几种常见计量经济函数-生产模型

技术经济及管理20921189邱琦荟生产函数模型生产函数模型(ProductionFunctionModels，P.F.)基本知识发展线索一：要素之间替代性质发展线索二：技术要素的描述参数估计方法在技术进步分析中的应用建立模型的数据质量问题⒈生产函数⑴定义

描述生产过程中投入的生产要素的某种组合同它可能的最大产出量之间的依存关系的数学表达式。投入的生产要素最大产出量一：基本知识⑵生产函数模型的发展

从20年代末，美国数学家CharlesCobb和经济学家PaulDauglas提出了生产函数这一名词，并用1899-1922年的数据资料，导出了著名的Cobb-Dauglas生产函数。1928年Cobb,DauglasC-D生产函数1937年Dauglas,DurandC-D生产函数的改进型1957年SolowC-D生产函数的改进型1960年Solow含体现型技术进步生产函数1967年Arrow等两要素CES生产函数1967年Sato二级CES生产函数1968年Sato,HoffmanVES生产函数1968年Aigner,Chu边界生产函数1971年RevankerVES生产函数1973年Christensen,Jorgenson超越对数生产函数1980年三级CES生产函数

⑶生产函数是经验的产物生产函数实际上是用数学公式对现实发生的生产过程中的投入要素与产出量之间的技术关系的拟合，是对生产过程中量的关系的描述。生产函数是经验的产物，是以数据为样本，反复拟合，检验，修正后得到的。意味着，抛开既有模型，用我国的有关数据，也能得到相同或相似的生产函数模型。不能一味照搬，估计方法和样本数据的选择在中西方都存在差异。（4）生产函数的一阶齐次性资本、劳动等非技术要素的投入量同时增长几倍，根据生产理论中规模报酬不变法则，产出量也增加几倍。在实际生产活动中，存在着规模报酬递增或者递减的现象，所以并非所有生产函数都具有一阶其次性。2.要素替代弹性（ElasticityofSubstitution）⑴要素的边际产量(MarginalProduct)其它条件不变时，某一种投入要素增加一个单位时导致的产出量的增加量。用于描述投入要素对产出量的影响程度。边际产量不为负。

边际产量递减。⑵要素的边际替代率

(MarginalRateofSubstitution)当两种要素可以互相替代时，就可以采用不同的要素组合生产相同数量的产出量。要素的边际替代率指的是在产量一定的情况下，某一种要素的增加与另一种要素的减少之间的比例。要素的边际替代率可以表示为要素的边际产量之比。

从生产函数可以求得要素的边际产量和要素的边际替代率。⑶要素替代弹性要素替代弹性定义为两种要素的比例的变化率与边际替代率的变化率之比。

要素替代弹性是描述生产行为的重要参数，求得要素替代弹性是生产函数的重要应用。要素替代弹性不为负。特殊情况：要素替代弹性为0、要素替代弹性为∞。3.要素产出弹性（ElasticityofOutput）⑴要素的产出弹性某投入要素的产出弹性被定义为，当其它投入要素不变时，该要素增加1%所引起的产出量的变化率。

要素产出弹性大于0小于1.⑵规模报酬所有要素的产出弹性之和规模报酬不变规模报酬递增规模报酬递减⒋技术进步⑴广义技术进步与狭义技术进步所谓狭义技术进步，仅指要素质量的提高。狭义的技术进步是体现在要素上的，它可以通过要素的“等价数量”来表示。求得“等价数量”，作为生产函数模型的样本观测值，以这样的方法来引入技术进步因素。所谓广义技术进步，除了要素质量的提高外，还包括管理水平的提高等对产出量具有重要影响的因素，这些因素是独立于要素之外的。在生产函数模型中需要特别处理广义技术进步。⑵中性技术进步假设在生产活动中除了技术以外，只有资本与劳动两种要素，定义两要素的产出弹性之比为相对资本密集度，用ω表示。即如果技术进步使得ω越来越大，即劳动的产出弹性比资本的产出弹性增长得快，则称之为节约劳动型技术进步；如果技术进步使得ω越来越小，即劳动的产出弹性比资本的产出弹性增长得慢，则称之为节约资本型技术进步；如果技术进步前后ω不变，即劳动的产出弹性与资本的产出弹性同步增长，则称之为中性技术进步。在中性技术进步中，如果要素之比不随时间变化，则称为希克斯中性技术进步；如果劳动产出率不随时间变化，则称为索洛中性技术进步；如果资本产出率不随时间变化，则称为哈罗德中性技术进步。二、发展线索一：要素之间替代性质

⒈线性生产函数模型(LinearP.F.)因为：MPL/MPK=a1/a2

为常数，导数恒为0线性生产函数，意味着一种要素可以被另一种要素替代直至减少为0，产出量仍不变。⒉投入产出生产函数模型(Input-OutputP.F.)a,b为生产1单位的产出必须投入的资本、劳动的数量。故有K=aY,L=bY,即K/L=a/b为常数，导数为0。投入产出生产函数，说明资本与劳动之间完全不可替代。⒊C-D生产函数模型

0=<要素的产出弹性<=1初始时设定其和为1，之后取消了这一假定，即承认规模报酬不一定不变。（1）要素产出弹性（2）要素替代弹性在C-D生产函数中要素的替代弹性为1.即不论研究对象，不论样本观测值，不论样本区间，取值恒定，这与实际不符。C-D生产函数中参数A为效率系数，是广义技术水平的反映，A>0.⒋CES生产函数模型(ConstantElasticity0fSubstitution)不变替代弹性（1）参数性质A为效率系数，反映广义技术进步水平，A>0.和

为分配系数，取值在0，1之间，和为1.若M=1时，生产函数满足一阶其次性。（2）要素的替代弹性要素的替代弹性为正数，所以参数的取值范围是：（3）几个问题1.一旦研究对象确定，样本观测值确定，可以得到参数的估计值，并计算要素替代弹性的估计值。2.对于不同的研究对象，或者同一研究对象的不同样本区间，由于样本观测值不同，要素替代弹性是不同的。所以，CES生产函数比C-D生产函数更接近现实。3.对于不同的样本点，其要素替代弹性是相同的。4.在CES模型中，如果的估计值=0.则要素替代弹性=1，CES退化成C-D生产函数。⒌VES生产函数模型(VariableElasticity0fSubstitution)变替代弹性⑴1968年Sato和Hoffman

假定即要素替代弹性为时间的线性函数。得到⑵1971年

Revankar

假定其中要素替代弹性为要素比例的线性函数当b=0时，令退化为CES模型。当b=0，a=1时，

退化为C-D生产函数。当a=1时，

为一般常用的VES模型。为实际应用的VES生产函数。M为报酬系数。6.多要素生产函数模型⑴多要素线性生产函数模型⑵多要素投入产出生产函数模型⑶多要素C-D生产函数模型

⑷

多要素一级CES生产函数模型

要素之间的替代弹性相同。⑸

多要素二级CES生产函数模型要素之间的替代弹性不相同。⑹多要素三级CES生产函数模型7.超越对数生产函数模型

(TranslogP.F.)如果，表现为C-D生产函数。如果，表现为CES生产函数。可以根据该生产函数的估计结果判断要素的替代性质。三、发展线索二：技术要素的描述

⒈将技术要素作为一个不变参数的生产函数模型⒉改进的C-D生产函数模型表示技术的年进步速度经济意义不明确⒊改进的CES生产函数模型以上两种改进模型中，作为资本和劳动产出弹性的参数不随样本点变化，即技术进步不是节约资本型和节约劳动型，而是中性的。⒋含体现型技术进步的生产函数模型⑴总量增长方程

a和b分别为资本和劳动的产出弹性，式中第2，3项分别表示资本数量的增长和劳动数量的增长对产出的贡献，第1项度量技术进步对产出增长的贡献。其实他是一个余项，包含不能被要素解释的所有部分。⑵分离资本质量的含体现型技术进步的生产函数模型

⑶分离劳动质量的含体现型技术进步的生产函数模型

⒌引入人力资本的生产函数模型Lucas（1988）为了解决技术内生问题，提出人力资本的概念，Romer等人（1992）提出包括人力资本的生产函数模型⒍边界生产函数模型⑴确定性边界生产函数⑵随机边界生产函数四、几个重要生产函数模型的参数估计方法

⒈C-D生产函数模型及其改进型的估计

⑴线性估计方法⑵非线性估计方法

能否线性化，与假设有关。⒉CES生产函数模型及其改进型的估计展开泰勒级数时，要素替代弹性为1，模型转化成C-D生产函数。将第二项在=0时，展开泰勒级数：⒊VES生产函数的估计（b=0时，展开泰勒级数）⒋二级CES生产函数模型的估计

二级CES生产函数为：

由第2级函数展开取近似，得到：由第1级函数展开取近似，得到：

代入前式，并考虑可能引起的共线性和计算复杂等因素，用逐步回归筛选得到以下方程：即得到5个参数的估计值⒌含体现型技术进步生产函数模型的估计估计的生产函数为：

直接作为线性模型估计：

关键是如何得到X1t的样本观测值因此需要给定不同的值，进行反复估算,选取拟合效果最好的。⒍确定性统计边界生产函数模型的修正的普通最小二乘估计（CorrectedOLS,COLS）

采用C-D生产函数形式：其中实质上的边界生产函数为：

为理论上的最大产出量。

将取最大值作为的值，代入得到。于是所要求的边界生产函数为：边界生产函数即是平均生产函数向上平移了。五、生产函数模型在技术进步分析中的应用⒈从纵向研究技术进步：测算技术进步速度及其对经济增长的贡献⑴技术进步速度的测定从生产函数模型求得要素的产出弹性计算产出和各种要素的平均增长速度利用增长方程计算技术进步速度

⑵技术进步对增长贡献的测定⒉从横向研究技术进步：部门之间、企业之间技术进步水平的比较分析⑴建立并估计某行业的企业确定性统计边界生产函数模型⑵确定技术效率为1的企业m（处于最佳技术状态）

⑶计算j企业的技术效率六、建立模型过程中的数据质量问题⒈样本数据的一致性问题一致性问题在生产函数模型中的具体体现同行业企业截面数据用于该行业企业生产函数的估计；不可用于行业的总量分析行业生产函