机械优化设计概述

机械优化设计2017年5月上

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学SHANGHAIMARITIMEUNIVERSITY何军良个人简介2教育经历2010/9-2014/3，同济大学，机械制造及其自动化，博士2006/9-2008/6，上海海事大学，机械电子工程，硕士2002/9-2006/6，上海海事大学，工业工程，学士科学研究研究方向：运筹学与智能优化、物流系统工程科研项目：主持国家自然科学基金、上海市晨光计划、扬帆计划、国家863项目子课题，上海市教委科研创新项目等科研项目6项。参与国家级、省部级、企事业单位重大项目等50余项论文发表：SCI检索11篇、EI论文20余篇专利：申请或获得各种专利和软件著作权29项，其中授权发明专利3项何军良副教授、博士，上海市晨光学者、扬帆学者上海海事大学中国(上海)自贸区供应链研究院上海海事大学教育部集装箱供应链技术工程研究中心jlhe@课程安排3绪论+概述（2学时）优化设计的数学基础（6学时）一维搜索方法（2学时）无约束优化方法（6学时）线性规划（6学时）约束优化方法（8学时）多目标优化与离散优化（4学时）关于机械优化设计中的几个问题（2学时）考查：平时出勤+平时作业+期末考试（开卷）上海海事大学ShanghaiMaritimeUniversity

1909

2009

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1958绪论何谓最优化设计01机械的设计方法INTRODUCTION优化设计的发展课程的主要任务和目的020304绪论5设计方案轨面上起升高度轨面下起升高度前伸距小车速度小车额定输出功率起升速度起升额定输出功率空载满载空载满载方案1301844150m/min150m/min180kw90m/min45m/min2×300kw方案2251542110m/min110m/min2×45kw60m/min30m/min250kw方案3231440120m/min120m/min110kw80m/min40m/min2×200kw方案43215.544150m/min150m/min2×55kw90m/min45m/min2×200kw方案5321542100m/min100m/min110kw60m/min40m/min300kw设计方案吞吐量平均能耗平均效率方案11770605.8233.53方案21544584.2129.25方案31942253.6736.79方案41677694.2131.77方案51188575.6222.51绪论6--是用数学的方法寻求最优结果的方法和过程（在多个可行的设计方案中选择最好的一个）。1何谓最优化设计机械优化设计主要包括以下两方面的内容：1.建立优化设计的数学模型2.模型求解绪论71.机械的传统设计方法--基于手工劳动或简易计算工具。2机械的设计方法2.机械的现代优化设计方法--基于计算机的应用，以人机配合或自动搜索方式进行，能从“所有的”可行方案中找出“最优的”设计方案。绪论82机械的设计方法从传统设计到优化设计传统设计可行解优化设计最优解绪论92机械的设计方法例1：求圆木做成矩形截面梁，使抗弯截面系数最大时的高宽比。解：梁的抗弯截面系数

设计过程:（1）从实际问题中抽象出数学模型；（2）

选择合适的优化方法求解数学模型。绪论102机械的设计方法与传统机械设计相比，机械优化设计的优点有：使传统机械设计中，求解可行解上升为求解最优解成为可能；使传统机械设计中，性能指标的校核可以不再进行；使机械设计的部分评价，由定性改定量成为可能；使零缺陷（废品）设计成为可能；大大提高了产品的设计质量，从而提高了产品的质量；大大提高了生产效率，降低了产品开发周期。绪论论112机械械的的设设计计方方法法实际际案案例例：：1、利利用用一一化化工工优优化化系系统统，，对对一一化化工工厂厂进进行行设设计计。。根根据据给给定定数数据据，，在在16小时时内内，，进进行行16000个可可行行性性设设计计的的选选择择，，从从中中选选择择一一成成本本最最低低、、产产量量最最大大的的方方案案，，并并给给出出必必须须的的精精确确数数据据。。以以前前：：一一组组工工程程师师，，1年时时间间，，仅仅仅仅3个方方案案，，且且并并非非最最优优。。2、美美国国BELL公司司利利用用优优化化方方法法解解决决450个设设计计变变量量的的大大型型结结构构优优化化问问题题。。一一个个机机翼翼质质量量减减轻轻了了35%。3、波波音音公公司司在在747的机机身身设设计计中中收收到到了了减减轻轻质质量量、、缩缩短短生生产产周周期期、、降降低低成成本本的的效效果果。。4、武武汉汉钢钢铁铁公公司司从从德德国国引引进进的的1700薄板板轧轧机机，，经经该该公公司司自自主主优优化化之之后后，，就就多多盈盈利利几几百百万万马马克克。。绪论论123优化化设设计计的的发发展展第一一阶阶段段人类类智智能能优优化化：与与人人类类史史同同步步，，直直接接凭凭借借人人类类的的直觉觉或或逻逻辑辑思思维维，如如黄黄金金分分割割法法、、穷穷举举法法和和瞎瞎子子爬爬山山法法等等。。第四阶段现代优化方方法：如遗传算算法、模模拟退火算算法、蚁蚁群算法、、神经网网络算法等等，并采用用专家系统统技术实现现寻优策略略的自动选选择和优化化过程的自自动控制，，智能寻优优策略迅速速发展。第三阶段工程优化：近二十余余年来，计计算机技术术的发展给给解决复杂杂工程优化化问题提供供了新的可可能，非数数学领域专专家开发了了一些工程程优化方法法，能解决决不少传统统数学规划划方法不能能胜任的工工程优化问问题。在处处理多目标标工程优化化问题中，，基于经验验和直觉的的方法得到到了更多的的应用。优优化过程和和方法学研研究，尤其其是建模策策略研究引引起重视，，开辟了提提高工程优优化效率的的新的途径径。第二阶段数学规划方方法优化：从三百多多年前牛顿顿发明微积积分算起，，电子计算算机的出现现推动数学学规划方法法在近五十十年来得到到迅速发展展。绪论134课程的主要要目的和任任务学习本课程程主要目的的和任务：：1、了解和基基本掌握机机械优化设设计的基本本知识；2、扩大视野野，并初步步具有应用用机械优化化设计的基基本理论和和基本方法法解决简单单工程实际际问题的素素质。第一章优优化设计计概述最优化问题题示例01优化设计问问题的数学学模型优化问题的的基本解法法最优化问题题分类020304机械优化主主要步骤05151.1最优化问题题示例第一章优优化设计计概述例1-1人字架的优优化设计例1-2机床主轴的的优化问题题例1-3平面连杆机机构的优化化16第一章优优化设计计概述例1-1人字架的优优化设计已知顶点受受力，人字架跨度度，钢管壁厚厚，钢管弹性性模量材料密度，许用压应应力求：在钢管压应应力不超过和失稳临界界应力条件下，使质量m最小的高度度h和直径D？1.1最优化问题题示例第一章优优化设计计概述例1-1人字架的优优化设计解：（1）钢管满足足的强度与与稳定条件件钢管所受压压力压杆临界失失稳的临界界力钢管所受的的压应力钢管的临界界应力钢管截面惯惯性矩：171.1最优化问题题示例18第一章优优化设计计概述例1-1人字架的优优化设计强度约束条条件：稳定约束条条件：问题的数学学表达式是是：s.t.1.1最优化问题题示例第一章优优化设计计概述例1-1人字架的优优化设计（2）解析法求求解19假使刚好满满足强度条条件将D代入目标函函数m(D,h)，得极值必要条条件求得：1.1最优化问题题示例第一章优优化设计计概述例1-1人字架的优优化设计（3）图解法20（4）讨论对于具有不不等式约束束条件的优优化问题，，判断哪些些约束是起起作用的，，哪些约束束条件是不不起作用的的，这对求求解优化问问题很关键键。1.1最优化问题题示例21第一章优优化设计计概述例1-2机床主轴的的优化设计计图示为一简简化的机床床主轴，已已知主轴端端部所受外外力F，许用挠度度y0。求：最轻的主轴轴重量。1.1最优化问题题示例22第一章优优化设计计概述例1-2机床主轴的的优化设计计解：当主轴材料料选定时，，设计方案案由四个变变量决定，，即孔径d，外径D，跨距l，外伸端长度度a。由于内孔通通常用于通通过加工棒棒料，不属属于设计变变量，故设设计变量是是：机床优化设设计的目标函数：：1.1最优化问题题示例23第一章优优化设计计概述例1-2机床主轴的的优化设计计约束条件：：1．刚度其中：2．自变量取取值范围不用考虑两两个边界约约束：，因为从优优化设计看看，都要求求这两个变变量往小处处变化。1.1最优化问题题示例24第一章优优化设计计概述例1-2机床主轴的的优化设计计因此，问题题的数学表达式式如下：当给定已知知条件，采采用随机方方向法可以以求得最优优解。1.1最优化问题题示例25第一章优优化设计计概述例1-3平面连杆机机构的优化化设计曲柄摇摇杆机构，，要求曲柄柄l1从转到时，摇杆l3的转角，是极位角。。传动的允允许角为45~135°，l1=1，l4=5。1.1最优化问题题示例26第一章优优化设计计概述例1-3平面连杆机机构的优化化解：（1）目标函数数的建立其中：1.1最优化问题题示例271.1最优化问题题示例第一章优优化设计计概述例1-3平面连杆机机构的优化化解：（2）约束条件件采用后面介介绍的外点点惩罚函数数法，得到到最优方案案：l2*=4.1286l3*=2.3325f*=0.0156。281.2优化设计问问题的数学学模型第一章优优化设计计概述优化设计的的数学模型型是描述实实际优化问问题的设计计内容、变变量关系、、有关设计计条件和意意图的数学学表达式，，它反映了了物理现象象各主要因因素的内在在联系，是是进行优化化设计的基基础。1.2.1设计变量设计变量：在设计中需需进行优选选的独立的的待求参数数；设计常量：在优化设计计过程中保持不变或或预先确定定数值；几何参数：例例，尺寸、、形状、位位置运动学参数数：例，位位移、速度度、加速度度动力学参数数：例，力力、力矩、、应力物理量：例，质质量、转动动惯量、频频率、挠度度非物理量：例，效率、、寿命、成成本可以是：291.2优化设计问问题的数学学模型第一章优优化设计计概述设计方案：由设计常量量和设计变变量组成。。维数：设计变量的的个数n。1.抓主要，舍舍次要；2.注意连续变变量与离散散变量之分分；3.变量的独立立性；4.不要漏掉必必要的设计计变量；5.设计变量越越多，优化化问题越复复杂。确定设计变变量时要注注意以下问问题：通常，设计计自由度越越多，越能能获得理想想的结果，，但求解难难度也越大大。1.2优化设计问问题的数学学模型第一章优优化设计计概述1.2.2设计点与设设计空间Rn（1）设计点与与设计向量量—每组设计变变量值对应应于以n个设计计变量量为坐坐标轴轴的n维空间间上的的一个个点，，该点点称设设计点点。原原点到到该点点的向向量称称设计计向量量。*设计点点有连连续与与不连连续之之分，，可用用一个个列向向量表表示：：（2）设计计空间间—设计点点的集集合（（n维实欧欧氏空空间））。*当当设计计点连连续时时：R1为直线线，R2为平面面，R3为立体体空间间，Rn为超越越空间间.欧氏空空间：：由于于工程程设计计中的的设计计变量量都是是实数数，所所以称称这种种设计计空间间为欧欧氏空空间。。301.2优化设设计问问题的的数学学模型型第一章章优优化化设计计概述述1.2.3约束条条件设计空空间是是所有有设计计方案案的集集合，，但这这些设设计方方案有有些是是工程程上所所不能能接受受的。。如一一个设设计满满足所所有对对它提提出的的要求求，就就称为为可行行设计计。一一个可可行设设计必必须满满足某某些设设计限限制条条件，，这些些限制制条件件称作作约束束条件件，简简称约约束。。31（1）按约约束的的数学学形式式分不等式式约束束等式约约束（2）按约约束的的作用用分边界约约束性能约约束---对某个个设计计变量量直接接给出出取值值范围围，如如：---由需满满足的的某种种性能能条件件而导导出的的约束束(如强度度条件件、刚刚度条条件、、曲柄柄存在在条件件等）1.2优化设设计问问题的的数学学模型型第一章章优优化化设计计概述述1.2.3约束条条件32可行设设计区区域--满足所所有约约束函函数的的设计计点的的集合合D举例：：2个设计计变量量问题题。约约束条条件：：可行域域D为ABCDA所围成成的区区域，，包含含边界界。1.2优化设设计问问题的的数学学模型型第一章章优优化化设计计概述述1.2.3约束条条件33在建立立约束束函数数应注注意以以下问问题:1.不能有有矛盾盾的约约束；；2.避免等等价约约束(多余约约束),使模型型变坏坏,难以求求解；；3.不能遗遗漏必必要的的约束束,防止最最优解解无实实用价价值,甚至出出现荒荒唐的的结果果；4.尽可能能提出出边界界约束束；5.谨慎对对待等等式约约束。。等式约约束极极大的的缩小小可行行域,增加求求解难难度.可以通通过引引进裕裕度参参数ε，使等等式约约束h(X)=0放宽为为h(X)-ε≥≥0及h(X)+ε≥≥0两个不不等式式约束束。1.2优化设设计问问题的的数学学模型型第一章章优优化化设计计概述述1.2.4目标函函数为了对对设计计进行行定量量评价价，必必须构构造包包含设设计变变量的的评价价函数数，它它是优优化的的目标标，称称为目目标函函数，，以F(X)表示。。34（1）常用用指标标（2）单目目标和和多目目标（3）常处处理为为极小小化形形式--对极大大化问问题可可取原原函数数的负负值在优化化过程程中，，通过过设计计变量量的不不断向向F(X)值改善善的方方向自自动调调整，，最后后求得得F(X)值最好好或最最满意意的X值。在在构造造目标标函数数时，，应注注意目目标函函数必必须包包含全全部设设计变变量，，所有有的设设计变变量必必须包包含在在约束束函数数中。。--最好的的性能能；最最小的的重量量；最最紧凑凑的外外形；；最小小的生生产成成本；；最大大的经经济效效益等等。1.2优化设设计问问题的的数学学模型型第一章章优优化化设计计概述述1.2.4目标函函数35目标函函数的的几何何表示示：1个设计变量量的目标函函数：二维维平面的设设计曲线；；2个设计变量量的目标函函数：三维维空间中的的曲面；n个设计变量量的目标函函数：n+1维空间的超超曲面。1.2优化设计问问题的数学学模型第一章优优化设计计概述1.2.4目标函数36目标函数的的等值线或或等值面：：定义：连接具有相相等目标函函数值的点点所形成的的线或面。。含有2个设计变量量的等值线线：含有3个设计变量量的设计问问题，等值值“线”是是一个面；；含有n个设计变量量的设计问问题，等值值“线”是是一个等值值超越曲面面。1.2优化设计问问题的数学学模型第一章优优化设计计概述1.2.4目标函数37等值线和等等值面的用用途：优化，就是从空空间某一点点开始，按按照某种方方法，寻找找“椭圆””的中心。。1.等值线聚集集成一点的的地方，就就是目标函函数取极值值的地方；；2.对于二维问问题而言，，在目标函函数取极值值的附近，，等值线群群一般是一一组大小不不等的同心心椭圆。椭椭圆族的中中心，就是是目标函数数取极值的的地方；3.当相邻等值值线所代表表的目标函函数值的差差为常数时时，等值线线稀疏的地地方，目标标函数值变变化慢；等等值线密集集的地方，，目标函数数值变化快快。1.2优化设计问问题的数学学模型第一章优优化设计计概述1.2.5优化问题的的数学模型型38综上所述，，最优化问问题数学模模型一般表表示如下：：（1）对于无约约束束最最优优化化问问题题：式中，Rn表示n维实欧氏氏空间。。（2）对于约束最优优化问题题：式中D表示由p个不等约约束条件件和q个等约束束条件所所规定的的可行域域。1.2优化设计计问题的的数学模模型第一章优优化化设计概概述1.2.6模型的求求解39设有设计计点X*=[x*1,x*2,...,x*n]T满足：F(X*)=minF(X)且X∈Ds.tgu(X*)≤0,u=1,2,...,phv(X*)=0,v=1,2,...,q则称X*为优化设设计模型型的最优点，F(X*)称为最优值局部最优优解:设X*1∈D，存在X*1点的邻域域Nε(X*1)={X|‖X-X*1‖≤ε,ε>0}的全部设设计点X都满足F(X*1)≤F(X)，则称X*1为局部最最优点。。全域最优优解:设X*∈D，当X∈D时，总有有F(X*)≤F(X)成立，则则称X*为全域最最优解。。1.2优化设计计问题的的数学模模型第一章优优化化设计概概述1.2.7优化问题题的几何何解释40二维问题题411.3优化问题题的基本本解法第一章优优化化设计概概述1.3.1最优化问问题的图图解法图解法的的步骤：：1.确定设计计空间；；2.画出有约约束边界界围成的的约束可可行域；；3.做出1-2条目标函函数等值值线，并并判断目目标函数数的下降降方向；；4.判断并确确定最优优点。421.3优化问题题的基本本解法第一章优优化化设计概概述1.3.1最优化问问题的图图解法例1-4：求解二二维问题题s.t.X2X1f123（1）无约束束最优解解（2）约束最最优解（3）加入等等式约束束的最优优解431.3优化问题题的基本本解法第一章优优化化设计概概述1.3.1最优化问问题的图图解法例1-5：求下列列问题最最优解最优解：：441.3优化问题题的基本本解法第一章优优化化设计概概述1.3.1最优化问问题的下下降迭代代解法为了适应应电子计计算机的的工作特特点，要要求最优优化方法法具有下下列性质：1.数值计计算，，而不不是解解析方方法；；2.具有简简单的的逻辑辑结构构，并并能进进行反反复的的运算算过程程；3.不要求求获得得精确确解，，而只只要求求有足足够精精度的的近似似解。。满足上上述要要求的的计算算过程程或计计算方方法就就是所所谓的的数值值迭代代过程程或数值迭迭代方方法。。451.3优化问问题的的基本本解法法第一章章优优化化设计计概述述1.3.1最优化化问题题的下下降迭迭代解解法（1）数值值迭代代的原原则2.从新点点X1出发，，用相相同的的方法法求解解X2点，使使F(X2)≤F(X1)。反复复进行行计算算,可以求求出第第k个迭代代点Xk；3.当计算算迭代代时间间足够够长时时,便有limXk→X*。迭代公公式：：核心：：1.建立搜搜索方方向2.计算最最佳步步长例：461.3优化问问题的的基本本解法法第一章章优优化化设计计概述述1.3.1最优化化问题题的下下降迭迭代解解法（2）终止止迭代代条件件收敛性性指某某种迭迭代程程序产产生的的序列列收敛于于1.点距准准则（为预先给定的足够小的正数）即：例：471.3优化问问题的的基本本解法法第一章章优优化化设计计概述述1.3.1最优化化问题题的下下降迭迭代解解法（2）终止止迭代代条件件2.目标函函数下下降量量准则则相对下下降量量准则则绝对下下降量量准则则（适用于于|f(Xk+1)|≥≥1）（适用于于|f(Xk+1)|<1）481.3优化问问题的的基本本解法法第一章章优优化化设计计概述述1.3.1最优化化问题题的下下降迭迭代解解法（2）终止止迭代代条件件3.梯度准准则上述三三个收收敛准准则都都在一一定程程度上上反映映了达达到极极值点点的特特点，，但都都不能能保证证所取取得的的设计计点Xk+1是全局局最优优点，，它很很可能能是一一个局局部最最优点点，因因此有有必要要进一一步考考查它它是否否为全全局最最优点点。判断全全局最最优点点常采采用的的方法法是：：取若干干个相相距甚甚远的的两点点作为为初始始点，，考查查它们们最后后迭代代的最最优解解是否否趋于于同一一解。。491.4最优化化问题题分类类第一章章优优化化设计计概述述线性优优化(LP)二次规规化(QP)非线性性优化化(NLP)多目标标优化化F(X)，gi(X)，hi(X)都是关关于X的线性性函数数。gi(X)，hi(X)都是关关于X的线性性函数数，而而F(X)是X的二次次函数数。F(X)，gi(X)，hi(X)至少有有一个个是X的非线线性函函数。。目标函函数F(X)=[f1(X),f2(X),...,fp(X)]T，p≧2。501.5机械械优优化化主主要要步步骤骤第一一章章优优化化设设计计概概述述1.确定定所所研研究究问问题题的的范范围围；；2.建立立反反映映实实际际情情况况的的数数学学模模型型；；3.选用用适适当当的的优优化化方方法法；；4.编写写计计算算机机程程序序并并进进行行计计算算；；5.分析析计计算算结结果果。。51习题题：：第一一章章优优化化设设计计概概述述1.一块块长长50cm宽40cm的钢钢板板，，四四个个角角减减去去相相等等的的小小正正方方形形后后，，做做成成无无盖盖长长方方铁铁盒盒，，要要求求剪剪去去小小正正方方形形的的边边长长为为多多少少，，使使铁铁盒盒容容积积最最大大。。2.已知知Xk=[3,4]T，dk=[2,3]T，α=0.6。计计算算，，并并作作图图说说明明从从Xk修改改成成Xk+1的过过程程。。3.用作作图图法法求求x1、x2，使使目目标标函函数数最最大大和和最最小小，，并并满满足足约约束束条条件件：：第二二章章优优化化设设计计的的数数学学基基础础矩阵阵运运算算01多元元函函数数的的方方向向导导数数与与梯梯度度多元元函函数数的的泰泰勒勒展展开开凸集集、、凸凸函函数数与与凸凸规规划划020304最优优化化问问题题的的极极值值存存在在条条件件05532.1矩阵阵2.1.1矩阵阵的的概概念念第二二章章优优化化设设计计的的数数学学基基础础设一一线线性性方方程程组组：：如果果把把上上面面式式子子中中的的系系数数按按原原来来的的顺顺序序排排列列起起来来，，记记作作下下面面的的形形式式：：它就就被被称称为为矩矩阵阵，，简简记记为为:542.1矩阵阵2.1.1矩阵阵的的概概念念第二二章章优优化化设设计计的的数数学学基基础础由方方阵阵A的全全部部元元素素构构成成的的行行列列式式，，称称为为矩矩阵阵A的行行列列式式，，记记为为|A|。应用用MATLAB求解解A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];%生成成矩矩阵阵Adet(A)%求A的行行列列式式当方方阵阵A的行行列列式式|A|=0,称A为奇奇异异方方阵阵；；当当|A|≠0,则称称A为非非奇奇异异方方阵阵。。552.1矩阵阵2.1.1矩阵阵的的概概念念第二二章章优优化化设设计计的的数数学学基基础础单位位方方阵阵：：在在n阶方方阵阵中中，，当当主主对对角角均均为为1，其其余余各各元元素素都都为为零零，，则则称称作作单单位位矩矩阵阵，，并并用用特特定定符符号号E表示示，，即即：：在矩矩阵阵代代数数中中，，单单位位矩矩阵阵相相当当于于一一般般代代数数中中纯纯1的概概念念。。MATLAB中，，单单位位矩矩阵阵的的命命令令是是：：eye(n)562.1矩阵阵2.1.2矩阵阵的的转转置置第二二章章优优化化设设计计的的数数学学基基础础若将将原原矩矩阵阵A的行行与与列列对对换换成成列列与与行行来来写写，，就就得得到到A的转转置置矩矩阵阵，，用用AT表示示，，即即：：同样样，，行行矩矩阵阵的的转转置置为为列列矩矩阵阵，，列列矩矩阵阵的的转转置置为为行行矩矩阵阵，，如如：：应用用MATLAB求解解：：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];%生成成矩矩阵阵AA'%求A转置置572.1矩阵阵2.1.3对称称方方阵阵第二二章章优优化化设设计计的的数数学学基基础础当方方阵阵具具有有A=AT，也也即即各各元元素素满满足足aij=aji的性性质质时时，，称称A为对对称称方方阵阵。。其其全全部部元元素素沿沿主主对对角角线线呈呈对对称称分分布布，，例例如如：：582.1矩阵阵2.1.4矩阵阵的的运运算算第二二章章优优化化设设计计的的数数学学基基础础（1）矩矩阵阵相相等等两个个同同阶阶数数的的矩矩阵阵A与B，它它们们的的阶阶数数相相同同，，并并且且各各对对应应元元素素完完全全相相等等，，即即aij=bij，则则该该两两矩矩阵阵称称为为相相等等，，记记作作A=B。（2）矩矩阵阵的的加加减减两个个同阶阶数数的矩矩阵阵A与B可以以进进行行加加减减运运算算，，其其和和或或差差C亦同同阶阶矩矩阵阵。。矩矩阵阵C中各各元元素素为为矩矩阵阵A、B中各各对对应应元元素素之之和和或或差差。。即即：：则必必有有相相对对于于元元素素的的对对应应关关系系矩阵阵加加法法还还满满足足交交换换律律和和结结合合律律，，设设有有同同阶阶矩矩阵阵A、B、C，则则有有：：592.1矩阵阵2.1.4矩阵阵的的运运算算第二二章章优优化化设设计计的的数数学学基基础础（3）矩矩阵阵的的乘乘法法若以以数数乘乘矩矩阵阵，，得得同同阶阶矩矩阵阵C,记C=A，规定定C中各元元素就就是A中各元元素乘乘以λ，即cij=λaij。表达达如下下：602.1矩阵2.1.4矩阵的运运算第二章优优化化设计的的数学基基础（3）矩阵的的乘法若以两个个矩阵A与相乘，，则必须须A的列数等等于B的行数时时才可以以进行这这种运算算，它的的乘积仍仍是一个个矩阵C，C的行数同同A，C的列数同同B，C的第i行j列的元素素cij等于A中第i行各元素素ai1,ai2…,aip与B中第j列各元素素a1j,a2j…,apj逐对相乘乘之积的的总和，，即：612.1矩阵2.1.4矩阵的运运算第二章优优化化设计的的数学基基础（3）矩阵的的乘法例如：622.1矩阵2.1.4矩阵的运运算第二章优优化化设计的的数学基基础（3）矩阵的的乘法关于矩阵阵乘积的的某些性性质：（1）当两矩矩阵之积积为0时，并不不意味着着其中之之一必为为零矩阵阵。（2）当存在在AB=AC的关系时时，B=C的关系不不一定成成立。（3）当矩阵阵A与单位方方阵相乘乘时，其其积仍为为A，即EA=A或AE=A。（4）乘积的的转置(AB)T=BTAT。632.1矩阵2.1.4矩阵的运运算第二章优优化化设计的的数学基基础（4）逆矩阵阵对于一个个n阶方阵A（非奇异异方阵）），如果果另有一一个n阶方阵B，能满足足两者之之积等于于单位方方阵，即即AB=E时，则B叫做A的逆矩阵阵，记作作B=A-1。一个矩矩阵如果果有逆矩矩阵，就就叫它为为可逆矩矩阵。逆逆矩阵是是唯一的的，由此此推知：：由此看，，A也是A-1的逆矩阵阵。应用MATLAB求解A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];%生成矩阵阵Ainv(A)%求A的逆642.1矩阵2.1.4矩阵的运运算第二章优优化化设计的的数学基基础（4）逆矩阵阵把数学方方程组写写成矩阵阵的形式式若矩阵A是非奇异异的（即即|A|≠0），则A-1以左乘上上式等号号两端，，所以：：因有，，则这里，只只要求出出系数矩矩阵的逆逆阵A-1，再求出出乘积A-1B，即可求求出未知知量X。652.1矩阵2.1.4矩阵的运运算第二章优优化化设计的的数学基基础（4）逆矩阵阵在线性代代数中将将二次齐齐次函数数称作二二次型。。其矩阵阵形式为为：式中，G是对称矩矩阵。如如果对任任何{X}≠0的的向量量都有f(x)>0，则称f为正定二二次型，，并称对对称矩阵阵G正定。对称矩阵阵G为正定的的充要条条件是G的各阶主主子式都都为正。。662.2多元函数数的方向向导数与与梯度2.2.1方向导数数第二章优优化化设计的的数学基基础一个二元元函数f(x1,x2)在点X0(x10,x20)处的偏导导数定义义是:定义：函数沿沿指定方方向d的平均变变化率的的极限。。二元函数f(x1,x2)在X0(x10,x20)沿d方向导数数:方向导数数672.2多元函数数的方向向导数与与梯度2.2.2方向余弦弦第二章优优化化设计的的数学基基础即:682.2多元函数数的方向向导数与与梯度2.2.3方向导数数与偏导导数的关关系第二章优优化化设计的的数学基基础式中，θ1和θ2为d与x1和x2的夹角。。当θ1=0或θ1=π/2时，方向向导数分分别为：：或即为方向向导数692.2多元函数数的方向向导数与与梯度2.2.3方向导数数与偏导导数的关关系第二章优优化化设计的的数学基基础对n元函数，，仿此可可得式中，为为函数对对各个坐坐标轴的的偏导数数；为d对各坐标标轴方向向余弦。。方向导数数表明函函数沿某某方向的的变化率率，它是是一个标标量。当当其值为为正时，，函数值值增加；；当其值值为负时时，函数数值减小小。三元函数数f(x1,x2,x3)在点X0(x10,x20,x30)沿d方向导数数:三维空间间中的方方向702.2多元函数数的方向向导数与与梯度2.2.4梯度第二章优优化化设计的的数学基基础定义：方向导导数变化化最大的的方向。。以二元函函数为例例，其方方向导数数为：写成矩阵阵形式式中，为为d方向的单单位向量量。也也是是一个向向量，称称为f(X)记作在X0的梯度，，它与方方向d无关。712.2多元函数数的方向向导数与与梯度2.2.4梯度第二章优优化化设计的的数学基基础式中，因此，可可将方向向导数改改写为梯度的模模为如何推广广到n维函数的的梯度？？梯度的模模为梯度的意意义：当与与d同向时，，方向导导数为为最大，，沿沿此方向向函数值值增加最最快。反反向时，，函数值值下降最最快。垂垂直时，，方向导导数为零零，沿此此方向，，函数值值不变。。和分别为向向量和和d的模。为两向量量的夹角。722.2多元函数数的方向向导数与与梯度2.2.4梯度第二章优优化化设计的的数学基基础可得出如如下结论论：1.方向导数数是梯度度在指定定方向上上的投影影；2.最速下降降方向为为等值线线（面））的法线线方向；；3.梯度的模模是最大大的方向向导数,负梯度方方向是函函数的最最速下降降方向；4.在与梯度度垂直的的方向（（等值线线的切线线方向））上，函函数的变变化率为为零。5.与梯度方方向成锐锐角的方方向，函函数值增增加；成成钝角的的方向，，函数值值减小。732.2多元函数数的方向向导数与与梯度2.2.4梯度第二章优优化化设计的的数学基基础例2-1求函数f(X)=x12+x22-4x1+4在点X1=[32]T和点X2=[20]T处的梯度度。解：函数数的等值值线如图图由梯度定定义可知知：在点X1=[32]T处梯度为为：该点梯度度与x1的夹角为为：梯度是该该点函数数等值线线的法线线方向。。在点X2=[20]T处的梯度度为：梯度的分分量都等等于零，，使得该该点处的的函数沿沿任何方方向的方方向导数数也等于于零。表表明该点点处函数数值具有有稳定性性，此处处的函数数值就是是极值，，该点就就是极值值点。742.2多元函数数的方向向导数与与梯度2.2.4梯度第二章优优化化设计的的数学基基础例2-1求函数f(X)=x12+x12-4x1+4在点X1=[32]T和点X2=[20]T处的梯度度。用MATLBA求解symsx1x2%将x1，x2设置为符符号变量量f=x1^2+x2^2-4*x1+4;%写出函数数表达式式fx1=diff(f,x1);%对x1求偏导数数;fx2=diff(f,x2);%对x2求偏导数数;x1=3;x2=2;%对x1,x2求偏导数数赋值;g=[fx1fx2]';%梯度;g=subs(g)%把符号变变量转为为数值752.2多元函数数的方向向导数与与梯度2.2.4梯度第二章优优化化设计的的数学基基础例2-2求函数f(X)=x12+x12-4x1-2x2+5在点X0=[00]T和处函数数变化率率最大的的方向和和数值。。解：762.2多元函数数的方向向导数与与梯度2.2.4梯度第二章优优化化设计的的数学基基础例2-3一般二元元二次函函数的矩矩阵式为为其中c为常数，，求梯度度解：将二二元二次次函数的的矩阵式式展开于是梯度度即772.2多元函数数的方向向导数与与梯度2.2.4梯度第二章优优化化设计的的数学基基础例2-3续对于n元二次函函数其中梯度推广：782.3多元函数数的泰勒勒展开2.3.1一元函数数的Taylor展开式第二章优优化化设计的的数学基基础研究函数数的极值值问题，，主要研研究函数数在极值值点附近近的变化化形态。。在实际际计算中中，常取取前三项项(二次函数数)来近似似原函函数：：式中：：792.3多元函函数的的泰勒勒展开开2.3.2二元函函数的的Taylor展开式式第二章章优优化化设计计的数数学基基础G(X0)—函数f(x1,x2)在X0处的海海赛（Hessian）矩阵802.3多元函函数的的泰勒勒展开开第二章章优优化化设计计的数数学基基础例2-4求二元元函数数f(x1,x2)=x12+x22-4x1-2x2+5在点点处处的二二阶泰泰勒展展开。。解：2.3.2二元函函数的的Taylor展开式式812.3多元函函数的的泰勒勒展开开第二章章优优化化设计计的数数学基基础利用MATLAB绘制该该曲面面：x1=-5:5;x2=-5:5;%取值范范围设设定[x1,x2]=meshgrid(x1,x2);%三维曲曲面的的分格格线坐坐标f1=x1.^2+x2.^2-4.*x1-2.*x2+5;surfc(x1,x2,f1)%绘制曲曲面(带等高高线)此函数数的图图像是是以X0点为顶顶点的的旋转转抛物物面例2-4续822.3多元函函数的的泰勒勒展开开2.3.3多元函函数的的Taylor展开式式第二章章优优化化设计计的数数学基基础832.3多元函函数的的泰勒勒展开开2.3.3多元函函数的的Taylor展开式式第二章章优优化化设计计的数数学基基础函数f(X0)在X0处的梯梯度海赛(Hessian)矩阵842.3多元函函数的的泰勒勒展开开2.3.3多元函数的的Taylor展开式第二章优优化设计计的数学基基础若将函数的的泰勒展开开式只取到到线性项，，即取：当将函数的的泰勒展开开式取到二二次项时,则得到二次次函数形式式。在线性性代数中将将二次齐次次函数称作作二次型。。矩阵形式当对任何非非零向量x使则二次型函函数正定，，G为正定矩阵。则Z(x)是过点x0和函数f(x)所代表的超超曲面相切切的切平面面。852.3多元函数的的泰勒展开开2.3.3多元函数的的Taylor展开式第二章优优化设计计的数学基基础Hessian矩阵与正定定Hessian矩阵的特性性：是实对对称矩阵。。矩阵正定的充要条件件：矩阵G的各阶主子子式都是正正的，即矩阵的的主子式det(ait)＞0。矩阵负定的充要条件件：矩阵G的奇数阶主子式det(ai