偏微分课程课件6-双曲型方程的有限差分法(III)

（五）双曲型方程及方程组的初边值问题1.二阶双曲型方程的边界处理（五）双曲型方程及方程组的初边值问题1.二阶双曲型方程的边界构造二阶精度的边界条件确定a,b,c？得方程组构造二阶精度的边界条件确定a,b,c？得方程组确定a,b,c得方程组右边界确定a,b,c得方程组右边界二阶精度的边界条件二阶精度的边界条件2.一阶双曲型方程及方程组的边界条件对流方程怎样给边界条件使方程适定，区域为X=1不能给边界条件X=0不能给边界条件（初始条件）2.一阶双曲型方程及方程组的边界条件对流方程怎样给边界条件使为对角线元素为负的对角阵为对角线元素为零的对角阵为对角线元素为正的对角阵S为A的特征向量的列所构成的矩阵-0+为对角线元素为负的对角阵为对角线元素为零的对角阵为对角线元素处边界条件数目等于负特征值数目处边界条件数目等于正特征值数目零特征值不需给出边界条件-0+处边界条件数目等于负特征值数目处边界条件数目等于偏微分课程课件6_双曲型方程的有限差分法(III)偏微分课程课件6_双曲型方程的有限差分法(III)3.一阶双曲型方程及方程组的数值边界处理三层格式需增补3.一阶双曲型方程及方程组的数值边界处理三层格式需增补1111n+1npQ实际上是迎风格式数值边界条件（人工边界条件）n+1npQ实际上是迎风格式数值边界条件（人工边界条件）注：采用插值法构造边界条件要用内插公式，使用外推方法往往是不行。即要用稳定的格式构造边界条件.例如：下面的两个不可用的边界条件再如注：改进注：采用插值法构造边界条件要用内插公式，例如：下面的两个不可例２：考虑微分方程组（半无界问题）定解条件为：思考：不能给出v(x,t)在x=0处的边界条件，否则问题不适定。例２：考虑微分方程组（半无界问题）定解条件为：思考：不能给出采用Lax-wendroff格式左边界需要附加边界条件计算采用Lax-wendroff格式左边界需要附加边界条件计算方法一、从特征形式出发特征型:采用迎风格式方法一、从特征形式出发特征型:采用迎风格式方法二、从方程本身出发已知边界条件有：利用第一个方程：利用第二个方程：见72页方法二、从方程本身出发已知边界条件有：利用第一个方程：利用第1一阶双曲型方程(1)Lax-Friedrichs格式：（六）二维问题1一阶双曲型方程(1)Lax-Friedrich此格式是一阶精度的。

下面讨论稳定性：

此格式是一阶精度的。下面讨论稳定性：那么VonNeumann条件满足，格式稳定。

那么VonNeumann条件满足，格式稳定。(2)Lax-Wendroff格式：

又由Taylor展开，有

(2)Lax-Wendroff格式：又由Taylo偏微分课程课件6_双曲型方程的有限差分法(III)(3)分数步长法(3)分数步长法例如：以Lax-Wendroff格式来完成二步法例如：以Lax-Wendroff格式来完成二步法显式格式稳定性有条件限制，多维的更加严格，因此考虑隐格式。（4）隐式格式全隐格式显式格式稳定性有条件限制，多维的更加严格，因此考虑隐格式。（Crank-Nicolson格式Crank-Nicolson格式由于隐格式求解二维问题得到的线性方程组其系数矩阵为宽带状，因此求解不甚顺利，解决方案：交替方向隐式（ADI）格式（AlternateDirectionImplicit）由于隐格式求解二维问题得到的线性方程组解决方案：交替方向隐式（5）ADI（Alternatedirectionimplicit）交替方向隐式格式ADI-1：X方向隐格式Y方向隐格式等价于（5）ADI（AlternatedirectionimpADI-2：二维Beam-Warming格式X方向隐格式Y方向隐格式ＣＮ格式变形去掉高阶项ADI-2：二维Beam-Warming格式X方向隐格式Y方30无条件稳定ADI-2：30无条件稳定ADI-2：31每一个子步只对一个方向是隐式的，系数矩阵是主对角占优的三对角矩阵，可以利用追赶法，减少了计算量；(2)每个单步都是各方向隐式差分算子的乘积，保证

了格式具有无条件稳定的性质；(3)单步格式与相应CN格式之差是一个局部截断误差

不低于CN格式的差分算子，从而保证了格式的局

部截断误差仍为优点：31每一个子步只对一个方向是隐式的，系数矩阵是主对角占优的三3232则称方程组是双曲型方程组。

如果A,B为实对称阵，则方程组是双曲型方程组，也称为对称双曲型方程组。

2.一阶双曲型方程组则称方程组是双曲型方程组。如果A,B为实对称阵，则方程组是下面以Lax-Wendroff格式为例，讨论差分方程：

利用多元Taylor展开，有

下面以Lax-Wendroff格式为例，讨论差分方程：利用故有：

利用Fourier方法可讨论上式的稳定性：可得增长矩阵：

故有：利用Fourier方法可讨论上式的稳定性：可得增长矩如果A,B是对称阵，可以证明Lax-Wendroff格式的稳定性条件是：

为放宽稳定性条件，有许多改进技术。如：Strang方法

如果A,B是对称阵，为放宽稳定性条件，有许多改进技术。（五）双曲型方程及方程组的初边值问题1.二阶双曲型方程的边界处理（五）双曲型方程及方程组的初边值问题1.二阶双曲型方程的边界构造二阶精度的边界条件确定a,b,c？得方程组构造二阶精度的边界条件确定a,b,c？得方程组确定a,b,c得方程组右边界确定a,b,c得方程组右边界二阶精度的边界条件二阶精度的边界条件2.一阶双曲型方程及方程组的边界条件对流方程怎样给边界条件使方程适定，区域为X=1不能给边界条件X=0不能给边界条件（初始条件）2.一阶双曲型方程及方程组的边界条件对流方程怎样给边界条件使为对角线元素为负的对角阵为对角线元素为零的对角阵为对角线元素为正的对角阵S为A的特征向量的列所构成的矩阵-0+为对角线元素为负的对角阵为对角线元素为零的对角阵为对角线元素处边界条件数目等于负特征值数目处边界条件数目等于正特征值数目零特征值不需给出边界条件-0+处边界条件数目等于负特征值数目处边界条件数目等于偏微分课程课件6_双曲型方程的有限差分法(III)偏微分课程课件6_双曲型方程的有限差分法(III)3.一阶双曲型方程及方程组的数值边界处理三层格式需增补3.一阶双曲型方程及方程组的数值边界处理三层格式需增补4711n+1npQ实际上是迎风格式数值边界条件（人工边界条件）n+1npQ实际上是迎风格式数值边界条件（人工边界条件）注：采用插值法构造边界条件要用内插公式，使用外推方法往往是不行。即要用稳定的格式构造边界条件.例如：下面的两个不可用的边界条件再如注：改进注：采用插值法构造边界条件要用内插公式，例如：下面的两个不可例２：考虑微分方程组（半无界问题）定解条件为：思考：不能给出v(x,t)在x=0处的边界条件，否则问题不适定。例２：考虑微分方程组（半无界问题）定解条件为：思考：不能给出采用Lax-wendroff格式左边界需要附加边界条件计算采用Lax-wendroff格式左边界需要附加边界条件计算方法一、从特征形式出发特征型:采用迎风格式方法一、从特征形式出发特征型:采用迎风格式方法二、从方程本身出发已知边界条件有：利用第一个方程：利用第二个方程：见72页方法二、从方程本身出发已知边界条件有：利用第一个方程：利用第1一阶双曲型方程(1)Lax-Friedrichs格式：（六）二维问题1一阶双曲型方程(1)Lax-Friedrich此格式是一阶精度的。

下面讨论稳定性：

此格式是一阶精度的。下面讨论稳定性：那么VonNeumann条件满足，格式稳定。

那么VonNeumann条件满足，格式稳定。(2)Lax-Wendroff格式：

又由Taylor展开，有

(2)Lax-Wendroff格式：又由Taylo偏微分课程课件6_双曲型方程的有限差分法(III)(3)分数步长法(3)分数步长法例如：以Lax-Wendroff格式来完成二步法例如：以Lax-Wendroff格式来完成二步法显式格式稳定性有条件限制，多维的更加严格，因此考虑隐格式。（4）隐式格式全隐格式显式格式稳定性有条件限制，多维的更加严格，因此考虑隐格式。（Crank-Nicolson格式Crank-Nicolson格式由于隐格式求解二维问题得到的线性方程组其系数矩阵为宽带状，因此求解不甚顺利，解决方案：交替方向隐式（ADI）格式（AlternateDirectionImplicit）由于隐格式求解二维问题得到的线性方程组解决方案：交替方向隐式（5）ADI（Alternatedirectionimplicit）交替方向隐式格式ADI-1：X方向隐格式Y方向隐格式等价于（5）ADI（AlternatedirectionimpADI-2：二维Beam-Warming格式X方向隐格式Y方向隐格式ＣＮ格式变形去掉高阶项ADI-2：二维Beam-Warming格式X方向隐格式Y方66无条件稳定ADI-2：30无条件稳定ADI-2：67每一个子步只对一个方向是隐式的，系数矩阵是主对角占优的三对角矩阵，可以利用追赶法，减少了计算量；(2)每个单步都是各方向隐式差分算子的乘积，保证

了格式具有无条件稳定的性质；(3)单步格式与相应CN格式之差是一个局部截断误差

不低于CN格式的差分算子，从而保证了格式的局

部截断误差仍为优点：31每一个子步只对一个方向是隐式的，系数矩阵是主对角占优的三6832则称方程组是双曲型方程组。

如果A,B为实对称阵，则方程组是双曲型方程组，也称为对称双曲型方程组。

2.一阶双曲型方程组则称方程组是双曲型方程组。如果A,B为实对称阵，则方程组是下面以Lax-Wendroff格