余弦定理课件优秀课件

掌握余弦定理，熟记定理的结论，会利用向量的数量积证明余弦定理．理解余弦定理与勾股定理的关系．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．1.2余弦定理【课标要求】

【核心扫描】利用余弦定理求三角形中的边角问题．(重点)正、余弦定理的综合应用．(重点、难点)

1．2．3．1．2．掌握余弦定理，熟记定理的结论，会利用向量的数量积证明余弦定理余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.自学导引1．余弦定理自学导引1．试一试：如何用坐标法证明余弦定理？提示

如图建立直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA)．由两点间距离公式得＝b2(sin2A＋cos2A)－2bccosA＋c2＝b2＋c2－2bccosA．同理可证b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.试一试：如何用坐标法证明余弦定理？＝b2(sin2A＋cos想一想：余弦定理和勾股定理有何关系？提示

余弦定理可以看作勾股定理的推广．在△ABC中，设A为最大角，①若a2<b2＋c2，则0°<A<90°，即三角形为锐角三角形；反之，若0°<A<90°，则a2<b2＋c2.②若a2＝b2＋c2，则三角形为直角三角形，即A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.③若a2>b2＋c2，则180°>A>90°，即三角形为钝角三角形，反之，若A为钝角，则a2>b2＋c2.想一想：余弦定理和勾股定理有何关系？余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．名师点睛1．余弦定理的理解名师点睛1．利用余弦定理解三角形的步骤与注意事项：(1)利用余弦定理解三角形的步骤：(2)利用余弦定理解三角形的注意事项：余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”．

2．利用余弦定理解三角形的步骤与注意事项：(2)利用余弦定理解三

题型一已知两边及一角解三角形°【例1】[思路探索]可先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角，也可以由余弦定理列出关于边长a的方程，求出边长a，再由正弦定理求角A、角C.题型一已知两边及当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，规律方法已知三角形的两边与一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以应用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边)．规律方法已知三角形的两边与一角解三角形，必须先判断该角是给【训练1】°【训练1】°余弦定理课件优秀课件余弦定理课件优秀课件【例2】题型二

已知三边(或三边关系)解三角形【例2】题型二已知三边(或三边关系)解三角形余弦定理课件优秀课件规律方法已知三边解三角形的方法及注意事项：(1)由余弦定理的推论求三内角的余弦值，确定角的大小．(2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确定第三个角的大小．(3)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角，值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一．规律方法已知三边解三角形的方法及注意事项：

在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，则B的大小是________．【训练2】 在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝5(本题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别表示角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判断三角形的形状．审题指导借助正、余弦定理将条件转化成只关于边(或角)的关系，进而判断三角形的形状，但在应用公式求解时，不能忽视三角形的固有条件，如三内角的范围是(0，π)，两边之和大于第三边、两边之差小于第三边等．【例3】题型三

利用余弦定理判断三角形的形状(本题满分12分)在△ABC中，a，b，c分[规范解答]已知等式可化为a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA．(3分)由正、余弦定理将角转化为边的关系得∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，(8分)∴a＝b或a2＋b2＝c2，(10分)故△ABC为等腰三角形或直角三角形．(12分)[规范解答]已知等式可化为a2[sin(A－B)－si【题后反思】利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．【题后反思】利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项

在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc·cosB·cosC，试判断三角形的形状．【训练3】4R2sin2C·sin2B＋4R2sin2C·sin2B＝8R2sinB·sinC·cosB·cosC．又sinB·sinC≠0，∴sinB·sinC＝cosBcosC，即cos(B＋C)＝0.又0°<B＋C<180°，∴B＋C＝90°，∴A＝90°，故△ABC为直角三角形．法二将已知等式变形为：b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC， 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc·余弦定理课件优秀课件已知钝角三角形的三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范围．[错解]∵c>b>a且△ABC为钝角三角形，∴C为钝角．误区警示

因忽视构成三角形的条件而出错【示例】已知钝角三角形的三边a＝k，b＝k＋2，c

忽略了隐含条件：k，k＋2，k＋4构成一个三角形，k＋(k＋2)>k＋4.即k>2而不是k>0.

不是任意的三个正数都能构成三角形，构成三角形的三边是需要满足一定条件的．这个条件就是三角形中任意两边之和大于第三边．

忽略了隐含条件：k，k＋2，k＋4构成一个三角形85.有志之人立长志，无志之人长立志。5.当你认为自己倾尽全力时，往往才是别人的起点。49.成功的人排除万难，失败的人被万难排除。94.你现在活的越欢，将来命运越会给你拉清单。59.人生最精彩的不是实现梦想的瞬间，而是坚持梦想的过程。12.一个人无法放弃过去的无知，就无法走进智慧的殿堂。56.你生活在别人的眼神里，就迷失在自己的心路上。你永远无法满足所有人，不必为了取悦这个世界而扭曲自己。28.天再高又怕什么，踮起脚尖就更能接近阳光。29.人生的成败往往就在于一念之差。10.成长是一场和自己的比赛，不要担心别人会做得比你好，你只需要每天都做得比前一天好就可以了。39.每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。42.一份信心，一份努力，一份成功；十分信心，十分努力，十分成功。37.一个人能走多远，要看他有谁同行；一个人有多优秀，要看他有谁指点；一个人有多成功，要看他有谁相伴。11.毁灭人只要一句话，培植一个人却要千句话，请你多口下留情。92.你想要的未来，是一步步走出来的。43.自己打败自己是最可悲的失败，自己战胜自己是最可贵的胜利。78.人生三大致命伤：埋头苦干一成不变；努力结果无法积累；上一代努力下一代无法继承。29.世界上没有不成功的人，只有不努力的人。98.每一天为明天。80.如果做某一件事能给我带来好心情，那么无论遇到什么样的挫折，我都会竭力去做。41.灵魂在求知中净化，信念在事业中升腾。5.成功与否，我们赌的是坚持。在你坚持的时候别人也许就放弃了。你坚持的越久你就越容易成功。85.有志之人立长志，无志之人长立志。24掌握余弦定理，熟记定理的结论，会利用向量的数量积证明余弦定理．理解余弦定理与勾股定理的关系．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．1.2余弦定理【课标要求】

【核心扫描】利用余弦定理求三角形中的边角问题．(重点)正、余弦定理的综合应用．(重点、难点)

1．2．3．1．2．掌握余弦定理，熟记定理的结论，会利用向量的数量积证明余弦定理余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.自学导引1．余弦定理自学导引1．试一试：如何用坐标法证明余弦定理？提示

如图建立直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA)．由两点间距离公式得＝b2(sin2A＋cos2A)－2bccosA＋c2＝b2＋c2－2bccosA．同理可证b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.试一试：如何用坐标法证明余弦定理？＝b2(sin2A＋cos想一想：余弦定理和勾股定理有何关系？提示

余弦定理可以看作勾股定理的推广．在△ABC中，设A为最大角，①若a2<b2＋c2，则0°<A<90°，即三角形为锐角三角形；反之，若0°<A<90°，则a2<b2＋c2.②若a2＝b2＋c2，则三角形为直角三角形，即A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.③若a2>b2＋c2，则180°>A>90°，即三角形为钝角三角形，反之，若A为钝角，则a2>b2＋c2.想一想：余弦定理和勾股定理有何关系？余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．名师点睛1．余弦定理的理解名师点睛1．利用余弦定理解三角形的步骤与注意事项：(1)利用余弦定理解三角形的步骤：(2)利用余弦定理解三角形的注意事项：余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”．

2．利用余弦定理解三角形的步骤与注意事项：(2)利用余弦定理解三

题型一已知两边及一角解三角形°【例1】[思路探索]可先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角，也可以由余弦定理列出关于边长a的方程，求出边长a，再由正弦定理求角A、角C.题型一已知两边及当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，规律方法已知三角形的两边与一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以应用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边)．规律方法已知三角形的两边与一角解三角形，必须先判断该角是给【训练1】°【训练1】°余弦定理课件优秀课件余弦定理课件优秀课件【例2】题型二

已知三边(或三边关系)解三角形【例2】题型二已知三边(或三边关系)解三角形余弦定理课件优秀课件规律方法已知三边解三角形的方法及注意事项：(1)由余弦定理的推论求三内角的余弦值，确定角的大小．(2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确定第三个角的大小．(3)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角，值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一．规律方法已知三边解三角形的方法及注意事项：

在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，则B的大小是________．【训练2】 在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝5(本题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别表示角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判断三角形的形状．审题指导借助正、余弦定理将条件转化成只关于边(或角)的关系，进而判断三角形的形状，但在应用公式求解时，不能忽视三角形的固有条件，如三内角的范围是(0，π)，两边之和大于第三边、两边之差小于第三边等．【例3】题型三

利用余弦定理判断三角形的形状(本题满分12分)在△ABC中，a，b，c分[规范解答]已知等式可化为a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA．(3分)由正、余弦定理将角转化为边的关系得∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，(8分)∴a＝b或a2＋b2＝c2，(10分)故△ABC为等腰三角形或直角三角形．(12分)[规范解答]已知等式可化为a2[sin(A－B)－si【题后反思】利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．【题后反思】利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项

在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc·cosB·cosC，试判断三角形的形状．【训练3】4R2sin2C·sin2B＋4R2sin2C·sin2B＝8R2sinB·sinC·cosB·cosC．又sinB·sinC≠0，∴sinB·sinC＝cosBcosC，即cos(B＋C)＝0.又0°<B＋C<180°，∴B＋C＝90°，∴A＝90°，故△ABC为直角三角形．法二将已知等式变形为：b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC， 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc·余弦定理课件优秀课件已知钝角三角形的三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范围．[错解]∵c>b>a且△ABC为钝角三角形，∴C为钝角．误区警示

因忽视构成三角形的条件而出错【示例】已知钝角三角