2019年数学高考真题卷-全国Ⅱ卷文数（含答案解析）

2019年普通高等学校招生全国统一考试•全国II卷文科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..已知集合4={x|x>-l},3={x|xv2},则AC\B=A.(-l,+oo) B.(-8,2)C.(12)D.0.设z=i(2+i),则2=A.l+2iB.-l+2iC.l-2iD.-l-2i.已知向量。=(2,3)力=(3,2),则|。4|=A.V2B.2C.5V2 D.50.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙.设段)为奇函数，且当后0时段)=3-1,则当x<0时於)=A.ex-1B.e"+1C.-e<lD.-ex+l.设a/为两个平面，则a〃广的充要条件是A.a内有无数条直线与6平行B.a内有两条相交直线与夕平行C.a，平行于同一条直线D.a,£垂直于同一平面TOC\o"1-5"\h\z.若xi=T/2=?是函数1Ax)=sin(ox(co>0)两个相邻的极值点，则co=4 43 1A.2 B.-C.l D;2 2.若抛物线尸=2〃%(/?>0)的焦点是椭圆着+?=1的一个焦点，则p=A.2 B.3 C.4 D.8.曲线y=2sinx+cosx在点(九,・1)处的切线方程为A.x-y-n-1=0 B.2x・y-2兀・1=0C.2x+y-2n+1=0D.x+y・7t+1=011.已知a^(0,^),2sin2a=cos2a+l,则sina=A.i B.匹C.更 D出5 5 3 5.设厂为双曲线嗒q=l(a>0力>0)的右焦点,。为坐标原点，以。尸为直径的圆与圆*+六层交于尸,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为A.V2B.KC.2D.V5二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.f2x+3y-6>0,.若变量x,y满足约束条件x+y-3<0,则z=3x-y的最大值是 .(y-2<0,.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为..AABC的内角A,B,C的对边分别为a,6,c.已知bsinA+acos8=0,贝UB=..中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体''(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为.(本题第一空2分，第三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分..(12分)如图,长方体ABCD-AiBiCiDi的底面ABCD是正方形，点E在棱±,B£±ECi.⑴证明:BE_L平面EBC;⑵若AE=4邑48=3,求四棱锥E-8B1GC的体积.18.（12分）已知｛为｝是各项均为正数的等比数列0=2,43=242+16.(1)求｛为｝的通项公式;(2)设为=log2〃〃,求数列｛仇｝的前n项和.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.想[-0.20,0）【叫2。[0.20,0,4[0,40,0.6[060080）・企亚数一2 24 53 14 7（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）附:展8.602.20.（12分）已知尸陋是椭圆碍+3=1（»>0）的两个焦点,P为C上的点,0为坐标原点.⑴若APO尸2为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P,使得尸产2,且&QPF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.21.（12分）已知函数y（x）=（x-l）lnx-x-1.证明:（1求x）存在唯一的极值点；(2求x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22」选修4-4:坐标系与参数方程］(10分)在极坐标系中,O为极点，点MSo，%)So>O)在曲线C,=4sin6上，直线/过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当为=；时,求处及I的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.23」选修4-5:不等式选讲］(10分)已知_/(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当。=1时，求不等式y(x)<o的解集；⑵若xC(-8,l)时1Ax)<0,求a的取值范围.2 3 4 5 6 7 8 9 10II12 13 14 15 16CDABADBADCBA9 0.98 -r- 26V2-14.C［考查目标］本题主要考查集合的表示方法及交集的概念，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】 依题意得AnB=3-l<x<2},选C.【题型风向】从近年来的高考试题来看，对集合的考杳涉及集合的基本运算以及集合间的关系，求解过程中需要仔细,否则容易失分..D【考查目标】本题主要考查复数的四则运算及共轨复数的概念，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解题思路】利用复数的四则运算及共规复数的定义即可得出结果.【解析】 依题意得z=i2+2i=-1+2i,z=-1-2i,i4D..A【考查目标】本题主要考查向量的坐标运算、向量的模等，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】 依题意得— +1?=企,因此选A.4.B【考查目标】本题主要考查古典概型概率的求解，考查的核心素养是数学建模与数学运算.【解题思路】设3只测量过某项指标的兔子为另2只兔子为a,%,采用列举法求出“从5只兔子中随机取出3只”的基本事件个数,再求出“恰有2只测量过该指标”的事件个数，最后根据古典概型的概率计算公式得出结论.【解析】设3只测量过某项指标的兔子为A,B,C,另2只兔子为a也从这5只兔子中随机取出3只，则基本事件共有10种，分别为(4£C),(4Aa),(A,B,b),(A,C,a),(A,C,b),(A,a,b),(B,C,a),(BCb),(Bab),(C,aM,其中“恰有2只测量过该指标”的取法有6种，分别为(48口),(4及办(45),(/10,(80,(80,因此所求的概率为总彳，选B.A【考查目标】本题主要考查逻辑推理,考查考生的逻辑推理能力.【解题思路】解答本题时紧紧围绕着“只有一个人预测正确''来分析即可，可以先假定甲的预测正确，进行分析，看是否矛盾，依次类推，得出结论.【解析】依题意，若甲预测正确,则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙;若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾;若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾.综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A.D【考查目标】本题主要考查函数的奇偶性，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.【解析】通解依题意得，当x<0时i/(x)=；A-x)=-(e--l)=-e"+l,选D.优解依题意得代1)=加1)=-©-1)=1-3结合选项知，选D.【方法总结】在解决有关函数的奇偶性问题时，可考虑通过取特殊值的方法解决问题.7.B【考查目标】本题主要考查平面与平面平行的判定定理、充要条件等知识，考查考生的逻辑推理能力与空间想象能力，考查的核心素养是直观想象与逻辑推理.【解析】 对于A,C,D选项,a均有可能与夕相交,故排除A,C,D选项，选B.【解题关键】解决本题的关键是熟悉空间中的线面位置关系、空间中面面平行的判定定理与性质定理以及充要条件，否则容易失分..A【考查口标】本题主要考查三角函数的图象与性质、函数的极值点等知识，考查考生的数形结合能力与运算求解能力,考查的核心素养是直观想象与数学运算.【解析】 依题意得函数外)的最小正周期T=F=2x(R>=k,解得。=2,选A..D【考查目标】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解题思路】根据题意列出方程,解方程即可.【解析】 依题意得齐同万，得片8,故选D..C【考查目标】本题主要考查导数的基本运算与几何意义、直线的方程等，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解题思路】先求得相应函数的导数，再依据导数的几何意义得出所求切线的斜率，最后由直线的点斜式方程求解.［解析】 依题意得y'=2cosx-sinx,yJe=(2cosx-sinx)L=*=2cosJt-sinn=-2,因此所求的切线方程为y+1=-2(x-n),即2x+y-11.B【考查目标】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系等知识，考查考生的运算求解能力与灵活应用所学知识分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】通解依题意得4sinacosa=2cos由。£(0,5,知cosa>0,所以2sina=cosa.又siMa+cos2a=］,所以sin2a+4sin2a=1,即si*x=1.又 所以sina=g，选B.优解依题意得至^=BPtana《,所以sin。=工黑，鉴土当选B-■ .-2tana31-tan2a sin2a1-cos2a［拓展结论］sin2a=*%cos2。=不而而,tan。=诉五=』^.12.A【考查目标】本题主要考查双曲线的几何性质、圆与圆的位置关系等知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，考查的核心素养是数学运算、直观想象.【解题思路】在解答本题的过程中，可以先写出以OF为直径的圆的方程，再将两圆的方程相减,得出其公共弦所在直线的方程，最后利用弦长的一半、半径与弦心距三者之间的关系得到a£,c之间的关系，由此得出结论;也可以充分利用圆的性质，借助平面几何知识求解.【解析】通解依题意，记F(c,O),则以OF为直径的圆的方程为(x3+卢号,将圆(工守+炉子与圆户+产标的方程相减得cx=a)即*4,所以点p,q的横坐标均为J.由于PQ是圆月产标的一条弦，因此(当+(学2=/即今+铲=族即彳=/(1_%)=噌*，所以/=2ab,即屋+乒-2ab=(a-b)2=O,所以a=6,因此C的离心率e=Jl+(，)2=75,故选A.优解一记F(c,O).连接OP,PF,则OP_LPF,所以Sa0*黄0外仍£|=30日和。|,即%正3李土即1=2"，即*+乒一23(小6)2=0,所以。斗，因此C的离心率e=J1+(52=V5,故选a.优解二记尸(c,0).依题意,PQ是以0F为直径的圆的一条弦，因此OF垂直平分PQ.又|PQ|=|Of|,因此PQ是该圆的与OF垂直的直径，所以NFOP=45。,点P的横坐标为亨,纵坐标的绝对值为1于是有即e=£=V^,即C的离心率为四，故选A.13.9【考查目标】本题主要考查二元一次不等式组表示的平面区域和线性规划问题，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象.【解题思路】先作出不等式组所表示的平面区域，再判断目标函数的最值即可.2x+3»-6=ul； ；一0| *X/ /**?-3=0【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x・y=0,并平移，当直线经过点(3,0)时，直线在)，轴上的截距最小，此时Z=3x-y取得最大值，且Zmax=9.【易错警示】在处理此类问题时,往往需要画图，且所画的图形要尽可能准确,否则容易判断错误.14.0.98【考查目标】本题主要考查概率与统计的相关知识，考查考生的运算求解能力与应用所学知识解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算、数据分析.【解析】依题意知，经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为1°x°.97+2°：丁8+1OxO-99=o98.【易错警示】 解决本题时，除了要正确列式,还需要注意计算的准确性.15.当【考查目标】本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系，考查考生的运算求解能力与化归与转化能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】 先根据条件与正弦定理，得tan3=-1,再由(XB<n即可得解.【解析】 解法一依题意与正弦定理得sinBsin4+sinAcos8=0,即sinfi=-cos8,则lan8=・1.又0<8<兀,所以B二4,解法二由正弦定理得bsinA=asinB,又Z?sinA+acos8=0,所以asinB+acos8=0,即sinfi=-cos8,则tanB=・l.又0<8〈兀，所以解法三依题意得加inA=-acos8>0,故cos 为钝角.如图，过点C作CELAB交AB的延长线于点E,则CE=AinNB4C,BE=-acosZABCMBE=CE.又CE_LAB,所以NCBE=q，NA3C=*4 4【举一反三】在求解解三角形问题时，往往需要利用正弦定理、余弦定理进行边、角间的相互转化.16.26V2-1【考查目标】本题主要考查考生的运算求解能力、空间想象能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解析】依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体由18个正方形和8个正三角形围成,因此题中的半正多面体共有26个面.注意到该多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形,设题中的半正多而体的棱长为x,则竽r+x+多=1.解得x=Ml,故题中的半正多面体的棱长为&-1..【考查目标】 本题主要考查直线与平面垂直的证明、儿何体体积的求解等知识，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考杳的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.【解题思路】对于(1),根据长方体的性质得出BiG_L平面AB&Ai,由此得出再结合BE_LEG及直线与平面垂直的判定定理，得出BE_L平面EBCi;对于⑵,结合⑴与已知条件，得出RtAABE/RS4BiE,进而得出AE=4B,过点E作EFVBB\于点F,易得EF即四棱锥E-8&GC的高，结合棱锥的体积公式即可求解.解:⑴由已知得BiGJ■平面ABBi4,8Eu平面AB34,故BC_LBE.又BE_LEG,所以8EJ■平面EfiiCi.(2)由(1)知NBEBi=90。.由题设知RtAASE^RtA48E,所以NAEB=N4EBi=45。,故AE=AB=3A4i=2AE=6.作 垂足为F,则EF_L平面BBCC,且EF=AB=3.所以,四棱锥E-BBQC的体积V=ix3x6x3=18..【考查目标】 本题主要考杳等比数列的通项公式、等差数列的前"项和公式等，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.【解题思路】对于(1),先根据等比数列的通项公式，列出关于公比g的方程，由此确定公比g,即可求解｛小｝的通项公式;对于(2),先确定数列出“｝的通项公式，再利用等差数列的前"项和公式得出结论.解:(1)设的公比为g,由题设得2g2=4g+16,即/-2g-8=0.解得g=-2(舍去)或g=4.因此｛小｝的通项公式为a”=2x4"T=22"，(2)由⑴得加=(2止1)log22=2"”,因此数列｛5｝的前w项和为1+3+…+2n-1=n2.【方法拓展】对于数列的求和，除了需要清楚常见的等差数列与等比数列的求和公式，还需要掌握错位相减法、裂项相消法等求和方法..【考查目标】 本题主要考查用样本估计总体、平均数与标准差等知识，考查考生运用所学知识分析、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算、数据分析.【解题思路】对于(1),根据题中的频数分布表，结合用样本估计总体的知识即可求解;对于(2),利用平均数与标准差的计算公式进行求解.解：(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为需=0.21.产值负增长的企业频率为磊=0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.(2)y=y^(-0.10x2+0.10x24+0.30x53+0.50x14+0.70x7)=0.30,1 5=^|(-0.40)2x2+(-0.20)2x24+02x53+0.202xl4+0.402x7］=0.0296,5=70.0296=0.02xV74=0.17.所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%..【考查目标】本题主要考查椭圆的定义与几何性质等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力及数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.【解题思路】对于(1),连接得出NBP危=90。,进而得再由椭圆的定义得到关于a,c的方程，即可得C的离心率；对于(2),先由题意求得b的值,再得出/N尻最后结合ahc的关系确定a的取值范围.解:⑴连接PFi.±APOB为等边三角形可知在△ 中,NKP尸2=90°,|PB|=c,|PFi|=gc,于是2a=|PFi|+|P&|=(次+l)c,故C的离心率e=£=V5-l.a(2)由题意可知,满足条件的点P(%,y)存在当且仅当||v|-2c=16,=•上=-1£=1,即4)1=16,①/+W②■=i.③a1bL由②©及［2=〃+/得\2=去,又由①知户皆，故6=4.由②©得『二号(/-〃)，所以cb尻从而标二护+。江2〃=32,故a>4\l2.当方=4,e4在时，存在满足条件的点P.所以b=4,a的取值范围为［4&,+8)..【考杳目标】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、函数的单调性以及方程的根，考查考生灵活运用导数分析问题、解决问题的能力，综合考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】对于(1),利用导数的运算法则求得八X),并研究八X)在(0,+8)上的单调性,再根据零点存在性定理确定/(X)在(0,+8)上有唯一零点，从而得到犬X)存在唯一的极值点;对于(2),借助(1)的结论与零点存在性定理即可得出结论.解：(1)尺0的定义域为(0,+8).Y-1 1f'(x)=-^-+lnx-1=lnx-p因为y=1nx单调递增,)，=：单调递减,所以尸(x)单调递增.又f'(1)=-l<0/'(2)=ln23=哼1>0,故存在唯一冲已(1,2),使得/'(M>)=0.又当xao时/'(幻<0段)单调递减;当x>xo时/。)>0段)单调递增.因此次用存在唯一的极值点.(2)由⑴知人即)勺(1)=-2,又/(e2)=e2-3>0,所