第八章多元函数微分法及其应用课件

高等数学

（二）广东水利电力职业技术学院

数学教学部张静华高等数学（二）广东水利电力职业技术学院数学教学部1高等数学（二）第九章多元函数微分法及其应用第十章二重积分第十章三重积分第十一章曲线积分第十二章无穷级数第十一章曲面积分目录高等数学（二）第九章多元函数微分法及其应用第十章二重2第一节多元函数基本的概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数求导法则第五节隐函数的求导公式第九章多元函数微分法及其应用第八节多元函数的极值及其求法第一节多元函数基本的概念第二节偏导数第三节全微分3区域通常可用含有点的坐标

的一、多元函数的概念第一节多元函数的基本概念

⒈平面区域所谓平面区域，通常是指平面上的一条或几条曲线所围成的连成围成区域的曲线（或点）称为区域的边界。包含边界的区域称为闭区域；一片的图形。所分边界的区域称为半开区域。在平面上建立了直角坐标系后，一个或几个不等式来表示。xyo开区域（开圆）例如：不包含边界的区域称为开区域；只包含部区域通常可用含有点的坐标的一、多元4xyo闭区域（闭圆）xyo开区域例1xyo闭区域（闭圆）xyo开区域例15对于区域

D，如果存在一个中心在原点，半径足够大的圆使

D

全部包含在这圆内，则称

D

为有界区域，否则称为无界区xyo半开区域例2域。对于区域D，如果存在一个中心在原点，半径足够大的圆使6。⒉邻域设是

xOy

平面上的一点，是某一正数，与点的距离小于的点所成的集合，称为点的邻域，记作在几何上，是

xOy

平面上以点为圆心，为半径的圆内的点所成的集合。x0y·x0y。⒉邻域设是xOy平面上的一点，是某一正数，与点的距离7⒊二元函数的概念定义：设

D

是

x

O

y

面上的一个点集，对任意的点，变量

z

按照某个对应关系

f

总有唯一确定的数值与之对应，则称

z

是x，y

的二元函数，记为称

x

，y

为自变量，z

为因变量，点集

D

称为该函数的定义域，数集称为该函数的值域。函数在点处的函数值，记为，，⒊二元函数的概念定义：设D是xOy面上的8⒋二元函数定义域的求法二元函数的两个要素：定义域和对应关系。对由解析式给出的函数，它的定义域是使函数表达式有意义的点的全体，可用不等式或不等式组表示；对应用问题中的函数，则要根据自变量的具体意义来确定它的范围。⒋二元函数定义域的求法二元函数的两个要素：定义域和对应关9例1：求下列函数的定义域并用图形表示⑴解：要使该函数的表达式有意义，必须有，即故所求函数的定义域是xyo2例1（1）例1：求下列函数的定义域并用图形表示⑴解：要使该函数10⑵解：要使该函数的表达式有意义，必须有xyo12－1－2例1（2），即⑵解：要使该函数的表达式有意义，必须有xyo12－111⑶解：定义域为xyo例1（3）⑶解：定义域为xyo例1（3）12例2：⑴二元函数，则；⑵若，则.例3：设，求解：这是一个求函数表达式的题目，一个常用的方法是对f中的表达式作变量替换。令，则从而，所以例2：⑴二元函数，则；⑵若，则.例3：设，求解：这13例4：设，求解：首先应

求出函

数

表

达

式求

函

数

表

达的另一个常用的方法

是

将等

号

右

边的表

达

式

用f中的

表

达

式来表示。则例4：设，求解：首先应求出函数表达式求函数表14⒋二元函数的几何意义设二元函数的定义域为

D，对，空间中的点构成的图形，一般是一张曲面（如下图），称为函数的图象。xyz0xyMD··⒋二元函数的几何意义设二元函数的定义域为D，对，空间中15二、二元函数的极限定义：在点的某一去心邻域内有定义，是该邻域内的任意一点，沿任意路径无限趋近于点时，无限地趋近于一个确定的常数

A

，时，函数以A为极限，记为或注意：⑴定义中的点时，是指点

P

可以沿任何方向、任何途径无限地趋近于，而一元函数极限中的是指x沿x轴无限趋近于；⑵如果点P

只取

某

些

特殊方式

，函数

值逼

近

某

一

确定值，并不能断定函数的极限一定存在；而当点

P

沿不同方式趋于点时，函数值逼近不同的值，则极限不存在。设函数如果当点相应的函数值则称当二、二元函数的极限定义：在点的某一去心邻域内有定义，是该邻域16例5：讨论二元函数当时的极限。解：由于例5例5：讨论二元函数当时的极限。解：由于例517练习：问是否存在？练习解：因为所以不存在。练习：问18念和定理，都可以直接类推到二元函数，这里不作详细的有关一元函数极限的运算法则和定理以及无穷小的概叙述，仅在后面举例说明。说明念和定理，都可以直接类推到二元函数，这里不作详细的有关一元函19三、二元函数的连续性定义：设二元函数在点的某一邻域内有定义，如果则称函数在点连续。如果二元函数在区域

D

上的每一点都连续，则称函数在D上连续。区域D上连续的二元函数的图象是一张不间断、无裂缝的曲面。三、二元函数的连续性定义：设二元函数在点的某一邻域内有定义，20二元函数连续函数的性质如果二元函数在有界闭区域

D

上连续，则该函数在

D

上一定能取到最大值和最小值。由常数、x

或

y的基本初等函数，经过有限次的四则运算和有限次复合且能用一个式子表达的函数称为二元初等函数。二元初等函数在它的定义区域内的每一点都连续。二元函数连续函数的性质如果二元函数在有界闭区域D上连续，21四、求二元函数极限的常用方法：例6⑴利用二元初等函数的连续性例6：求解：函数是初等函数，它的定义域是R2，根据初等函数的连续性知，函数在点处连续，因此四、求二元函数极限的常用方法：例6⑴利用二元初等函数的连22⑵通过变量替换，化二元函数的极限为一元函数的极限例7：求原式例8：求解：解：，原式例7、8⑵通过变量替换，化二元函数的极限为一元函数的极限例7：求23例9：求解：原式例9例9：求解：原式例924⑶若事先已肯定在点

P0处极限存在，则可使P沿一殊途径趋于P0而求出其极限。例10：（A）e（B）0（C）y（D）1解：原式例10⑶若事先已肯定在点P0处极限存在，则可使P沿一殊途25第二节偏导数一、偏导数的概念及其计算第二节偏导数一、偏导数的概念及其计算26⒈偏导数的定义设函数在点的某邻域内有定义，得到一个一元函数.若自变量x有增量，相应地函数z有关于x的增量（称为偏增量）如果存在，在点处对x的偏导数，或等四式中的某一式。固定则称此极限值为函数记作偏导数的定义⒈偏导数的定义设函数在点的某邻域内有定义，得到一个一元函27同理，函数在点处对

y的偏导数定义为记作或偏导数的定义（续1）同理，函数在点处对y的偏导数定义为记作或偏导数的定义（28如果函数在区域

D

内每一点处对

x

的偏导数都存在，那么这样的偏导数是x、y的函数，称为函数对自变量x的偏导函数（简称偏导数），记作或类似地可以定义函数对自变量y的偏导数，记作或显然，偏导数的定义（续2）如果函数在区域D内每一点处对x的偏导数都存在，那么这29例1：设求例1解：例1：设30练习（2011专插本）设

则练习A.-

1B.0C.1D.2解：练习（2011专插本）设31⒉偏导数的求法由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数，并不需要新的方法。对二元函数的某一个自变量（如

x

）求偏导数时，只要把另一个自变量（

如

y

）看作常数

，而对该自变量x用一元函数的求导方法求得结果。偏导数的定义及求法可以推广到二元以上的多元函数。⒉偏导数的求法由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数，并32例2：求函数在点处的偏导数。解：因为所以例2例2：求函数在点处的偏导数。解：因为所以例233例3：设，求分析：求函数在某点的偏导数，可先求出偏导函数，然后将该点的坐标代入，即求出偏导函数在该点的函数值。数在一点的偏导数定义，求，可以

先

把

y的

值

代

入求得，然后求关于x在处的导数。解：，则所以此外，由函例3：设，求分析：求函数在某点的偏导数，可先求出偏导函数，然34例4：求函数在点处的偏导数。解：因为例4所以因为所以例4：求函数在点处的偏导数。解：因为例4所以因为所以35例5：求下列函数的偏导数

.⑴解：u例5（1）例5：求下列函数的偏导数.⑴解：u例5（1）36⑵解：例5（2）⑵解：例5（2）37⑶解法一：例5（3）解法一⑶解法一：例5（3）解法一38⑶解法二：例5（3）解法二⑶解法二：例5（3）解法二39⑷解：例5（4）⑷解：例5（4）40⑸解：由，得例5（5）⑸解：由，得例5（5）41例6：设满足分析：实质上这是一元函数的积分问题。当

y

任意给定时，求例6求就是

x

的一元函数的积分问题，但这里求积分后还含有y

的任意函数，要由定出这个任意函数。解：将等式

⑴

两边对

x

求积分，得例6：设满足分析：实质上这是一元42例6（续）其中

为待定函数。由

⑵

式，得故因此，例6（续）其中为待定函数。由⑵式43例7：理想气体的状态方程为

P

V=R

T，其中R为常数，求证：证：由状态方程可得从而故注意：

对

一元

函数

来说，既可看作导数

的整

体记号，也可理解为“微商”。但对二元函数而言，则只能看成整体记号，不能理解为之商。例7例7：理想气体的状态方程为PV=RT，其中R44⒊偏导数存在与函数连续性对多元函数，偏导数存在与连续之间没有必然联系。例如，函数在点处两个偏导数均存在，事实上（

见§7.1例5

）⒊偏导数存在与函数连续性对多元函数，偏导数存在与连续之间45偏导数存在与函数连续性（续）又如，函数在点处是连续的（圆锥、无裂缝），的偏导数不存在。但在点xoyz偏导数存在与函数连续性（续）又如，函数在点处是连续的（圆锥、46⒋

偏导数的几何意义xoyzy0

x0

设曲面的方程为，M0

是该曲面上的一点，过点

M0作平面，截此平面得一条曲线，其方程

为则偏导数表示上述曲线在点

M0

处的切线

M0Tx对x

轴正向的斜率。同理，偏导数就是曲面被平面

所截得的曲线在点M0处的的切线M0Ty对y轴正向的斜率。Tx

.Ty

⒋偏导数的几何意义xoy47例8例8：求曲线

在点处的切线与x轴正向所成的倾角。解：所给的曲线是曲面与平面

的交线，所以根据偏导数的几何意义，该曲线在点

处的切线关于x轴的斜率为例8例8：求曲线48二、高阶偏导数在区域D内具有偏导数那么，在

D内都是

x、y

的函数。个函数的偏导数也

存在，则称它们是函数的二阶偏、设函数如果这两导数。二、高阶偏导数在区域D内具有偏导数那么，在D内都是49对不同自变量的二阶偏导数，称为二阶混合偏导数。二元函数的四个二阶偏导数常采用下列记号表示：二元函数二阶偏导数的记号对不同自变量的二元函数的四个二阶偏导数常采用下列记号表示：二50类似于二阶偏导数的概念，可以给出二元函数的三阶、四阶直至n阶偏导数的概念，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。二元函数高阶偏导数的概念，可以直接类推到三元及三元以上的函数。高阶偏导数类似于二阶偏导数的概念，可以给出二元函数的三阶、四阶直至n51例9：求函数的二阶偏导数。解：因为例9所以例9：求函数52例10：求函数

的二阶偏导数。解：因为例10所以例10：求函数53定理从上例的解中可以看到，函数

的两个混合偏导数

、

虽然对x和y的求导次序不同，但它们是相等的。我们自然要问，对于一般的二元函数

是否也具有这个性质？若不是，那么，在什么条件下，它的两个混合偏导数相等？下面的定理回答了这个问题。定理：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关。对初等函

数

的

混

合偏导数

而言，一

般

都

是

连续的，这是就与求导次序无关，因此有定理从上例的解中可以看到，函数54练习：练习解：⑴⑴设⑵设练习：练习解：⑴⑴设⑵设55练习（续）解：⑵设练习（续）解：⑵设56第三节全微分一、全微分的概念（全增量）⒈二元函数的全增量设，记，称为二元函数的全增量。x：xy：yz：第三节全微分一、全微分的概念（全增量）⒈二元函数57设函数

在点

的某个邻域内有定义，且

称函数

在

处可微，并称

为⒉全微分的定义、

存在。如果函数在点

处的全微分，记为

，即全微分的定义，则设函数在点58由于x、y都是自变量，所以则如果函数在区域

D

内每一点处都可微，则称该函数在区域

D

内可微。二元函数的全微分概念可以类比推广到二元以上的多元函数如：若存在全微分，则有全微分的概念（续）由于x、y都是自变量，所以则如果函数在区域D内每一59例1：求函数的全微分。解：因为例1故所求的全微分例1：求函数60例2例2：求函数在点处的全微分。解：因为所以，故所求全微分例2例2：求函数在点61例3例3：设，求解：令，则从而即由，得，从而例3例3：设62例3（续）由，得所以，例3（续）由，得所以，63例4例4：已知

，求解：例4例4：已知64例5：求函数在点

处，当时的全增量及全微分的值.解：全增量x：2→2.02y：-

1→-

1.01z：f

(

2,-

1

)→f

(2.02,-

1.01

)例5全微分误差例5：求函数在点65二、可微、可导、连续的相互关系在点连续在点可微在点连续在点处均存在关于二元函数的可微性有如下结果：设函数，则（证明略）二、可微、可导、连续的相互关系在点连续在点可微在点连续在点处66例6例6：考察函数

在点处偏导数是否存在？是否可微？解：因为所以，同理，即在点处的两个偏导数存在。例6例6：考察函数67而因为所以函数在点处不可微。例6（续）而因为所以函数68的偏导数在的邻域内均存在，但在

处它的偏导数练习练习：试证函数不连续，而函数

却在

处可微。的偏导数在的邻域内均存在，但在69第四节多元复合函数与隐函数的微分法第四节多元复合函数与隐函数的微分法70定理：设函数复合而，其复合关系图如下：若都在点具有对的偏导数，在对应点具有连续偏导数，函数点的两个偏导数存在，且可有下列公式计算：得复合函数一、多元复合函数的求导法则则复合函数

在一、多元复合函数求导法则定理：设函数复合而，其复合关系图如下：若都在点具有对71⑴设，则是x的一元函数。则其复合关系图如下：多元复合函数求导法则（续1）⑴设，则是x的一元函数。则其复合关系图如下：多元复合72⑵设由得复合函数其复合关系图如下：则多元复合函数求导法则（续2）⑵设由得复合函数其复合关系图如下：则多元复合函数求导法则73例1：设解：例1例1：设解：例174例2：设解：例2例2：设解：例275例3：设解：例3例3：设解：例376例4：设函数解：例4例4：设函数解：例477例5：设解：令，

则例5例5：设解：令，则例578例6：设解：例6例6：设解：例679例7：设

，且

f

和

g

具有一阶连续偏导例7数，求解：例7：设80例8（2012广东专插本）设函数

f(u)

可微，且，则例8在点处的全微分

.解：令，则例8（2012广东专插本）设函数f(u)可微，且81例9：设，其中为可导函数，证明：证：令，则例9例9：设，其中为可导函数，证明：证：令，则例982例9（续）则例9（续）则83练习：设，其中为可导函数，求证：令，则练习1练习：设，其中为可导函数，求证：令，则练习184例10：设，f具有二阶连续偏导数，求和解：令，，则其中，

仍是含有中间变量

u

和例10例10：设85其中，

仍是含有中间变量

u

和v的复合函数。其复合关系图：将上式两边对x

求偏导，并应用四则运算求导法则，得例10（续1）其中，仍是含有中间变量u86例10（续2）例10（续2）87类似地可得例10（续3）类似地可得例10（续3）88练习设解：令则练习2练习设解：令则练习289练习2（续1）练习2（续1）90练习2（续2）练习2（续2）91定一个可导隐函数

，则一元隐函数的求导公式为：二、隐函数的求导公式1、由方程所确定的隐函数的求导公式设函数可微，

，由方程

确定一个可导隐函数，则一元隐函92一元隐函数求导公式的证明事实上，在方程的两边对x求全导数，得由于，则由上式可解出，即一元隐函数求导公式的证明事实上，在方程93设函数，则一元隐函数的求导公式为：确定一个可导隐函数例1：设解：令，则从而可微，，由方程例1设函数，则一元隐函数的求导公式为：确定一个可导隐函数例1：设94例2：设

具有连续的偏导数，又函数及分析：复合关系图例2分别由

和

确定，求解：首先（＊）下面分别求

和例2：设95例2（续）由

两边对x求导，得又由

两边对x求导，得把

、

代入（＊）式，得例2（续）由96设函数可微，

由方程确

定

一

个可求偏

导数

的

二

元

隐函数

，则二元隐函数求导公式2、由方程所确定的二元隐函数的求导公式设函数可微，97例3：设解：令，则例3例3：设解：令，则例398由方程

确定了函数

，则例4（2011广东省大学生数学竞赛、经济管理类、本科）例4解：由方程99例5：设

有连续偏导数，且

由方程例5所确定，求分析：复合关系图所以，又下面求

和例5：设100例5（续1）设，则从而则所以例5（续1）设，则从而则所以101例5（续2）例5（续2）102第七节多元函数的极值和最值一、多元函数的极值在点的某邻域内有定义，对该邻域内异于的任意一点，都有则称为函数的极大（小）值，称点为函数

的

极大（小）值

点

。函

数的

极大值

、极小值

统称为函数的极值，函数的极大值点、极小值点统称为函数的极值点。定义：设函数第七节多元函数的极值和最值一、多元函数的极值在点的某103定理1（必要条件）

设函数

在点

处具有偏导数，且在点

处有极值，则在该点的偏导数

必为零，即定理1使二元函数的两个一阶偏导数同时为零的点叫做该函数的驻点。即若点

为函数的驻点，则定理1（必要条件）设函数104定理2（充分条件）设为函数的驻点，且在点的某邻域内，具有二阶连续偏导数，若令，则⑴时，函数有极值，且时，有极大值，时，有极小值；⑵时，函数没有极值；⑶时，函数可能有极值，也可能没有极值。定理2定理2（充分条件）设为函数的驻点，且在点的某邻域内，具有二105例1：求函数的极值。解：

由得驻点因为在点处：所以，函数在点处没有极值。例1例1：求函数106由又知，函数在点处有极大值，极大值为因为在点处：所以，函数在点处有极值，且例1（续）由又知，函数在点107二、多元函数的最值在第一节中已经知道，有界闭区域上的二元连续函数一定有最大值和最小值，在闭区域的边界上取得。区域内部的点取得，得，域

D

上的最值的方法是：函数在

D

的边界上的最大值和最小值；最大（小）者就是二元函数在

D

上的最大（小）值。道函数的最大值（最小值）一定在

D

的内部取得，在

D

内只有一个驻点，在

D

上的最大值（最小值）。法由于要求出在

D

的边界上的最大值和最小值，所以往往相当复杂。在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知其最大值和最小值可能在闭区域内部取得，也可能如果二元可微函数的最大值和最小值在则该点必是函数的驻点；如果是在边界上取它一定也是边界上的最值点。因此，求二元函数在有界闭区首先求出函数在

D

内各驻点的函数值及其次比较这些值的大小，但是这种做而函数那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数二、多元函数的最值在第一节中已经知道，有界闭区域上的二元连续108例

2

：要

造

一

个容

积

为

3

2

m3

的无盖长方体水池，应该如何设计水池的尺寸，才能使水池的表面积最小。解设长方体水池的长、宽、高分别为x、y、z，依题意，有故所以，无盖长方体水池的表面积为例2例2：要造一个容积为32m3的无盖长方109无盖长方体水池的表面积为令解得从而例2（续）根据题意可知，容积为

32

m3

的无盖长方体水池的表面积的最小值一定存在。又函数在开区域D

：内只有唯一的驻点，因此可断定当时，A取得最小值，就是说，当水池的长为

4

m

，宽为

4

m

，高为

2

m时，水池的表面积最小。无盖长方体水池的表面积为令解得从而例2（续）根据题意可知，容110例

3

：在曲面上求一点，使它到原点的距离最短。解：设点P

(

x

,y

,z

)，它到原点的距离为

d

，则又，所以令，得驻点(

0

,

0

)（唯一），从而z

=

±

1依

题

意知，曲面上

必

存

在

到

原点

距离最

近的点，或故

所求

的点为例3例3：在曲面上求一点，使它到原点的距离最短。解：设点P111结束结束112知，如果函数在点

可微分，那么

这函数在该证明可微必连续在第二节中曾指出，多元函数在某点的各个偏导数即使都存在，却不能保证函数在该点连续。但是，由全微分的定义可点必定连续。，从而，可得因此函数

在点处连续。事实上，由知，如果函数在点113高等数学

（二）广东水利电力职业技术学院

数学教学部张静华高等数学（二）广东水利电力职业技术学院数学教学部114高等数学（二）第九章多元函数微分法及其应用第十章二重积分第十章三重积分第十一章曲线积分第十二章无穷级数第十一章曲面积分目录高等数学（二）第九章多元函数微分法及其应用第十章二重115第一节多元函数基本的概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数求导法则第五节隐函数的求导公式第九章多元函数微分法及其应用第八节多元函数的极值及其求法第一节多元函数基本的概念第二节偏导数第三节全微分116区域通常可用含有点的坐标

的一、多元函数的概念第一节多元函数的基本概念

⒈平面区域所谓平面区域，通常是指平面上的一条或几条曲线所围成的连成围成区域的曲线（或点）称为区域的边界。包含边界的区域称为闭区域；一片的图形。所分边界的区域称为半开区域。在平面上建立了直角坐标系后，一个或几个不等式来表示。xyo开区域（开圆）例如：不包含边界的区域称为开区域；只包含部区域通常可用含有点的坐标的一、多元117xyo闭区域（闭圆）xyo开区域例1xyo闭区域（闭圆）xyo开区域例1118对于区域

D，如果存在一个中心在原点，半径足够大的圆使

D

全部包含在这圆内，则称

D

为有界区域，否则称为无界区xyo半开区域例2域。对于区域D，如果存在一个中心在原点，半径足够大的圆使119。⒉邻域设是

xOy

平面上的一点，是某一正数，与点的距离小于的点所成的集合，称为点的邻域，记作在几何上，是

xOy

平面上以点为圆心，为半径的圆内的点所成的集合。x0y·x0y。⒉邻域设是xOy平面上的一点，是某一正数，与点的距离120⒊二元函数的概念定义：设

D

是

x

O

y

面上的一个点集，对任意的点，变量

z

按照某个对应关系

f

总有唯一确定的数值与之对应，则称

z

是x，y

的二元函数，记为称

x

，y

为自变量，z

为因变量，点集

D

称为该函数的定义域，数集称为该函数的值域。函数在点处的函数值，记为，，⒊二元函数的概念定义：设D是xOy面上的121⒋二元函数定义域的求法二元函数的两个要素：定义域和对应关系。对由解析式给出的函数，它的定义域是使函数表达式有意义的点的全体，可用不等式或不等式组表示；对应用问题中的函数，则要根据自变量的具体意义来确定它的范围。⒋二元函数定义域的求法二元函数的两个要素：定义域和对应关122例1：求下列函数的定义域并用图形表示⑴解：要使该函数的表达式有意义，必须有，即故所求函数的定义域是xyo2例1（1）例1：求下列函数的定义域并用图形表示⑴解：要使该函数123⑵解：要使该函数的表达式有意义，必须有xyo12－1－2例1（2），即⑵解：要使该函数的表达式有意义，必须有xyo12－1124⑶解：定义域为xyo例1（3）⑶解：定义域为xyo例1（3）125例2：⑴二元函数，则；⑵若，则.例3：设，求解：这是一个求函数表达式的题目，一个常用的方法是对f中的表达式作变量替换。令，则从而，所以例2：⑴二元函数，则；⑵若，则.例3：设，求解：这126例4：设，求解：首先应

求出函

数

表

达

式求

函

数

表

达的另一个常用的方法

是

将等

号

右

边的表

达

式

用f中的

表

达

式来表示。则例4：设，求解：首先应求出函数表达式求函数表127⒋二元函数的几何意义设二元函数的定义域为

D，对，空间中的点构成的图形，一般是一张曲面（如下图），称为函数的图象。xyz0xyMD··⒋二元函数的几何意义设二元函数的定义域为D，对，空间中128二、二元函数的极限定义：在点的某一去心邻域内有定义，是该邻域内的任意一点，沿任意路径无限趋近于点时，无限地趋近于一个确定的常数

A

，时，函数以A为极限，记为或注意：⑴定义中的点时，是指点

P

可以沿任何方向、任何途径无限地趋近于，而一元函数极限中的是指x沿x轴无限趋近于；⑵如果点P

只取

某

些

特殊方式

，函数

值逼

近

某

一

确定值，并不能断定函数的极限一定存在；而当点

P

沿不同方式趋于点时，函数值逼近不同的值，则极限不存在。设函数如果当点相应的函数值则称当二、二元函数的极限定义：在点的某一去心邻域内有定义，是该邻域129例5：讨论二元函数当时的极限。解：由于例5例5：讨论二元函数当时的极限。解：由于例5130练习：问是否存在？练习解：因为所以不存在。练习：问131念和定理，都可以直接类推到二元函数，这里不作详细的有关一元函数极限的运算法则和定理以及无穷小的概叙述，仅在后面举例说明。说明念和定理，都可以直接类推到二元函数，这里不作详细的有关一元函132三、二元函数的连续性定义：设二元函数在点的某一邻域内有定义，如果则称函数在点连续。如果二元函数在区域

D

上的每一点都连续，则称函数在D上连续。区域D上连续的二元函数的图象是一张不间断、无裂缝的曲面。三、二元函数的连续性定义：设二元函数在点的某一邻域内有定义，133二元函数连续函数的性质如果二元函数在有界闭区域

D

上连续，则该函数在

D

上一定能取到最大值和最小值。由常数、x

或

y的基本初等函数，经过有限次的四则运算和有限次复合且能用一个式子表达的函数称为二元初等函数。二元初等函数在它的定义区域内的每一点都连续。二元函数连续函数的性质如果二元函数在有界闭区域D上连续，134四、求二元函数极限的常用方法：例6⑴利用二元初等函数的连续性例6：求解：函数是初等函数，它的定义域是R2，根据初等函数的连续性知，函数在点处连续，因此四、求二元函数极限的常用方法：例6⑴利用二元初等函数的连135⑵通过变量替换，化二元函数的极限为一元函数的极限例7：求原式例8：求解：解：，原式例7、8⑵通过变量替换，化二元函数的极限为一元函数的极限例7：求136例9：求解：原式例9例9：求解：原式例9137⑶若事先已肯定在点

P0处极限存在，则可使P沿一殊途径趋于P0而求出其极限。例10：（A）e（B）0（C）y（D）1解：原式例10⑶若事先已肯定在点P0处极限存在，则可使P沿一殊途138第二节偏导数一、偏导数的概念及其计算第二节偏导数一、偏导数的概念及其计算139⒈偏导数的定义设函数在点的某邻域内有定义，得到一个一元函数.若自变量x有增量，相应地函数z有关于x的增量（称为偏增量）如果存在，在点处对x的偏导数，或等四式中的某一式。固定则称此极限值为函数记作偏导数的定义⒈偏导数的定义设函数在点的某邻域内有定义，得到一个一元函140同理，函数在点处对

y的偏导数定义为记作或偏导数的定义（续1）同理，函数在点处对y的偏导数定义为记作或偏导数的定义（141如果函数在区域

D

内每一点处对

x

的偏导数都存在，那么这样的偏导数是x、y的函数，称为函数对自变量x的偏导函数（简称偏导数），记作或类似地可以定义函数对自变量y的偏导数，记作或显然，偏导数的定义（续2）如果函数在区域D内每一点处对x的偏导数都存在，那么这142例1：设求例1解：例1：设143练习（2011专插本）设

则练习A.-

1B.0C.1D.2解：练习（2011专插本）设144⒉偏导数的求法由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数，并不需要新的方法。对二元函数的某一个自变量（如

x

）求偏导数时，只要把另一个自变量（

如

y

）看作常数

，而对该自变量x用一元函数的求导方法求得结果。偏导数的定义及求法可以推广到二元以上的多元函数。⒉偏导数的求法由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数，并145例2：求函数在点处的偏导数。解：因为所以例2例2：求函数在点处的偏导数。解：因为所以例2146例3：设，求分析：求函数在某点的偏导数，可先求出偏导函数，然后将该点的坐标代入，即求出偏导函数在该点的函数值。数在一点的偏导数定义，求，可以

先

把

y的

值

代

入求得，然后求关于x在处的导数。解：，则所以此外，由函例3：设，求分析：求函数在某点的偏导数，可先求出偏导函数，然147例4：求函数在点处的偏导数。解：因为例4所以因为所以例4：求函数在点处的偏导数。解：因为例4所以因为所以148例5：求下列函数的偏导数

.⑴解：u例5（1）例5：求下列函数的偏导数.⑴解：u例5（1）149⑵解：例5（2）⑵解：例5（2）150⑶解法一：例5（3）解法一⑶解法一：例5（3）解法一151⑶解法二：例5（3）解法二⑶解法二：例5（3）解法二152⑷解：例5（4）⑷解：例5（4）153⑸解：由，得例5（5）⑸解：由，得例5（5）154例6：设满足分析：实质上这是一元函数的积分问题。当

y

任意给定时，求例6求就是

x

的一元函数的积分问题，但这里求积分后还含有y

的任意函数，要由定出这个任意函数。解：将等式

⑴

两边对

x

求积分，得例6：设满足分析：实质上这是一元155例6（续）其中

为待定函数。由

⑵

式，得故因此，例6（续）其中为待定函数。由⑵式156例7：理想气体的状态方程为

P

V=R

T，其中R为常数，求证：证：由状态方程可得从而故注意：

对

一元

函数

来说，既可看作导数

的整

体记号，也可理解为“微商”。但对二元函数而言，则只能看成整体记号，不能理解为之商。例7例7：理想气体的状态方程为PV=RT，其中R157⒊偏导数存在与函数连续性对多元函数，偏导数存在与连续之间没有必然联系。例如，函数在点处两个偏导数均存在，事实上（

见§7.1例5

）⒊偏导数存在与函数连续性对多元函数，偏导数存在与连续之间158偏导数存在与函数连续性（续）又如，函数在点处是连续的（圆锥、无裂缝），的偏导数不存在。但在点xoyz偏导数存在与函数连续性（续）又如，函数在点处是连续的（圆锥、159⒋

偏导数的几何意义xoyzy0

x0

设曲面的方程为，M0

是该曲面上的一点，过点

M0作平面，截此平面得一条曲线，其方程

为则偏导数表示上述曲线在点

M0

处的切线

M0Tx对x

轴正向的斜率。同理，偏导数就是曲面被平面

所截得的曲线在点M0处的的切线M0Ty对y轴正向的斜率。Tx

.Ty

⒋偏导数的几何意义xoy160例8例8：求曲线

在点处的切线与x轴正向所成的倾角。解：所给的曲线是曲面与平面

的交线，所以根据偏导数的几何意义，该曲线在点

处的切线关于x轴的斜率为例8例8：求曲线161二、高阶偏导数在区域D内具有偏导数那么，在

D内都是

x、y

的函数。个函数的偏导数也

存在，则称它们是函数的二阶偏、设函数如果这两导数。二、高阶偏导数在区域D内具有偏导数那么，在D内都是162对不同自变量的二阶偏导数，称为二阶混合偏导数。二元函数的四个二阶偏导数常采用下列记号表示：二元函数二阶偏导数的记号对不同自变量的二元函数的四个二阶偏导数常采用下列记号表示：二163类似于二阶偏导数的概念，可以给出二元函数的三阶、四阶直至n阶偏导数的概念，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。二元函数高阶偏导数的概念，可以直接类推到三元及三元以上的函数。高阶偏导数类似于二阶偏导数的概念，可以给出二元函数的三阶、四阶直至n164例9：求函数的二阶偏导数。解：因为例9所以例9：求函数165例10：求函数

的二阶偏导数。解：因为例10所以例10：求函数166定理从上例的解中可以看到，函数

的两个混合偏导数

、

虽然对x和y的求导次序不同，但它们是相等的。我们自然要问，对于一般的二元函数

是否也具有这个性质？若不是，那么，在什么条件下，它的两个混合偏导数相等？下面的定理回答了这个问题。定理：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关。对初等函

数

的

混

合偏导数

而言，一

般

都

是

连续的，这是就与求导次序无关，因此有定理从上例的解中可以看到，函数167练习：练习解：⑴⑴设⑵设练习：练习解：⑴⑴设⑵设168练习（续）解：⑵设练习（续）解：⑵设169第三节全微分一、全微分的概念（全增量）⒈二元函数的全增量设，记，称为二元函数的全增量。x：xy：yz：第三节全微分一、全微分的概念（全增量）⒈二元函数170设函数

在点

的某个邻域内有定义，且

称函数

在

处可微，并称

为⒉全微分的定义、

存在。如果函数在点

处的全微分，记为

，即全微分的定义，则设函数在点171由于x、y都是自变量，所以则如果函数在区域

D

内每一点处都可微，则称该函数在区域

D

内可微。二元函数的全微分概念可以类比推广到二元以上的多元函数如：若存在全微分，则有全微分的概念（续）由于x、y都是自变量，所以则如果函数在区域D内每一172例1：求函数的全微分。解：因为例1故所求的全微分例1：求函数173例2例2：求函数在点处的全微分。解：因为所以，故所求全微分例2例2：求函数在点174例3例3：设，求解：令，则从而即由，得，从而例3例3：设175例3（续）由，得所以，例3（续）由，得所以，176例4例4：已知

，求解：例4例4：已知177例5：求函数在点

处，当时的全增量及全微分的值.解：全增量x：2→2.02y：-

1→-

1.01z：f

(

2,-

1

)→f

(2.02,-

1.01

)例5全微分误差例5：求函数在点178二、可微、可导、连续的相互关系在点连续在点可微在点连续在点处均存在关于二元函数的可微性有如下结果：设函数，则（证明略）二、可微、可导、连续的相互关系在点连续在点可微在点连续在点处179例6例6：考察函数

在点处偏导数是否存在？是否可微？解：因为所以，同理，即在点处的两个偏导数存在。例6例6：考察函数180而因为所以函数在点处不可微。例6（续）而因为所以函数181的偏导数在的邻域内均存在，但在

处它的偏导数练习练习：试证函数不连续，而函数

却在

处可微。的偏导数在的邻域内均存在，但在182第四节多元复合函数与隐函数的微分法第四节多元复合函数与隐函数的微分法183定理：设函数复合而，其复合关系图如下：若都在点具有对的偏导数，在对应点具有连续偏导数，函数点的两个偏导数存在，且可有下列公式计算：得复合函数一、多元复合函数的求导法则则复合函数

在一、多元复合函数求导法则定理：设函数复合而，其复合关系图如下：若都在点具有对184⑴设，则是x的一元函数。则其复合关系图如下：多元复合函数求导法则（续1）⑴设，则是x的一元函数。则其复合关系图如下：多元复合185⑵设由得复合函数其复合关系图如下：则多元复合函数求导法则（续2）⑵设由得复合函数其复合关系图如下：则多元复合函数求导法则186例1：设解：例1例1：设解：例1187例2：设解：例2例2：设解：例2188例3：设解：例3例3：设解：例3189例4：设函数解：例4例4：设函数解：例4190例5：设解：令，

则例5例5：设解：令，则例5191例6：设解：例6例6：设解：例6192例7：设

，且

f

和

g

具有一阶连续偏导例7数，求解：例7：设193例8（2012广东专插本）设函数

f(u)

可微，且，则例8在点处的全微分

.解：令，则例8（2012广东专插本）设函数f(u)可微，且194例9：设，其中为可导函数，证明：证：令，则例9例9：设，其中为可导函数，证明：证：令，则例9195例9（续）则例9（续）则196练习：设，其中为可导函数，求证：令，则练习1练习：设，其中为可导函数，求证：令，则练习1197例10：设，f具有二阶连续偏导数，求和解：令，，则其中，

仍是含有中间变量

u

和例10例10：设198其中，

仍是含有中间变量

u

和v的复合函数。其复合关系图：将上式两边对x

求偏导，并应用四则运算求导法则，得例10（续1）其中，仍是含有中间变量u199例10（续2）例10（续2）200类似地可得例10（续3）类似地可得例10（续3）201练习设解：令则练习2练习设解：令则练习2202练习2（续1）练习2（续1）203练习2（续2）练习2（续2）204定一个可导隐函数

，则一元隐函数的求导公式为：二、隐函数的求导公式1、由方程所确定的隐函数的求导公式设函数可微，

，由方程

确定一个可导隐函数，则一元隐函205一元隐函数求导公式的证明事实上，在方程的两边对x求全导数，得由于，则由上式可解出，即一元隐函数求导公式的证明事实上，在方程206设函数，则一元隐函数的求导公式为：确定一个可导隐函数例1：设解：令，则从而可微，，由方程例1设函数，则一元隐函数的求导公式为：确定一个可导隐函数例1：设207例2：设

具有连续的偏导数，又函数及分析：复合关系图例2分别由

和

确定，求解：首先（＊）下面分别求

和例2：设208例2（续）由

两边对x求导，得又由

两边对x求导，得把

、

代入（＊）式，得例2（续）由209设函数可微，