2019年数学高考真题卷-全国Ⅰ卷理数（含答案解析）

2019年普通高等学校招生全国统一考试•全国I卷理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..已知集合Ya⑵，2-『66},则材n2A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2)C.UI-2<x<2)D.{x\2<x<3}2.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,力，则A.(广1)2+/=1B.(xT)2+/=1C.x+(y-1)2=1D.x+(户1)\I3.已知a=logO2,b^\c=O.20i,贝(IA. B.a〈c〈bC.c<a<b D.b<c<a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是亨(亨七0.618,称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是与.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是A.165cm B.175cmC.185cm D.190cm.函数f(x)①节在n］的图象大致为COSX+X2

.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“"和阴爻" "如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是 ——.已知非零向量a"满足㈤之|6|,且(a»)1.6,则a与6的夹角为A.- B.- C.—D.—6 3 3 6.如图是求'p的程序框图，图中空白框中应填入.1t1A.A=-2+AC.Sn=2n-8/7D.Sn^-rT~2n.记S为等差数列｛a”｝的前nC.Sn=2n-8/7D.Sn^-rT~2n.已知椭圆「的焦点为£(T,0),K(I,0),过4的直线与C交于48两点.若/四/2/46/,〃司=/明/，则。的方程为TOC\o"1-5"\h\z・422. c/y2A.一+1 B.一+——12 3 2X2V2 X2 V2C.上+匕可 D.土+匕=143 5 4.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论:①f(x)是偶函数②/U)在区间号，兀)单调递增③/U)在［-n,n］有4个零点④/Xx)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A.①②④B.②④C.①@D.(1X3).已知三棱锥产T6C的四个顶点在球。的球面上,PA=PB=PC,△胸是边长为2的正三角形,E,尸分别是PA,的中点，/CEF§O。，则球。的体积为A.8nnB.4V6JiC.2a/6nD.V6n二、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分..曲线片3kx+x）e"在点（0,0）处的切线方程为..记S为等比数列｛a〃｝的前n项和.若团qal-ae,则..甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4.'I获胜的概率是..已知双曲线（aX,如0）的左、右焦点分别为R,&过R的直线与C的两条渐近线分别交于A,Ba1两点.若瓦彳^F^B•F^B=O,则C的离心率为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题:共60分..（12分）的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设（sinB-sinC）'^sin~A-sinBsinC.⑴求4；（2）若ypia+bec,求sinC..（12分）如图，直四棱柱ABCD-ARCD的底面是菱形,A4i-4,AB2NBADWQ°,E,M,N分别是BC,郎,4〃的中点.（1）证明：也W〃平面CxDE\⑵求二面角4-预力’的正弦值.C.(12分)已知抛物线C:/考x的焦点为F,斜率为;的直线1与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.⑴若I朋+1班In,求/的方程;⑵若丽4而，求46..(12分)已知函数f(x)rinx-ln(l+>),f'(x)为/'(x)的导数，证明:(l)f'(x)在区间(T,：)存在唯一极大值点；f(x)有且仅有2个零点..(12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定:对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得T分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得T分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为。和£,一轮试验中甲药的得分记为工(1)求才的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,1,…,8)表示“甲药的累计得分为，时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p)=0,Pi=api-\+bpi+cpiA(7=1,2,—,7),其中a=P{X=-\),b=P(X=O),c=P{X=\}.假设。=0.5,£4).8.(i)证明：山”“}(/=0,1,2,…,7)为等比数列;(ii)求R,并根据出的值解释这种试验方案的合理性.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分..［选修4M:坐标系与参数方程］(10分)(i-t(a+b),+(6+c)'+(c七)>24.- 为参数).以坐标原点。为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为20cos0a/3Psin+11=0.(1)求。和/的直角坐标方程；(2)求。上的点到,距离的最小值.23.［选修4七:不等式选讲］(10分)已知a,b,c为正数,且满足abc=L证明：⑴工△』Wa"。"；abc12345678910111213141516CCBBDABAABCDy=Zx1210.182.C【考查目标】本题主要考查集合的交运算、解一元二次不等式等，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.【解析】通解：'的{*|-2aYG<2}, 2a⑵，故选C.优解由题可得心3-24<3}.丁-3轴.：-3阵MCA；排除A,B;：25酬.：2. %排除D.故选C.(解题关键】求解此类题的关键:一是化简集合,如本题通过解一元二次不等式,达到化简集合的目的;二是借形解题,有关集合之间的补集、交集、并集问题,需对集合的相关概念有深刻的理解,善于抓住代表元素,通过观察集合之间的关系，借助数轴寻求元素之间的关系，使问题直观准确地得到解决..C【考查目标】本题主要考查复数的模的概念和复数的几何意义，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】通解:z在复平面内对应的点为(x,y),.：z=x+yi(x,yCR).//z-i/=l,.：/x+(yT)i/=l,x+(y-l)2=l.故选C.优解一：'/z-i/=l表示复数z在复平面内对应的点(x,力到点(0,1)的距离为1, 尸1/=1.故选c.优解二在复平面内，点(1,1)所对应的复数z=l+i满足/z~i/=l,但点(1,1)不在选项A,D的圆上，.:排除A,D;在复平面内，点(0,2)所对应的复数z2i满足在TM,但点(0,2)不在选项B的圆上，.•.排除B.故选C.3.B【考查目标】本题主要考查对数函数与指数函数的单调性，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】：a4og20.2<0,b=^2>\,c巾.(0,1),.".a<c<b,故选B.【得分秘籍】 破解此类题,通常寻找中间变量0,1进行估算,即可比较大小.4.B【考查目标】 本题主要考查以数学文化为背景的估算思想，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】26+2690.618+(26+26+0.618)+0.6184178(cm),故其身高可能是175cm,故选B..D【考查目标】 本题主要考查函数的图象与性质，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解析】：T(-X)-s；ny 〜〃x),"(X)为奇函数,排除A;：T(n)"…9"为.:排COS(-X)+(-X)2COSX+X2 cosn+n-1+n除C；「f⑴喘詈，且sin/os1,.卬1))1,.：排除巳故选由【方法总结】已知函数的解析式判断函数图象的技巧:一是灵活运用函数的性质,常利用函数的单调性、奇偶性来排除错误选项;二是取特殊点,根据函数的解析式,选择特殊点，即可快速排除错误选项,从而得出正确的选项..A【考查目标】本题主要考查古典概型、计数原理等知识，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】由6个爻组成的重卦种数为2^4,在所有重卦中随机取一重卦,该重卦恰有3个阳爻的种数为琮上等20根据古典概型的概率计算公式得,所求概率T好.故选A.0 6 6416【解题关键】破解此题的关键:一是会利用分步乘法计数原理求样本空间所含的基本事件总数;二是会利用组合数求事件发生所含的基本事件数;三是会利用古典概型的概率计算公式求事件发生的概率.7.B【考查目标】本题主要考查平面向量的垂直、平面向量的夹角，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】设a与6的夹角为a,；(a-垃J_6,.：(a-6)•b0.：a,b=l), /a/•/6/cosa-//?./",又/a/4/6/,.：cosaA:，aG(0,n),.：a故选B.【易错警示】本题易错点有两处:一是两向量的夹角公式记错,导致结果错误;二是由三角函数值求角时,把正弦的函数值与余弦的函数值搞混,导致结果错误,从而误选A.A【考查目标】本题主要考查含有当型循环结构的程序框图，考查考生的推理论证能力，考查的核心素养是逻辑推理.【解析】"，1/2成立,执行循环体;小」I,公2,2W2成立,执行循环体;公3,3W2不成立，2 2+之结束循环,输出A.故空白框中应填入4噌才故选A.【方法总结】破解此类题需关注题干中所陈述的意思和程序框图中所含的结构,才能准确填写处理框中的内容.A【考查目标】本题主要考查等差数列的通项公式和前〃项和公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】解法一设等差数列｛4｝的公差为d：俨=+等d=0,解得巴1=-3,.：&=&+(〃-a=5,Qi+4d=5,(d=2,d=-3+2(/7-1)之〃-5,Sn-nai却;')~4n.故选A.

解法二设等差数列｛&｝的公差为d：f，= +号d=°，解得［?=-3,选项八,a2X1节=-3;选3=5,(4+4d=5,M=2.项B,a-3XlT0=-7,排除B;选项C,5-2-8-6,排除C;选项D,5』-2=彳,排除D.故选A.B【考查目标】本题主要考查椭圆的定义及标准方程,考查运算求解能力、化归与转化思想以及数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算、逻辑推理.【解析】由题意设椭圆的方程为5珞=l(a)"0),连接£4令小6/招则〃£/之勿,/跖/名加由椭圆的定义知,4m=2a,得故JF2Al=a=lRAl,则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.令4OAF产0(。为坐标原点)，则sin,吟在等腰三角形段1sin,吟在等腰三角形段1中，cos力所以扫-2(),得aW.又1=1,所以〃士/2椭圆C的方程为*g=L故选B.【解后反思】求解圆锥曲线试题,首先考虑画图,其次考虑定义与几何性质.凡涉及焦点三角形的问题,应注意解三角形知识的应用.C【考查目标】本题主要考查三角函数的图象与性质(单调性、奇偶性、最值)，函数零点，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解析】 通解f(-x)rin/-x/+/sin(-x)/=sin/x///sinx/=f(x),."(x)为偶函数，故④E确；当时，f(x)=sinx^sinx=2sinx,.：f(x)在《，兀)单调递减，故②不正确；/'(x)在"］的图象如图所示，由图可知函数f(x)在［-n,n］只有3个零点，故③不正确；：7-sin/x/与尸/sinx/的最大值都为1且可以同时取到，.：f(x)可以取到最大值2,故④正确.综上,正确结论的序号是X@故选C.优解min/-x/+/sin(->)/=sin/x///sinx/=f(x),.：「(>)为偶函数，故①正确，排除B;当时，f(x)=sin%*sin产2sinx,."(x)在令，n)单调递减，故②不正确，排除A;:'尸sin/>/与片/sinx/的最大值都为1且可以同时取到，.：f(x)的最大值为2,故©正确.故选C.D【考查目标】本题主要考查三棱锥的外接球的体积，考查考生的化归与转化能力、空间想象能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、宜观想象、数学运算.【解析】因为点七尸分别为必"6的中点，所以），〃必因为/处R0°,所以比£位所以PBLCE.取〃1的中点D,连接BD,PD,易证4C_L平面BDP,所以PBA.AC,又ACOCE=C,AC,CEu平面PAC,所以如，平面PAC,所以PBVPA,PBA.PC,因为PA=PB=PC,△AffC为正三角形，所以PALPC,即PA,/公先两两垂直,将三棱锥夕-/&放在正方体中如图所示.因为AB2所以该正方体的棱长为々,所以该正方体的体对角线长为伤,所以三棱锥-T6C的外接球的半径R当,所以球。的体积吟”〃守（沙、后n,故选D.【解题关键】破解此类题的关键:一是熟悉正三棱锥的结构特征;二是会利用正方体或长方体,把三棱锥放入正方体或长方体中求解;三是会用公式，熟记球的体积公式.y¥x【考查目标】本题主要考查导数的几何意义，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】因为/=3（2户1）/+3（右加”=3（13"1）/,所以曲线在点（0,0）处的切线的斜率的7卜=。=3,所以所求的切线方程为广3%【方法总结】导数的几何意义把函数的导数与曲线的切线联系在一起，曲线/'（X）在点（刘,丹刘））处的切线方程为y-〃旅）（加（『加，其中f'（就表示曲线f（x）在点（刘,/"Go））处的切线的斜率.詈【考查目标】本题主要考查等比数列的通项公式和前〃项和公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】 通解设等比数列｛a“的公比为4因为嫌=a,所以a勺3）2=&/，所以q=l,又团3,所以qK0。呻5）上（135）1211-3优解设等比数列｛a｝的公比为q,因为所以色氏=所以a=1,又ai所以片3,所以s，】(i-q5)£x(i-35)i2il-q1-3 3•【方法总结】 首项与公比是等比数列的“基本量”，在解决等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法.15.0.18【考查目标】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】记事件M为甲队以4 获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场,所以产(给=O6X(0.62X0.52X2X).6X0.4X0.52X2)-0.18.［易错警示】 本题的易错点是五场比赛,只考虑甲队获胜的四次,漏考虑失败的一次,导致所得的结果错误.16.2【考查目标】本题主要考查双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，平面向量的相关知识，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解析】通解因为布•府4),所以£行月以如图.所以/加/=/6以,所以NBF、O=NF\BO,所以N6明=2/胡〃因为月才下,所以点4为£6的中点，又点。为££的中点,所以OA//BF.,所以FyBLOA,因为直线OA,如为双曲线C的两条渐近线,所以tan/防”,tanZBO*.因为tanNBOR=tan(2/班。，所%蒿,所以一缶,所以即2a=c,所以双曲线的离心率吟2优解因为质•”4),所以A员LK瓦在Rt△内物中，/笳/=/帆/，所以/师=/必4又耳7领,所以4为的中点,所以OA//FA所以NROA=/OFzB.又NROA=/BO%所以△惭为等边三角形.由Me,0)可得吗争，因为点8在直线厂x上,所以*弓臂,所以所以e=Jl+泉2.17.【考查目标】 本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.【解题思路】（1）利用正弦定理进行边角互化,再利用余弦定理,即可求出cosA的值,从而求得A的大小；（2）利用正弦定理,将边化为角，再利用（1）的结论以及两角差的正弦公式与辅助角公式,即可求出sinC的值.解：⑴由已知得sin'^in^-sinJ^sin5sinC,故由正弦定理得If+c'-a=bc.由余弦定理得cos/支萨因为0°a<180°,所以4W00.（2）由（1）知5-120° 由题设及正弦定理得d^sin力飞in（120°-C）^sinC即些超cossinC=2sinC、可得cos（060°）=~~-由于0。<6X120°,所以sin（O60°）/,故sinC-sin（。珀0°-60°）=sin（6>60°）cos60°-cos（。用0°）sin600_V6+Vz4.【方法总结】求解此类问题的突破口：一是正确分析已知等式中的边角关系，合理地设计“边往角化”还是“角往边化”，活用正弦定理、余弦定理;二是求角的值时应注意三角形对角的取值范围的限制;三是熟记两角和、差的三角公式.18.【考查目标】本题主要考查空间直线与平面的平行关系，二面角的正弦值的求解,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】（1）欲证,四〃平面C、DE,只需在平面G龙•内寻找一条直线与直线版平行；（2）建立空间直角坐标系,分别求出平面4以与平面物W的法向量,再求出两法向量的夹角的余弦值,最后利用同角三角函数的基本关系，即可求出二面角力-物「川的正弦值.解：⑴连接BxC,ME.因为M,6分别为BB“BC的中点、,所以ME//B,C,且ME咽C.又因为N为4〃的中点,所以ND^-AxD.2由题设知DC,可得BxCl/故ME//ND,因此四边形物场'为平行四边形,MN//ED.又平面EDC”所以助V〃平面GDE.（2）由已知可得比一刃.以〃为坐标原点，面的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,A(2,0,0),4(2,0,4),Ml,V3,2),Ml,0,2),中=(0,0,-4),^7M=(-1,V3,-2),4JV^(-l,0,-2),MN-(0,-73,0).设m=(x,y,z)为平面A.MA的法向量，则m,41M=0,

,m•ArA=0.所叱*/产=。,可取柿内,。）,设n=5q,r）为平面4腑的法向量,则（n•MN=0,

In•A]N=0.所以卜徼=?可取〃=（2,o,t）.于是cos<z7,谭肃啜去当所以二面角4-朗41Tz的正弦值为，【易错警示】本题的易错点:一是求平面的法向量出错，应注意点坐标的求解的准确性;二是公式用错，导致结果出错;三是审题不认真,导致失分..【考查目标】本题主要考查抛物线的标准方程及简单的几何性质、直线与抛物线的位置关系、平面向量共线等知识,考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】（1）设直线l-.yfy+t,结合抛物线的定义得汨为§将直线,与抛物线。的方程联立,利用根与系数的关系,可得关于t的方程,解方程,求出t的值,即可得1的方程；（2）利用向量共线,得点A,6的纵坐标之间的关系,将直线1与抛物线C的方程联立,利用根与系数的关系得到弘+*之,从而求出点48的纵坐标,进而得点46的横坐标,最后利用两点间的距离公式求出IABI.解：设直线r.y^x+tyA(xityi),8(典,㈤.⑴由题设得/0),-故lAFl+iBFl=x\+x?q,由题设可得由卜=六+&可得9八12(I)xMt2=0,则小加华2(y2=3x 9从而学丐，得T.9Z o所以/的方程为其*3(2)由而4而可得开=-3再.由［'=二+"可得y-2y+2t^］.ky2=3x所以巾上度之.从而-3%小4,故度=T,yi=3.代入，的方程得“总*2*故/AB/警..【考查目标】本题主要考查导数及其应用、函数的单调性、函数的极值与函数零点个数的证明等，考查考生的推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力等，考查化归与转化思想、分类讨论思想、数形结合思想等，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.解：⑴设g(x)=f'(x),则g(x)=cos町士,g'(x)=~sin.二产当xG(T,3时,g'(x)单调递减,而屋(0)过屋(3<0,可得g'(*)在(T,3有唯一零点,设为。・贝IJ当xC(-1,。)时,g'(x)曲当x&(时,g'(x)<0.所以g(x)在(T,。)单调递增，在(%?单调递减，故以*)在(T,3存在唯一极大值点，即f'(*)在(-1,1)存在唯一极大值点.(2)f(x)的定义域为(T,+吟.⑴当xG(T,0］时，由⑴知，f'(x)在(T,0)单调递增，而f'(0)=0,所以当xG(-1,0)Rt,f'(*)<0,故f(x)在(T,0)单调递减.又AO)力,从而是f(x)在(T,0］的唯一零点.(ii)当xe(O,J时，由⑴知,f'(x)在(0,。)单调递增，在(。，1)单调递减，而f70)-0,f'号)<0,所以存在使得f'(£)4且当xG(0,£)时,/'(»加;当彳丘(£，3时,/'(力6.故/(力在(0,⑶单调递增，在(£,三单调递减.又f(0)-0,%•)=1Tn(1,)R,所以当xe(0,y］时,f(x)X).从而,f(x)在(0,没有零点.(iii)当*呜河时,f'(x)<0,所以/V)在号，£)单调递减.而/'(3见〃北)<0,所以〃力在邑”］有唯一零点.(iv)当(n,+8)时，In(广1)>1,所以f(x)<0,从而/\X)在(n,+8)没有零点.综上，/Xx)有且仅有2个零点..【考查目标】本题主要考查离散型随机变量的分布列、等比数列的定义、方案的合理性问题，考查考生的数据处理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算、数据分析.【解题思路】(1)先求出才的所有可能取值,再用。，尸表示出¥取各个值时的概率,即可得X的分布列.(2)(i)由(1)得a,6,c的值,再利用等比数列的定义,证明数列是等比数列；(ii)利用(i)的结论,将R用外表示,再根据外=1,可求出访,从而得以的值,即可对方案的合理性做出判断.解：(1)才的所有可能取值为T,0,1.P(X=-l)=(l-a)J3,P(X=O)=a£+(1-。)(1-£),P{X=\)=a(1-t).所以I的分布列为X-1 0 1a£+(1-P