初中数学人教九年级上册第二十四章 圆 圆的切线性质与判定复习课PPT

数学来源于生活而应用于生活

我们回顾四川省各市2018年、2019年数学中考题：南充第22题，广元第23题，宜宾第23题，宜宾第23题，我们会发现基本所有的倒数第二题都是关于“圆与切线”的问题，这是一个高频考点。同时，在高中教材内，它也是非常重要的内容。原题呈现01

已知：如图，AB是⊙

O的直径，点C是AB延长线上的一点，AD平分∠CAE，交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E。(1)求证：直线CE是⊙O的切线；(2)若BC=3，CD=,求弦AD的长。出处2018年四川省宜宾市中考数学卷第23题已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的一点，AD平分∠CAE，交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E。(1)求证：直线CE是⊙O的切线；①有交点，连半径，证垂直。②无交点，作垂线，证半径。思路证明：连接OD∵OA=OD∴∠1=∠2∵AD平分∠CAE∴∠1=∠3∴∠2=∠3（等量代换）∴OD//AE∵AE⊥CD∴OD⊥CD∴CE是⊙O的切线证法1证明：连接OD∵OA=OD∴∠1=∠2∵AD平分∠CAE∴∠1=∠3∴∠2=∠3（等量代换）∵AE⊥CD∴在△AED中,∠3+∠ADE=90°

∴

∠ADE+∠2=90°（等量代换）∴∠ODE=90°

即OD⊥CD∴CE是⊙O的切线证法2

22.(8分)已知：如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D,连接CD，∠BCD=∠A.(1)求证:BC是⊙O的切线；(2)若BC=5，BD=3，求点0到CD的距离。2019年南充市数学中考试题02背景

此题侧重于考查学生分析问题、解决问题的能力和计算能力。渗透数形结合思想、转化思想和方程思想。难点在于：如何将未知线段的长转化到已知条件中去求解，构建相似三角形。学情分析切线与代数综合应用题，能有效地考查不同层次学生对学习数学知识的掌握及灵活运用程度。在全国各地的中考数学题中，切线与其他知识点的综合应用题总是占有相当的比例。考点分析03解法

22.(8分)已知：如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D,连接CD，∠BCD=∠A.(1)求证:BC是⊙O的切线；

分析证明圆切线的四种方法：(1)平行线法（2）直接法（3）间接法（4）三角形全等法

22.(8分)已知：如图，在△AB中，以AC为直径的⊙O交AB于点D,连接CD，∠BCD=∠A.(1)求证:BC是⊙O的切线；∵AC是⊙O的直径，∠ADC=90°∠A+∠ACD=90°，∵∠BCD=∠A，∴

∠BCD+∠ACD=90°

0C⊥BC，

0C是⊙O的半径，BC是⊙O的切线。(1)证明:∴∴∵证法1直接证：0C⊥BC∠BCD+∠ACD=90°

证法2

22.(8分)已知：如图，在△AB中，以AC为直径的⊙O交AB于点D,连接CD，∠BCD=∠A.(1)求证:BC是⊙O的切线；直接证：0C⊥BC∠A+∠B

=90°

∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°∴∠B+∠BCD=90°，∵∠BCD=∠A，∴∠A+∠B=90°∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=90°0C⊥BC，

0C是⊙O的半径，BC是⊙O的切线。(1)证明:

22.(8分)已知：如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D,连接CD，∠BCD=∠A.

(2)若BC=5，BD=3，求点0到CD的距离。①常用方法：构造直角三角形②常用思想：转化思想、方程思想、数形结合思想③常用知识：勾股定理、三角函数、垂径定理、相似和全等E解法1解:过点O作OE⊥CD，垂足为E,在Rt△BCD中，∵BC=5，BD=3，∴CD=4∵∠ADC=∠CDB=90°，∠BCD=∠A.∴Rt△CDB∽Rt△CAD∴∴∵OE⊥CD∴E为CD的中点又∵点O是AC的中点，∴E

22.(8分)已知：如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D,连接CD，∠BCD=∠A.

(2)若BC=5，BD=3，求点0到CD的距离。解:过点O作OE⊥CD，垂足为E,在Rt△BCD中，∵BC=5，BD=3，∴CD=4∵∠ADC=∠CDB=90°，∠BCD=∠A.∴Rt△ACB∽Rt△ADC∴AC2=AD∙AB=∴∴∵∠0EC=∠CDB=90°，∠BCD=∠A=∠EOC

22.(8分)已知：如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D,连接CD，∠BCD=∠A.

(2)若BC=5，BD=3，求点0到CD的距离。解法2E∴Rt△OEC∽Rt△CDB∴分析;Rt△ACB∽Rt△ADCRt△OEC∽Rt△CDB04变式已知：如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D,连接CD，∠BCD=∠A。(1)求证:BC是⊙O的切线；(2)若BC=5，BD=3，求点0到CD的距离。∠COD=60°求阴影部分的面积(2)若BD=3，

∠COD=60°，求阴影部分的面积。变式1.改变问题2变式1.改变问题2已知：如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D,连接CD，∠BCD=∠A。(1)求证:BC是⊙O的切线；(2)若BD=3，∠COD=60°，求阴影部分的面积。解题分析：S阴影=SRt△ABC—S△AOD—S扇形OCD60°30°30°BC=2BD=6CD=AC=

EAO=OC=解法一变式1.改变问题2已知：如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D,连接CD，∠BCD=∠A。(1)求证:BC是⊙O的切线；(2)若BD=3，∠COD=60°，求阴影部分的面积。解题分析：S阴影=SRt△ABC—SRt△ACD—S弓形60°30°30°BC=2BD=6CD=AC=BC2

=BD·AB解法二ADCD=考点：切线的判定与性质，扇形面积的计算。变式2.交换题设与结论已知：如图，在△ABC中，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的切线,连接AB交⊙O交点D,连接CD，。求证:∠BCD=∠A；变式3.改变图形的形状

如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE=

。（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求BN

的长。⌒（1）求证：BC是⊙O的切线；

(1)

根据已知，由勾股定理逆定理可知，△AEM是直角三角形，从平行的性质得到AB⊥BC,因此得出结论。(1)证明：∵ME=1

AM=2AE=

∴AM2=4

ME2+AE2=4∴△AEM是直角三角形，且∠AEM=90°∵MN∥BC,∴∠ABC=∠AEM=90°又∵AB是⊙0的直径,∴BC是⊙0的切线。变式3.改变图形的形状如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE=

。（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求BN

的长。⌒（1）求证：BC是⊙O的切线；变式3.改变图形的形状

如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE=

。（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求BN

的长。⌒（2）求BN

的长。(2)连接ON,在Rt△EON中，求出半径ON和∠EON,即可求出BN的长。⌒rr2=(AE-r)2+12∠EON=∠MOE=2∠AAE-r05拓展拓展在△ABC中，D为AC上一点，且CD=CB,以BC为直径作⊙O，交BD于点E，连接CE，过D作DF⊥AB于点F，∠BCD=2∠ABD。（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠A=60°，DF=，求⊙O的直径BC的长。拓展在△ABC中，D为AC上一点，且CD=CB,以BC为直径作⊙O，交BD于点E，连接CE，过D作DF⊥AB于点F，∠BCD=2∠ABD。（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠A=60°，DF=，求⊙O的直径BC的长。（1）证明:∵CD=CB,∴∠CBD=∠CDB,∵AB是⊙O的直径，∴∠CEB=90°∴CBD+∠BCE=∠CDB+∠DCE,则∠BCE=∠DCE,即∠BCD=2∠BCE,∵∠BCD=2∠ABD∴