB,求直线/的方程.答案和解析.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查直线方程的方法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题.当直线过原点时，由斜截式求出直线的方程，当当直线不过原点时，设直线的方程为［+£=1,把点(5,2)代入解得％值，即可得到直线的方程，由此得出结论.【解答】解：当直线过原点时，再由直线过点(5,2),可得直线的斜率为短故直线的方程为y=|x,即2x—5y=0.当直线不过原点时，设直线在x轴上的截距为则在y轴上的截距是2匕直线的方程为声以把点(5,2)代入可得/捻=1,解得k=6.故直线的方程为2+2=1，S|J2x+y-12=0.故选B..【答案】A【解析】解：•.•双曲线C：圣一卷=1过点(或,次)，且离心率为2,侵-A】••・口.la2+b2=c2解得：a2=1,b2=3,,,2双曲线C的标准方程为：x2-^-=1..故选：A.过点P(2,3)且离心率为2,列出方程组，求解a、b,由此能求出双曲线C的标准方程.本题考查双曲线的标准方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线的简单性质的灵活运用..【答案】D【解析】解：r圆/+y2=i,.••圆心为(0,0),半径R=1,•••圆心到直线x+y=1的距离d=溪形=当＜1，即直线与圆相交,又•.•直线x+y=1不满足(0,0),即直线不经过圆心，

二直线x+y=1与圆/+y2=1的位置关系是相交但直线不经过圆心.故选：D.根据已知条件，求出圆心与半径，再结合点到直线的距离公式，即可求解.本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握点到直线的位置关系是解本题的关键，属于基础题..【答案】A【解析】解：由圆C：x2+y2=4.可得圆C(0,0),半径r=2,•“截得圆C弦长为2夜，.•.圆心到直线/的距离d=就X=瞿①，vd=Jr2—(苧)2=V4-2=夜②，二联立①②解得|m|=2,即m=+2.故选：A.根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解.本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握垂径定理，以及点到直线的距离公式是解本题的关键，属于基础题..【答案】A【解析】解：设生产A产品x吨，8产品y{X+y<504x£1602x4-5y<200x,yEN("eN) ।_[_利润z=300x+200y,可行域如图所示，由可得40,y=10,结合图形可得x=40,y=10时，zmax=14000.故选：A.列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，再利用利润z=300x+200y的几何意义求最值即可.本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用及一元一次不等式组的解法的运用,解答时找到题意中的不相等关系是建立不等式组的关键.6.【答案】B【解析】解：根据题意，直线y+1=m(x-2),恒过定点(2,—1),动圆C：(X—1)2+(y— =",其圆心为(1,1),半径为r,若圆的面积最大，即圆心到直线/的距离最大，且其最大值|CP|=V(1-2)2+(1+I)2=V5,即圆的面积最大时，圆的半径7"=遍，此时圆的方程为：(x-l)2+(y-l)2=5,故选：B.根据题意，分析直线y+1=m(x-2)经过的定点，分析圆的圆心到直线距离的最大值，即可得圆的面积最大时，圆的半径，由圆的标准方程即可得答案.本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，属于基础题..【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的定义与标准方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题.利用A4F1B的周长为4百，求出。=6，根据离心率为手，可得c=l,求出b,即可得出椭圆的方程.【解答】解：的周长为4百，且AAFiB的周长为|力&|+\AF2\+|BFJ+|BF2|=2a+2a=4a,:.4a=4>/3,••a=V3,・・离心率为g,•・2=¥，解得c=1,a3：•b=y/a2—c2=V2,椭圆C的方程为<+3 2故答案选：A..【答案】D【解析】解：可知&(-c,0),F2(c,0).则将x=-c代入双曲线C：马一4=1，可得闫一\=1，b2•••y=±—.

a•••过Fi且垂直于x轴的直线与双曲线C交于A、8两点，

2b2

a\AB\= a•••△ABF2为等边三角形，四「2|=2c,*一3乂空•LC——X,2a:.2ac=V3(c2—a2),V3e2—2e-V3=0,e=—日或百.ve>1,e=V3.故选n.根据题意，分别求出A8,6尸2的长，利用AaBF2为等边三角形，即可求出双曲线的离心率.本题重点考查双曲线的几何性质，考查等边三角形的性质，求离心率的关键是确定几何量之间的关系..【答案】C【解析】解：如图， 勺设P(x,y),则&(一倔0),F2(V5,0), 2JCrj,)且4aPF2是钝角aP母+P磴<IF/?『 x=(x+V5)2+y2+(x—V5)2+y2<20=>x2+5+y2<10x2=>X2+4(1-y)<5=>X2<g.所以一¥<X<誓.故选：C.设P(x,y),根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据N&PF2是钝角推断出PFf+P琦<&磴代入P坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围.本题主要考查了椭圆的简单性质和解不等式.属基础题..【答案】B【解析】解：设切点为N,连接ON,过F2作F2A1PN,垂足为4,由。N=a,且ON为AF/zA的中位线，则F2A=2a,F、N=y/c2-a2=b,故FM=2b,在Rt^MFzA中，因为4F1MF2=60°，所以时尸2=悬=善=竽。，3=加6=苧a,2由双曲线的定义可得，MFi-MFz=2a，所以M&=2q+竽Q,又MF】=FrA+AM=2b+苧Q,上214VlQ,,2V3^Tn*值b3+V3故2q+—a=2bd a,可得一=——,3 3 a3所以双曲线的渐近线方程为y=±^x=±^x.故选:B.设切点为N,连接ON,过尸2作FzALPN,垂足为4,利用中位线定理以及直角三角形的边角关系分别求出F",MF2，AM,再利用双曲线的定义求出M0,又MF1=FrA+AM,从而得到a和6之间的关系，即可求出双曲线的渐近线方程.本题考查了双曲线渐近线方程的求解，直线与圆位置关系的应用，双曲线定义的应用,考查了逻辑推理能力、转化化归能力与化简运算能力，属于中档题..【答案】B【解析】解：如图，设椭圆的长半轴长为由,双曲线的半实轴长为。2,则根据椭圆及双曲线的定义:设|F/2l=2c,4&PF2=等则：在^PF/2中由余弦定理得，4c2=(%4-a2)2+(@i-a2)2-2(%+a2)(a1-a2),化简得：3q：+q：=4c2,该式可变成：要■+詈=4.嵩+*=4.又e送2=V3,解得名=24-V3,所以©="；五.故选：B.先设椭圆的长半轴长为由,双曲线的半实轴长。2,焦距2c.因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找％,a2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用心，表示出|PFi|,仍尸2|,并且"PF?=学在△「记产?中根据余弦定理，通过求解方程，得到结果.本题考查椭圆及双曲线的交点，及椭圆与双曲线的定义，以及它们离心率的定义，考查余弦定理的应用，是中档题..【答案】CTOC\o"1-5"\h\z【解析】解：抛物线y2=4x的焦点为F,则抛物线的准线 什*=f a!-J——设A,8,M在准线上的垂足分别为4',B',M',连接A尸，x=BF,AA',BB',MM',如图所示. M，-2-挑f则M到y轴距离（/=|""'|-1=四第吧-1= -J0PV *四产一1考_1=1_1=2, B\因为抛物线的通径为2P=4W6=|4B],所以定长为6的线段48两个端点在抛物线y2=4x上移动时可以经过焦点F,此时A,F,8三点共线，\AF\+\BF\=\AB\,d=2,则点M到y轴的最短距离为2.故选：C.求得抛物线的焦点和准线方程，过A、B、仞分别作44、BB'、MW垂直于/,垂足分别为A'、B'、M'.运用抛物线的定义和梯形的中位线定理，即可得到所求最小值.本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查梯形中位线定理的运用，注意定义法的运用是解题的关键，属于中档题..【答案】3【解析】解：由题意，圆心G（0,0）,半径r=l,圆心。2（3,4）,半径R=4,两圆的圆心距为IQC2I=5=R+r,故两圆相外切，故两圆的公切线有3条.故答案为：3.分别求出圆心和半径，考查两圆的圆心距正好等于两圆的半径之和，故两圆相外切，即可得出结论.本题考查两圆的位置关系，两圆的公切线条数的确定，考查运算求解能力，属于基础题..【答案】5【解析】解：由约束条件作出可行域如图,iy联立归+2=0,解啜W，则心3)，由z=2x+y,得y=-2x+z,由图可知，当直线y=-2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2x1+3=5.故答案为：5.由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题..【答案】【解析】解：根据题意，所求双曲线与C：y2-1=i具有相同渐近线，设双曲线的方程为y2_1=t,4又由双曲线C经过点(4,1),则有1一竽=t,则t=-3,则C的方程为y2-9=-3,变形可得卷一?=1,故答案为：根据题意，双曲线C：y2_==i,过点(4,1),设双曲线的方程为y2—9=3将点(4,1)的坐标代入计算可求双曲线方程.本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握有共同渐近线的双曲线的方程的特点，属中档题..【答案】6【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力.求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点横坐标，利用三角形是等边三角形求出P即可.【解答】解：抛物线的焦点坐标为(0,柒，准线方程为：y=-^准线方程与双曲线联立可得：?-字=1,因为AABF为等边三角形，所以Jp2+x2=2闭,即p2=3/,即p2=3(3+?),解得p=6.故答案为：6.(X=pcosOy=psine 代入圆的方程/+⑶-2)2=4,X24-y2=p2得到圆的极坐标方程为p=4sinJ.(2)根据题意：设P(pi，%),代入p=4sin6,解得Pi=2,%=32psin(0+-)=5V3设则由八7T6 ，0=-I6解得。2=5,。2=£o所以|PQI=P2—P1=3.【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换：(2)利用极径的应用和三角函数的值的应用求出结果.本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用,三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.18.【答案】解：(1)圆C的方程是/+y2-4mx-2y+8m-7=0,化为标准方程是(x-2m)2+(y-l)2=47n2-8m+8,r2=47n2_8m+8=4(m-l)2+4>4,•••m=1时，r=2,此时圆C的面积最小，为4兀；(2)由(1)知圆C的标准方程是(x—2>+(y-l)2=4,设与圆C相切，且过点(4,一3)的直线方程为y+3=fc(x-4),即kx-y—4/c—3=0；则圆心C(2,l)到这条直线的距离为d=r,Hl；|2k-l-4k-3|_9Vk2+1解得k=-p・,・直线方程为y+3=- -4),当直线的斜率左不存在时，对应切线方程为x=4；综上，所求的切线方程为x=4或3x+4y=0.【解析】(1)把圆C的方程化为标准方程，求出半径的平方"的最小值即可得出结论；(2)由(1)知圆C的标准方程，利用圆心C到切线的距离d=r,求出切线方程.本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了点到直线的距离应用问题，是基础题..【答案】解：(回)设P的极坐标为(p,0)(p>0),历的极坐标为Si，0)91>0),由题设知|OP|=p,|。河|=。1=熹，由|OM|♦|OP|=16,得C2的极坐标方程p=4cosJ(p>0),因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x*0)；(0)设点B的极坐标为(/?B，a)(PB>0)，-|<a<p由题设知[04|=2,pB=4cosa,1于是△04B面积S=-\OA\■pB-sinZ.AOB=4cosa•n n=4cosa•|sin(a--)|=2|sin(2a- -yI<2+V3.当。=-盘时，S取得最大值2+所以△04B面积的最大值为2+V3.【解析】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，极坐标方程的运用，属于中档题.(助设尸的极坐标为(p,0)(p>0),M的极坐标为(P1，O)(P1>0),则|OP|=p,\OM\=P1=£^,由|OM|•|OP|=16,得C2的极坐标方程p=4cos0(p>0),把p2=%2+y2,x=pcosd.y=psinJ代入即可求C2的直角坐标方程；(回)设点8的极坐标为(pB，a)(pB>0),-^<a<p则AO/1B面积S=：|O川sin/-AOB-21sin(2a— |»利用正弦函数的性质即可得出最大面积.；=T [a=2V3.【答案】解：(1)由题意可知<2+工=1，解得"=2 、a2,2G=2V2•••椭圆G的方程为：《+1=1.12 4(2)设直线/的方程为y=x+m,ry=%+m联立方程卜2y2_消去,得4/_|_67nx+3m2-12=。①,(石+7=1

•yA+yB=xA+xB+2m=--+2m=设M为AB的中点，则M(-学弓)，AB的中垂线的斜率k=一1,••48的中垂线的方程为y-9=-。+?)，即x+y+f=0,将P(—3,2)代入得：m=2,二直线/的方程为y=x4-2,即x—y+2=0,此时方程①为：4%2+12%=0,解得芍1=-3,xB=0,•・yA=-1,yB=2,・・&-3,-1),8(0,2),a\AB\=3VL又•••点p到直线I的距离d=上萨=越，V2 2P4B的面积为5x\AB\xd=|x3V2x^=1【解析】(1)根据题意列出关于。，b,c的方程组，解出a,b,c的值，从而得到椭圆的标准方程.(2)设直线/的方程为y=x+m,与椭圆方程联立，利用韦达定理求出AB的中点坐标，进而得到48的中垂线的方程，再把点P的坐标代入求出机的值，所以可以求出点A,B的坐标和|AB|的值,再利用点到直线距离公式求出产到直线/的距离",从而求出△P4B的面积.本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，是中档题..【答案】解：(1)由题意可得离心率e=—=2al=10,5所以%=5,q=4,*=翦一才=25-16=9,又由于焦点在x轴上，所以椭圆G的标准方程为总+3=1；(2)由双曲线的对称性可得M,N关于X轴对称，由以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A可得：AAF2M为等腰直角三角形，且|4引=|BM|,即a+c=?,由题意可得c=4,所以M4-4a=62=c2—a2=16—a2,整理可得q2+2