功能材料结构与设计课件

功能材料结构与设计胡中波材料科学与光电技术学院功能材料结构与设计胡中波1

第一章功能材料概述

功能材料的概念、分类及特点功能设计的概念及方法第二章材料结构原理对称操作和对称元素-分子篇对称操作和对称元素-晶体篇晶体学中的群论二维晶体学三维晶体学空间群与晶体结构第三章固体总论固体中的化学键固体中的缺陷无机固体的合成第四章功能设计的原理和方法简介固体结构与性能之间的相互关系功能材料设计原理功能材料设计方法第五章不同功能材料结构与设计选讲磁性材料超导材料特殊热性能材料智能材料功能高分子材料纳米功能材料其它功能材料第六章现代功能材料应用及其设计方法展望内容提要

第一章功能材料概述内容提要2第一章功能材料概述

功能材料定义:在声、光、电、磁、热及化学性能上有特殊效应的，用于非结构目的的(高技术)材料。功能材料分类:根据材料的化学组成、应用领域、使用性能进行分类。功能材料的现状:现已开发的以物理功能材料最多有，

单功能材料，功能转换材料，多功能材料，复合和综合功能材料，新形态和新概念功能材料。化学和生物功能材料的种类较少，但其发展速度很快，其功能也更多样化。第一章功能材料概述功能材料定义:在声、光、电、磁、热3电功能材料电功能材料按导电机理可分为：电子导电材料和离子导电材料两大类。电子导电材料包括导体、超导体和半导体。导体材料的电阻率随着温度升高而升高。分类:金属材料，合金材料（铂铑-铂热电偶），无机非金属材料。半导体材料具有负的电阻温度系数。半导体的导电机理：半导体的导电来源于电子（导带）和空穴（价带）的运动，电子和空穴都是半导体中导电的载流子。电功能材料电功能材料按导电机理可分为：电子导电材料和离子导电4电功能材料

杂质半导体 固溶体

化合物半导体

原子数比: 1/109

1/100

1/100原子站位: 同位

同位 异位电功能材料 5电功能材料超导电现象：材料的电阻随温度降低而减小并最终出现零电阻的现象。超导体：低于某一温度出现超导电性的物质。超导体的基本特性：特性一：完全导电性（零电阻）特性二：完全抗磁性特性三：临界温度（Tc）、临界磁场（Hc）、临界电流Jc是约束超导现象的三大临界条件特性四：约瑟夫森（BDJosephson）效应（隧道效应）超导合金其中Ge-Nb3的临界温度最高（23.2K）陶瓷超导体YBaCuO（Tc＝90K）电功能材料超导电现象：材料的电阻随温度降低而减小并最终出现零6磁功能材料磁功能材料磁化强度（M）：只有当内部磁矩同向有序排列时才对外显示强磁性。磁场强度（H）：指空间某处磁场的大小。磁感应强度（B）：物质在外磁场作用下，其内部原子磁矩的有序排列还将产生一个附加磁场。Hc-矫顽磁力；Br-剩余磁感应强度；Bm-饱和磁感应强度。软磁材料：镍铁合金（Hc1kA/m）硬磁材料：钕铁硼永磁合金矩磁材料：磁滞回线为矩形磁功能材料磁功能材料软磁材料：镍铁合金（Hc1kA/m）7其他功能材料磁致伸缩材料：磁性材料在外磁场作用下，产生伸长或缩短的现象－为磁致伸缩效应。（声纳、传感器敏感元件）功能高分子

-指当有外部刺激时，能通过化学或物理的方法做出反应的高分子材料。热功能材料：随着温度的变化，有些材料的某些物理性能会发生显著变化，如热胀冷缩、出现形状记忆效应或热电效应等，这类材料称为热功能材料。分类:(正/负)热膨胀材料形状记忆材料测温材料（热电）纳米功能材料、光功能材料

、敏感材料、储氢材料、隐形材料。。。其他功能材料磁致伸缩材料：磁性材料在外磁场作用下，产生伸长或8功能材料设计的概念及方法原料材料试样组织结构特性评价可否制备观测测试试用改进微观组织结构设计制备方法设计系统设计材料设计功能材料设计的概念及方法原料材料试样组织结构特性9功能设计基本思想基本思想BasicStructure+/-d(Structure)=NewStructureBasicProperties/functions…+3+NewProperties/functions…功能设计基本思想基本思想BasicProperties/f10第二章材料结构原理-分子篇分子的对称性：是指存在一定的操作，它在保持任意两点间距离不变的条件下，使分子内部各部分变换位置，而且变换后的分子整体又恢复原状。这种操作称为对称操作。对称操作据以进行的元素称为对称元素。第二章材料结构原理-分子篇分子的对称性：是指存在一定的操11分子结构中的重要点群C1点群：分子完全不对称对称元素:E一阶群(E)Ci点群:对称元素:i二阶群(E，i)二氟二氯乙烷分子结构中的重要点群C1点群：分子完全不对称Ci点群:二氟二12分子结构中的重要点群Cs点群:对称元素:σ二阶群(E，σ)C2点群:对称元素:n二阶群(C2，C22=E)

H2O2C2分子结构中的重要点群Cs点群:C2点群:H2O213分子结构中的重要点群C3点群:对称元素:n三阶群CCl3CH3C3分子结构中的重要点群C3点群:CCl3CH3C314分子结构中的重要点群

Cn点群（n>1）对称元素:

nn阶群(Cn,Cn2,Cn3…Cnn-1,Cnn=E)分子结构中的重要点群Cn点群（n>1）15分子结构中的重要点群Cnv

点群对称元素:n，n个σv/σd2n

阶群

C4v

BrF5

C5v

Ti(C5H5)分子结构中的重要点群Cnv点群C4vB16分子结构中的重要点群Cnv点群:H2ONH3分子结构中的重要点群Cnv点群:H2ONH317分子结构中的重要点群Cnh点群对称元素:n，σh

2n阶群

C1h=Cs分子结构中的重要点群Cnh点群18分子结构中的重要点群

点群对称元素:(和键轴方向一致)σv(无穷多个,通过键轴的垂直镜面)例: CO、HCN无对称中心的线型分子均属

点群HCN分子结构中的重要点群点群HCN19分子结构中的重要点群

Dn点群对称元素:Cn，C2(在主轴的垂面方向上)含三个相同双齿配体的六配位化合物均属D3点群．C2C2C2D3：[Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+分子结构中的重要点群C2C2C2D3：[Co(NH2CH220分子结构中的重要点群Dnh点群对称元素:Cn，C2(在主轴的垂面方向上)，σh(水平)D2h{E,C2,2C2,h,i,2v}D3h重叠式乙烷{E,2C3,2S3,3C2,3vh}分子结构中的重要点群Dnh点群D2h{E,C2,2C2,21分子结构中的重要点群Dnd点群对称元素:CnC2(在主轴的垂面方向上)σd(一套平分每一对C2轴间夹角的垂直镜面)

D2d分子结构中的重要点群Dnd点群D2d22分子结构中的重要点群Dnd点群例:分子结构中的重要点群Dnd点群例:23分子结构中的重要点群点群对称元素: (和键轴方向一致)σv (无穷多个,通过键轴的垂直镜面)σh (水平镜面)C2 (无穷多个,垂直于)例:H2、CO2、XeF2有对称中心的线型分子均属

点群

Sn点群对称元素:Sn (映轴)n=奇数，Sn=Cnhn=偶数，S2=CiS4，S6新群S4

{E,S41,S42,S43}

{E,hC41,C21,hC43}分子结构中的重要点群点群Sn点群S4{E,24分子结构中的重要点群Td点群正四面体构型的分子或离子（对称操作:24个）CH4，

CCl4，GeCl4Oh

点群正八面体构型的分子或离子（对称操作:48个）UF6，

SF6，PtCl62-分子结构中的重要点群Td点群Oh点群25分子结构中的重要点群Ih

点群二十面体构型的分子或离子（对称操作:120个）富勒烯、B12H122-分子结构中的重要点群Ih点群26分子结构中的重要点群列表分子结构中的重要点群列表27对称操作的表示矩阵恒等操作E的表示矩阵反映操作σxy的表示矩阵反演操作i的表示矩阵旋转Cn操作矩阵方程,绕Z轴对称操作的表示矩阵恒等操作E的表示矩阵反映操作σxy的表示矩28对称操作的表示矩阵旋转-反映操作Sn的表示矩阵(绕z轴按逆时针方向转动θ

角)对称操作的表示矩阵旋转-反映操作Sn的表示矩阵29对称操作群群的定义：按照某种规律联系着的一组元素的集合。对于给定的乘法满足下述四条公设：满足封闭性、结合律成立、单位元E存在、逆元素存在。封闭性：若aϵG,bϵG，则abϵG结合律：(ab)c=a(bc)单位元E：ae=ea=a逆元素:aa-1=e对称操作的集合构成的群称为对称操作群,简称对称群。分子所有对称元素必须至少通过一点,故称分子点群。对称操作群群的定义：按照某种规律联系着的一组元素的集合。对于30对称群证明：封闭性对称群证明：封闭性31对称群旋转-反映Snm的逆操作与m和n的奇偶性有关n=是偶数，不论M是偶或奇数，它的逆操作都是Snn-m

n=是奇数，m=偶数，则Snm=Cnm

，因而它的逆操作是Cnn-mn=是奇数，m=奇数，则Snm=Cnm

σ，它的逆操作应为Cnn-m

σ的乘积，且等于Cn2n-m

σ，因而可写成单一的操作Sn2n-m

反映σ的逆操作就是σ本身：σ

σ=σ

2=E旋转Cnm的逆操作是Cnn-m，因为：Cnm

Cnn-m

=Cnn

=E

对称群旋转-反映Snm的逆操作与m和n的奇偶性有关反映σ32群的表示对称操作群所含的一组对称操作的表示矩阵也构成群.简称群的表示．特征标---矩阵的对角元素之和.任何表示矩阵的集合，包含了点群的全部对称信息，这些信息也包含在矩阵的特征标之中。可约表示不可约表示群的表示对称操作群所含的一组对称操作的表示矩阵也构成群.简称33特征标表任何表示矩阵的集合，包含了点群的全部对称信息，这些信息也包含在矩阵的特征标之中。同类元素:若A,B,C为群的元素.当有关系式BAB-1=C 成立时,称A和C是群的类元素。C3v

的特征标表特征标表任何表示矩阵的集合，包含了点群的全部对称信息，这些信34群的不可约表示和特征标规则群的不可约表示维数平方和等于群的阶。C3v点群的三个不可约表示中，两个一维，一个二维，阶为6。(12+12+22=6=h)2.群的不可约表示的数目等于群中类的数。C3v点群的群元素分成三类．因而必须有三个不可约表示。3.群的不可约表示特征标的平方和等于群的阶。

4.群的两个不可约表示的特征标满足正交关系。5.属于同一类的对称操作具有相同的特征标。群的不可约表示和特征标规则群的不可约表示维数平方和等于群的阶35可约表示的分解可约表示可以分解为组成它的一系列不可约表示．分解公式：

其中：n(

v)为第v个不可约表示在可约表示中出现的次数;h为群的阶；hi第i类对称操作数；xiv为第v个不可约表示对应于第i类对称操作的特征标，xi为可约表示对应于第i类对称操作的特征标．上式对i的求和遍及所有的对称操作类．可约表示的分解可约表示可以分解为组成它的一系列不可约表示．分36可约表示的分解可约表示的分解37分子的对称性应用若分子的正负电荷中心重合，就表示分子的偶极矩等于零，否则分子就有偶极矩，这种分子就是极性分子。例如：H2O和NH3分子有偶极矩，为极性分子；

CO2的永久偶极矩为零；CCl4分子永久偶极矩为零。2.分子有无旋光性就看它是否能跟它的镜像重合。所有不对称分子都具有旋光性。分子的对称性应用若分子的正负电荷中心重合，就表示分子的偶极矩38第二章材料结构原理-晶体篇晶体结构可表述为：

晶体结构=点阵+结构基元点阵：在空间任何方向上均为周期性排布的无限个全同点的集合。点操作的集合构成的群称为点群。给定晶体，其中任意两个点阵点所代表的两个结构基元应该满足： 1)化学组成相同 2)内部结构相同 3)周围环境相同

旋转、倒反、反映、旋转-倒反、旋转-反映、螺旋旋转、滑移反映第二章材料结构原理-晶体篇晶体结构可表述为：39点对称操作点对称操作40轴次定理

绕A轴旋转α，将B点转至B’点绕B轴反向旋转α，将A点转至A’点线段B’A’长度为t’，且与线段AB平行

A，B点是点阵点，A’,B’点也必是点阵点AB与B'A’属于同方向的点列，该方向点列的周期为t，B'A’的距离t’必为t的整数倍，即 t’=mt由左图可得

t’=-2tcosα+t联立

cosα=(1-m)／2即 -2≤(1-m)≤2m=-1,0,1,2,3相应的α=0,2π/6,2π/4,2π/3,2π/2轴次定理：晶体中只可能存在1，2，3，4，6重对称轴，5重和6重以上对称轴不存在。ABA’B’t’tαα轴次定理绕A轴旋转α，将B点转至B’点A，B点是点阵点，A41轴次定理正五边形沿竖直轴每旋转720恢复原状，但它不能重复排列充满一个平面而不出现空隙。因此晶体的旋转对称轴中不存在五次轴，只有1，2，3，4，6度旋转对称轴。轴次定理正五边形沿竖直轴每旋转720恢复原状，但它不能重复42对称群群的阶：有限群中互不相同的元素的个数称为该群的阶。对称群中两个元素的乘积为顺次进行两个操作，乘积a2a1表示先操作a1，后操作a2，即先进行右边的操作。对称操作的乘积不一定服从交换律.有限群、无限群、子群、交换群、循环群。重排定理：有限群G的所有元素的阶都是有限的，并且不大于群G的阶。对称群群的阶：有限群中互不相同的元素的个数称为该群的阶。43共轭与相似定义：设a与b是群G的两个元素，若G中可找到一元素x，使得b=xax-1，则称b与a共轭。共轭操作是同类型的对称操作，x是使操作a的对称要素与操作b的对称要素重合的对称操作。（反身性、相互性、传递性）群G中的所有相互共轭的元素的集合称为G的一个共轭类。每一元素属于且仅属于一个共轭类。定义：设A，X为两个操作，则满足B=XAX-1

，则称B与A是相似操作。X是使操作A的几何要素与操作B的几何要素重合的操作.万花筒原理:两个交角为π／n的对称面的交线是n重旋转对称轴。共轭与相似定义：设a与b是群G的两个元素，若G中可找到一元素44万花筒原理把对镜面mj的反映转化为对镜面mi反映的表达式。由相似操作的概念

mj=Rα

mi(

Rα)-1 其中Rα是以mi,mj的交线为轴将镜面mi转到镜面mj的操作，因此mj的操作矩阵为:cosα-sinαsinαcosαcosαsinα-sinαcosαcos2αsin2αsin2α-cos2α=00-1顺次进行mi,mj两个操作的矩阵为cos2αsin2αsin2α-cos2α00-1cos2α-sin2αsin2αcos2α=这正是绕mi和mj的交线转2α的旋转。对称面的夹角取π／n，则n重对称轴的基转角为2π／n。万花筒原理把对镜面mj的反映转化为对镜面mi反映的表达式。由45子群的陪集群G的子集H构成的群为G的子群。任何群G都有两个平凡子群即G本身和单位元e。这两个子群之外的其它子群称为G的真子群。a左乘H的每一元素得到的集合aH称为H的一个左陪集，集合Ha称为H的一个右陪集。有限群的子群H的每一左(右)陪集中的元素个数与H中的元素个数相同；H的任何两个左(右)陪集的两组元素或者全部相同，或者全不相同。Lagrange陪集展开定理：群G的阶q为其子群H的阶r的整数倍。子群的陪集群G的子集H构成的群为G的子群。任何群G都有两个平46共轭子群定义：设H为群G的一个子群，g为G中的一个元素，则集合，gHg-l={ghg-l|h遍取H}，构成一个群，称为H的共轭子群。证:C3v点群中3个子群H1={1,m1},H2={1,m2},H3={1,m3}是互相共轭的子群。1＝(3+[001])3m2=(3+[001])2(m1)m3=(3+[001])(m1)三个对称面m1，m2，m3可以通过操作3+互易位置。点群C3v的H4={1,3-,3+}是不变子群，几何意义：G中的任何操作不改变H的对称要素系。共轭子群定义：设H为群G的一个子群，g为G中的一个元素，则集47功能材料结构与设计课件48功能材料结构与设计胡中波材料科学与光电技术学院功能材料结构与设计胡中波49

第一章功能材料概述

功能材料的概念、分类及特点功能设计的概念及方法第二章材料结构原理对称操作和对称元素-分子篇对称操作和对称元素-晶体篇晶体学中的群论二维晶体学三维晶体学空间群与晶体结构第三章固体总论固体中的化学键固体中的缺陷无机固体的合成第四章功能设计的原理和方法简介固体结构与性能之间的相互关系功能材料设计原理功能材料设计方法第五章不同功能材料结构与设计选讲磁性材料超导材料特殊热性能材料智能材料功能高分子材料纳米功能材料其它功能材料第六章现代功能材料应用及其设计方法展望内容提要

第一章功能材料概述内容提要50第一章功能材料概述

功能材料定义:在声、光、电、磁、热及化学性能上有特殊效应的，用于非结构目的的(高技术)材料。功能材料分类:根据材料的化学组成、应用领域、使用性能进行分类。功能材料的现状:现已开发的以物理功能材料最多有，

单功能材料，功能转换材料，多功能材料，复合和综合功能材料，新形态和新概念功能材料。化学和生物功能材料的种类较少，但其发展速度很快，其功能也更多样化。第一章功能材料概述功能材料定义:在声、光、电、磁、热51电功能材料电功能材料按导电机理可分为：电子导电材料和离子导电材料两大类。电子导电材料包括导体、超导体和半导体。导体材料的电阻率随着温度升高而升高。分类:金属材料，合金材料（铂铑-铂热电偶），无机非金属材料。半导体材料具有负的电阻温度系数。半导体的导电机理：半导体的导电来源于电子（导带）和空穴（价带）的运动，电子和空穴都是半导体中导电的载流子。电功能材料电功能材料按导电机理可分为：电子导电材料和离子导电52电功能材料

杂质半导体 固溶体

化合物半导体

原子数比: 1/109

1/100

1/100原子站位: 同位

同位 异位电功能材料 53电功能材料超导电现象：材料的电阻随温度降低而减小并最终出现零电阻的现象。超导体：低于某一温度出现超导电性的物质。超导体的基本特性：特性一：完全导电性（零电阻）特性二：完全抗磁性特性三：临界温度（Tc）、临界磁场（Hc）、临界电流Jc是约束超导现象的三大临界条件特性四：约瑟夫森（BDJosephson）效应（隧道效应）超导合金其中Ge-Nb3的临界温度最高（23.2K）陶瓷超导体YBaCuO（Tc＝90K）电功能材料超导电现象：材料的电阻随温度降低而减小并最终出现零54磁功能材料磁功能材料磁化强度（M）：只有当内部磁矩同向有序排列时才对外显示强磁性。磁场强度（H）：指空间某处磁场的大小。磁感应强度（B）：物质在外磁场作用下，其内部原子磁矩的有序排列还将产生一个附加磁场。Hc-矫顽磁力；Br-剩余磁感应强度；Bm-饱和磁感应强度。软磁材料：镍铁合金（Hc1kA/m）硬磁材料：钕铁硼永磁合金矩磁材料：磁滞回线为矩形磁功能材料磁功能材料软磁材料：镍铁合金（Hc1kA/m）55其他功能材料磁致伸缩材料：磁性材料在外磁场作用下，产生伸长或缩短的现象－为磁致伸缩效应。（声纳、传感器敏感元件）功能高分子

-指当有外部刺激时，能通过化学或物理的方法做出反应的高分子材料。热功能材料：随着温度的变化，有些材料的某些物理性能会发生显著变化，如热胀冷缩、出现形状记忆效应或热电效应等，这类材料称为热功能材料。分类:(正/负)热膨胀材料形状记忆材料测温材料（热电）纳米功能材料、光功能材料

、敏感材料、储氢材料、隐形材料。。。其他功能材料磁致伸缩材料：磁性材料在外磁场作用下，产生伸长或56功能材料设计的概念及方法原料材料试样组织结构特性评价可否制备观测测试试用改进微观组织结构设计制备方法设计系统设计材料设计功能材料设计的概念及方法原料材料试样组织结构特性57功能设计基本思想基本思想BasicStructure+/-d(Structure)=NewStructureBasicProperties/functions…+3+NewProperties/functions…功能设计基本思想基本思想BasicProperties/f58第二章材料结构原理-分子篇分子的对称性：是指存在一定的操作，它在保持任意两点间距离不变的条件下，使分子内部各部分变换位置，而且变换后的分子整体又恢复原状。这种操作称为对称操作。对称操作据以进行的元素称为对称元素。第二章材料结构原理-分子篇分子的对称性：是指存在一定的操59分子结构中的重要点群C1点群：分子完全不对称对称元素:E一阶群(E)Ci点群:对称元素:i二阶群(E，i)二氟二氯乙烷分子结构中的重要点群C1点群：分子完全不对称Ci点群:二氟二60分子结构中的重要点群Cs点群:对称元素:σ二阶群(E，σ)C2点群:对称元素:n二阶群(C2，C22=E)

H2O2C2分子结构中的重要点群Cs点群:C2点群:H2O261分子结构中的重要点群C3点群:对称元素:n三阶群CCl3CH3C3分子结构中的重要点群C3点群:CCl3CH3C362分子结构中的重要点群

Cn点群（n>1）对称元素:

nn阶群(Cn,Cn2,Cn3…Cnn-1,Cnn=E)分子结构中的重要点群Cn点群（n>1）63分子结构中的重要点群Cnv

点群对称元素:n，n个σv/σd2n

阶群

C4v

BrF5

C5v

Ti(C5H5)分子结构中的重要点群Cnv点群C4vB64分子结构中的重要点群Cnv点群:H2ONH3分子结构中的重要点群Cnv点群:H2ONH365分子结构中的重要点群Cnh点群对称元素:n，σh

2n阶群

C1h=Cs分子结构中的重要点群Cnh点群66分子结构中的重要点群

点群对称元素:(和键轴方向一致)σv(无穷多个,通过键轴的垂直镜面)例: CO、HCN无对称中心的线型分子均属

点群HCN分子结构中的重要点群点群HCN67分子结构中的重要点群

Dn点群对称元素:Cn，C2(在主轴的垂面方向上)含三个相同双齿配体的六配位化合物均属D3点群．C2C2C2D3：[Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+分子结构中的重要点群C2C2C2D3：[Co(NH2CH268分子结构中的重要点群Dnh点群对称元素:Cn，C2(在主轴的垂面方向上)，σh(水平)D2h{E,C2,2C2,h,i,2v}D3h重叠式乙烷{E,2C3,2S3,3C2,3vh}分子结构中的重要点群Dnh点群D2h{E,C2,2C2,69分子结构中的重要点群Dnd点群对称元素:CnC2(在主轴的垂面方向上)σd(一套平分每一对C2轴间夹角的垂直镜面)

D2d分子结构中的重要点群Dnd点群D2d70分子结构中的重要点群Dnd点群例:分子结构中的重要点群Dnd点群例:71分子结构中的重要点群点群对称元素: (和键轴方向一致)σv (无穷多个,通过键轴的垂直镜面)σh (水平镜面)C2 (无穷多个,垂直于)例:H2、CO2、XeF2有对称中心的线型分子均属

点群

Sn点群对称元素:Sn (映轴)n=奇数，Sn=Cnhn=偶数，S2=CiS4，S6新群S4

{E,S41,S42,S43}

{E,hC41,C21,hC43}分子结构中的重要点群点群Sn点群S4{E,72分子结构中的重要点群Td点群正四面体构型的分子或离子（对称操作:24个）CH4，

CCl4，GeCl4Oh

点群正八面体构型的分子或离子（对称操作:48个）UF6，

SF6，PtCl62-分子结构中的重要点群Td点群Oh点群73分子结构中的重要点群Ih

点群二十面体构型的分子或离子（对称操作:120个）富勒烯、B12H122-分子结构中的重要点群Ih点群74分子结构中的重要点群列表分子结构中的重要点群列表75对称操作的表示矩阵恒等操作E的表示矩阵反映操作σxy的表示矩阵反演操作i的表示矩阵旋转Cn操作矩阵方程,绕Z轴对称操作的表示矩阵恒等操作E的表示矩阵反映操作σxy的表示矩76对称操作的表示矩阵旋转-反映操作Sn的表示矩阵(绕z轴按逆时针方向转动θ

角)对称操作的表示矩阵旋转-反映操作Sn的表示矩阵77对称操作群群的定义：按照某种规律联系着的一组元素的集合。对于给定的乘法满足下述四条公设：满足封闭性、结合律成立、单位元E存在、逆元素存在。封闭性：若aϵG,bϵG，则abϵG结合律：(ab)c=a(bc)单位元E：ae=ea=a逆元素:aa-1=e对称操作的集合构成的群称为对称操作群,简称对称群。分子所有对称元素必须至少通过一点,故称分子点群。对称操作群群的定义：按照某种规律联系着的一组元素的集合。对于78对称群证明：封闭性对称群证明：封闭性79对称群旋转-反映Snm的逆操作与m和n的奇偶性有关n=是偶数，不论M是偶或奇数，它的逆操作都是Snn-m

n=是奇数，m=偶数，则Snm=Cnm

，因而它的逆操作是Cnn-mn=是奇数，m=奇数，则Snm=Cnm

σ，它的逆操作应为Cnn-m

σ的乘积，且等于Cn2n-m

σ，因而可写成单一的操作Sn2n-m

反映σ的逆操作就是σ本身：σ

σ=σ

2=E旋转Cnm的逆操作是Cnn-m，因为：Cnm

Cnn-m

=Cnn

=E

对称群旋转-反映Snm的逆操作与m和n的奇偶性有关反映σ80群的表示对称操作群所含的一组对称操作的表示矩阵也构成群.简称群的表示．特征标---矩阵的对角元素之和.任何表示矩阵的集合，包含了点群的全部对称信息，这些信息也包含在矩阵的特征标之中。可约表示不可约表示群的表示对称操作群所含的一组对称操作的表示矩阵也构成群.简称81特征标表任何表示矩阵的集合，包含了点群的全部对称信息，这些信息也包含在矩阵的特征标之中。同类元素:若A,B,C为群的元素.当有关系式BAB-1=C 成立时,称A和C是群的类元素。C3v

的特征标表特征标表任何表示矩阵的集合，包含了点群的全部对称信息，这些信82群的不可约表示和特征标规则群的不可约表示维数平方和等于群的阶。C3v点群的三个不可约表示中，两个一维，一个二维，阶为6。(12+12+22=6=h)2.群的不可约表示的数目等于群中类的数。C3v点群的群元素分成三类．因而必须有三个不可约表示。3.群的不可约表示特征标的平方和等于群的阶。

4.群的两个不可约表示的特征标满足正交关系。5.属于同一类的对称操作具有相同的特征标。群的不可约表示和特征标规则群的不可约表示维数平方和等于群的阶83可约表示的分解可约表示可以分解为组成它的一系列不可约表示．分解公式：

其中：n(

v)为第v个不可约表示在可约表示中出现的次数;h为群的阶；hi第i类对称操作数；xiv为第v个不可约表示对应于第i类对称操作的特征标，xi为可约表示对应于第i类对称操作的特征标．上式对i的求和遍及所有的对称操作类．可约表示的分解可约表示可以分解为组成它的一系列不可约表示．分84可约表示的分解可约表示的分解85分子的对称性应用若分子的正负电荷中心重合，就表示分子的偶极矩等于零，否则分子就有偶极矩，这种分子就是极性分子。例如：H2O和NH3分子有偶极矩，为极性分子；

CO2的永久偶极矩为零；CCl4分子永久偶极矩为零。2.分子有无旋光性就看它是否能跟它的镜像重合。所有不对称分子都具有旋光性。分子的对称性应用若分子的正负电荷中心重合，就表示分子的偶极矩86第二章材料结构原理-晶体篇晶体结构可表述为：

晶体结构=点阵+结构基元点阵：在空间任何方向上均为周期性排布的无限个全同点的集合。点操作的集合构成的群称为点群。给定晶体，其中任意两个点阵点所代表的两个结构基元应该满足： 1)化学组成相同 2)内部结构相同 3)周围环境相同

旋转、倒反、反映、旋转-倒反、旋转-反映、螺旋旋转、滑移反映第二章材料结构原理-晶体篇晶体结构可表述为：87点对称操作点对称操作88轴次定理

绕A轴旋转α，将B点转至B’点绕B轴反向旋转α，将A点转至A’点线段B’A’长度为t’，且与线段AB平行

A，B点是点阵点，A’,B’点也必是点阵点AB与B'A’属于同方向的点列，该方向点列的周期为t，B'A’的距离t’必为t的整数倍，即 t’=mt由左图可得

t’=-2tcosα+t联立

cosα=(1-m)／2即 -2≤(1-m)≤2m=-1,0,1,2,3相应的α=0,2π/6,2π/4,2π/3,2π/2轴次定理：晶体中只可能存在1，2，3，4，6重对称轴，5重和6重以上对称轴不存在。ABA’B’t’tαα轴次定理绕A轴旋转α，将B点转至B’点A，B点是点阵点，A89轴次定理正五边形沿竖直轴每旋转720恢复原状，但它不能重复排列充满一个平面而不出现空隙。因此晶体的旋转对称轴中不存