2020高考数学压轴题（函数）

奶0宣省教学应领怎破"纲个明商倒黜豌雅(NHMI)i.甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数/(x)=x+8,g(x)=4+12,及任意的xNO,当甲公司投入％万兀作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于f(x)万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投入X万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于g(x)万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险.设甲公司投入宣传费X万元，乙公司投入宣传费y万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：⑴请解释/(o),g(o)；⑵甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？⑶若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的宣传费：若甲先投入6=12万元，乙在上述策略下，投入最少费用*而甲根据乙的情况，调整宣传费为生；同样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为与，…，如此得当甲调整宣传费为明时，乙调整宣传费为2；试问是否存在加打n—>x n—>oo

明理由答案乙公司要回避/（0）（2分）（4分）解方程组x+8M（17,25）（9分）故甲公司至少投入17万元明理由答案乙公司要回避/（0）（2分）（4分）解方程组x+8M（17,25）（9分）故甲公司至少投入17万元乙公司至少投入25万元⑴分）经观察显见的值，若存在写出此极限值（不必证明），若不存在g（。）衣示当乙公司不投入宣传费口寸，甲公司要回避失n—><»故点M(17,25)是双方在宣传投入上保证自己不失败的一个平衡点. (16分).已知二次函数/。)=炉+以2+匕尤+c在y轴上的截距是2,且在(-8,-1),(2,+8)上单调递增，在(一1,2)上单调递减.(1)求函数1(X)的解析式；(II)若函数/!。)=/史—52+1)山(尤+加)，求以X)的单调区3(x-2)间..解：(I)/(幻=丁+内，+bx+c在y轴上的截距是2,•，.f(0)=2,Ac=2.1分又，.•/(X)在(fT),(2,+oo)上单调递增,(—1,2)上单调递减，+2or+b=0有两个根为一1,2,TOC\o"1-5"\h\z-1+2=-- [ 3 °O Z7= 3.J2f(x)=x3——x2-6x+2, 5—1x2=—b=-6L3分(II),/f\x)=3x2-3x-6=3(x+l)(x—2),TOC\o"1-5"\h\zh(x)=%+1—(m+l)ln(x+m)(x>-m^jcw2), 6 分.1 x-l nh(x)=1 = , 7x+mx+m分当mW—2时，一ni>2,定义域：(-肛+8),h'(x)>0恒成立， 人(x)在(-犯+30) 上单TOC\o"1-5"\h\z增； 8分当-2<加4-1时，2>-m>l,定义域：(-m,2)U(2,+oo)hr(x)>0怛成立， /i(x)在(2,+x))上单\o"CurrentDocument"增 9分当m>一1时，一m<1,定义域：(-加,2)U(2,+8)由〃(工)>0得x>1,由/⑴<。得X<1.故在(1,2),(2,+8)上单增；在(—见1)上单减. 11分综上所述，当mW—2时，h(x)在(-01,+8)上单增；当一2<m三-1时，〃(工)在(-肛2),(2,讨)上单增；当m>一1时，在(1,2),(2,+8)上单增；在(一小1)单减.…12分.已知函数9(x)=5/+5x+l(xwR),函数y=/(x)的图象与o(x)的图象关于点(0,1)中心对称。(1)求函数k八幻的解析式；(2)如果gG)=/(x)，g“(x)=/[g.T(x)](〃wN, 2),试求出使g2(x)<。成立的％取值范围；(3)是否存在区间E,使Ec{Hf(x)<o}=中对于区间内的任意实数》，只要〃eN,且〃22时，都有g.(x)<0恒成立？3.f（x）=5x-5x2 （6分）（2）由g2（x）=5^］（x）-5g12（x）<0MWg\（^）<O^gi（^）>1l!|J5x-5x2<0或5x-5x?>1TOC\o"1-5"\h\z解 得八—15-遥5+V5x<0或x>1或 <x< 10 10（12分）（1） 由{x|/（x）<o}=.x<0或x>1},又（-~~内,$+"）c{巾<O^cx>1}=①，

10 10u J当 X8得'噌）时， g2（X）<。，g3（x）=5g2（x）-5g22（x）<。，\o"CurrentDocument"・•・对于〃=2,3时，Ed膏,甘），命题成立。 （14分）以下用数学归纳法证明仁（普，喏）对〃wN,且〃22时，都有g“（x）<0成立假设〃=%(4N2,ZeN)时命题成立，即g«(x)<0,那么gM(x)=/［g式力］=5g«(x)-5gJ(x)<0即〃=4+1时，命题也成立。A存在满足条件的区间Eq(书，喏)o.已知函数：/(%)=h亘一-(ag/?且%丰a)a-x(I)证明：f(x)+2+f(2a—x)=0对定义域内的所有x都成立.(H)当f(x)的定义域为［a+；,a+1］时，求证：f(x)的值域为［—3,—2］；(III)设函数g(x)=x?+|(x—a)f(x)|,求g(x)的最小值..解：(I)证明：y(x)+2+/(2…)=^^+2+2°t+-a-x 。-2〃+xTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"•••结论成立 4分(II)证明：/(x)=~(q~x)+1=-i+-L-a—x a—x当1 1 1uH- +1时-a—1W-xW—u— —1W。-xK—2V V-12 2 a-x

即/(x)值域为［-即/(x)值域为［-3,-2］-3<-l+<-2(III)解：g(x)=x2+|x+1-a|(xa)TOC\o"1-5"\h\z। 3(1),—|xNa—1日.x*a时*,g(x)=x~+x+1—cl—(xd—H ci2 4如果a-lN」即aN2时，则函数在［a-l,a)和3欣)上单调递2 2增〃口 即当a<g且时,g(x)mM=8(—3)=拼一°\o"CurrentDocument""1。=一；时，g(x)最小值不存在 11分(2) =-x-l+a=(x-g)2+a-(如果a-l>；即a>m时g(x)mm=g(；)=a—j如果a-iwg即av|时g(x)在(-8,a-l)上为减函麴(x)min=g(a-l)=(a-l)2…13分1Ia>—fft(a-l)2-(a--)=(a--)2>0 当时(a—l)?-(—-a)=(a--)2>02 4 2 2 4 2综合得：当”(且”?时g(X)最小值是「a2 2 4当;时g(X)最小值是(“-I)?当时g(x)最小值为a-。4当a=-g时g(X)最小值不存在5.设f(x)是定义在［0J上的函数，若存在x屋(0,1)，使得/(%)在［0,x,］上单调递增，在，,1］上单调递减，则称小)为［0,1］上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间. 对任意的［0,1］上的单峰函数/⑴，下面研究缩短其含峰区间长度的方法.(1)证明:对任意的X|，WW(0,l)，X］<占，若/(七)”(占)，则(0,32)为含峰区间;若7区)4/(占)，则(X油为含峰区间;(2)对给定的r(0<r<0.5),证明：存在阳,々€(0,1)，满足电-为N2r,使得由(1)所确定的含峰区间的长度不大于05+r；5.解:(1)证明：设/为了⑴的峰点，则由单峰函数定义可知，/(x)在［0,6上单调递增，在SJ上单调递减，当/(^)>/(%,)时，假设x*e(0,x2),则x,<x2<%*,从而)>/a),这与/(再)”区)矛盾，所以x*e(0,%2),即(0,%2)为含峰区间.当/(x,)</(x2)时，假设X*/区,1),则X*(阳<%2,从而川)”(司)>/(川,这与/(项)4/(电)矛盾,所以x*e(x,l),即(x油为含峰区间 (7分)(2)证明：由(1)的结论可知：当了因)？/(8)时，含峰区间的长度为4=七；当穴仍/(/)时，含峰区间的长度为4=1-2;TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"对于上述两种情况，由题意得［:十5；： ①I-%1<0.5+r由①"J1+8-%<1+2r,HPx2-xt<2r,\o"CurrentDocument"又因为所以超71=2「 ②将②代入①得MW0.5—r,x2>0.5+r, ③由①和③解得％=0.5—r,x2=0.5+r,所以这时含峰区间的长度Z,=/2=0.5+r,即存在再多使得所确定的含峰区间的长度不大于。5+〃6.设关于x的方程2/_狈_2=0的两根分别为a、夕(a<p),函数/(》)=,X+1(1)证明/(X)在区间(a/)上是增函数；(2)当。为何值时，f(x)在区间"例上的最大值与最小值之差最小6.解：(1)证明：f(x)=-2巴-丁2),(x2+1)2由方程2x2—ux—2=0的两根分别为a、/(。<月)知xw(a,/?)时，2x2-ax-2<0,所以此时/'(x)>0,所以/(x)在区间(a，⑶上是增函数⑵解:由(1)知在(%⑶上,7(x)最小值为/(a),最大值为,:a+。a/3=-\,可求得夕一a=J?+4,[a1-.a2 ...匕+4・(万+4+4) —D)-/(«)=———/ ="2+16,1+—+2+14所以当。=0时，/⑴在区间[环用上的最大值与最小值之差最小，最小值为47.已知函数/(x)=gx3+ox+b(a,beR)在x=2处取得的极小值是_4"3,(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若xg[T,3]时，有f(x)4/+加+5恒成立，求实数”的取值范围.TOC\o"1-5"\h\z了(2)=4+4=0 _7.解：(1)/(%)=/+。，由题意， 8 4=f(2)=-+2a+b=—— b=4[ 3 3令f\x)=f_4>0得/(x)的单调递增区间为(-a),-2)和(2,8).(2)f(x)=#_4x+4,当x变化时，外幻与f(x)的变化情况如下表:-4(-4,-2)-2(2,2)2(2,3)300单调递增单调递减单调递增1所以xe[-4,3]时，/(x)^=y.于是/(x)W>+m+?在xg[-4,3]上怛成立等价」"，+加+弓2事，求得me"2,+Q0)..已知二次函数/(*)=以2+bx+l(a>0,bwR),设方程f(X)=X有两个实数根Xi、X2.(I)如果X<2<占<4,设函数f(x)的对称轴为X=Xo,求证Xo>一1；(II)如果。<七<2,且f(X)=x的两实根相差为2,求实数b的取值范围..函数/(X)的定义域为R,并满足以下条件：①对任意xeR,</(x)>0;②对任意x、yeR,有/(xy)="(x)p;③f(g)>L则( 1 )求/(0)的值；(4分)(2)求证：/(x)在R上是单调增函数；(5分)(3)若a>/;>c>0,且=ac,求证：f(a)+f(c)>2f(b)..已知函数/(x)=x4-4/+片_1在区间［0,1］上单调递增，在区间［1,2］上单调递减；(1)求a的值；(2)求证：x=l是该函数的一条对称轴；(3)是否存在实数b,使函数g(x)=叱—i的图象与函数f(x)的图象恰好有两个交点？若存在，求出b的值；若不存在,请说明理由..定义在区间(0,9)上的函f(x)满足：(1)f(x)不恒为零；(2)对任何实数x、q,都有/(/)=叭尤).(1)求证：方程f(x)=0有且只有一个实根；(2)若a>b>c>l,且a、b、c成等差数列，求证：f(a)・f(c)Yf“b)；(3)(本小题只理科做)若f(x)单调递增，且m>n>0时，有，(制=|f(〃)|=2f(%|~^),求证：3<m<2+012.某造船公司年最高造船量是20艘.已知造船x艘的产值函数R(x)=3700x+45x2-10x：'(单位：万元)，成本函数为C(x)=460x+5000(单位：万元).又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为：Mf(x)=f(x+1)-f(x).求：(提示：利润=产值-成本)(1)利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(2)年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？13.已知函数小)=叵+且”3("0且"1).ax(1)试就实数。的不同取值，写出该函数的单调递增区间；(2)已知当x>0时，函数在(0,由上单调递减，在(而+00)上单调递增，求“的值并写出函数的解析式；(3)(理)记(2)中的函数的图像为曲线c,试问是否存在经过原点的直线/,使得/为曲线c的对称轴？若存在，求出/的方程；若不存在，请说明理由.(文)记(2)中的函数的图像为曲线c,试问曲线c是否为中心对称图形？若是，请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，请说明理由..已知函数/(x)=log“x和g(x)=21og“(2x+f-2),(a>0,aHl,feR)的图象在>2处的切线互相平行.(I)求「的值；(II)设R(x)=g(x)-f(x),当xg[1,4]时，尸(x)N2T旦成立,求a的取值范围..设函数/(x)定义在R+上，对任意的人〃€R+,恒有= + ,且当x>l时,f(x)<0o试解决以下问题：(1)求/⑴的值，并判断了(x)的单调性；(2)设集合A={(x,y)\f(x+y)+f(x-y)>0},B= \f(ax-y+2)=0,aeR},若求实数。的取值范围；(3)若0<a<〃，满足"(a)1=1/S)1=2"(等)|,求证：3<b<2+夜.(理科)二次函数f(*)=/+公+双4、beR)(I)若方程f(x)=O无实数根，求证：b>0;(ID若方程f(x)=O有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f(—a)=；d—i)；4(III)若方程f(x)=o有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k,使得|/伏心；.(文科)已知函数f(X)—ax1+bx+c, |={=,aeN*,heN,cZ.(I)若b>2a,且f(sinx)(x£R)的最大值为2,最小值为一4,试求函数f(x)的最小值；(II)若对任意实数X,不等式4x4/(x)42(/+1)恒成立，且存在X。使得了(Xo)<2(工2()+］)成立,求C的值。.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足：对任意x、yc(-l,1)f(x)+fS=f(F)都有 l+WO(I)求证：函数f(x)是奇函数；(II)如果当XWLL6时,有f(x)>0,判断f(x)在(-1,1)上的单调性，并加以证明；(III)设-ka<l,解不等式：W+f(占)>。.设/(X)是定义域在［T1］上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.(1)求证/㈤在［-1,1］上是减函数；(11)如果/(X-。)，的定义域的交集为空集，求实数c的取值范围；(1H)证明若-14CW2,则〃X—C), 存在公共的定义域，并求这个公共的空义域..已知函数f(x)=ax?+bx+c,其中a£N*,bwN,c6Zo(1)若b>2a,且f(sinx)(xWR)的最大值为2,最小值为一4,试求函数f(x)的最小值；(2)若对任意实数x,不等式4x<f(x)<2(x2+l)恒成立，且存在X。，使得f(x。)<2(xo2+l)成立，求c的值。.(理)已知f(x)=In(\4-x2)4-ax(a<0)(1)讨论/⑶的单调性；(2)证明：(1+=)(1+J)…(l+4)<e("GN*),"22其中无理数2 3 ne=2.71828・・・).(文)设函数/(幻=；以3+川+cx(a</?<c),其图象在点A(l,/(1)),8(八/(阳))处的切线的斜率分别为。，-a.(1)求证：0<^<1；a(2)若函数/⑶的递增区间为［M,求［S-H的取值范围..设函数/(幻=一卡+2“-3a2》+仪0<。<1)(1)求函数f(x)的单调区间，并求函数f(x)的极大值和极小值；(2)当x£［a+l,a+2］时，不等|小)区求a的取值范围..已知函数f(x)=x+”——,函数g(x)=61nx+m.x-1(1)当X>1时,求函数f(X)的最小值；(2)设函数h(x)=(l—x)f(x)+16,试根据m的取值分析函数h(x)的图象与函数g(x)的图象交点的个数..已知二次函数7•(乃=0?+加+1直线］］：旷=一产+8«其中04142/为常数)；4h=2.若直线11、k与函数f(X)的图象以及L,y轴与函数f(X)的图象所围成的封闭图形如阴影所示.(I)求a、b、c的值；(II)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式；(III)若g(x)=6inx+皿问是否存在实数m,使得y=f(X)的图象与y=g(X)的图象有且只有两个不同的交点?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由..已知/(x)=Mx-a)(x-b),点A(s,f(s)),B(t,f(t))(I)若a"=l,求函数7(X)的单调递增区间；(n)若函数/(X)的导函数八用满足：当|x|时，有lr(x)|W|恒成立，求函数f(x)的解析表达式；(III)若o<a<b,函数/(X)在x=s和x=r处取得极值，且4+6=2百，证明：苏与无不可能垂直.

25.已知函数/（尤）=1（旌刈X⑴设g（x）=/（x）+lnx,当mN）时，求g（X）在［9］上的最大值;4 2⑵若尸bgj8T⑼利,+8）上是单调减函数，求实数m的取值范围.8.解：(I)设g(X)=/(X)-X=Ot2+(6-1)X+1,且4>0,*,•由条件为<2<%<4,得g(2)<0且g(4)>0 ( 2分4a+处一1<01+4Z?-3>04a+处一1<01+4Z?-3>0二一船＜―.勿（4分）•3••——4a<4(5分)对3_4a<b<1-2a可得1 < <2 .,力、iI、i] *4a2aSa**xo="T；>1~77>1 r=-12〃4a4x18（8分）(II)由g(x)=or。+(b—l)x+1=0可知>¥缄2=，>OWX]与匹同号.a0<%)<2,%,<2<x2<4,.,.x2-X1=2,（11分）由g(2)<(W4a+2力—1v0彳弋后2^(Z?-1)2+1<3—2b=>b<—.9.解：解法一：（1）令x=0,y=2,得：/（0）=［/（0）］2…一••••••]/./(o)>o7(0)=1 那则(2)任取匹、X2G(-oo,-H»),且,V%2.那则Pi<Pi

/(x,)-f(x2)=/(1P,)-/(|p2)=[/(l)]p1-[/(l)]^ 8分:宿)>1，PlVP2 /(^|)</(-«2) “⑴在R上是单调增函数9分(3)由(1)(2)知f{b)>/(0)=1“07好)=[〃加 11/(«)+/(c)=lf(b)y+[/(加>24/(切病而a+c而a+c>2Vac=2y[b^=2b.■■2/f出方>2,"⑸产=2/0)■-f(a)+/(c)>2/(b)15解法二；(1)“对任意x、yER,有/⑶)="(x)]y/(x)=/(x-i)=[/(i)r 1 分 当》=o时TOC\o"1-5"\h\z/(0)="(1)]° 2 分・•'任意x£R, /(x)>o 3分••"(0)=1 4 分(2)=/(3x1)=[/(I)]3>i 6分/（X）="⑴「是R上单调增函数 即f（x）是R上单调增函数；……9分(3)f(a)+/(C)=[/(i)r+[/(i)r>2打⑴r， 11分而a+c>2疝=2西=» r.2如⑴/>2《"⑴产=2/(6)10.解：⑴,/f(x)在[0,1比单调递增，在[1,2比单调递减，.•.当x=l时，f(x)取得极大值，一・f(x)=0,BP(4x3-12x2+2ax)|r=1=0, a=4,( 2 )设点A(x0，/(尤0))是“外上的任一点，它关于X=1的对称点的坐标为8(2-%,/(%)),*.*f(2-x0)=f(xQ)：.x=1是y=/(x)的图象的一条对称轴。由g(x)=bx2- =x4-4x3+4x2-1的图象恰有2个不同的交点对应于方程加一1=/_以3+4-一恰有2个不同的实根，即/_4/+4/_灰2=0.%=0是一个根，当》=伽寸6=4,当方程有等根得b=0/.b=4或b=0为所求..解:(1)取x=l,q=2,有/(12)=/⑵即/⑴=0阂(X)=0的一个根,若存在另一个实根X。H1,使得了(内)w。对任意的e(0,+oo)成立,且=Xo"(4#。),旬'区)=/(入0)=0,,•,/(》0)=0恒成立'，/(须)三0,与条件矛盾,二/(*)=0有且只有一个实根*=1(2);a>b>c>1,不妨设a=b"',c=b"2,

，则qi>0，%>。「•/(a)・/(c)=/S%)・/S")=4U2•rS)，又a+c=2b,(q+%)•…(q+%)即ac<b2：.bq'+qz<Z?2,/.O<<7,+q2<2,：.q-,q}<•••/⑴=OJ(x)在(0,依)单调递增，当xw(O,l)时/(x)<0;当xe(l,4<»)时，/(x)>0.又|/(叫=|/(哪.••/(")=/(n),/(m)=-m>n>O,:.f(m)=-/(〃).令m=b91,n=bVz,b#1,且q©2#o则 f(m)+f(n)则 f(m)+f(n)=(qt+q2)f(b)=f(mn)=0・"(叫=21于J，且BP41n二根2+2/%〃+〃？ —加2—2=/,由0〈n〈l得0<4加一加2—2<1,TH>1,.解：⑴P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x-5000(xeN且xe[l,20]); 2分MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275(xeN且xe[l,20]). 4分(2)P'(x)=-30x2+90x+3240二-30(x+9)(x-12)(xeN且xe[l,20]) 7分当1<x<12时，P'(x)>0,P(x)单调递增，当12<x<20时，P'(x)<0,P(x)单调递减.「・x= 12时，P(x)取最大值，10分即，年建造12艘船时，公司造船的年利润最大.11分(3)由MP(x)=-30(x-1)2+3305(xeN且xe[l,20]).,・当xK20时，MP(x)单调递减.12分MP(x)是减函数说明：随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少.1.解：⑴①当"0时，函数个)的单调递增区间为(-Ja(a-l),。)/S.(。，Ja(a-1))，②当0<"1时，函数f(x)的单调递增区间为(-0,0)及(0,+oo),③当4>1时，函数/(X)的单调递增区间为(F,-而不下)及(Ja(a-l),+8).（6分）（2）由题设及（1）中③知必F=而且a>l,解得a=3,（9分）因此函数解析式为f（x）=与+巫3x（XWO）. （10分）（3）（理）假设存在经过原点的直线/为曲线c的对称轴,显然八y轴不是曲线C的对称轴，故可设/：y=kx（b0）,设尸（p,幻为曲线C上的任意一点，P（pW）与P（p,q）关于直线/对称，且PS，，"/,则尸也在曲线C上，由此得守人“，口=」，2 2p-P k日 P,p，2石且勺=忑+7 '勺=而下 '（14分）整理得上十爰，解得女=6或%=（，所以存在直线尸岛及丫=-等X为曲线C的对称轴.（16分）轴.（文）该函数的定义域。=（3,o）U（o,田），曲线c的对称中心为(0,0)，因为对任意X&D/(-x)= +回")=J叵+'(”)]=-/(x),a-xIax所以该函数为奇函数，曲线c为中心对称图形..解： （ I ）f'（x）=-logue,g'（x）=--log“e 3分x 2x+，一2,/函数/（X）和g（x）的图象在X=2处的切线互相平行.，2)=g(2) 5分t=6 6分(II)力=6,(2x+4> 「一=loga 7分(2x+4)=4x+—+16,xe[l,4]X X.•.当lWx<2时，/(x)<0,当2<xW4时，h\x)>0.・•・〃(x)在[1,2)是单调减函数，在(2,4]是单调增函数. 9分A(x)min=〃⑵=32，/.爪幻皿v=//(1)=A(4)=36当。<”1时，有F(x)min=log„36,当。>1时，有尸(X)而n=log432.,/当xe[l,4]时，F(x)>2恒成立，・•・尸"焉>2 11分・•・满足条件的。的值满足下列不等式组『黑二①,或〔:>>>2②[log,,3622; [loga32>2.不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1<心4&综上所述，满足条件的。的取值范围是：TOC\o"1-5"\h\z15.解：(1)在f(m-n)=f(m)+f(n)中令m=〃=l,得/(D=0; 2分设百>W>0,则五>1,从而有/(五)<0x2 x2所以，/U,)=f(x2.2)=/5)+/(土)<f(x2)x2 x2所以， /(x)在R+上单调递\o"CurrentDocument"减 5分vf(x+y)+f(x-y)=f(x2-y2)>0=f(\),由(1)知，f(x)在内上单调递减，x+y>0TOC\o"1-5"\h\zx-y>0, 7分x2-y2<1故集合A中的点所表示的区域为如图所示的阴影部分；而/(奴-y+2)=0=/•⑴，所以，ax-y+l=O, 8分故集合8中的点所表示的区域为一直线，如图所示，由图可知，要只要"1,・••实 数。的取值范围是\o"CurrentDocument"(fl) 10分(3)由(1)知f(x)在R+上单调递减，・•・当0<x<l时，/(x)>0,当x>l时,/(x)<0,v0<a<bf而"(a)R/S)|,:.a<\,b>\,故f(a)>0J(6)<。，由 得, f(a)+f(b)=O,所以，ab=T, 12分又管>族=1,所以一(()(川)=。，又...f@)=2〃竽=/僧斗由|/(勿|=2"(^^)|得，4b=(a+b)2=a2+b2+2,/.4b-b2=a2+2,2又0<a<l,所以2</+2<3,由2<45-从<3及。>1解得，3<b<2+y/216.解： (理) (I)△=a2-4b,若b<0,则4>0,方程有实根与题设矛盾.；.b>0.(3分)(ID设两整根为Xi,X2,Xi>X2Af(-a)=b=^-(a2-1) (5分)4(III)设m<Xi<X2〈m+l,m为整数。1°.--g+—]BP-1<a+2a?z<01-4<2a-)2+f(m)—m1-4<2a-)2+4f(m+1) + +a(m+\)+b<(m+2)2+a(m+1)+—=(zn+1+—)2<4 2 4，存在(6分)(文)f(sinx)-asin2x+/?sinx+c.•./(Sinx)min=/(-l)=Tf(sinx)max=f⑴二2,乂b>2a>0,r.a=l,c=-2. /(x)=尤？+3x-2.F(X)min=-? (7分)(2)v4x<f(x)<2(/+1),.-.4</(I)<2(1+1)=4,.\/(I)=4.(1分)不存在X。削“0)<2x：+2.当a=l时，C=l,：.b=2,:.f(x)=x2+2x+l.此时存在Xo,使/(/)<2«+1).故。=1.(2分).解：⑴证:令x=y=O,则f(O)+f(O)=f(O),X-X故£(0)=0令尸-*,则£&)+£(-*)=式172)冲)°f(-x)=-f(x)・•・函数f(x)的奇函数4'/TT、'n1/1/”1m.lf(xD-f(X2)=f(xD+f(-X2)=f(^^)TOC\o"1-5"\h\z(II)设T〈xl〈x2G,则 i-x/20Xj<X2€(-1,1) X2-X]>0,-1<X[X]<1m..卢二江<0 f(尸当>0,即f(Xi)>f(x2)因此l-x/2 l-xpc?・•・函数f(x)在(-1,1)上是减函数 8'(H[)2f(a)>-f(占)=f(±),f(x)是J],i)上的减函数，/,-1<a<——<1X-1由 得x<0或x>2 9'当a=0时，,原不等式的解集为{x|x>2}10，当-l〈a<0时。x>2中原不等式的解；若x<0,则a(xT)>1,x<l+a故原不等式的解集为""J海>2} ⑵当0<a〈l时，x<0不是原不等式的解;若x>2,则a(xT)<1,x<l+» /.2<x<17故原不等式的解集为｛x[2<x〈l+3.解：(1)•・•奇函数的图像上任意两点连线的斜率均为负对于任意X、“且有f(X])—f(X2)<() X|-x2 3分从而阳-》2与/(七)-/(々)异号f(x)在 [-1,1]上是减函数 5分/(X-C)的定义域为[c-l,C+1]/(X-的定义域为[c2-1,c2+1J 7分•・•上述两个定义域的交集为空集c2-1>c+l解得：c>2或c<-l故C的取值范围为c>2或c<-l 10 分*/ c2+]>cT恒成立由(2)知：当-1WCW2时当1WCW2或-1WCWO时C2+1>C+1HC2-1>C-1此时的交集为[(C2-1,C+1] 12 分当0<c<lc2+1<c+1且c2-1<c-1此时的交集为[C-1,。2+1]故-1WCW2时，存在公共定义域，且当-1WCWO或1WCW2时，公共定义域为[(C2-1,C+1J;当0<c<l时,公共定义域为[c-1,.解：(1)由函数f(x)的图像开口向上，对称轴x=—

b/2a<—1知，f(x)在[—1,1]上为增函数，故f(1)=a+b+c=2,f(—1)=a—b+c=4,.*.b=3,a+c=—10又b>2a,故a=l,c=—2。.*.f(x)=x?+3x—2,最小值为-17/4。(2)令x=l,代入不等式4x〈f(x)W2(x'+l)得f(1)=4,即a+b+c=4,从而b=4—a—c。又4xWf(x)恒成立，得ax2+(b—4)x+cNO恒成立，故4=(b—4)2—4acW0,Aa=Co又b>0,a+c<4,，c=l或c=2。当c=2时，f(x)=2x+2,此时不存在满足题意的xoo当c=1时满足条件，故c=l。.解：(理)(1)f(x)=-^+a=ax2+2x2+a.l+x2 1+x2Gir①若a=0时，/(x)= ->0=>x>0,/(x)<0=>x<0,1+xf(x)在0,+oo单调递增，在-oo,0单调递减， 1'②若时，f(x)40对xeR恒成立.[.A<0f(x)在R上单调递减. 6'TOC\o"1-5"\h\z由外旬>0nax2+2x+a>0=<x<^^Z<x<^^Z,a a\o"CurrentDocument"由-3>。可得x>一/一石7或一*E,a a・•・f(x)在［士^EZ,±2叵］单调递减，在a a\o"CurrentDocument"-oo］上单调递减，综上a a所述：若心-/时，”均在(—00,+00)上单调递减.\o"CurrentDocument"当-/<"0时，/⑴在［出巨，上正I］单调递减，a a在(_8,上亘和±2叵m)单调递减，a a当a=0时，/(x)在0,+8单调递增，在-8,0单调递减.21.解：(1)Vfz(x)=—x'+4ax—3a?=—(x13a)(x—a),由f'(x)>0得:a<x<3a由f'(x)<0得，x〈a或x>3a,则函数f(x)的单调递增区间为(a,3a),单调递减区间为(-8,a)和(3a,+8)列表如下:X(―0°,a)a(a,3a)3a(3a,+oo)「(X)—0+0—f(x)_43a3+bb・•・函数f(x)的极大值为b,极小值为一ga5+b 7分(2)•/f'(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-2a)2+a2f'(x)^E[a+l,a+2]上单调递减，因此r(x)max=r(a+1)=2。一Lf'COmin=/(。+2)=4a—4•・•不等式If'(x)|Wa恒成立，・•・,解得:乜”1即a的取值范围是建"I4。一42-a5 522.解：(1)方法一：VX>1, f(x)=/-8416=£^M,X-1 X-1当且仅当x=4时，取等号，故函数f(x)的最小值为0；方法二：•二X>1, f(x)=x-l+—^--6>2J(x-l)--6=0x-1Vx-1当且仅当x-i=y即x=4时，取等号，故函数f(x)的最小X-1值为0.TOC\o"1-5"\h\z方法三：求导(略) 4分(2)由于h(x)=(l—x)f(x)+16=8x-x2设F(X)=g(X)—h(x)=61nx+x2-8x+m(x>0且x#l),贝！J.6_o2(x-l)(x-3) r-F(x)=-+2x-8=- , 6

令F(x)=O得X=3或X=令舍)又：limF(x)=—oo,limF(x)=4-oo,xtO x—>+oolimF(x)=m-7,F(3)—61n3—15+m Ay根据导数的符号及函数的单调情况、取极值的(3,61n3-15+m)(3,61n3-15+m)11分由此可得：当mV7或m>15-61n3时,h(x)的图象与g(x)的图象恰有1个交占.当m=1