2019年数学高考真题卷-北京卷理数（含答案解析）

2019年普通高等学校招生全国统一考试•北京卷数学(理)本试卷满分150分.考试时长120分钟.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.(1)已知复数z=2+i,则z,2=(A)V3(B)V5(03 (D)5(2)执行如图所示的程序框图,输出的s值为(A)l(B)2(03(D)4(3)已知直线1的参数方程为仁:2t 为参数)，则点(1，0)到直线1的距离是TOC\o"1-5"\h\z(A)i (B)- (O- (D)-5 5 5 5(4)已知椭圆马+\=1(a>6>0)的离心率为;,则a2b2 2U)a^2t) (B)3a2为4(C)a^2b (D)3aN6(5)若满足|x|Wl-y,且则3户y的最大值为(A)-7 (B)l(05 (D)7(6)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足破力=1lgg,其中星等为磔的星的亮度为EAk=l,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是T.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为(A)10wl (B)10.1(C)1g10.1 (D)IO10-1⑺设点4不共线，则“荏与前的夹角为锐角”是u\AB+AC\>\BC\n的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线a“。了=1+|*)就是其中之一(如图).给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过我；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是(A)① (B)②(C)①② (D)①②③第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分，共30分.(9)函数f(x)-sin22x的最小正周期是.(10)设等差数列｛aj的前n项和为S.若生=-3,W=T0,则a5-,S的最小值为.(11)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为.(12)已知/,m是平面。外的两条不同直线.给出下列三个论断：①/_1_勿； ②0〃。； ③Ua.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题:.(13)设函数f(x) 为常数).若/Xx)为奇函数,则a=;若/Xx)是R上的增函数,则a的取值范围是.(14)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元借、80元/、90元借.为增加销量，李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当A-10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

(15)(本小题13分)在△46C中，a=3,b-c=2,cos(【)求6,c的值；(II)求sin(6-0的值.(16)(本小题14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,为_L平面ABCD,ADVCD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BCAE为外的中点，点F在PCk,(I)求证：5_L平面PAD-,(II)求二面角尸T6-尸的余弦值；(IH)设点G在如上，且器=|.判断直线/G是否在平面力镇内，说明理由.(17)(本小题13分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付方式支付金额(元)(0,1000](1000,2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(I)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率；(II)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以才表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求I的分布列和数学期望；(III)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.(18)(本小题14分)已知抛物线C:f=-2py经过点(2,-1).(I)求抛物线C的方程及其准线方程；(II)设。为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线1交抛物线C于两点M,N,直线y=T分别交直线OM,CIV于点1和点B.求证：以15为直径的圆经过y轴上的两个定点.(19)(本小题13分)已知函数f(x)=-x-x+x.4(I)求曲线尸/U)的斜率为1的切线方程；(II)当xG［-2,4］时，求证：x~6Wf(*)Wx;(III)设b(x)=|7'(x)~(jt+a)|(aGR),记尸(x)在区间［~2,4］上的最大值为Ma).当"(a)最小时,求a的值.(20)(本小题13分)已知数列｛a/,从中选取第九项、第芯项、…、第4项(力〈/2若1n，则称新数列田,，田2,…,4m为｛4｝的长度为0的递增子歹IJ•规定:数列｛a｝的任意一项都是｛aj的长度为1的递增子列•(I)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；(II)已知数列｛&｝的长度为p的递增子列的末项的最小值为am。，长度为q的递增子列的末项的最小值为若。<<?,求证：am0<ano；(111)设无穷数列｛a｝的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若｛4｝的长度为S的递增子列末项的最小值为2sT,且长度为s末项为2sT的递增子列恰有2"个(s=l,2,…)，求数列｛a｝的通项公式.1 2345 678910111213DBDBCACCn~20-1040若ILm,71a,则m//%(答案不唯一)-1(8,0]1413015(DD【考查目标】本题主要考查共聊复数、复数的运算，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】rz=2+i,.：z=2-i,z»z=(2+i)(2-i)=5.故选D.(2)B【考查目标】本题主要考查程序框图,考查考生的运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是数学运算和逻辑推理.【解析】 执行程序框图,k=l, 公2, 公3,sqWjN跳出循环.输出的s2故选B.3x1-2 3x2-2 3x2-2(3)D【考查目标】本题主要考查直线的参数方程和普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.【解析】 由题意得,直线1的普通方程为4x-3尸24),则点(1,0)到直线4*-3户2R的距离心泮等彳,44+(-3)4 5故选D.(4)B【考查目标】本题主要考查椭圆的方程与几何性质，考查的核心素养是数学运算.【解析】由题意得,衿,.£三,又才=炉炉，亨二号今.：4炉3次故选B.a2az4 az4az4(5)C【考查目标】本题主要考查线性规划问题，考查考生的运算求解能力以及数形结合能力，考查的核心素养是数学运算、直观想象.八 (x<l-y,(-X<1-y,【解析】令z力x+y,画出约束条件闭、1少，即X20,或x<0, 表示的平面区域,如图中阴影部(y-~r>[y>-1(y>-1分所示，作出直线y=T>x,并平移,数形结合可知，当平移后的直线过点C(2,-1)时,取得最大值,〃.小X2-1-5.故选C.(6)A【考查目标】本题主要考查对数的运算，考查考生的阅读理解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】 由题意可设太阳的星等为太阳的亮度为笈,天狼星的星等为天狼星的亮度为人则由mglg煞得-26.7+L45《lg号,如暑=-25.25,.：lg^--10.1,1gJ=10.1,^<0101.故选A.(7)C【考查目标】本题主要考查平面向量的相关知识、余弦定理的应用，考查的核心素养是数学运算.【解析】若/丽布/)以/,则，荏瓶广,屈片AB2+AC2+2AB•AC>/BC/2,:,点A,B,C不共线，.:线段AB,BC,4C构成一个三角形ABC,设内角A,B,。对应的边分别为a,b,c,则由平面向量的数量积公式及余弦定理可知,AF2->AC2-f2AB•前〉/阮/;即/+〃+2历,cosA>^+1)-2be,cosA,."cos4X),又A,B,C三点不共线，故荏与前的夹角为锐角.反之，易得当荏与前的夹角为锐角时，项证/)国/,.：“荏与前的夹角为锐角”是“屈屈D尻『的充分必要条件，故选C.(8)C【考查目标】本题主要考查曲线的方程与几何性质、基本不等式等知识，考查考生分析问题与解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算与逻辑推理.【解析】曲线的方程可看成关于y的一元二次方程/-/x/y+fTK,由题图可知该方程必有两个不相等的实根，.：dn/x/YCrZ-DX),.：/《，满足条件的整数才可取-1,0,1.当x=-\时，产0或1,.：曲线C经过的整点有(T,0),(T,1)；当尸0时,y=T或1,.：曲线C经过的整点有(0,T),(0,1);当产1时，产0或1,.：曲线，经过的整点有(1,0),(1,1).故曲线。恰好经过6个整点，①正确；:学+「=1+8卢1夸!，.：/疗在2,.：Vx2+y2^V2,当且仅当/x/=y,即C；'或｛；二;1'时取等号,则曲线上的点到原点的最大距离为近，故②正确;顺次连接(T,0),(-1,1),(0,1),(1,1),(1,0),(0,-1),(-1,0),所围成的区域如图中阴影部分所示,其面积为3,显然曲线C所围成的“心形”区域的面积要大于3,故③不正确.故选C.(9)1【考查目标】本题主要考查倍角公式以及三角函数的性质，考查的核心素养是逻辑推理和数学运算.

【解析】：V(x)三ir?2x心竺上，.：f(x)的最小正周期”空三.2 4 2(10)0-10【考查目标】 本题主要考查等差数列的通项公式和前〃项和公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】设等差数列｛&｝的公差为d嘴：W即［黑2可得｛建•••5,二〃国网罗号(〃2~9〃)，.：当炉4或〃书时,S取得最小值,最小值为T0.(11)40【考查目标】本题主要考查几何体的三视图、几何体的体积等知识，考查考生的空间想象能力以及运算求解能力,考查的核心素养是数学运算和以及运算求解能力,考查的核心素养是数学运算和【解析】 如图所示的正方体ABCD-A、氏Q队的棱长为4,去掉四棱柱欣见4其底面是一个上底为2,下底为4,高为2的直角梯形)所得的几何体为题中三视图对应的几何体，故所求几何体的体积为(2⑷X2X4N0.(12)若/Ln,AL。，则勿〃(答案不唯一)【考查目标】 本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面的平行和垂直关系的判定,考查考生的空间想象能力,考查的核心素养是直观想象.【解析】若/_L。，/_L则m//a,显然①②正确；若八见%则/〃。/与。相交但不垂直都可以，故②介③不正确;若/J_。，/〃。，则/垂直。内所有直线，在。内必存在与卬平行的直线，所以可推出/，见故②③❷①正确.(13)-1(-8,0］【考查目标】 本题主要考查函数的奇偶性、单调性等知识，考查的核心素养是逻辑推理和数学运算.【解析】 :*f(x)为奇函数，•：/*(-»=-f(x),e \・：(1+a)e*+(l+a)eH),・：a=T;:*f(x)单调递增，.：F'(力气,-aeT?20,aWO,故a的取值范围是(-'o］.ex(14)13015【考查目标】 本题主要考查不等式的求解等知识，考查的核心素养是数学建模、逻辑推理和数学运算.【解析】①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,总价为60用0=140(元)，又140X20,所以优惠10元,顾客实际需要付款130兀.

②设顾客一次购买的水果总价为m元.由题意易知，当0。?<120时,D,当心120时，（加-*）X80%，勿X70%,得启F对任意加2120恒成立,又？215,所以x的最大值为15.8 8（15）【考查目标】本题主要考查正弦定理、余弦定理、两角差的正弦公式，考查的核心素养是数学运算.【解题思路】（I）利用余弦定理得到关于b,c的一个方程,结合b-ct可求出6,c的值；（II）利用正弦定理求出sinC的值,再利用两角差的正弦公式求出sin（5-。的值.解：（I）由余弦定理*c"-2accosB,得6?方，c2-2X3XcX（二）.2因为b=c地,所以（。+2）232先2-2乂3*。乂（一），解得c=5.所以居7.（II）由cos庐T得sinB当.由正弦定理得sinC^sinB建.b 14在△/回中，N5是钝角，所以NC为锐角.所以cosCZ\-sin2c工.14所以sin（6-0-sinBcosC-cosBsinCq.（16）【考查目标】本题主要考查直线与平面垂直的证明、二面角余弦值的求解、线面位置关系的判断，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】（I）利用四，平面ABCD,切1_必问题即可得证；（1【）建立空间直角坐标系,利用向量法即可求得二面角八尸的余弦值；（HI）先求出用,再求出最后利用平面•的法向量是否与E垂直即可判断.解：（【）因为乃LL平面4/力，所以PALCD.又因为所以平面PAD.

(n)过｛作的垂线交优于点m.因为处，平面｛以以，所以为必，4Z如图建立空间直角坐标系A-xyz,则4(0,0,0),5(2,-1,0),<7(2,2,0),〃(0,2,0),尸(0,0,2).因为6为如的中点,所以F(0,1,1).所以荏=(0,1,1),而=(2,2,-2),而=(0,0,2).所以两力同=专彳,.),而和再=与工).设平面4杯'的法向量为n=(x,y,z),nl(TfAE=0,an(y+z=0>则(—,即(2JJ-In•i4F=0,1无+炉+产=6令z=l,则y=-\,x=-\.于是〃=(T,T,1).又因为平面阳〃的法向量为p=(l,0,0),所以cos<n,|n||p|3由题知，二面角/尸为锐二面角，所以其余弦值为日.(IH)直线/G在平面4房内.因为点G在外上,且冷!，丽二⑵T,-2),所以同胃而/g。，前市标呜由(n)知,平面/)用的法向量/?-(-1,-1,1).所以E,〃=《号.4).所以直线的在平面/房内.(17)【考查目标】 本题主要考查随机变量的分布列和数学期望等知识,考查考生的数据处理能力、运算求解能力以及应用意识,考查的核心素养是数据分析、数学运算.【解题思路】(I)直接利用样本的频率来估计全校学生的总体情况；(H)求出I的所有可能取值及对应概率,即可得才的分布列和数学期望；(III)直接用统计学知识给出判断并说明理由即可.解：(I)由题意知,样本中仅使用A的学生有18月+3考0人,仅使用B的学生有10・14+1之5人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100T0-25七F0人.所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率估计为喘4).4.(II)才的所有可能值为0,1,2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件〃为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”.由题设知，事件C,〃相互独立,且pg及4).4,P(〃)笔=0.6.3。 Z5所以尸(X=2)=P(CD)=P9P⑦=0.24,P(X=l)=KCD'JCt))=P(OP®+P©P⑦R.4X(1-0.6)+(1-0.4)X0.6-0.52,A/=0)=P(CD)=P©P(D)=0.24.所以l的分布列为J0 1 2P0.240.520.24故乃的数学期望E(X)=0X0.24+1X0.52+2X0.24=1.(HI)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2000元”.假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得,㈤心-1.Cf04060答案示例1：可以认为有变化.理由如下：P仍比较小,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下：事件£是随机事件,夕(£)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.

(18)【考查目标】 本题主要考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系等知识,考查考生的运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】(I)将已知点的坐标代入抛物线方程,可求出P的值，进而得抛物线方程及其准线方程；(H)设出直线1的方程,将直线1的方程与抛物线方程联立,化简可得一个一元二次方程,利用根与系数的关系及题意可得到交点A,5的横坐标,设〃(0,ri),分别表示出瓦彳,而,令加,得n=\或〃=-3,从而得到定点坐标.解：(I)由抛物线Cx'-Zpy经过点(2,T),得p=2.所以抛物线C的方程为x^y,其准线方程为y=L(H)抛物线C的焦点为6(0,T).设直线1的方程为(4#0).由一得=-4y设M%i,yi),N(x2,㈤，则xix2=-4.直线为/的方程为y^-x.X1令尸T，得点”的横坐标所学同理得点8的横坐标3/设点〃(0,力，则a=(m,T-n)，丽=(卫，-1-〃),DA•DB-^Hn+1)2_4_41"2(争(冬+("1)令万？,即/*("1)2老得n=l或〃=-3.综上，以46为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).(19)【考查目标】本题主要考查利用导数求切线方程、判断函数的单调性、函数的极值等知识,考查考生的运算求解能力、推理论证能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解题思路】(I)利用导数的几何意义易得曲线的切线方程；(II)将问题转化为求函数y=Hx)-x的最值问题；(加对a分类讨论求函数的最值.TOC\o"1-5"\h\z解：(I)由『⑸)/q也得f'⑸旦丁-2十+1.4 4令F'(X)=1,即七/-2"1=1,得x=0或X』.4 3又AO)力,馈)所以曲线片/'(⑼的斜率为1的切线方程是尸X与y*wT，即尸X与片尸合(II)令g(x)=t\x)-x, [-2,4].由g(x)^-x~x得g’(x)^:x-2x.4 4令gJ(x)4)得方0或X*g'(x),g(x)的情况如下：x-2(0,5)x-2(0,5)4)64276427g(