2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末复习选修2-1第3章空间向量与立体几何综合检测题-【含答案】

人教A版选修2-1第三章空间向量与立体几何综合检测题一、单选题1.已知空间向量"=（T°'3）,6=（3,-2,X）,若力则实数X的值是（）.A.-1 B.0 C.1 D.2.若二面角a-1-B的大小为120°,则平面a与平面B的法向量的夹角为（）B.6B.60°C.120°或C.120°或60°.若平面a的一个法向量为々=（1,0,1）,平面B的一个法向量是〃2=（-3,1,3）,则平面a与B所成的角等于（）30°45°60°90°30°45°60°90°.如图,在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）/88-44GA中万为8c延长线上一点，元=2屈，则=.与向量"二（1'一"2）平行的一个向量的坐标是（）.在正三棱柱"8C—44G中，侧棱长为底面三角形的边长为1,则8G与侧面”CG4所成角的大小为（）ClA.30° B.45。 c.60。 D.90。.如图，正方体的棱长为1,E、E分别是棱8C、0A上的点,若B\EJ-平面ABF,则CE与DF的长度之和为（）.A,B,2叵TGc.—D.18.己知正方体"Be。一44G2的棱长为i,点m在"G上且l"G,点N为瓦8的中点，则对为（）.V66V156后6V1539.已知《23）、8（2,12）、尸（口2）,点。在直线°P上运动，当33取最小

值时，点。的坐标是（ ）.111、一，一，-,A.C.MTD.SO333A.C.MTD.SO10.如图所示，正方形48E与等腰心&4匿所在的平面互相垂直,10.AC=BC=2f/ACB=90°,F、G分别是线段ZE、8c的中点，则4。与GE所成的角的余弦值为（ ）.GE所成的角的余弦值为（ ）.A.'VB.C.D.11.已知向量a=(2,4,x),b=(2,y2)；若|a|=6,a±bt则x+V的值是().-3或1

一3C.1D.3或一1.如图所示，在平行六面体"c，一44GA中，河为4c与鹤的交点，若"=a,AD=b,'4=c,则下列向量中与两相等的向量是（ ）丈+丈+匕+)B.2 2^a-^b+cD.2 2^a-^b+cD.2 2——a——o+c2 2二、填空题.己知向量且用=（，，）, 蔡〃），则兄的值为..在楼长为1的正方体力sc。-44G4中，e是线段的中点，尸是线段BB］的中点，则直线77G到平面4B\E的距离为.如图所示，正方体'8CO-4片£〃的棱长为1,0是底面48cA的中心，则°到平面48GG的距离为..在长方体ABCD-4aCR中，"4="8=2,"D=1,点F,G分别是'民0G的中点，则点口到直线GF的距离为.

三、解答题.在空间四边形中，E是线段8c的中点，G在线段/£上，且AG=2GE⑴试用04°民。。表示向量百（2）若04=2,08=3,0C=4,ZAOC=ZBOC=60°tNZO8=90。，求的值及的值及.如图，等腰04=08=2,点C是的中点，a/OB绕8°所在的边逆时针旋转一周.(1)求aZBC旋转一周所得旋转体的体积/和表面积S；2tt(2)设04逆时针旋转至℃,旋转角为3,求异面直线/C与8。所成角的大小..如图，在长方体一481GA中，",=四=1，"=2,点£■在棱48上移动

(I)证明：D\ELA\D.(II)当E为48的中点时，求点E到平面的距离.选用合.如图，正方体"8C0-44GA中，〃、N分别为48、4c的中点.选用合适的方法证明以下问题：D\ GD\ G(1)证明：平面48°//平面8cA；(2)证明：MN，面48。..如图，四棱锥尸一Z8CO中，平面“8CQ、底面Z8C0为菱形,°。的中点.(1)证明：尸8〃平面4EC；(2)设P"=1，N8"O=12°,菱形/8C。的面积为2道，求二面角力一4后一0的余弦值..已知长方体N6344CQ中，3①2,/4=L为4G的中点⑴证明BD，/平面B[EC；⑵求直线与平面8日所成角的正弦值.答案c【分析】根据空间向量垂直的性质进行求解即可.【详解】因为Z_l3,所以。3=0,因此；有一1*3+°*(—2)+3'=°=>》=1.故选：CC【分析】利用法向量的夹角和二面角的关系解答.【详解】二面角为120°时，其法向量的夹角可能是60。,也可能是120°故答案为C本题主要考查二面角的大小和法向量的夹角的关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.D【分析】先求出所以al/,即得平面a与B所成的角.【详解】 !' >因为% =(1,0,1)(3,1,3)=0,所以al2即平面a与£所成的角等于90°.故选:D(1)本题主要考查利用面面垂直的向量表示，意在考察学生对该知识的掌握水平和分析推理能力。)两平面的法向量垂直，则两平面互相垂直.B【分析】如图所示，取6c的中点尸，连接4尸，先证明彳尸=*,再求出AXF=-AA}+AB+—AD2 ,即得解.【详解】如图所示，取8C的中点尸，连接则4AIIFE且4Qi=FE•••四边形42即是平行四边形,4^11D1E艮AXF=D]E,；.A}F=DXE衣=函+方+而=_羽+而+!亚又 2：.d^e=Jb+-ad-aa.2 1,故答案为B本题主要考查平行六面体的性质、空间向量的运算法则，意在考查空间想象能力以及利用所学知识解决问题的能力.C【分析】根据向量共线定理判定即可.【详解】（3=；0，3,3） -对于A,由于13J3，所以与向量a不共线，故A不正确.对于B,由题意得向量（一1'-3,2）与向量［不共线，故b不正确.对于C,由于I22） 2，所以与向量。共线，故C正确.对于D,由题意得向圜正，-3,02及）与向量&不共线，故D不正确.故选C.判断两个向量a》是否共线的方法是判断两个向量之间是否满足"二址S*①，其中2为常数，本题考查计算能力和变形能力，属于基础题.A【分析】以C为原点，。为x轴，在平面/8C中过C作4c的垂线为y轴，°G为z轴，建立空间直角坐标系，然后算出平面ACC'A'的法向量和BCi的坐标即可.以。为原点，。/为X轴，在平面Z8C中过C作/1C的垂线为V轴，CG为z轴，建立空间直角坐标系，则哈刿的,也严"平面"G4的法向量〃设8G与侧面ACCA所成角的大小为®,BG与侧面40G4所成角的大小为30°故选：A.D【分析】以"为坐标原点，24、RG、RD为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用与E•必即可求出【详解】以"为坐标原点，〃4、4G、RD为X、y、Z轴建立空间直角坐标系，设CE-x0,DF-%,则E(x0,lL),5,(MO)/(0,01-%),8(1,1,1),...=(X。—1,01),FB=(1,1>y0),由于4E_L平面/§产，BXE-FB=(x0—1,01)-^11 —1+0+Vo=0,即Xo+_yo=l,故CE与。尸的长度之和为1.故选：D.C【分析】先以O为原点建立如图空间直角坐标系。一切z,设"(x,j,z),根据已知向量关系直接求点M，再根据向量模长的定义计算即可.【详解】以。为原点建立如图所示的空间直角坐标系。一XJN,则“(L°，°),G(°』，l)设A/(x,y,z),...点加在上且2 ,... 2 ,D【分析】由点°在直线。尸上运动，设。=(乙42'),利用数量积的坐标表示求出。(3,根据二次函数的性质得出取最小值时的点。的坐标.【详解】•・•点。在直线。尸上运动，.•.°=(/U'2'),.必•切=(1一；1,2tZ3l24)•(2—义1-42-24)=(l-A)(2-A)+(2-A)(l-A)+(3-2A)-(2-2A)) 4,3=622-162+10=6(/1-^)2-144 448・・・§时。力，”取最小值，Q点坐标为(3，?3),故选：D.C【分析】先依题意建立空间直角坐标系，写出向量瓦，GF,再计算夹角余弦值7^\ADGFcos(AD,GF)=I一iI_I\ /\ad\-\gf\“ AI11I,其绝对值即是所求角的余弦值.【详解】根据题意，建立以C为原点，建立空间直角坐标系C一型，则/(°，2,0),8(2,0,0),0(0,0,2)G(l,0,0)F(0,2,l)，，，.力=(0,-2,2),存=(一1,2,1),...⑷=2应，闭=件ADGF=-2ci"器W功Gf1111，二直线与GF所成角的余弦值为6.故选：C.【分析】J4+16+X2=36根据0=6,也，由14+4y+2x=0求解【详解】因为I。1=6,a±bt4+16+x2=36所以（4+4y+2x=0,x=4 fx=-4解得b=—3或［y=i,所以x+y=i或x+y=—3,故选：A.A【分析】在平行六面体44GA中，结合空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】在平行六面体/6C。-4B£Di中，”为4G与BR的交点，两=函+丽=g（亦+初）+福= +m故选：A.32【分析】利用向量平行的性质直接求解.【详解】解：\•向量加=（2,3,6）,«=0,4,3）,且玩〃万，A3一=—=一36,,3Z=—解得2.故2.2_3【分析】先证明FG"平面AB\E,再求出平面AB^E的法向量和直线EF的方向向量后可求直线EG到平面'与"的距离.【详解】4后=（_1,0,；）,用=（一1,0,£| AE=FC所以 1 2人所以4力一9，而?tEu平面FC1①平面,故/。"平面所以直线FC'到平面AB'E的距离即为点F到平面4B1E的距离▽乔=（1,1,0）函=（0,1,1）乂 T ，设平面阳£的法向量为〃=（x，y，z）,/y+z=0故।X+2°,取z=2,则〃=（『2,2）,故点尸到平面"4"的距离为H3,故答案为.3方法点睛：点到平面的距离，可利用线面垂直来求解，也可利用斜线的方向向量和平面的法向量来求解，解题中注意合理选择方法.旦4【分析】以。为原点，为片卜/轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离即可.【详解】以。为原点，为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得“点4'11/（1,0,0）,.（。,。」）荔=（0,1,0），西=（-1,0,1）设平面/8GR的法向量为“=（X"）,ABn=y=0四万=一》+2=0,令》=1,则万=。,0,1）,d=••・O到平面/5G2的距离V2本题考查点到平面的距离的求法，常用的方法有等体积法，垂线法，空间向量方法，利用空间向量方法求解是比较方便的方法.V423【分析】以。为原点，。/为x轴，0c为V轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点2到直线G厂的距离.【详解】以。为原点，ON为X轴，OC为V轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则2（°,0,2）,G（0,2,1）,尸（1,1,°）,西=（!-12）,的=（7,],1）,，点〃到直线G/7的距离:”西/溪岛2=巫.\1"嗑餐）2=半V76x73 3V42二点A到直线G厂的距离为3V42故3.XX空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系;（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量：（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量：（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.OG=OG=-OA+-OB+-OC17.(1) 333【分析】（1）用向量的线性运算可得.（2）把在用°8一°4表示后求得数量积，利用\=-J(OA+OB+OC)213 求模.【详解】.————2——2—— 1—2—OG^OA+AG=OA+-AE=OA+-(OE-OA)=-OA+-OETOC\o"1-5"\h\z(D 3 3 3 3=-OA+-x-(OB+OC)^-OA+-OB+-OC3 32 3 3 3,―•■I■ •...・ ■ ■I■2 .2‘’1•.‘’一・■OGAB=-(OA+OB+OC)(OB-OA)=-(OB'-OA'+OCOB-OCOA)(2) 3 31, , 7=1(32-22+3x4cos600-4x2cos60°)=；

I.I1/ .一■~~Z-1/ *2 -2 **2 - ■ ■ ■ ■ ,|OG|=-yl(OA+OB+OC)2=-\lOA+OB+OC+2OAOB+2OBOC+2OAOC=-V22+32+42+2x2x4cos60O+2x3x4cos60°=-3 3关键点点睛：本题考查空间的基本定理，求向量的数量积和模.解题是选取04°民℃,其他向量都用基底表示，表示方法可用向量的加法法则、减法法则，数乘的定义进行求解.这是基本方程，当然也可利用向量线性运算中的结论求解.71⑵2471⑵2丁 2乃(1)3.【分析】(1)利用体积、表面积公式，即可求旋转一周所得旋转体的体积-和表面积S.(2)如图建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量的数量积即可求异面宜线所成的角.【详解】试题解析:1 4V=-x7rx22(2-1)=-^⑴ 3V73S=-x2^x2(272+75)=2万(2四+行)(2)如图，建立空间直角坐标系,(2)如图，建立空间直角坐标系,A（2,0,0）C（O,O,1）B（0,0,2）9 ，（ 2乃 .21、D2cos—,2sin—,0 £＞（-1,73,0）由三角比定义，得I3 3人即《，，人则就=（-2,。,1）,而十1,瓜-2）AC~BD=2-2=0,所以ZC18O7T所以异面直线AC与BD所成角为2]_（I）证明见解析；（II）3.【分析】（I）建立空间直角坐标系，根据空间向量垂直的性质进行证明即可:（II）利用空间点到平面的距离公式进行求解即可.【详解】以。为坐标原点，直线。/,DC,分别为x,y,z轴，建立空间宜角坐标系,设NE=x,则4(1,0,1)P,(0,0,1)£(l,x,0)4(1,0,0),C(0,2,0)(I)因为,"E=(L°, 1)=0,所以DAX_LD\E(II)因为E为"的中点，则从而印=(1,1,-1)就=(-1,2,0)^=(-1,0,1)设平面ACD'的法向量为“=（"也,）,n-AC=O万.函=0—a+2b=0a=2b也即［-a+c=0,得［=c,取c=2,从而7=(2,1,2),2+1-21n="———-= =一所以点E到平面的距高为 1〃1 3 3.(1)证明见解析：(2)证明见解析.【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可(1)求出两个平面的法向量，若两法向量共线，则可得证；(2)求出向量若此向量与平面46。的法向量共线，则可得证【详解】(1)建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2,£＞（0,0,0）4（2,0,2）5（2,2,0）5,（2,2,2）C（0,2,0），（0,0,2）设平面的法向量为m=（xj，z）,..^4；=（2,0,2）丽=（2,2,0）•，，2x+2z=0・［2x4-2^=0取加=(T"),同理平面48的法向量为〃=㈠'L1), 加〃〃，. ABD//^B.CD.••平面। 平面।1；N分别为“8、8。的中点，.而=(TU).MNHm••，・・，...MN，面A\BD.j_(1)证明见解析；(2)4.【分析】(1)连接80交4C于点°,连接则尸8//OE,利用线面平行的判定定理，即可得证；(2)根据题意，求得菱形48co的边长，取8C中点“，可证/JM,SC,如图建系，求得点坐标及"瓦坐标，即可求得平面4CE的法向量，根据平面尸/。，可求得面/OE的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】(1)连接80交ZC于点°,连接则°、£分别为"=/CWP疝正，就、P0的中点，所以PB//OE,又0Eu平面力CE,P8平面力CE所以P8//平面NCE

（2）由菱形/8C。的面积为2石，N84D=120°,易得菱形边长为2,取8c中点连接因为/8=/C,所以/WBC,以点月为原点，以幺加方向为x轴，方向为V轴，/尸方向为z轴，建立如图所示坐标系.Ij0（0,2,0）,/（0,0,0）,E（0,1,；）,C8,1,0）所以尼所以尼=4,1,0）设平面ACE的法向量〃।=（x/，z）,由"1,/瓦々_L/Cv+—z=0，2得［后+尸0,令x=则y=-3,z=6所以-个法向量涓（①一3,6）,因为AM1PA,所以疝0，平面p/o,