《数学分析选讲》作业参考答案

数学分析选讲数学分析选讲PAGE4第 页PAGE4第 页4页《数学分析选讲》作业参考答案一．填空1．P0

的任一邻域内都有点集E的无穷多个点。2．{(x,y):x2y23．E0(a,b)(c,d)4．{(x,y):(x2(y2)2;5．点P0

E的界点是指：点P0

的任一邻域中既有E的点又有E的余集的点;6．R2,．P0

的一个邻域完全包含在点集E之中曲顶柱体的体积(ac)2(ac)2(bd)2lim

f(P)f(P)011．(2,1);12．连通二．判断题1．对; 2．对; 3．对; 4．对; 5．错; 6．错；7．对; 8．对; 9．对; 10．错;对;．13．对; 14．对; 15．对; 16．错; 17．对; 18．对; 19．对; 20．对;错23．对; 24．三．计算题1．解视y为x的函数,对原方程两边关于x求导得:x2y2yayaxy0

对;对;y得:yayx2y2ax2．令fx) x22,则函数f在上连续．从由定理19．1知:I()1

x22dx在,特别在0处连续．于是lim1 x22dxlimII(0)1|x1．

0

02pxD{(x,y2px

1y 2px,0xp}2为x-型闭区域,所以由定理2知:xydxdyD

p/2xdx2px2px2px2px

ydyp/2x0dx0．0解由公式计算知：xydx(yx)dyL1L2

x(2(x1)2

(2(x1)21x)4(x1)dx210x332x235x1)x10.1 35．解 由定理1．4: F(x)x2

exy2

dyex52xex3xx2x

x-y2e-y

dy2xex5ex3

2xex5

ex3x2y2e-xy2.xf(0,0)lim

f(0x,0)f(0,0)同理可得fy

(0,0)0．

x x0 xlim00x0 x0.解 视y为常关于x求导数:z 2xycos(xy3)．视x为常,关于x求导数: z x2y

3y2cos(xy3)．f在点x,,y3,x为自变量的一元函数f(x,3)x36x2d

27,x1,得f(1,3)x

f(x,3) (3x212x) 15．dx x1x1f在yx1,y为自变量的一元函数f(1,y)12yy3,求它在y3的导数,得df (x,3)y dy

fy) (23y2)25.y3y3令f(xy)ax

by2,fx

(x,y)2ax,fy

(x,y)2by,知:f在P (x,y0 0

)处可微．因此,由定理17．4知该曲面在M(x,y,z0 0 0

z轴的切平面且其方程为再由(4．2)式知,法线方程为

zz0

2ax0

(xx0

)2by0

(yy)．0xx02ax

yy02by

zz0．10 010f(x)x2cosx,f在[0,219．1知:I()2x2在上连续特别在0处连续．于是0lim2x2limI()I(0)2x2dx8;0 0 0 0 311．0,0;:I(x)3

(x3yxy3)dy3(3x2yy3)dy1 1x 1 3x2 (3212) (3414)12x220.2 4解由公式知f(x2y2)dxdydRf(r2)rdr[1f(r2)]Rd[f(R2)f(0)0 0 0 2 0DAB14．解由于直线段的方程为x1t,y12t(0t1)，所以由公式（1）知：ABxdx(yx)dy1[1t)1t)tdtL 011tt2)dt25.0 6四．证明题1．证明因为x0,y(,)有

cosxy1cosxy1x21x2且反常积分 1 dx收敛所以由判别法知含参量积分cosxydx在区0 1x2 0 1x2间(,)上一致收敛．:dz zdu zdv zdt vetu(sint)cosdt udt vdt tdtet(costsint)cost.证明应用不等式：(1)(P,P)x x ||y y |;)n 0 n 0 n 0)(2)|

x (P,P), |y y (P,P)(n1,2,n 0可知。

n 0 n 0 n 01x2y2(x1x2y25．当(x,y)(0,0)时,有

x||yx2y2|fx2y2

|xy|

|x|

x2y2|yx2y2因此lim f(x,y)0f(0,0),可见f在P (0,0)点连续(x,y)(0,0) 06．证明因为x0,y(,)有11x2cosxy11x且反常积分 1 dx收所以由判别法知含参量积分cosxydx在区0 1x2 0 1x2间(,)上一致收敛．7．由定义知

f(0,0)

f(0x,0)f(0,0)五、应用题

(0,0)0y

x x0 xlim00x0 x0.解令f(x,y)ax

by2,fx

(x,y)2ax,

(x,y)2by在整个平面上连y,17．2知:fP0

(x,y0

)处可微．因此,由定理17．4知该曲面在M(x,y,z0 0 0

)点有不平行于z轴的切平面且其方程为再由(4．2)式知,法线方程为

zz0

2ax0

(xx0

)2by0

(yy)．0xx02ax

yy02by

zz0．10 0解(1):

f(x,