2018-2022高考真题 导数与函数 解答题全集 （学生版 解析版）

2018-2022高考真题导数与函数解答题全集(学生版解析版)一.解答题(共54小题)(2022,天津)已知”，hER,函数/(、)=«'-«sinv.g(.v)=bVx.(1)求函数在(0,f(0))处的切线方程：(2)若.y=/(x)和.y=g(k)有公共点.(i)当”=0时，求/，的取值范围；(ii)求证：a2+b2>e.(2022•上海)f(.v)=log3(«+x)+Iog3(6-.v).(1)若将函数/(x)图像向下移(w>0)后，图像经过(3,0),(5.0),求实数“，m的值.(2)若〃>-3且“H0,求解不等式/(x)</(6-k).(2022•浙江)设函数/(x)=^+/h.v(.v>0).(I)求/(a)的单调区间：(II)已知“，旄R,仙线>=/(K)上不同的三点(Al.f(Xl)).(X2,fC.t2)),(J3.f(A3))处的切线都经过点(«,b).证明:(i)若”>e,则0<b-f(«)<1( 1):2e八、》 r.,2e-a112e-a(ii)若0V“Ve,xiVx2V.n，则一+—7V—+一< —?.e6e，Xjx3a6ez(注：e=2.7l828…是自然对数的底数)(2022,甲卷)已知函数/(.r)=.v*-x>g(.v)=.r+«.曲线产=/“)在点(A-)»/(.ri))处的切线也是曲线y=,g(.v)的切线.(I)若xi=-1,求a：(2)求〃的取值危围.(2022•北京)已知函数/■)=♦/〃(l+.v).(I)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程：(11)设g(a)=/(,v),讨论函数g(.v)在［0,+8)上的单调性：(III)证明：对任意的s,任(0,+8),有y(s+r)>/(,s)+f(/).(2022♦甲卷)已知函数/(k)=y-lnx+x-a.(I)若/(、)20,求”的取值范围:

(2)证明：若/(K)有两个零点,VI,X2,则v1.(2022•乙卷)己知函数/(x)=«.v-1-(«+1)Inx.(1)当“=0时，求/C)的最大值：(2)若/”)恰有一个零点，求“的取值范用.(2022•新高考I)已知函数/(x)=/-ax和&(.v)=心-加有相同的最小值.(1)求“：(2)证明：存在直线)=%,其与两条曲线.丫=/(。和尸g(.V)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.(2022•新高考】I)已知函数/(*)=.«■“'-e'.(1)当“=1时，讨论/(X)的单调性：(2)当.v>0时，/(.v)<-1,求”的取值范困:(3)设“CN*,证明:(3)设“CN*,证明:1工1Vlz+1+V2z+2Vn2+n>ln(〃+1).】0.(2021•全国)已知函数/(.v)=AT-6.V+4//U+/W.(1)求/(x)的单调区间:(2)当.re(1,+8)时，/(.v)>0,求"I的取值范围.(2021•新高考H)已知函数/(x)=(.V-1)/-a^b.(I)讨论/(x)的单调性：(II)从下面两个条件中选一个，证明：/(.r)恰有一个零点.(1)1<«<y./；>2«:®0<a<1,bW2a.(2021•北京)已知函数言.(I)若“=0,求曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切线方程；(II)若/(K)在'=-I处取得极值，求/(.V)的单调区间，并求其最大值和最小值.(2021•天津)已知”>0,函数/(x)=ux-.ver'.(1)求曲线/(.i)在点(0,./•(()))处的切线方程：(2)证明函数/(x)存在唯一的极值点：(3)若助，使得/(.「〃对任意的xWR恒成立，求实数〃的取值范围.(2021•浙江)设”，b为实数,H«>l,除数/(a)=a'-b.x^(.vgR).

(I)(II(I)(II)(III)blnb若对任意/>>2，，函数f(a)有两个不同的零点，求”的取值范围；当时，证明：对任意/>>J,函数/(、)有两个不同的零点XI,也，满足刈》 e2才+升(注：<=2.71828是自然对数的底数(2021•甲卷)设函数/(.I)=/1+心-3柿+1,其中“>0.(1)讨论/(#的单调性：(2)若.y=/S)的图像与x抽没有公共点，求”的取值范圉.(2021•乙卷)已知函数/(x)=ln(«-.t),已知x=0是函数了=炉(.v)的极值点.(1)求。；(2)设函数g(,O .证明：8 <>-.(2021•新高考I)已知函数/'(.2=x(1-/at).(1)讨论/(.r)的单调性；(2)设。，6为两个不相等的正数，旦证明：2V」+]ve.ao(2021•乙卷)已知函数/(a)=『-』+«x+1.(1)讨论/(X)的单调性：(2)求曲线y=/(.r)过坐标原点的切线与曲线)=_/”)的公共点的坐标.(2021•甲卷)已知”>0且“WI,函数/(.r)=忘(v>0).(1)当a=2时，求/(.V)的单调区间：(2)若曲线>，=/”)与直线)=1有且仅有两个交点，求”的取值范围..(2020•新课树)已知函数/(x)=/-a(,v+2).(1)当”=1时，讨论/(x)的单调性；(2)若/(X)有两个零点，求”的取值范围.(2020•天津)已知函数/(»)=?+*//«•(AGR),f(.v)为/”)的导函数.([)当A=6时，(i)求曲线)，=/(k)在点(1,/(I))处的切线方程；(ii)求函数g(,v)=/(a)-f(,v)+5向单调区间和极值：(n)当时，求证：对任意的xi,me”，+8),口X\>X2t仃2乙>〃必)-/(七)X1-X2 '(2020•北京)已知函数/(X)=12-a2.(1)求曲线y=/(x)的斜率等于-2的切线方程；(11)设曲线y=/(x)在点"/(f))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(/),求S(/)的最小值.(2020•浙江)已知l<“W2,函数/(x)=/-.「“，其中e=2.71828…为自然对数的底数.(1)证明：函数y=/(.r)在(0.+8)上有唯一零点；(H)记m为函数｝•=/(.6在(0,+8)上的零点，证明：(i)V«-1<vo<,2(.-1)；(ii),vof(ex°)(e-I)(w-I)g.(2020•山东)已知函数/(x)=ael1"Inx+lna.(I)当a=e时,求曲线y=f(a)在点(1,/(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积：(2)若/(x)21,求“的取值范围.(2020•江苏)已知关于X的函数y=/(x)，.v=g(.r)与h(.v)=kx+b(A,〃eR)在区间。上恒有/G)沁(a)(.v).(1)若/(.r)=/+2r,g(.v)=-.v^+Zv.D=(-°°.+°°),求h(.r)的表达式；(2)若/(x)=.r-a+I.g(a)=kbi<c,Ii(.v)=kx-k,D=(0,+«»),求出的取值范围:(3)若f(a)=.v4-Ii-2.g(.v)=4.v2-8,h(,v)=4(?-/).v-3/4+2r(0<|z|<V2),D=[in>w]c[-V2,V2J.iJtijE：n-ni<V7.(2020•江苏)某地潴备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥也与MN平行，OO'为铅垂线(O'在A8上).经测量，左恻曲线AO上任一点D到MN的距离hi(米)与。到OO'的距离“(米)之间满足关系式/；1=笳2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离hi(米)与产到OO'的距离b(米)之间满足关系式也=-嬴'6反已知点8到OO'的距离为40米.

(1)求桥A8的长度：(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CO和EF,且C£为8()米，其中C,E在48上(不包括端点).桥墩£尸每米造价Z万元)，桥墩CO每米造价|«(万元)(k>0),问O'E为多少豕时，桥墩8与EF的总造价最低？AC O'EBMDxOFxN(202()•新i果标HI)i殳函数/(x)=.^+bx+c,曲线.v=/(.t)在点(>/d))处的切线与)•轴垂直.(1)求〃：(2)若/(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：/(#所有零点的绝对值都不大于L(202()•新课标II)已知函数/(a)=sin2.vsin2.v.(1)讨论/(.r)在区间(0，n)的单调性；(2)证明：(x)IS堂；QR(3)设〃£N*,证明：sin2rsin22\-sin24.v,sin22w.r<—.4(2020•新课标H)已知函数/(1)=2加.r+l.(1)若/(.r)W2v+c,求c的取值范围：(2)设“>0,讨论函数;？(.r)=.?二的单调性.(2020•新课标I)已知函数/(a)=/+ar-x.(1)当a=l时，讨论/⑴的单调性：(2)当Q0时，/(.v)N/P+l,求〃的取值范围.(2()2()•新课标山)已知函数/(.r)=『-依+必.

(I)讨论/(x)的单.调性：(2)若/“)有三个零点，求*的取值范围.(2019•全国)已知函数/Ct)=Vx(a2-ax').(1)当”=1时，求/•“)的单调区间；(2)若/“)在区间［0,21的最小值为一多求〃.(2019•新课标HD已知函数/(a)=2?-«?+/>.(I)讨论/(x)的单调性；(2)是否存在a,b,使得了")在区间［0,I)的最小值为-1且最大值为I?若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.(2019•新课标川)已知函数/")=2p-<M+2.(1)讨论/(x)的单调性：(2)当0<“<3时，记/(、)在区间［0,I］的最大值为M,最小值为"1,求时-〃?的取值范围.(2019•浙江)已知实数“力0，设函数/(n)=alnx+y/TTx,x>0.(I)当”=一；时，求函数/")的单调区间：(11)对任意.vG［之,+8)均有/(.V)W当，求。的取值范围.注：e=2.71828…为自然对数的底数.(2019•新课标H)已知函数/(x)=(a-1)Inx-x-I.证明:/(.v)存在唯一的极值点；f(.V)=0有且仅有两个实根，旦两个实根互为倒数.(2019•江苏)设函数/(a)=(.v-«)(.V-by(.v-c).a,b,cGR,f(a)为f(n)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8.求“的值；(2)若“工/),b=c,且/(、)和/(.V)的零点均在集合｛-3，1,3)中，求/(0的极小值：(3)若”=0,•</>$1,c=l.K/(.v)的极大值为“，求证:MW务(2019•天津)设函数/(、)=lnx-a(_v-1)<?',其中“WR.(I)若aWO,讨论/”)的单调性:(II)若0<“q.(i)证明：/(x)恰有两个零点：(ii)设.ro为/(.，,)的极值点，用为f(X)的零点，R.vi>u)，证明：3.ro-aj>2.(2019•天津)设函数/(工)=?co&v,8(,v)为/(.r)的导函数.(1)求/(工)的单调区间：TOC\o"1-5"\h\znn, _„ n(II)当工日一，一|时，证明/(工)+g(a)(--t)20；42 2(III)设立为函数“(X)=f(x)-1在区间(2,m+$2，m+分内的零点，其中”€N,77 p-2mr证明：2，m+5-v« .2 s，nx()-c0SXQ.(2019•北京)己知函数/(x)=/3-/+x.(1)求曲线y=/(.v)的斜率为1的切线方程：(II)当x£[-2,4]时，求证：X-6W/(a)W.v；(III)设尸(a)=\f(a)-(.v+rt)|(oeR),记尸(.t)在区间[-2,4]上的最大值为M(«).当例(«)最小时，求”的值.(2019•新课标I)已知函数/(x)=2siiiv-acosa-x,f(.v)为/(x)的导数.(1)证明：/(.V)在区间(0,7T)存在唯一零点；(2)若xe[0,nJ时，f(.v)/at,求”的取值范围.(2019•新课标II)已知函数/(x)=//u—(I)讨论/(.r)的单调性，并证明/(X)有且仅有两个零点；(2)设必是/(K)的一个零点，证明曲线y=阮i在点A(.w./nvo)处的切线也是曲线「="的切线.(2019•新课标1)已知函数/(x)=siat-In(l+.r),f(.t)为/C)的导数.证明：n(I)/(x)在区间(-I,9存在唯一极大值点：(2)/(.r)有且仅有2个零点.(2018•北京)设函数/(X)=1«.r-(4a+l)x+4a+3]F.(1)若曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线与a•轴平行，求“:(II)若八x)在x=2处取得极小值，求«的取值范闱.(2018•北京)设函数/(n)=|a9-(3«+1).r+3«+2|/.(I)若曲线y=/Q)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求。：(II)若/(.r)在x=l处取得极小值，求。的取值范围.(2018•新课标川)己知函数/(、)=(2+x+av2)In(l+.v)-2x.(I)若"=0,证明：当-IVxVO时，f(.v)<0；当x>0时，f(.v)>0：(2)若x=0是f(.V)的极大值点，求。.(2018•新课标I)已知函数/(a)=ael-Inx-I.(I)设x=2是/(#的极值点，求“，并求/(x)的单调区间；(2)证明：当<2%寸，/(.v)NO.(2018•新课标小)已知函数/(A=a'?-'(I)求曲线)•=/(x)在点(0.-I)处的切线方程：(2)证明:当“21时，/(.V)+Q0.(2018•新课标H)已知函数/(.r)=/-av2.(I)若“=I,证明：当a-^0时，f(.v)》I：(2)若f(x)在(()，+8)只有一个零点，求5().(2018•浙江)已知函数/(.r)=y-加工(I)若f(x)在x=.mX2(用工.烧)处导数相等，证明：f(.V))+f(..v2)>8-8加2；(11)若“W3-4历2,证明：对于任意A>0,直线■+“与曲线产/“)有唯一公共点.(2018•天津)已知函数/(x) g(.v)=log<zx,其中”>1.(I)求函数八(.v)=/(a) 的单调区间：(II)若曲线)•=/(*)在点(.VI,/(.VI))处的切线与曲线产g(X)在点(A-2,g(.口))处的切线平行，证明：川+g(.口)=一笔券；(川)证明当“Ne总时，存在直线/,使/是曲线.、,=/(k)的切线，也是曲线.r=g(x)的切线.(2018•江苏)记/(a),a'(a)分别为函数/(.v),u(.V)的导函数.若存在.tnCR,满足/(.vn)=g(.ui)且/(.vo)=&'(.«)),则称刈为函数/(、)与8(.V)的一个“S点(I)证明：函数/(#=入与8(a)=『+2・2不存在“S点”:(2)若函数/(x)=«？-1与8(A)=/小存在“S点”，求实数“的值：(3)已知函数/(、)=-『+“，&(A=第.对任意〃>0,判断是否存在6>0,使函数/3)与8(a)在区间(0,+8)内存在“s点”，并说明理由.(2018•新课标1【)已知函数/(\)=#-〃(A-+X+I).(I)若〃=3,求/(.r)的单调区间；(2)证明：/(a)只有一个零点.(2018•新课标I)已知函数/(.、♦)=1-x+al>LX.(1)讨论/“)的单调性；(2)若f仆)存在两个极值点、2，证明："孙)-"""Va-2.41r22018-2022高考真题导数与函数解答题全集(学生版解析版)参考答案与试届解折解答题(共54小题)1.(2022•天津)已知〃，bER,函数/(、)=/-wsinv,g(.v)=lrjx.(I)求函数y=f(x)在(0,/(O))处的切线方程：(2)若y=/(.若和产g(x)有公共点.(i)当”=0时，求〃的取值范困：(ii)求证：,P+〃2>e.t解答】解：(I)V/(a)=/-«sin.t. (.v)—eK-acosx,/./(())=1./(0)=1二函数y=f(x)在(0,1)处的切线方程为.丫=(1-«).V+I：(2)(i)Va=O.：.f(a)=，,又_v=/(.r)和y=g(x)有公共点,二方程f(x)=g(x)有解，即e*=bG有解,显然.rRO,二〃=刍在(0>+°°)上有解，设八(.V)=祢(.V>0)>.,.”(#=/产二D,2x4x.•.当AW(0,-)时，1/(.V)<0：当在(-,+8)时，h'(.V)>0.(.V)在(0,1)上单调递减，在弓，+8)上单调递增，.../(x)min=h8)=且当.r-0时，/?(.V)—4-00;当X-+8时，/,(r)—+oo,.,.h(.v)6[V2e.+8),〃的范围为1回，+8)：(ii)证明：令交点的横坐标为.如则e"。=asinxQ+by/x^t:,由柯西不等式可得/X。=(«5tnx0+b伍)2<(J+/J)(sin2w+xo)p2Xn-p2Xn-vsin/罚又易证.r>0时，x>sinx,eK>e.\：/>x+l,e2xo ex0-(x0+l)♦♦.2 =*7, > 2 =色»stnzx0+x0 stnzx0+x0Xq+x0故)+//>乙(2022•上海)f(x)=logs(〃+.r)+Iog3(6-x).(I)若将函数/(.t)图像向下移〃。("A0)后，图像经过(3,0),(5,0),求实数小利的值.(2)若〃>-3且。#0,求解不等式/(汇)(6-x).【解答】解：(1)因为函数/(工)=logs(d+x)+Iog3(6-工)，将函数/(K)图像向下移加(w>0)后，得y=/(.r)-//7=log3(〃+工)+Iog3(6-a)-，〃的图像，由函数图像经过点(3,0)和⑸0),所L,d'°93(3+a)+l-m=0Hog3(5+q)+0-m=0'解彳导a=-2,"?=1.a>-3U时，不等式/(.v) (6-n)可化为logs(n+.v)+]ogs(6-x)Wlog?(〃+6-.t)+log3A*>(a+x>0

6-xX)等价于《a+6-x>0 ，x>0、(a+x)(6-x)<x(a+6-x)fx>-ax<6解得|xVa+6 1x>0、a(x—3)>0当-3<«<0时,0<-a<3,3<«+6<6,解不等式得-“VxW3,当”>0时,-«<0,rt+6>6,解不等式得3WxV6：综上知，-3<“V0时，不等式/(.v)W/(67)的解集是(-小3J,”>0时，不等式/(x)W/(6-k)的解集是[3,6).(2022•浙江)设函数/(x)=券+加U>0).(I)求/3)的单调区间：(II)已知a,左R,曲线y=/(.r)上不同的三点Cu./(.«)),(4,/Cn)).<«,/

g）处的切线都经过点（m*）.证明:（i）若〃〉乙则OVZ?-/（q） （—―I）：/e「，2e-a 112e-a（ii）若OVaVe,.viVr2V_g，则一+—rV—+—V r.e6e£ xAx3a6ez（注：e=2.71828…是自然对数的底数）【解答】解：（I）•.•函数/ =券+/心（x>0）,■"•/U）=-2?+x=^2x^,（x>0），由/'（外二笑”）。，得；J（K）在。+R）上单调递增；由r（x）=^?<0,得OVr<*,.•._/（A）在（0,，上单调递减.（II）（/）证明：过Co.b）有三条不同的切线，设切点分别为（M,/（.Vl））,（X2»/（A2））»（A3，/（A-3））,：.f（av）-b=f（甘）（XL〃），”=l,2,3）,，方程/（x）-b=f（・v）（x-n）有3个不同的根，TOC\o"1-5"\h\z该方程整理为（二—'r）（工・加-g-!nx+b=O,x2* 2K1e P设8（x）=（一一一7）（1-。）-5 hd+b,X2*2 lx若OVxVe或工>〃时，/(.V)<0：当eV.rV〃时、«(.v)>0,二《(a)在(0,«),(〃，+8)上为减函数，在3,4)上为增函数，•：g(A-)有3个不同的零点,:・&Q)V0且g(a)>0,:.— )(C-。)——bie+b<Ot且(一——r) —Ina+b>0,e2e2 2e a2a2 2a整理得到bV^+1且6>言+lna=f(・)，此时,b<^+1.且b>"+lna=f(a),此时，b—f(a)—^(^—1)V盘+1—(六+Ina)—善―Ina+b>>0,整理得bV会+1,且心为+lna=f(a),此时，Z?-y(H)—(^—1)<盘+1•(—+Ina)一热+—券-।兀a，

设U(a)为(a,+8)上的减函数，/.p(a)〈楙一看—/？=。，：.0<b-Ha)V；吟-1).(")当OVaVe时,同(/)讨论，得：*(.V)在(0,a),(乙+8)上为减函数，在(出〃)上为增函数，不妨设.VI<A2<.V3»则0VniV〃Vx2VeV.T3，,:s(a)有3个不同的零点，・・・g(a)<0,且&(e)>0,TOC\o"1-5"\h\ze p 1 c p:.( r)(e~ci)—万一,7ie+b>0,且(——(〃•〃)—5 Ina4-b<0»e2e2 2b a2a2 2a整理得三+1VbV?+Ina,2e 2eVaiV.12VA3,/.0<.vi«口《0，・・/x_.a+e.ea. ..•&(a)-1 +--2-/nx+b,“NX设，=(,=m6(0.1)»则方程1—苴—出x+b=0即为：—C+盘t?+bit+b=0,即为。(〃,+l)什夕"++b=0,m_e4_e._e记。=—G-7"，4=7">TOC\o"1-5"\h\zX1 x2 x3则0，12,“为-(1)什与F+伍£+^=0有三个不同的根,设*=4=幺>1,，〃=-VI,t3Xja e*.2e-a 112e-a要证：一+-r<一+—<- re6(?4与a6e‘即证2+塞vq+qv等一登，367n(q+S)即证」t+J-2一<(皿-13)(而m+i2)367n(q+S)而-(,〃+l)tj+ytx24-lntr+b=0>且・(m+1)t3+yt32lnt3+b=0,J.lntx-lnt3+y(tj2-132)-(m+1)(n-ft)=0.■- ？2_2lnty-lnt3・."+£3—2—帚一一^x-^一,二即证qX!叫一仇亡3<(m-13)(m2-ni+12)36二即证qX!叫一仇亡3<(m-13)(m2-ni+12)36小出+±3)*(m-13)(m2-m+12)即证 =r -1-t72X),(fc+l)Znk(m-13)(m2-m+12)TOC\o"1-5"\h\z即证, + >0,k-1 72记尊⑹=\"警次,k>l,则0(k)=(%；)2(k--2/nk)>0,/.(p(外在(I,+8)为增函数，:.⑴(«)><p(,»)..(k+l)/nte (m-13)(m2-m+12) (m+l)£nm(m-13)(m2-m+12)"k-1 72 m-1 72设3(,„)=加”+空吗焉需把3,()<„,<),则3，(r)=(*1)2(3痴-20心”》1+72)>(m-l.⑶n*3)>Q72m(+1)2 72m(zn+l)2.•.3(/»)在(0,I)上是增函数，；.3(/«)<u)CI)=0.<D,.,,(m-l)(m-13)(m2-m+12)<D,/""+ 72(，n+i) (m+l)£nmuum-1(m-13)(m2-m+12)(m+l)£nmuum-1(m-13)(m2-m+12)72/.若OVaVe,.V|V.^V.已，(2022•甲卷)已知函数/(a)=a3-x,j?(.v)=.1+“，曲线.v=/U)在点(.vi，/(.vi>)处的切线也是曲线F=g(.r)的切线.(I)若内=-I,求a：(2)求a的取值范围.【解答】解：(1)由感意知，,/(-I)=-I-(-1)=0./(.1)=3?-1,/(-1)=3-1=2. y=/(a)在点(-1,0)处的切线方程为y=2(a+1),即y=2r+2,设该切线与g(.t)切于点(mg5)),j?'(.v)=2.v.则g'(4)=2n=2,解得.V2=l,则g(1)=l+«=2+2>解得a=3；f(.v)=3.v2-I,则产/(.r)在点(.vi，处的切线方程为y-(婷-xj=(3xi-l)(x-x}),整理得y=(3xf-l)x-2xf,设该切线与月(.v)切于点(.V2>K(.12))，n'(a)=2x,则g'(A2)=2X2,则切线方程为y-(xf+a)=2x2(x-x2),整理得y=2x2x-*+a,则匿亡;％整理得。=x—"=(孥一切一2"=泡-2x；-%Q令力(xQ令力(x)=-X4-2X31-4

+2

X3-2则力'(,r)=9.v-6.V2-3.r=3.r(3.v+l)(工-1),令//'(,v)>0,解得V<rV0或人>1,令"(k)<0,解得xV-/或UVx<l,则.r变化时，"(a[h(A-)的变化情况如下表:

.V(一8，-""fe,L3(-0)0(0,1)1(1,+8)hf(a)-0+0-0+h(a)单调递减527单调递增14单调递减-1单调递增则II(.V)的值域为［-1,+8),故”的取值范惘为I-I,+OO).(2022•北京)已知函数/(.V)=exln(l+x).(I)求曲线.v=/(k)在点(0,/(()))处的切线方程：(il)设g(K)=f(.v),讨论函数&(.v)布[0,+8)上的单调性：(III)证明：对任意的$,正(0,+8),有/(S+>>f(,y)+/(/).【解答】解：(I)对函数求导可得：f(x)=ez[Zn(x+l)+^-r].将.、•=()代入原函数可得/(0)=0,将x=0代入导函数可得：/(0)=1.故在.v=()处切线斜率为1,故厂0=I3-0),化简得：>=.1•:(II)解法一：由(I)有：口(.V)=r'(x)=ex[ln(x+1)+品】，7 1a'M=ex[/n(x+1)+^-——7].人E(Hl)令4(x)=,(》+1)+《J Ly，令x+l=A(ARI),x+1(x+1)2设=Ink m'(k)=(*- +]>0恒成立.故h(x)在|0,+8)单调递增,又因为4(0)=1,故/,(a)>0在[0,+8)恒成立.故g'(x)>0,故X(.V)在[0，+8)单调递增；解法二：由(I)有：g(.V)=f'(x)=ex[ln(x+1)4-击J,(x)=e^/n(x+l)+^T--l-7].k(x+1)设"I(.r)n(a)=ln(,v+l)+^y，则&(工)=/〃3)•〃(.v),由指数函数的性质得,"(.v)=/上(0.+8)上是增函数,且"[a)=">(),n'(.v)=-4t 当A-e(0,+00)时，〃’(.V)>0,〃(x)单调递x+1(x+1) (x+1)增,

且当KW(0,+8)时，n(x)=加(x+l)+=T>0，.,..Jf(.v)在［0,+8)单调递增.(III)证明：山(11)有g(.V)在【0,+8)单调递增，又g(0)=1.故身(a)>0在［0,+8)恒成立，故f9在［0,+8)单调递增，设W(V)=f(v+r)-f(a).n?(.v)=f(x+r)-f(,v).由(Il)有r(.v)在［0,+8)单调递增，乂因为x+r>x,所以/(.r+r)>/(.v),故H,(.V)单调递增，乂因为S>0,故w(.s')>»v(0).BPsf(.r+r)-/(j)>f(r)-/<0).乂因为函数/■(())=0.故/(s+f)>f(5)+/(r),得证.(2022•甲卷)已知函数/(.r)=y-lnx+x-a.(I)若/(x)20,求。的取值范围：(2)证明：若/(.r)有两个零点内，m，则.vimVI.【解答】解：(l)/(.v)的定义域为(0,+8),/(*)=e、(x”_卜］=0+?产-1),令，(a)>0,解得.r>l,故函数/(.V)在(0,1)单调递减，(I,+8)单调递增,故./(.I)加"=/(1)=e+l-a,要使得/”)20恒成立，仅需什I-g0,故aWs+1，故a的取值范围是(-8,e+|］：(2)证明：由已知有函数/(k)要有两个零点，故/(I)=e+l-a<0,即a>e+l,不妨设()VzV1VX2，要证明ZQV1,即证明xlV0<xi<l,A—>1,“I即证明：又因为/(#在(1，+8)单调递增，即证明：〃刈)Vf(5)of(Xi)</(《)，构造函数版为)=f(幻一f(J，()<.r<1,d'(幻=广(x)+9G)=尸)@3一福7,构造函数(.v)=ex4-x-xex-1,mz(x)=ex+1—ex(l—i),因为OVxVI,所以1一1vO,故"(a)>()在(0,1)恒成立，故，〃Ct)在(0,I)单调递增,

故111(a)<m(1)=0乂因为a-1VO,故/?'(.v)>0在(0,I)恒成立，故人(.v)在(0,I)单调递增，乂因为介(D=0,故It(a)<h(I)=0.故f(xi)vf(2)，即xi.v2Vl.得证.(2022•乙卷)已知函数/G)=ax---(«+1)Inx.(1)当«=0时，求f(.v)的最大值；(2)若/(k)恰有一个零点，求”的取值范围.【解答】解：(I)当”=0时，f(x)=—2一bix(x>0),则/''(X)=当一工=易知函数/(a)在(0,I)上单调递增，在(I,+8)上单调递减，.V(.r)在K=1处取得极大值，同时也是最大位.函数/(.V)的最大值为/(I)=-I：(2)[(x)=a+g=ax2-"l)x+l=纣出"一2①当«=0时,由(1)可知，函数/(X)无零点：②当“<0时，易知函数/(x)在(0,I)上单调递增，在(1.+8)上单调递减，又/(I)=«-1<0,故此时函数/(.t)无零点：③当0<“<1时，易知函数/”)在(0,1),弓，+8)上单调递增，在(1,今单调递减,且/(I)=«-KO,f4)=1-a+(a+l)/naVO,11 一乂由(I)可得，-+ExNl,>1-x,则/〃xV工，ln>Jx<Vx,则X X当a>I时，/(x)=ax--(a+l)lnx>ax- 2(a+1)-y/x>ax-(2a+3)Vx,故存在m=6+2)2>J,使得/(，")>0,此时,(»•)在(0,+8)上存在唯一零点：④当”=1时，f'(x)=a*NO,函数/(a)在<0,+8)上单调递增，又/(I)=0.故此时函数/(x)有唯一零点：⑤当。>1时，易知函数八.2在(0,；),(1,+8)上单调递增，在(；，1)上单调递减，且/(I)=a-1>0，又由(I)n/得，当OV.rV]时，，nx>l—则，—1=,则/nx>2(l—»

此时f(x)=ax-l-2(a+1)(1 +^+11.故存在n=- 使得<0,4(a+l)a故函数/(x)在(0,+8)上存在唯一零点：综上，实数”的取值范围为(0,+8),(2022♦新高考1)已知函数/(.'•)=--ax和g(x)=«x-加有相同的坡小值.⑴求“：(2)证明：存在直线了=/3其与两条曲线.v=/(x)和y=K(A-)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【解答】ft?：(I)/(a)定义域为R,Vy(,r)=e'-(ix,/./(x)=/-〃，若“W0,则/(x)>0,/(x)无最小值，故a>0,当/(.V)=0时，.r=/”“，当(x)=0时，户、，当*V加“时，/(.V)<0,函数/3)在(-8,/〃“)上单调递减，当K>/〃“时，/(.V)>0,函数/(3在Una,+8)上单调递增，故/(x)min=f(.Ina)=a-alna,KCv)的定义域为(0,+8),*(a)=av-/ha»:(x)=«-p令g'(x)=0,解得A=i,当OV.iV：时，g'(x)<0,函数8(.v)在(0,二)上单.调递减，Q a当时，g'(.V)>0,函数K(A)在弓，+8)上单调递增，故g(.v)〃而=\+hia,,:函数f(a)=/-(ix和g(.v)=ax-bix有相同的恢小值:・a-alna—1+/〃〃，

:-alna=1+lna化为Ina -r=0,令h(x)则11(X)=[什1一("1)=1_则11(X)=[(x+1)2X(x+l)Zx(x+l)2Va>0,：.h'(a)="+lo>0恒成立,x(x+l)：.h(a)在(0,+8)上单调递增,乂*；h(I)=0,:,h(a)=h(1)i仅有此一解./.«=1.(2)证明：由(1)知”=1,函数/(K)="・)在(-8,.)上单调递减，在((),+co)上单调递增，函数月(a)=.〕如在(0,1)上单调递减，在(I,+8)上单调递增，设u(a)=/(a)-g(x)=/-2x+/nx(a>0),则"'(x)=P-2+；>P-2,当xNl时，(x)Ne-2>・，所以函数〃(x)在(1,+°°)上单调递增，因为〃(1)=e-2>0>所以当时，“(#>/((1)>0恒成立，即/C)-g(x)>0在*21时恒成立,所以工21时，f(a)>g(a).因为/(0)=1,函数/(工)在(0,+8)上单调递增，g(1)=|,函数月Cv)在(0,1)上单调递减，所以函数/(工)与函数月(.r)的图象在(0,1)上存在唯一交点，设该交点为3〃，fg)(0V〃iVl),此时可作出函数y=/(x)和.v=g(a)的大致图象,

由图象知当直线y=〃与两条仙线y=/(x)和y=g(.v)共有三个不同的交点时，直线y=b必经过点M(in,f(w)),HP/?=/(in),因为/(，”)=g(»»),所以e'"-，”=，"-/，"”，Bpem-2in+lmn=0,令/(x)=〃=/(，”)得x=e'"-，"=，"-/〃，"，解得.v=，”或x=/〃，"，由 得lnm<O<ni<令f>(.v)=〃=/(,")得.v-Inx—t/"-111=in-bun,解得x=m或x=e'",由0<m<1,得m<V",所以当直线与两条曲线y=/G)和.v=g(.v)共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为，him.>11.e"\因为e'"-2m+lnin=0,所以e'"+hmi=2in,所以加"，泮成等差数列..•.存在直线>，=〃，其与两条曲线y=/(x)和.v=gCv)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.(2022•新高考II)已知函数/(*)=.ve(n-(I)当“=1时，讨论/(K)的单调性：(2)当.。0时，.f(u)<-I.求a的取值范围；*111(3)设“CN,证明：-—+/?-+ +/.>ln("+I).Vl2+1 V2z+2\Jn2+n【解答】解：(1)当a=]W,f(a)=.r/-ex=ex(x-I),f(.v)=e*(a--1)+/=M,•">0,...当xE(0,+8)时，f(a)>0,f(.v)单调递增；当a-6(-8,o)时，f(A)<0,/(.v)单调递减.

(2)令#(.v)=/(.v)+1=W-/+1(.v>0),,：f(.r)<-1,f(x)+l<0,：.f-(x)Vg(0)=0在x>0上恒成立，义g'(.v)=^+xaeM-Z,令h(x)=k'(x),则〃'(x)=〃*+〃-/=“(2e“T+”.i*)-：.h'(0)=2a-1.①当2«-l>0,即h'(0)=lim•*3w>(b•*3w>(b使得当G(°，*有丁>0,(a)X),所以月(.v)单调递增，f；(.to)>g(0)=0,矛盾；②当2a-1W。，即«<g,g'(a)=*'+.**'*-/=(l+a.v)铲-d,若1+aiWO,则R(r)<0,所以g(,v)在［0,+8)上单调递减，g(.v)Wk(0)=0,符合题意.若】+m>0,则a'(a)=*+me"<-'=*田""3-/<小+皿i+却-/MelxAx-ex=0,所以x(A)在(0,+8)上单调递减，X(x)<8(0)=0,符合题意.综上所述，实数“的取值范围是“4(3)由(2)可知，当。=g时，f(a)=xe2x—ex<"—I(x>())»令x=tn(14-i)(neN*)得，bi(l+9•e；'nG*3-v-i,TOC\o"1-5"\h\z整理得，/n(l+l). <0.>ln(1+-),fl••Lk=\y fc+1••Lk=\hl(—>=hi<-x府依 1111卜/,111卜/, +XVl2+1 V22+2.+r-- (〃+1),Jn2+n(2()21•全国)已知函数/(、)=.r-6x+4hix+m.(I)求/求x)的单调区间；(2)当汪(I,+8)时，/&)>0,求m的取值范围.【解答】解：(I)已知函数/(x)=.r-6,v+4//Lr+/w,mnr”、Q,4 , 2x2-6x+4 2(x-1)(x-2)则f(x)=2x4-——6= = - .v>0,令了(.V)>0,解得：0cx<1或.r>2,令，(A-)<0,解得：即/3)的单调熠区间为(0,1),(2,+8),单调减区间为(I,2)：(2)由(1)可得：函数/(x)在(2,+8)单调递增，在(1,2)单调递减，则当.隹(I,+8)时，/(a)"而=/(2)=4/"2-8+，小又当(I,+8)时，f(.r)>0,即4加2-8+"7>0,即m>8-4/〃2,即，”的取值范围为:(8-4加2,+8).(2021•新高考【【)已知函数/■)=(x-1)e,-«?+&.(I)讨论/(x)的单调性：(II)从下面两个条件中选一个，证明：f(X)恰有•一个零点.①;<«<当，6>2«；2LbW2a.【解答】解：(I),：/(x)=(,v-1)e'-a/+6,/(.v)=.v(/-2«),①当“WO时，当x>0时，f(a-)>0,当rVO时，f(x)<0.，V(A)在(-8,0)上单调递减，在《0,+8)上单调递增，②当a>0时，令/(.r)=0.可得x=0或》=加(2o).(i)当ova时，当心>0或》<加(2o)U-J.f(a)>0,当加(2a)VxVO时，f(a)<0,：.f(a)在(-8,加(2a)),(0,+8)上单调递增，在(/〃(2a),0)上单调递减,1<f/)"=2时,f(,v)=,v(/-I)旦等号不恒成立，在R上单调递增,

(iii)当时，当x<0或.r>/〃(2«)时，f(a)>0.当 (2«)IH./(x)<0.f(.v)在(-8,o),Un(2«),+8)上单调递增，在(0,In(2«)>上单调递减.综上所述：当时，f(a)在(•8,0)上单调递减：在(0,+8)上单调递增；当OVaV*时，/(冷在(-8,/“(2“))和(0,+8)上单调递增：在(/„(2«),0)上单调递减；当a=时，/(x)在R上单调递增；当a>：时，/(.v)在(-8,0)和(/„(2«),+«>)上单调递增：在(0,加(加))上单调递减.(II)证明：若选①，由(1)知，/(#在(-8,0)上单.调递增，(0,加(2«»单调递减，(加(2n),+8)hf(A)单调递增.注意到f(-Jl)=(-J1-l)e~>l»<0,/(O)=b-l>2a-IX).：.f(.v)在(-Jj,0]上有一个零点；f(In(2<z))=(Jn(2a)-I)2a-aln22a^b>2aln(2a)-2a-ah?2a+2a=aln(2a)(2-In(2n)),]g2由3Va4,得0</〃(2«)<2,J.aln(2a)(2-In(2«))>0,：.fUn(2a))>0,当x>0时，f(x)>/(In(2a))>0,此时/(x)无零点.综上：/(、)在尺上仅有一个零点.1e2另解：当代一I时,有加(2a)6(0,2J.而/1(0)=b-1>2«-1=0.于是f<dn(2a))=〈/〃(2a)-I)«2«-abr(2«)+h=ln(2«)(.2a-In(2a))+(b-2a)>0.所以/(x)在(0,+8)没有零点，当x<0时，/e(0,I),于是/(x)<-(a-+h=>f(-^)<0,所以/(a)在(一电,0)上存在一个零点，命题得证.若选②，则由(I)知：f(X)在(-8,I,,(2w»上单调递增，在Un(2a),0)上单调递减，在(0,+~)上单调递增.

/(/"(2。))=(加(2“)-I)la-ahr2a+b^2aln(2«)-2a-aht22a+2a=aln(.2a)(2,；0<a<1,：.ln(2a)<0,：.aln(2«)(2-In(2«))<0,：./(In(2a))<0....当,v<()时，/(.v)<fUn(2a))<0,此时f(r)无零点.当i>0IH./(.v)单调递增，注意到/(0)=b-l<2«-KO,取c=、/2(l-b)+2,-：b<2a<\,Ac>V2>l,又易证ec><-+\,:.f(c')=(c-l)ec-ac2+b>(c-l)(c+1)-ac2+b=(1-a)c2+b—+b—1=1—b+l+b—l=l>0,：.J(t)在(0,c)上有唯一零点，即/(工)在(0.+8)上有唯一零点.综上：f(x)在R上有唯一零点.(2021•北京)己知函数/(.r)=学".(I)若”=0,求曲线.v=/(r)在点(1,/(I))处的切线方程；(11)若/(x)在》=-I处取得极值，求/(、)的单调区间，并求其最大值和最小值.【解答】解：(I)/(、)=专弊的导数为(x)=*二等支出=爷9可得F=/(.v)在(I,I)处的切线的斜率为-4,则y=/(.v)在<1,/(I))处的切线方程为y-1=-4Cv-1),即为y=-4.r+5：(1I)/(a)=守的导数为f(a)=二212+q二2尊凸)=^-6x-2at(x2+a)2 (/+a)2由题意可得「(-I)=(),即萼之=()，解得〃=4,(a+l)z可得f(a)=~z^ff(工)=^^,(W+4)当.V>4或A<・1时，，(a)X),f(A-)递增；当・IV]V4时，，(x)<0,f(A-)递减.函数、=/(.1)的图象如右图，当L・8,y-()；L+8,\一()，则/(.r)在x=-I处取得极大值1,且为坡大值I：在x=4处取得极小值-；，且为最1-1-4

一在小所以/(x)的增区间为(-8,-I),(4,+8),减区间为(-1,4)：f(.V)的最大值为I,最小值为(2021•天津)已知“>(),函数/号)(I)求曲线/(、)在点(0,/(0))处的切线方程：(2)证明函数/”)存在唯一的极值点：(3)若曲，使得/(a)Wo+/,对任意的xCR恒成立，求实数/>的取值范围.【解答】(1)解:因为/《幻=«-(x+1)/,所以/(0)=«-I,而/(())=0,所以在(0,/(()))处的切线方程为.丫=(«-I).V<«>())；(2)证明：令/(X)=«-(x+1)et=0,则“=(.v+1)，，令g(.v)=(a+I)/,5Wg'(x)=(,v+2)eK,令g'(a)=0.解得x=-2,当庆(-8,-2)时，f：'(a)<0,.?(.v)单调递减，当xe(-2,+8)时，g'(x)>(),f.(,v)单调递增，当.v--8时，，g(a)<0,当a-+8时，身(x)>0,作出图象所以当“>()时，y=“与y=g 仅有一个交点，令g(〃，)=a,则m>-I.且/(，〃)~a-(•(/„)=0.当v€(-8,州)时，a>g(,v),f(a)X),f(.v)为增函数：

当AW(，"，+8)时，“Vg(.V),/(.V)<0,/(.V)为减函数；所以时是/(X)的极大值点，故/(X)仅有一个极值点：(3)解：由(2)知/(x)“””•=/(，〃)，此时”=(1+/«)e'n,<m>-I),所以{/(a)-a}may=f(.m)-a=(]+，")me"'-me'"-CI+m)e"'= e"'(.m>-i),令h(.v)=(x2-.r-I)eK(x>-1),若存在“，使/(.v)这对任意的.t£R恒成立，则等价于存在.虎(-1,+8),使得〃(.V)<〃，即〃2〃(.V)min.而/»'(a)=(『+X-2)/=(X-I)(.v+2)e\(a>-I),当.re(7,I)时，li(.v)<0,h(x)为单调减函数，当.ve(I,+8)时，h-(.v)>0,h(.v)为单调增函数，所以h(a),nin—h(1)=--e,故-e,所以实数〃的取值范困[-e,+8),(2021•浙江)设“，〃为实数，R«>I,函数/(a)=a'-bx-¥e2(.vgR).(1)求函数/(.r)的单调区间：()1)若对任意〃>2/,函数/(、)有两个不同的零点，求。的取值范围：(III)当”=e时，证明：对任意〃>1,函数/(、)有两个不同的零点2,.心，满足.口〉hlnhe2h+百(注：e=2.7l828是自然对数的底数)【解答】解：(I)，(a)=(('lna-b,①当〃W0时，由于则"7〃“>0,故/'(x)>0,此时/(x)在R上单调递增：•当〃>0时，令/*(a)>0,解得x>轲，令/(x)<0,解得xV幽，f Ina」 Ina/nA 也2此时/(K)在(-8,需)单调递减，在(需，+8)单调递增：综上，当〃W0时，/(x)的单调递增区间为(-8,+8)：当〃>0时，f(,v)的单调递减区间为(一8,热)，单调递增区间为(热，+8)：(II)注意到工--8时，f(,v)一+8,当N—+8时，f(V)-*4-©o,b由(I)知，要使函数7'(.r)有两个不同的零点，只需f(x)min=f(柴氏)<0即可，

需-b•需+e2Vo对任意b>海均成立，令t=轲，则</-6+/<0,即e""u-W+JVO,即e"*i-b.驷+e2<0,即±-b-Ina.\b-b.In总+e2lna<0对任意b>2e2均成立，记a(b)=h-h-Inj^+e2lna,b>2e2,则g(b)=1- +b华喘)=In(lna)—Inb,令(b)=0,得b=lna,①当lna>2e2tWa>e2e2^f,易知g(/?)在(2j,加a)单调递增，在(加小+«)单调递减，此时g(fe)Wg(Ina)=hui-Ina*ln\+e1lna=lna9(e2^\)>0.不合题意；②当加“W2o2,U|Jl<a<e2e2W,易知g(b)在(2/，+8)单调递减，此时g(b)<g(2e2)=2e2-2e2,，n品+e2lna=2e2-2e2\(n(2e2)-In(/〃a)]+//〃〃，故只需2-2[/“2+2-加(加a)]+加〃WO,即加a+2/n(Ina)W2+2加2,则加aW2,即aWe;综上，实数〃的取位范困为(I,e2]；(III)证明：当〃=e时，f(a)=/-/“+/,f(a)=d-Z?,令/(a)=0>解得n=lnh>4,易知/a)mbi=f(，也)=e[nb-b-Inb+e2=b-blnb+e2<b-46+/=?-3b<，-3U(i-3/)〈O.(X)有两个零点，不妨设为Nl,.□，fl.口V/汕V*2,ltl/(x2)=e"_bX2+e2=0,可得必-詈+mJ.要证今>3皆必+目，只需证当》，只需证e*>,=e？T-2e2+e2=e2r-e2<e^-e2<0,则勺V等，；・要证e*z>"挈勺，只需证6必>尻汕，只需证工2>/〃(blnb),2e“而/(加(R汕))・bin(hlnh)+e2=hlnb-bln(blnb)^<b!nb-bln(4方)+/=b•Znj+e2=e2-bln4<0»4

(blnb),即得证.(2021•甲卷)设函数=J『+“x-3〃*+l,其中“>0.(I)讨论/(k)的单调性；(2)若y=f(.v)的图像与x轴没有公共点，求”的取值范围.【解答】解：(1)f(.V)=2a%+“_m=2a2x2+ax-3=(2ax+3：(ax-l),v>(b因为”>0,所以一4<0<1,1所以在(0,-)上，f(工)VO,f(.v)单调递减，a在(士+b)上,f(a)>0,/(.V)单调递增.a综上所述，/(.V)在(0,-)上单调递减，在(i+8)上/(.、♦)单调递增.a a(2)由(1)可知，/(a),Hm=/(-)=«2X(-)2+«xi-3/n-+l=3+3/n«,a a aa因为y=f(,v)的图像与▲轴没有公共点，所以3+3/〃”>0,所以<!>->e所以〃的取值范围为(-,+8).e(2021•乙卷)已知函数/(.r)—In(.a-a),已知x=0是函数y=V(x)的极值点.(1)求a；(2)设函数8(a)=锵卒.证明：R(.V)<1.【解答】(1)解：由题意，/(A-)的定义域为(-8.a),令/(工)=.tf(.v)»则I(.V)=xln(</-.v)»xE(-8,〃),则/'(a)=加(a-.v)+.v =ln(a—x)+ ,a-x a-x因为.r=0是函数产af(工)的极值点，则有，(0)=0,即加a=0,所以a=l.当a=l时」(x)=/n(l-x)+ =ln(l-x)4-^^4-1,0./,(0)=0,因为/，)=吕+一1因为/，)=吕+一1(1-x)2x-2(I/<n,则f(.V)在(・8,1)上单调递减,所以当*6(-8,0)时，，(x)>0,

当工W(0,1)时,f(.v)<0.所以。=1时，工=0是函数.V=.W(])的一个极大值点.综上所述，”=1：(2)证明:ill(I)可知，M(.l)=工加(I-A),要证需公即需证明蓝葭)5因为当.隹(-8,())时,式/〃(1・工)V0,当.他(0,1)时，n/〃V0,所以需证明x+加(1-x)>xln(I-.v)»即.v+(1-a)In(1-a)>0,令h(.v)=.v+(1-x)//?(1-.v),则h'(a)=(I-.v)- +1-/n(l—x)=—In(1-x),i_x所以4(0)=(),当.ve(- 0)时，If<x)<0.当aE(0,1)IH，If(.v)X),所以x=0为〃(x)的极小值点,所以〃(.v)>h(0)=0,EPx+ln(1-a)>xln(1-.v),x+tn(l-x)

xtn(l-x)所以嗡c(2021•新高考I)己知函数/(a)=.v(1-/nr).(1)讨论/(.r)的单调性；(2)设a,6为两个不相等的止数，且。/〃“-”/汕="-。，证明：2V(+：Ve.【解答】(1)解：由函数的解析式可得/(a)=I-Inx-I=-Inx,：.xe(0,I).f(.v)X),f(a)单调递增，.ve(1.+8),f(.v)<(),f(x)单调递减，则/(K)在(0,l)单调递增，在(I,+8)单调递减.(2)证明：由人得一工，“工+：伍3=•一工,aa/)b/)aH*(1-In?=^(1一/》rh(i)/(.v)在(o,i)单调递增，在(i,+«>)单调递减，所以f(.V)miLX—f(1)=1,旦/(e)=(),

令4=)汹4则川，刈为/(.t)=k的两根,其中&W(0,I).不妨令gW(0,1),,V2G(1»e),则先证2V."+x2,BPiil:xi>2~.vi»即证/(.c)=f(xt)<f(2-.vi)»令力(.v)=/(.v)・/(2・.r),则力'(.v)=/(a)+/(2・.t)=・/〃.♦/〃(2-工)=-加卜・(2・x)］在(0,I)单调递减，所以“(.v)>hf(I)=0,故函数"(.v)在(0,I)单调递增，:・h(.vi)<h(I)=0..*./(.vi)<f(2-.vi)»/.2<.vi<x2>得证.同理，要证ni+.v2Ve,(法一)BPiiE\<X2<c-Ai,根据(I)中/Q)单调性，即证/(4)=/(.vi)>f(,e-,vi),令(p(.v)—f(.v) .v6(0>I)>则(p*(.v)=-ln{x(e-x)|>令s'(.w)=0,xE(0,.vo),<p*(.v)>0,<p(.v)单调递增，xE(加,I),cp>(.v)<0,<p(.v)单调递减，乂OV.Yc时，f(.v)>0,且/(。)=0,故l咻(p(x)=0,(P(I)=/(l)・/(e・1)X),A(p(.v)>0恒成立，.Vi+X2<(?得证，(法二)f(.V|)=/(A2),KI(I-//LVl)=.V2(I•/n.V2),又.tie(0,I),故I-//in>L.n(I-Inxi)>.vi,故工|+&<工］(I-//UI)+42=.V2(I-加・V2)+X2，.V2W(I，£)，令g(.v)=.v(I-//u)+.r,gf(a)=I-Inx,xe(I,e),在(I,c)上，&'(.v)X),g(a)单调递增，所以g(.v)<g(e)=c.

lt[lX2（1•Inx2）+.v2〈e，所以用+f2Ve,得证,则2v[+：<《.(2021•乙卷)已知函数/(a)=F-『+,“+1.(1)讨论/(x)的单调性：(2)求曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线)，=_/(x)的公共点的坐标.【解答】解：⑴/(a)=3a--2.v+u,、=4-12“，①当△&(),即aN：时，由于/(x)的图象是开口向上的抛物线，故此时/'(A2%则/(a)在R上单调递增：②当△>0,即avg时，令/(.v)=0.解得X]=上网,x2=~~~3^fl,令/(a)>0,解得.Y."或.。处令，(.V)<0,解得*<K<X2，(.V)在(-8,Ai),(X2，+8)单调递增，在(XI，.V2)单调递咸；综上，当aN1时，/(.v)在R上单调递增；当a<寺时，/(x)在(一8,if书,d吗3、+8)单调递增，在(：平3a,1+J；-3a)单调递减(2)设曲线_y=/(.v)过坐标原点的切线为I,切点为(Xo，No,-xq2+axo+1),/(%0)=3/2—2Xq+Q,则切线方程为y-(x03-Xq2+axQ+1)=(3x()2_2x0+a)(x-x0).将原点代入切线方程有，2x03-xo2-i=0,解得何=1,，切线方程为)，=(〃+1)K，令.t3-x2+av+1=(rt+l)K,即A3-.V27+1=0,解得A=】或工=-I,二曲线)•=/”)过坐标原点的切线与曲线>=/a)的公共点的坐标为(1,/1)和(-I*~a-I).(2021•甲卷)已知“>0且“Hl,函数/(.r”,(.v>0).(I)当“=2时，求/(.r)的单调区间：(2)若曲线.y=f(x)与直线)，=1有且仅有两个交点，求”的取值范围.【解答】解：⑴a=2时，/(a)=p.”.、2x2x-2xln2x2x(2-x/n2)也2«(卷r)f〈'"=一(PJ3-=2K= 2" ，

TOC\o"1-5"\h\z2当工W((), )时，f(.v)>0»当.vW( ,+8)时,f(.v)VO,ln2 ln2故/(、)的单调递增区间为(0,二)，单调递减区间为(二，+8).In2 Ln2(2)由题知/(工)=1在(0,+8)有两个不笫实根，InxInaf(.v)=lo.d=。=。如=.t加no = ,xa令g(#="，，")=与百，g(-V)在(0，e)上单调递增，在(e,+8)上单X Xc调递减，又当.r<1时，g(.v)<0,g(I)=0.g(e)=1.当,v>1时，g(.v)>0.2().(2020•新课标I)已知函数=e'-a(.i+2).(I)当“=I时，讨论/(x)的单调性；(2)若/(x)有两个零点，求”的取值范围.【解答】解：由题意，/Ct)的定义域为(-8,+oo),口/(.».)(I)当a=I时，f(.v)=«'-I.令/(.V)=0.解得,r=0..•.当.隹(-8,o)时，/(、)VO,/(K)单调递减，当xW(0.+8)时，f(a)>0,f(.v)单调递增-：.f(X)在(-8,0)上单调递减，在(().+8)上单调递增：(2)当“W0时，/(a)=/-«>0恒成立，f(x)在(-8,+oo)上单调递增，不合题意：

当“>0时，令/(A-)=0,解得.v=加"，当.但(-8,加“)时，f(,v)<0,/(.r)单调递减，当Una,+~)时，f(A)>0./(.v)单调递增././(.V)的极小值也是最小值为/(/〃“)=a-aUna+2')=-a(1+/««).乂当k1-8时，y(v)—+8,当.r—+8时，y(v)—+8.，要使/(.v)有两个零点，只要/(/««)<0即可，则1+/〃”>0,可得“e1综上，若/(X)有两个零点，则”的取值范围是(一，+8).e(2020•天津)已知函数/(x)=P+khix(AeR),f(.v)为/(.r)的导函数.(I)当仁6时，(i)求曲线y=/(x)在点(I,/(I))处的切线方程：(ii)求函数g(.r)=/(x)-f(.r)+1的单调区间和极值；(II)当时，求证：对任意的内，X2日1,+8),且.">.口，有“(x】)；'(X2)>f(Xi)-f(X2)Xi-X2'【解答】解；([)")当—6时，f(.v)=?+6/»tv,故/(a)=3.r+p：.f(1)=9,：f(1)=1.二曲线¥=/(*)在点(I./(1))处的切线方程为k1=9(a-1).即9x-y-8=0.(//)g(.v)=f(.V)-f(.v)+-=a3+6//lv-3a"-4--,.v>0»“g=3.…士生a，令(x)=0,解得x=l,当OVxVl,g'(.r)<0,当.r>l,g'(a)>0,函数g(.r)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，k=1是极小值点，极小值为g(l)=1.无极大值(11)证明：山/(.v)=.3klnx,则，(a)=3?+*.

对任意的工|,人2日1,+8),且口>q，令&=',，>],X2则(.VI-.V2)[f(.VI)+/(.V2)I-21/*(.VI)-/(X2)|=(.VI-.V2)(3.VJ2+—+3a*22+—)-2xl x2(内3M=.V|3-.V23-3.V|2A2+3.V|A'22+Jt(---)-2kbr^fx2Mx2=X23(?-3r+3/-I)+k-2，M,①令力(a)=工一；-2加工，工>1,当.r>l时，h'(.v)=1+4-2=(1—：)2>0,：.h<A)在(1,+8)单调递增，:当/>1,li(/)>h(1)=0,即/一；一2/〃，>0,V.v2^I.r3-3r+3r-1=(7-I)3>0,k2-3,・・・.口3(尸-3»+3l1)+人(/一：一2加1-3(s；-2加r)=尸-3尸+6W+,T,②，由(I)(”)可知当后1时，月(r)>g(1)即产-3』+6加/+微>1,③,由①©③可得(”-.门)U"(.口)+/(.V2)]-2l/(.Vl)-/(X2)|>0,:.当4-3时，对任意的Ai，x26[l.+~),且Xl>X2，有/'(小)+/'[2)>2 X1-X2(2020•北京)已知函数/(.r)=12-?.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程；(II)设曲线)•=/(▲)在点(八/3))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(r).求S⑺的最小值.【解答】解：(1)f(.v)=12-F的导数/*(,v)=-2x,令切点为《，”，”),可得切线的斜率为-2/〃=-2,/.»»=1,.•.”=12=1=11,/.切线的方程为v=-2a+I3：(II)曲线F=/(x)在点(，，/(/))处的切线的斜率为人•=-2r,切线方程为「-(12-z2)=-2t(.v-/),

令l=0,可得y=【2+尸，令y=0,可得.v=±+f,、 116 ,>：.S(r)=|*|-r4-y|*(12+r).由S(T)=S(r),可知5(r)为偶函数，不妨设，＞0,1-不妨设，＞0,1-4

=5

则(什竽)(12+r),.OG 144, 3(产-4)(尸+12)••S (7)=4(3广+24-了)=不 ^2 -由S'(r)=(),得r=2»当t>2时，S'(/)>0,S(r)递增：当0<r<2时，S'(r)<0,S(/)递减，则S(/)在t=2处取得极小值，且为最小值32,同理可得，<0时，S(r)在f=-2处取得极小值，且为量小值32,所以S(Q的最小侑为32.(2020•浙江)已知1V“<2,函数/(#=/-其中e=2.7l828…为自然对数的底数.(I)证明：函数y=/(x)在(0,+8)上有唯一零点：(II)记M为函数),=/(.V)在(0»+8)上的零点，证明：(i)Va-1<VO<V2(a-lj：(ii)x()f(,e%)2(e-I)(«-I)a.【解答】证明：(1),.y\)=eK-x-a=Q(,t>0).：,f(x)="-l>0恒成立，：.f(x)在(0,+8)上单调递增，Vl<«^2,A/(2)=e2-2-«^e2-4>0,又/(O)~I-«<0.函数y=/(.r)在(0,+8)上有唯一零点.(II)(/)f(ad)=0,,'.ex°-vo-«=0,yja—1<Xo-J2(ci-1),ex°—x()—1<x()2<2(ex°— —1),令g(.v)=eK-x-\-.r(0<x<2).h(a)=e'-x-1-y,(0<.r<2).一方面，h1(a)=d-1-x=/“(a).《'(％)=ex-1>0,・•・/(a)>hf(0)=0,：.h(.v)在(0,2)单调递增，：.h(