(条件概率与乘法公式)课件

1.4条件概率与乘法公式

1.4.1条件概率在实际当中，我们常常碰到这样的问题，就是在已知一事件发生的条件下，求另一事件发生的概率．下面首先看一个例子:第1章概率论基础1.4条件概率与乘法公式第1章概率论基础

将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A为“至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.分析事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为1.引例一、条件概率将一枚硬币抛掷两次,观

定义1.6

设A与B是同一样本空间中的两事件，若P(A)>0，则称(1.2)为在A发生下的B的条件概率．类似地，当P(B)>0时，定义在B发生下事件A发生的条件概率为(1.3)1.4.1条件概率定义1.6设A与B是同一样本空间中的两4

2005河南理工大学精品课程概率论与数理统计不难看出，计算条件概率P(B|A)有两种方法：

在原样本空间

中分别求出P(A),P(AB),再

按定义公式计算；

在缩减样本空间A中按一般概率P(B)计算。42005河南理工大学精品课程概率论与数理统计不5

2005河南理工大学精品课程概率论与数理统计〖解〗方法1[在原样本空间中计算]

【例1】一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件A为“第一次取到一等品”，事件B为“第二次取到一等品”，求条件概率P(B|A)。

因为“不放回依次取两只”[有序，排列]的每种不同结果就是一个样本点,所以样本点总数为A所含样本点均为“第一次取一等品的两产品”，故其所含样本点总数[有利场合数]为52005河南理工大学精品课程概率论与数理统计〖解〗方法6

2005河南理工大学精品课程概率论与数理统计而AB的样本点均为“两次均取一等品”，故其所含样本点总数[有利场合数]为

由古典概率公式得:从而,由条件概率公式得:

方法2[在缩减样本空间A中计算]62005河南理工大学精品课程概率论与数理统计而AB的样7

2005河南理工大学精品课程概率论与数理统计“第一次取一等品的两只”均为A所含样本点,共有,其中两只均为一等品的为AB所含样本点,共有故由古典概率公式得:■SABA72005河南理工大学精品课程概率论与数理统计

注意（1）条件概率P(B|A)与无条件概率P(B)没有必然关系.（2）当B

A时，有（3）当AB=时，有1.4.1条件概率1.4.1条件概率

（4）

不难验证，条件概率满足概率定义1.5中的三条公理：(1)非负性：对任意事件B，P(B|A)0；(2)规范性：P(

|A)=1；(3)可列可加性：设事件两两互不相容，则

所以,条件概率P(·|A)也满足概率的所有其他性质．1.4.1条件概率（4）1.4.1例如:1.4.1条件概率例如:1.4.1条件概率【例1.11】设某种动物从出生起活20岁以上的概率为80%，活25岁以上的概率为40%．如果现在有一个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率．解：设A表示“能活20岁以上”的事件，B表示“能活25岁以上”的事件,则有所求概率为由于BA,所以P(AB)=P(B),1.4.1条件概率【例1.11】设某种动物从出生起活20岁以上的概率为80%，1.4.2乘法公式由条件概率公式容易得到下面定理．定理1.1设A与B是同一样本空间中的两个事件，如果P(A)>0，则(1.4)如果P(B)>0，则(1.5)上面均称为事件概率的乘法公式．定理1.1容易推广到求多个事件积事件概率的情况．1.4条件概率与乘法公式1.4.2乘法公式1.4条件概率与乘法公式事实上可进一步推广如下:右侧的条件概率均有意义,1.4.2乘法公式事实上可进一步推广如下:右侧的条件概率均有意义,1.4.21.4.2乘法公式1.4.2乘法公式【例1.12】某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一件是一等品的概率．

解：设A=“任取的一件是合格品”，B="任取的一件是一等品"．因为 且B

A所以1.4.2乘法公式【例1.12】某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有【例1.13】某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？

解：设Ai=“第i次接通电话”，i=1，2，3，

B=“拨号不超过3次接通电话”，则事件B的表达式为利用概率的加法公式和乘法公式

1.4.2乘法公式【例1.13】某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地若已知最后一位数字是奇数，则1.4.2乘法公式若已知最后一位数字是奇数，1.4.2乘法公式

【例1.14】猎手在距猎物10米处开枪，击中概率为0.6．若击不中，待开第二枪时猎物已逃至30米远处，此时击中概率为0.25，若再击不中，则猎物已逃至50米远处，此时只有0.1的击中概率．求猎手三枪内击中猎物的概率．

解：以Ai=“第i枪击中猎物”，i=1，2，3，则所求概率1.4.2乘法公式【例1.14】猎手在距猎物10米处开枪，击中概率为0.6．☺课堂练习

设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解B＝“透镜落下三次而未打破”.☺课堂练习解B＝“透镜落下三次而未打破”.在处理复杂事件的概率时，我们经常将这个复杂事件分解为若干个互不相容的较简单的事件之和，先求这些简单事件的概率，再利用有限可加性得到所求事件的概率，这种方法就是全概率公式．

1.4.2乘法公式在处理复杂事件的概率时，我们经常将这个复杂事件

1.4条件概率与乘法公式

1.4.1条件概率在实际当中，我们常常碰到这样的问题，就是在已知一事件发生的条件下，求另一事件发生的概率．下面首先看一个例子:第1章概率论基础1.4条件概率与乘法公式第1章概率论基础

将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A为“至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.分析事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为1.引例一、条件概率将一枚硬币抛掷两次,观

定义1.6

设A与B是同一样本空间中的两事件，若P(A)>0，则称(1.2)为在A发生下的B的条件概率．类似地，当P(B)>0时，定义在B发生下事件A发生的条件概率为(1.3)1.4.1条件概率定义1.6设A与B是同一样本空间中的两24

2005河南理工大学精品课程概率论与数理统计不难看出，计算条件概率P(B|A)有两种方法：

在原样本空间

中分别求出P(A),P(AB),再

按定义公式计算；

在缩减样本空间A中按一般概率P(B)计算。42005河南理工大学精品课程概率论与数理统计不25

2005河南理工大学精品课程概率论与数理统计〖解〗方法1[在原样本空间中计算]

【例1】一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件A为“第一次取到一等品”，事件B为“第二次取到一等品”，求条件概率P(B|A)。

因为“不放回依次取两只”[有序，排列]的每种不同结果就是一个样本点,所以样本点总数为A所含样本点均为“第一次取一等品的两产品”，故其所含样本点总数[有利场合数]为52005河南理工大学精品课程概率论与数理统计〖解〗方法26

2005河南理工大学精品课程概率论与数理统计而AB的样本点均为“两次均取一等品”，故其所含样本点总数[有利场合数]为

由古典概率公式得:从而,由条件概率公式得:

方法2[在缩减样本空间A中计算]62005河南理工大学精品课程概率论与数理统计而AB的样27

2005河南理工大学精品课程概率论与数理统计“第一次取一等品的两只”均为A所含样本点,共有,其中两只均为一等品的为AB所含样本点,共有故由古典概率公式得:■SABA72005河南理工大学精品课程概率论与数理统计

注意（1）条件概率P(B|A)与无条件概率P(B)没有必然关系.（2）当B

A时，有（3）当AB=时，有1.4.1条件概率1.4.1条件概率

（4）

不难验证，条件概率满足概率定义1.5中的三条公理：(1)非负性：对任意事件B，P(B|A)0；(2)规范性：P(

|A)=1；(3)可列可加性：设事件两两互不相容，则

所以,条件概率P(·|A)也满足概率的所有其他性质．1.4.1条件概率（4）1.4.1例如:1.4.1条件概率例如:1.4.1条件概率【例1.11】设某种动物从出生起活20岁以上的概率为80%，活25岁以上的概率为40%．如果现在有一个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率．解：设A表示“能活20岁以上”的事件，B表示“能活25岁以上”的事件,则有所求概率为由于BA,所以P(AB)=P(B),1.4.1条件概率【例1.11】设某种动物从出生起活20岁以上的概率为80%，1.4.2乘法公式由条件概率公式容易得到下面定理．定理1.1设A与B是同一样本空间中的两个事件，如果P(A)>0，则(1.4)如果P(B)>0，则(1.5)上面均称为事件概率的乘法公式．定理1.1容易推广到求多个事件积事件概率的情况．1.4条件概率与乘法公式1.4.2乘法公式1.4条件概率与乘法公式事实上可进一步推广如下:右侧的条件概率均有意义,1.4.2乘法公式事实上可进一步推广如下:右侧的条件概率均有意义,1.4.21.4.2乘法公式1.4.2乘法公式【例1.12】某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一件是一等品的概率．

解：设A=“任取的一件是合格品”，B="任取的一件是一等品"．因为 且B

A所以1.4.2乘法公式【例1.12】某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有【例1.13】某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？

解：设Ai=“第i次接通电话”，i=1，2，3，