2021-2022学年天津市西青区高一（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年天津市西青区高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）.在四边形ABCD中，若方=谑+而，则（）A.四边形ABCD是矩形 B.四边形4BCD是菱形C.四边形ABC。是正方形 D.四边形48CC是平行四边形.在△ABC中，a=475，b=12,4=三则此三角形（）A.无解 B.两解 C.一解 D,解的个数不确定.已知圆锥的底面半径为近，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2 B.2V2 C.4 D.4企.己知复数2=备则：①在复平面内z对应点的坐标为②复数的虚部为-i；③复数的共轨复数为i-l：@\z\=V2；⑤复数z是方程/-2x+2=0在复数范围内的一个根.以上5个结论中正确的命题个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲.在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（）WA.对立事件 B.不可能事件C.互斥但不对立事件 D.不是互斥事件.平面a与平面0平行的充分条件可以是（）A.a内有无穷多条直线都与0平行B.直线aua,直线bu/?,且匕〃a,a//p

C.直线a〃a,a///?,且直线a不在a内，也不在/?内D.a内的任何一条直线都与伊平行.7.8.9.从三个白球和一个黑球中任意抽取两球，分别采用有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样，抽到的两球都是白球的概率分别是（）7.8.9.A9 1A.,-f-16 22022年4月16号，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，为增强爱国主义教育、普及航天知识、传承中国航天精神，西青区某校特举行“致敬航天人，筑我中国梦”演讲比赛.在演讲比赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，根据两个评委小组（记为小组4小组B）对同一名选手打分的分值绘制成折线图，如图.①小组4打分的分值的众数为47；②小组B打分的分值第80百分位数为69；③小组8打分的分值的均值小于小组A打分的分值的均值;④小组4更像是由专业人士组成.7060403009评委序号B.3A.4%的值为（）B.-|A1A--37060403009评委序号B.3A.4%的值为（）B.-|A1A--3以上4个结论中正确的命题个数为（分初分.80小纲B=^8。,屁=L同+小庶（乙,不实数）则及+.今年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台（如图1）是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.西青区某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点4（如图2）距离地面的高度与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物PQ.测得PQ的高度约为25米，并从P点测得4点的仰角为30。.在赛道与建筑物PQ之间的地面上的点M处测得4点、P点的仰角分别为75。和30。（其中8,M,Q三点共线）.则该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A距离地面的高度约为（参考数据:鱼=1.41,旧=1.72,e=2.45）（）图I 图2A.59 B.60 C.65 D.68二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）.在正方体ZBCC-A'B'C'。'中，直线B4'与AC所成的角为 ZT CII 1hJC .若|引=8,m|=12,日与方的夹角为60。，则向量日在方上的投影向量为..在机动车驾驶证科目二考试中，甲、乙两人通过的概率分别为0.8,0.6,两人考试相互独立，则两人都通过的概率为.两人至少有一人通过的概率为..已知正A4BC的边长为4,那么△4BC的直观图△AB'C'的面积为..已知a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，若沅=（bsinB—asinA,c—b）,n=（LsinC）且记J.江则角A的大小为:若a=7,b+c=8时，△ABC的面积是.某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1,女生每天睡眠时间为7小时，方差为05若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为_ ..三、解答题(本大题共4小题，共50.0分).在A4BC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,b=y/7,c=2.(I)求角B的大小；(II)求sinC的值..已知向量方满足|五|=l,|b|=V2,(2a-b)-(a+2h)=1.(I)求五•K：(11)求五与石的夹角0；(HI)求孱一2小..自2020年开始天津市实施高考综合改革，新高考规定：新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，语文、数学、英语是必考科目，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试中选取3个作为选考科目.2022年春季新冠病毒突袭津城，受疫情影响，天津市春季学期展开了线上和线下混合式教学模式的教学工作.在线上教学期间，为了了解高一学生选科意向，某校对学生所选科目进行检测，下面是100名学生物理、化学、生物三科总分成绩，以20为组距分成7组：[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],画出频率分布直方图，如图所示.(I)求频率分布直方图中a的值；(n)估计这io。名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(DI)为了进一步了解选科情况，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生.①求应从[220,240)和[260,280)的两组学生中分别抽取人数；②从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，写出这个试验的样本空间(用恰当的符号表示)；③设事件4=”抽取的这两名学生来自不同组”，写出事件4的样本点，并求出事件4的概率.

.如图，在直四棱柱ABC。-&BiGO1中，CG1平面ABC。，底面ABC。是菱形，且BC=DC=DB=AAX=2,E是BC的中点.(I)求证：8劣〃平面。EC*(H)求证：平面。EC11平面/BCC1；(HI)求直线CG与平面CEG所成角的正弦值.答案和解析.【答案】D【解析】解：•.•在四边形ABCD中，CA=~CB+CD，CA=CB+BA>CD=BA，A,B,C,。四点不共线，四边形4BCC是平行四边形.故选：D.利用向量三角形法则、向量相等的意义即可得出结论.本题考查了向量三角形法则、向量相等的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题..【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.由已知可求bsinA<a<b,利用正弦定理即可求解三角形有两解.【解答】解：在AABC中，a―4V3>b=12,A=^,则bsinA=12x=6,可得bsinTl<a<b,可得此三角形有两解.故选：B..【答案】B【解析】解：由题意，设母线长为I，因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有2n■•夜=it•，，解得，=2企，所以该圆锥的母线长为2夜.故选:B.设母线长为I，利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可.本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题..【答案】C【解析】解：z=三==1-i；l+lz故在复平面内Z对应点的坐标为(1,-1),故①正确：复数的虚部为-1,故②错误；复数的共轨复数为1+i,故③错误：\z\=y/12+(―l)2=y/2,故④正确；方程--2x+2=0的解为x=l±t,故⑤正确；故选：C.化简z=l-i,再对5个命题依次判断即可.本题综合考查了复数的概念及几何意义，属于基础题..【答案】C【解析】解：甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件.•••事件"甲分得红色”与“乙分得红色”是互斥但不对立事件.故选：C.对于红色圆环而言，可能是甲分得，可能是乙分得，也可能甲乙均没有分得，然后利用互斥事件和对立事件的概念得答案.本题考查了互斥事件和对立事件，关键是对概念的理解，是基础的概念题..【答案】D【解析】解：对于A,a内有无穷多条直线都与0平行，推不出平面a与平面0平行，平面a与平面“可以相交，A错误；对于B,推不出平面a与平面0平行，平面a与平面/?也可以相交，B错误：对于C,推不出平面a与平面夕平行，平面a与平面口也可以相交，C错误；对于D,由面面平行的定义知能推出平面a与平面0平行，。正确.故选：D.由直线与平面、平面与平面的位置关系结合充分条件的概念依次判断即可.本题考查了直线与平面、平面与平面的位置关系，属于基础题..【答案】A【解析】解：根据题意，若有放回简单随机抽样，两次抽到白球的概率都是"则两次抽到的两球都是白球的概4率P1=三X三=2；TOC\o"1-5"\h\z4 4 16若不放回简单随机抽样，第一次抽到白球的概率都是：，第二次抽到白球的概率都是;,4 3则两次抽到的两球都是白球的概率P2 =p故选：A.根据题意，分步计算“有放回简单随机抽样”与“不放回简单随机抽样”情况下，抽到白球的概率，即可得答案.本题考查古典概型的计算，注意“有放回简单随机抽样”与“不放回简单随机抽样”的区别，属于基础题..【答案】C【解析】解：由图可知，小组打分的分值的众数为47,①正确；将小组B打分的分值从小到大排列为36,55,58,62,66,68,68,70,75,因为9X80%=7.2,则第80百分位数为70,②错误；小组打分的分值的均值为(43+47+46+48+50+47+54+50+47)x：=48,小组B打分的分值的均值为(55+36+70+66+75+68+68+62+58)x-=62,小组B打分的分值的均值大于小组打分的分值的均值，③错误；小组4的分数相对更集中，更像是由专业人士组成，④正确；正确的命题个数为2个.

故选：c.由折线图中的数据，结合众数、百分位数、平均数的定义对四个选项逐一分析判断即可.本题考查了折线图的应用，众数、百分位数、平均数的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题..【答案】D【解析】解：由题意得，~DE=DB+BE=-AB+-BC3 2=|4F+|(4C-AB)=-AB+-AC,6 2故，1+%2=1+1=p故选：D.利用平面向量的线性运算化简即可.本题考查了平面向量线性运算的应用，属于基础题..【答案】A［解析］解：由题意得乙4MB=75°,/.PMQ=30°,乙4Mp=75°,乙4PM=60°,/.PAM=45°,在APMQ中，PM—^―=50,工 smzPMQ在△在△PAM中，由正弦定理求得PM

sin"4M所以AM=25x遍,在A4BM中，AB=AM-sinz^MB=25^x «59.故选：A.在APMQ中，求得PM,在AP4M中，利用正弦定理求得4M,然后在AABM中，由4B=AM,sinzjlMB可求解.本题考是正弦定理在实际生活中的应用，属基础题..【答案】5【解析】解:在正方体ABCC-A'B'C'D'中，•••4C〃4'C', N84'C'是直线84'与4c所成的角(或所成角的补角)，vBA'=A'C'=BC,•••^BA'C=p・•.直线B/T与AC所成的角为全故答案为：p由AC〃4C',得NBA'C'是直线B4'与4C所成的角(或所成角的补角)，由此能求出直线84'与4c所成的角.本题考查异面直线所所角的定义、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题..【答案】打【解析】解：•.•若国=8,\b\=12.W与方的夹角为60。，•••向量五在石上的投影向量为(萼)另=(8xi2：：os60。亦=5近故答案为：gb.根据投影向量的定义，向量数量积的定义与性质即可求解.本题考查投影向量的定义，向量数量积的定义与性质，属基础题..【答案】0.480.92【解析】解：因为两人考试相互独立，则两人都通过考试是相互独立事件，所以同时发生的概率为0.8x0.6=0.48.两人都未通过的概率为(1-0.8)(1-0.6)=0.08,故两人至少有一人通过的概率为1-0.08=0.92.故答案为：0.48；0.92.(1)利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可.(2)先求两人都未通过的概率，再根据对立事件的概率和为1求解两人至少有一人通过的概率即可.本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用..【答案】V6【解析】解：?正△ABC的边长为4,••・正△ABC的面积S=工x4x4x立=4百，2 2・・•△ABC的直观图=立a48c的面积，.・・•・•△4BC的直观图=-X473=V6.4 4故答案为：V6.由已知中正A4BC的边长为4,可得正A4BC的面积，进而根据△4BC的直观图=立△4ABC的面积，可得答案.本题考查平面图形的直观图，属于基础题..【答案】2234【解析】解：由沆1n,有(bsinB-osin/l)•1+(c一b)・sinC=0,化简得74-c2-a2=be,TOC\o"1-5"\h\z即cos4="W=L由0<A<7T,从而可得4=32bC2 3iizni.cu■+ 4 ft2+c2-a2 1 (b+c)2-2dc-a2 64-2bc-49 1 . -当a=7,b+c=8时，cost!= =-=-—— = =-=be=5,2bc 2 2bc 2bc 2所以Smbc=gbesinA=|x5x故答案为：巳；迪.3 4由沅1元可得等式，再根据正弦定理及余弦定理可得4=泉再由余弦定理及三角形面积公式可求解.本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题..【答案】0.76【解析】解：由题意可知，样本总体的均值为就x7.5+鬻x7=7.2小时，则总体方差为盘X[1+(7.5-7.2)2]+毁x[0.5+(7.2-7)2]=0.436+0.324=0.76.故答案为：0.76.根据已知条件，结合样本均值和方差的公式，即可求解.本题主要考查样本均值和方差的求解，考查计算能力，属于基础题..【答案】解：(1)由余弦定理得：皿8=胃兰=胃二书，7T0<B<7T,・.•B=-；(D)法一：••・B=争・..sinB=V1—cos2B=日，由正弦定理得：一」=上，得：sinC=*=^=叵，sinBsine b\［7 7(II)法二：由余弦定理得，cose=a±2-cZ=2tL=也,' / 2ab2X3XV77:.sinC=V1—cos2C=".【解析】(I)利用余弦定理求出cosB的值，再根据B的范围即可求解；(口)法(1),利用正弦定理即可求解；法(2),利用余弦定理求出cosC的值，进而可以求解.本题考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题..【答案】解：(/)...(2五一］).(五+21)=2a2+31.石一2才=2+3五•石一4=1，a-b=1.(〃)：皿。=晶=合=¥，又。6。河，/(///)v|a-2h|2=a2—4a-K+4b2=l—4+8=5>■■\a—2b\=y/5-【解析】(/)根据数量积的运算律可直接构造方程求得结果；(〃)由向量夹角公式直接计算可得结果；(///)由向量数量积运算律可求得|五-2石E,进而可得结果.本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题..［答案］解:(I)由题意可知，(0.002+0,0095+0.011+0.0125+0,0075+a+0.0025)X20=1,解得：a=0.005,(U)三科总分成绩的平均数为170X0.04+190X0.19+210X0.22+230X0.25+250x0.15+270x0.1+290x0.05=225.6,所以估计物理、化学、生物三科总分成绩的平均数为225.6.(IE)①三科总分成绩在［220,240)学生数为：100x20x0.0125=25,三科总分成绩在［260,280)两组内的学生分别有100X20X0.005=10人，故抽样比为五篇=g,所以从三科总分成绩为［220,240)抽取的学生人数为25x嬴=5,从三科总分成绩为［260,280)的两组中抽取的学生人数为10x系=2,②设三科总分成绩在［220,240）内的5人分别记为由,a2,a3,a4,a5,在［260,80）内的2人分别记为瓦,b2,现在这7人中抽取2人，则试验的样本空间为：12—｛（%,。2），（al»aS）'（。1'瓦），（%为2），（°2>03）>（。2，。4），（。2，瓦），（a2,b2）,（a3,a4）'（a3,a5）,（。3，瓦），（.a3,b2）,（a4,a5）,（a4,b^,（a4,b2）,Q,瓦），（a5,b2）,（瓦，4）｝,共21个样本点，③设事件4="抽取的这两名学生来自不同组”，则事件4的样本点为：4=｛（。1，瓦），（。1涉2）,（。2,瓦），（。2/2）,（。3/1）,（。3溥2），（。4,瓦），（。4，。2），（。5，瓦），（a5,b2））,共10个样本点,故抽取的这2名学生来自不同组的概率为P（4）=黑.【解析】（I）根据（0