2021-2022学年北京高三（下）开学数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年北京四中高三(下)开学数学试卷.已知集合4={x€Z|(x+2)(x-1)<0},B={-2,-1},那么AUB等于()A.{-2,—1,0,1} B.{-2,—1,0) C.{-2,—1) D.{—1).已知i为虚数单位，则复数2=另对应的点位于()1—31A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限.设。CR,“sin。=cos。”是“cos2。=0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件.三棱柱ABC-AiBiG中，AAt1®ABC,AB1BC.则下列两条直线中，不互相垂直的是()A. 和BCB.倜和和BCA8和Bi。5.设E,F分别是正方形ABCO的边AB,BC上的点，且AE=^AB,BF=|BC,如果阮=m四+n而(m,n为实数)，那么m+n的值为()5.-i20C.-21.已知4(1,0),直线，:x-y+l=0,则点A到直线/的距离为()A.1 B.2 C.y[2 D.272.已知函数/(x)=sin(3x+?)(3>0)的最小正周期为4万，11()A.函数f(x)的图象关于原点对称.函数f(x)的图象关于直线x=g对称C.函数f(x)图象上的所有点向右平移g个单位长度后，所得的图象关于原点对称D.函数/(x)在区间(0,n)上单调递增.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为I,P为抛物线上一点，PALI,A为垂足.若直线AF的斜率为一遍，则|PF|=()A.4V3 B.6 C.8 D.16.已知函数/(x)= %。＞0且。H1).若函数/(x)的图象上有且只有两个点关于y轴对称，则。的取值范围是()A.(0,1) B.(1,4)C.(0,1)11(1,+8) D.(0,1)11(1,4).数列｛aj表示第〃天午时某种细菌的数量.细菌在理想条件下第〃天的日增长率弓=0.6(。=如为/GN)当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率。会发生变an化.如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量。随时间的变化规律.那么，对这种细菌在实际条件下日增长率Q的规律描述正确的是(),日增长星0.■A.■ ,*0.时间1天）日W长率I0. •••.（*♦*0.B. ,0. .*0^ i •J•'.（B） ' ।时间八E常长室06**0.4 *D. ,0.2 •..0 5 W 15时同京）.在（无2+点）5的展开式中，常数项为.（用数字作答）..在数列｛%｝中，的=1,an-an+1=2,则Sioo=..双曲线1（。>0">0）的渐近线为等边三角形。48的边。4,OB所在直线，直线AB过双曲线的焦点，且|4B|=2,则。=..如图所示，点。在线段48上，/.CAD=30°,MDB=50°,CB=4.若再给出一条线段的长度，可以使AABC唯一确定，这个线段可以是.（只需写出代表该线段的字母，无需给出长度）.已知曲线C的方程是（“一92+8-%2=8,给出下列四个结论：①曲线C与两坐标轴有公共点；②曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形；③若点P,。在曲线C上，则IPQI的最大值是6口；④曲线C围成图形的面积大小在区间（40,44）内.所有正确结论的序号是..在A4BC中，sin4=&sinB,b=夜.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使A/IBC存在且唯一确定，并解决下面的问题：（团）求角8的大小；（团）求△ABC的面积.条件①：c=4；条件②：b2-a2=c2—y/2acx条件③：acosB=bsin/1..如图所示的多面体中，面ABCC是边长为2的正方形，平面PCCQ_L平面ABCQ,PD1DC,E,F,G分别为棱BC,AD,PA的中点.（回）求证：EG〃平面PCC。：（回）已知二面角P-BF-。的余弦值为半，求四棱锥P-ABCD的体积.6.2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类.生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗.某环保小组调查了北京市房山区某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如图：（回）现从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率：（回）从2020年6月至12月中任意选取2个月，记X为选取的这2个月中回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份的个数.求X的分布列及数学期望：（团）假设2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为a吨.当。为何值时,自2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小.（只需写出结论，不需证明）(注：方差$2=：[(Xi-X)2+(小-X)2+…+(X"-X)2],其中X为X2, Xn的平均数).已知函数/'(x)=e-"x(/+x-<0).(回)求/(x)的单调区间；(回)是否存在实数A,使得函数f(x)的极大值等于3e-2?若存在，求出&的值；若不存在，请说明理由..已知椭圆C：5+'=l(a>b>0)的离心率为苧，且点7(2,1)在椭圆C上，设与。7平行的直线/与椭圆C相交于尸，Q两点，直线TP,7Q分别与x轴正半轴交于M,N两点.(1)求椭圆C的标准方程；(团)判断|OM|+|ON|的值是否为定值，并证明你的结论..设正整数数列A：的,。2,…，。/7>3)满足为<%,其中1WiCjWN.如果存在％e{23…，N},使得数列A中任意4项的算术平均值均为整数，则称A为'”阶平衡数列”.(①判断数列2,4,6,8,10和数列1,5,9,13,17是否为“4阶平衡数列”？(0)若N为偶数，证明：数列41,2,3,…,N不是'”阶平衡数列”，其中ke{2,3,…，N}.(团)如果(Xn42019,且对于任意k6{2,3,…，N},数列A均为“A阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用.先求出集合4,由此利用并集的定义能求出4UB的值.解：,：B—{-2,—1},集合A={x€Z|(x+2)(x-1)<0]={-1,0},•••A\JB={-2,-1,0).故选：B..【答案】B【解析】解:1,1.-+-122【解析】解:1,1.-+-122I—3i (1-3i)(l+3i)则复数z对应的点(-；,与位于第二象限.故选：B.根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解.本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题..【答案】4【解析】解：若sin。=cos。，则9=/or+：,(kez),故29=2切1+泉故cos26=0,是充分条件，若cos20=0,则20=/£乃+，0=-y+(kGz),不是必要条件，故选：A.根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可.本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题..【答案】B【解析】解：对于A，因为4411平面ABC,BCu平面4BC,所以4&J.BC；对于8,AB1与BCi不一定垂直；对于C,因为1BC,AB1BC,ti.AA^AB=A,所以BC1平面488出，他1BC；对于。，因为A411平面ABC,CCJ/AAr,所以CQl平面ABC,所以CC1J.AB,又AB1BC,且BCnCG=C,所以4B_L平面BCC/i，

又8传u平面BCGBi，所以4BJ.B1C.故选：B.根据直线与平面垂直的判定定理和性质，判断即可.本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题..【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量的线性运算，合理利用向量的平行四边形法则，三角形法则，是解题关键，属于基础题.如图所不，EF=EA-^-AC+CF=-^ABAC-^BC=TOC\o"1-5"\h\z一三四+配一口瓦？+而)=一二南+?而.即可求得加，〃即可.2 3 6 3【解答】解：如图所示,11 ,~EF=EA+AC+CF=--AB+AC--BC=-^AB+AC-^(BA+AC)=-1aB+|^C.1 2m=——,n=-,6 3m4-n=->m4-n=->2故选C.6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查点到直线的距离，属于基础题.由题意利用点到直线的距离公式，求得结果.【解答】解：•••点4(1,0),直线l:x-y+l=0,则点A到直线/的距离为：1^1=夜,故选：C..【答案】C【解析】解：函数/'(%)=sin(3x+g)(3>0)的最小正周期为4几，o271 .•・一=47T,U)可得3=那么/(%)=sin(1x+^).由对称中心横坐标方程：+3=而，kEZ,可得：x=2kn:.4不对；TOC\o"1-5"\h\z由对称轴方程：-x+-=-+kn,kEZ,2 6 2可得：x=2kn4-y,kEZ,,.8不对；函数f(%)图象上的所有点向右平移g个单位，可得：sin［；Q-勺+勺=/2，图象关3 2 3 6于原点对称.・・C对.令—十2kji4—x+—4—+2/ctt,kEZ,2 2 6 2可得：-+4k7T<x<^-+4kn•・函数/(%)在区间(0,兀)上不是单调递增.・・。不对；故选：C.函数f(x)=sin(3x+g)(3>0)的最小正周期为4tt,求出3,可得/(%)解析式，对各选项进行判断即可本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题..【答案】C【解析】解：•••抛物线方程为y2=8x,•・焦点尸(2,0),准线/方程为x=-2,••直线AF的斜率为一百，直线AF的方程为y=-V3(x-2),(Y=-2y_ _2),可得A点坐标为(一2,4百)，vPA11,A为垂足，••P点纵坐标为46，代入抛物线方程，得尸点坐标为(6,46)，\PF\=\PA\=6-(-2)=8,故选C.先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线4F的斜率得到4F方程，与准线方程联立，解出A点坐标，因为PA垂直准线/,所以尸点与A点纵坐标相同，再代入抛物线方程求尸点横坐标，利用抛物线的定义就可求出|PF|长.本题主要考查抛物线的几何性质，定义的应用，以及曲线交点的求法，属于综合题..【答案】D【解析】解：由题意，0<a<l时，显然成立；a>1时，/'(X)=log。》关于y轴的对称函数为/(x)=loga(-x),则loga4>1.1<a<4,综上所述，a的取值范围是(0,1)11(1,4),故选：D.由题意，0<a<1时，显然成立；a>1时，f(x)=logM关于y轴的对称函数为/'(x)=loga(-X)，K01oga4>1,即可得到结论•本题主要考查分段函数的应用，考查函数的解析式，属于中档题..【答案】B【解析】解：由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，r1=r2=r6=0.6为定值，而实际情况在第10天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，故选B.由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，「1=「2=「6=0.6为定值，而实际情况在第10天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，即可得出结论.本题考查散点图，考查数形结合的数学思想，比较基础，.【答案】40【解析】解：由于(炉+妥)5展开式的通项公式为小］=Cr,2r.”)-5r,令10-5r=0,解得r=2,故展开式的常数项是40,故答案为40.在(丁+昼产展开式的通项公式中，令x的幕指数等于零，求出r的值，即可求出展开式的常数项.本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题..【答案】-50【解析】解：根据题意，由%=1,axa2=-2,得。2=—2,2a3=2，W¥=1，: =2,"(导=—2,******»所以包工中所有的奇数项均为I,所有的偶数项均为-2,所以Si。。=a1+a，2+…+a§9+=1—2+…+1—2=50x(—1)=—50.

故答案为：-50.根据的=1,axa2=-2,得a?=-2,a3=1,a4=-2, ,从而可发现｛。工中所有的奇数项均为1,所有的偶数项均为—2,进一步利用Sioo=%+Hl-agg+a100=1-2+…+1-2=50X(-1)进行求解即可.本题考查数列的递推公式，分组求和法，考查学生逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题..【答案】1【解析】解：由于△OAB(。为坐标原点)是等边三角形，则由对称可得，Z.OAF=30",双曲线的渐近线方程为y=±?x,即有tan3(T=2,即b=3a,a 3又c=Va2+b2=手a=V3,则a=故答案为：|.由等边三角形和双曲线的对称性，可得，^OAF=30°,再由渐近线方程，可得b=当a,再由a,b,c的关系和c的值，即可计算得到a.本题考查双曲线方程和性质，考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，属于基础题..【答案】AD【解析】解：如图所示，点。在线段AB上，Z.CAD=30",Z.CDB=50",DB=4,所以AB=BD+AD=4+AD,则AB为定值，所以〃CD=乙CDB-Z.CAD=50°-30°=20°,/.ADC=180°-Z.CDB=130°,利用正弦定理:AC

利用正弦定理:AC

sin£ADC4。sinz.ACDADsinz.ADC4Osinl300s\n/-ACDsin200s\n/-ACDsin200故AC为定值;AB,AC,NC4B都为定值，Z4BC唯一确定,故答案为：AD.直接利用正弦定理的应用求出结果.本题考查的知识要点：正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属

于基础题..【答案】②③【解析】解：根据题意，曲线C的方程是(X-")2+⑶一%2=8,必有x中0且yH0,当x>0,y>0时，方程为(4—17+(y—I)2=8,当x>0,y<0时，方程为(x—1产+(y+I)2=8,当x<0,y>0时，方程为(x+1T+S-1)2=8,当x<0,y<0时，方程为(x+I)2+(y+I)2=8,作出图象：依次分析4个结论：对于①，由于x#0,y#0,曲线C与坐标轴没有交点，故①错误：对于②，由图可知，曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形，故②正确；对于③，若点尸，Q在曲线C上，则当且仅当P、Q与圆弧所在的圆心共结时取得最大值，故|PQ|的最大值是圆心距加两个半径，为2/+4或=6立，故③正确：对于④，当x>0,y>0时，方程为(x-l)2+(y-I)2=8与坐标轴的交点(b+1,0),(0,77+1)平分圆，则第一象限面积为&>ix(V7+1)x(V7+1)+ix(2V2)2X7T-,故总的面积为32+32兀金(40,44),故④错误.故答案为：②③.根据题意，对绝对值里面的正负分类讨论求出方程，作出图象，由此分析4个结论，即可得答案.本题考查考查曲线方程的图象及性质、涉及绝对值的含义、圆的性质等，是中档题..【答案】解：（团）rsinA=&sinB,b=V2,:.a=>/26=2,若选①：c=4,此时a+b<c,三角形无解，若选②：b2—a2=c2—>/2ac,••a2+c2-b2=\[2ac,

由余弦定理得，C0S8="+川=酶=它2ac2ac2又「8€(0,兀)，.・.8=彳,若选③：acosB=bsinA,则sinAcosB=sinBsinA,又ain4>0,cosB=sinB,即tanB=1,又BG(0,7r)>B=（团）由（团）可知（团）由（团）可知B=不

由正弦定理得，已b

sinF2X孝 „：•sin4=7^-=1,-A=V2 2:・c=b=>/29ABC的面积为4c=-xV2xV2=l.【解析】（/）由已知结合正弦定理可求a，b,然后结合所选条件，结合余弦定理及正弦定理可求cosB,进而可求8；（〃）由已知结合正弦定理可求A,然后结合三角形面积公式可求.本题主要考查了余弦定理，正弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题.证明：（团）取尸。中点“，连接G”，HC,因为A8CO是正方形，所以AD//BC,AD=BC.因为G,H分别是P4,PZ）中点，所以GH〃AC,GH=\AD.又因为EC〃4。且EC=^AD,所以GH〃EC,GH=EC,所以四边形G"CE是平行四边形，所以EG〃HC.又因为EGC平面PDCQ,HCu平面PDCQ所以EG〃平面PDCQ.解：(回)因为平面PDCQJ■平面ABC。，平面PCCQD平面4BCD=CD,PD1DC,PDcjFffiPDCQ,所以PCJ•平面4BCD.如图，以。为原点，射线D4,DC,OP分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系.设PD=a,则P(0,0,a),F(l,0,0), (2,2,0).因为PC_L底面ABCD,所以平面ABCD的一个法向量为记=(0,0,1).设平面PFB的一个法向量为同=(x,y,z),PF=(1,0,-a),丽=(1,2,0)则整元=0(F8•元=0—az=0即+2y=0令x=l,得z=，,y=_$所以元=由已知，二面角P-BF-C的余弦值为£6所以得|cos<m,n>I=I告牌=茶==乎，|m||n|1isI1 6解得a=2,所以PD=2.因为PD是四棱锥P-4BCD的高，所以其体积为Vp-ABCD=1x2x4=|.【解析】(团)取PO中点“，连接G4,HC,通过证明EG〃//C.然后证明EG〃平面PCCQ.(团)以。为原点，射线D4,DC,OP分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系.设PD=a,求出相关点的坐标，求出平面ABCD的一个法向量，平面PFB的一个法向量，求出|cos<沆，记>I，推出PD,然后求解几何体的体积.本题考查空间向量求解二面角的平面角，几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断.考查空间想象能力以及计算能力..【答案】解：(团)记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”TOC\o"1-5"\h\z为事件A (1分)由题意，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨 (2分)所以尸(4)= (4分)(回)因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸所以6月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3

个月.X个月.X的所有可能取值为0,1,2.(5分)P(X=0)=萼=2=4TOC\o"1-5"\h\z' 7 21 7P(X=1)=华=-=\ 217(8分)P(X=2)=零=三=L\ 21 7(8分)所以X的分布列为:X012P274717(9分)E（X）=0x：+lx：+2x" （11分）（0）a=4.4 （14分）当添加的新数a等于原几个数的平均值时，方差最小.【解析】（日）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A,推出只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨，然后求解概率.（团）X的所有可能取值为0,1,2,求出概率得到分布列，然后求解期望即可.（团）求出a=4.4,判断当添加的新数。等于原几个数的平均值时，方差最小.本题考查离散型随机变量分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题..【答案】解：(团)f(x)的定义域为R,f'(x)=—ke~kx(x24-x-i)+e~kx(2x+1)=e~kx[-kx2+(2-k)x+2],即/'(x)=-e-kx(fcx-2)(x+l)(/c<0).令((乃=0,解得：x=-1或x=*①当k=一2时，f(x)=2e2x(x+I)2>0,故/(X)的单调递增区间是(-8,+8);②当—2<k<0时，/-(X),/'(X)随X的变化情况如下：A2SR2k2-1(-1,4-00)f'M+0-0+/(X)/极大值\极小值/所以，函数/（X）的单调递增区间是（一8,6和（-1,+8）,单调递减区间是（，-1）.③当k<-2时，/-（X）,/'（X）随X的变化情况如下：

X(―8,—1)-1(T令2k。+8)f(x)+0-0+f(x)/极大值极小值/所以，函数f(X)的单调递增区间是(-8,—1)和会,+8),单调递减区间是(一1,》.综上，当k=-2时，/(%)的单调递增区间是(一8,+8)；当-2vkv0时，/(%)的单调递增区间是(—8，令和(—1,+8),单调递减区间是(楙,—1)；当〃〈一2时，/(X)的单调递增区间是(一8,-1)和(,+8),单调递减区间是(一11).(图)①当左=一2时，/(%)无极大值.②当一2VkV0时，f。)的极大值为=er麻+》,令「(2+3=3/,即白+”3,解得k=-l或k=：(舍).③当k<一2时，/(x)的极大值为/(-1)=-p因为/<e-2,o<-t<-<所以-的<4-2.因为［e-2<3e-2,所以f(x)的极大值不可能等于3eR综上所述，当4=-1时，/(x)的极大值等于3e-2.【解析】(团)求出尸(为)=一6--(履一2)(x+l)(k<0),令((x)=0,解得：x=-1或“=£按两根-1,：的大小关系分三种情况讨论即可；(团)由(团)分情况求出函数f(x)的极大值，令其为3e-2,然后解&即可，注意&的取值范围：本题考查利用导数研究函数的单调性及求函数极值问题，考查分类讨论思想，考查学生逻辑推理能力，属中档题.20.【答案】解：(020.【答案】解：(0)由题意解得:a=2>/2,b=V2,c=>/6故椭圆C的标准方程为1+：=1；8 2(团)根据题意，假设直线TP或TQ的斜率不存在，则尸点或。点的坐标为(2,-1),直线/的方程为y4-1=1(x-2),即y= -2.(x2,y24一+——1联立方程48 ，，得/-4冗+4=0,y=-x-2<. 2此时，直线/与椭圆C相切，不合题意.故直线TP和7Q的斜率存在.设 <?(无2少2)，则直线TP:y-l="(x-2),直线7Q:y—l=窘0-2)故|0M|=2-9,|0N|=2-三二yi-i y2T由直线OT:y=gx,设直线PQ:y=[x+t(t00)俨y2联立方程，<8J=>x24-2tx4-2t2—4=0(y=/+t当4>0时，+型=-2t,xr-x2=2t2—4,\OM\+\ON\=4-(9+2)=4-(J广2+2T)=4-y-iy2-i7 |x2+t-r4]%2+(t-2)(》i+#2)—4(t—1) 42t2—4+(t—2)(—2t)~4(t—1) 4jxlx2+j(t-1)(xl+x2)+(t-l)2 1(2t2-4)+1(t-l)-(-2t)+(t-l)2【解析】（团）根据题意，由椭圆的几何性质分析可得〈。2一/;2=c2,解可得4、6的值,cV3Ie=-=一'a2将4、6的值代入椭圆方程，即可得答案；（团）根据题意，假设直线7P或TQ的斜率不存在，联立直线与椭圆的方程分析可得直线/与椭圆C相切，不合题意，则直线7P和7。的斜率存在，进而设P（%,yi），（?。2/2），由此表示直线TP或TQ的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系表示|OM|+|ON|的值，即可得答案.本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，属于综合题，注意提升计算的能力.21.【答案】解：（团）由"要不为整数，可得数列2,4,6,8,10不是4阶平衡数列；数列1,5,9,13,17为首项为1,公差为4的等差数列，则数列1,5,9,13,17是4阶平衡数列；（团）证明：若N为偶数,设k=2m（mEN）,考虑1,2,3,…，k这k项,其和为S=丝罗.所以这无项的算术平均值为：（=等=殁i,此数不是整数：若无为奇数，设k=2m