医药数学模型

关于医药数学模型第一页，共五十八页，2022年，8月28日一、问题的背景与提出在医学中有关药物的作用过程一般认为，从给药到产生药效，须经历三个主要过程:药剂学过程、药物动力学过程和药效动力学过程。(如下图所示)通过药剂学过程，药物转化为可吸收的状态。接着，经历药物动力学过程，药物被吸收进入体循环，并在体内分布、代谢和排泄，使血液中有一定的药物浓度。当药物依度达到一定水平时，药物就可能产生效应。第二页，共五十八页，2022年，8月28日

图1药物作用的过程图

药剂学过程剂剂型的崩解量活性物质的溶出药物动力学过程药物的吸收、供吸收的药物分布、代谢及排泄

药剂动力学过程药物与受体血药浓度相互作用效应

第三页，共五十八页，2022年，8月28日

药物动力学药物动力学：研究药物、毒物及其代谢物在体内的吸收、分布、代谢和排泄的动态过程及这些过程与药理反应间的定量规律的学科分支。对于新药研制、剂量确定、给药方案设计等药理学和临床医学的发展都具有重要的指导意义和实用价值。第四页，共五十八页，2022年，8月28日房室模型(Compartmentmodel)房室模型是药物动力学研究上述动态过程的基本步骤之一。药物在人体的分布过程中，可近似地把人体看成由有限个部分组成，每个部分称为一个房室。房室具有以下特点:(1)每个房室有固定的容量，并且每一时刻的药物浓度都是均匀分布的。

(2)各房室间及各房室与外部环境间均可按照一定的规律进行药物交换。第五页，共五十八页，2022年，8月28日

房室说明将一个机体分为几个房室，要看不同药物的吸收、分布、排泄过程的具体情况以及研究对象所要求的精度而定。为了讨论方便，这里以二房室模型为例。即将机体分为血液较丰富的中心室(包括心、肺、肾等器官)血液较贫乏的周边室(如肌肉组织等)。第六页，共五十八页，2022年，8月28日二、模型假设(1)机体分为中心室和周边室，两室容积(即血液体积或药物分布容积)在过程中保持不变。

(2)药物从一室向另一室的转移速率及向体外的排泄速率与该室的血药浓度成正比。

(3)只有中心室与体外有药物交换，即药物从体外进入中心室，最后又从中心室排出体外。

(4)相对于转移和排泄的数量来说，忽略掉药物的吸收数量。第七页，共五十八页，2022年，8月28日三、建模与分析

对于二房室系统来说，中心室用l标记，周边室用2标记，周围环境用0标记,xi(t)：第i室的药量

Ci(t)：第i室的血药浓度Vi：第i室的容积(i=1，2)，k12和k21：两室之间的药物转移速率系数，k10：1室向体外排泄的速率系数，f0(t):体外给药速率第八页，共五十八页，2022年，8月28日

图2二房室系统模型示意图

血液较丰富血液较贫乏

f0(t)中心室k12

周边室

C1(t),x1(t)C2(t),x2(t)V1k21V2

排泄k10xi(t)=Ci(t)·Vi(i=1,2)第九页，共五十八页，2022年，8月28日药物二房室系统数学模型根据物质平衡法则，从t到t十△t时刻，第i房室的药量增加量△xi=xi(t+△t)－xi(t)

应等于其余各室和环境流入i房室的药量之和再减去从第i房室流向环境和其余各室的药量之和。因此，我们有

x1(t+△t)－x1(t)=△t[k21x2(t)＋f0(t)－k12x1(t)－k10x1(t)]x2(t+△t)－x2(t)=△t[k12x1(t)－k21x2(t)]两边除以△t，再令△t→0可得

dx1/dt=－k12x1－k10x1＋k21x2＋f0dx2/dt=k12x1－k21x2第十页，共五十八页，2022年，8月28日由于xi(t)=Ci(t)Vi,i=1,2,整理可得到

dC1/dt=－(k12＋k10)C1+(V2/V1)k21C2+f0/V1dC2/dt=(V1/V2)k12C1－k21C2(1)

这是线性常系数的非齐次微分方程组，它对应的齐次方程的通解

C1(t)=A1e-at＋B1e-bt，

C2(t)=A2e-at＋B2e-bt

其中a，b满足

a+b=k12＋k10+k21，

ab=k21k10第十一页，共五十八页，2022年，8月28日

不同给药方式的讨论

下面，针对几种常见的给药方式和初始条件，具体给出方程(1)的解。第十二页，共五十八页，2022年，8月28日l.快速静脉注射模型

这种注射可理解为在初始时刻快速将剂量D的药物注入中央室，于是初始条件为:f0(t)=0,C1(0)=D/V1,C2(0)=0，公式(1)的解为

C1(t)=[D(a－k21)/V1(a－b)]e-at

＋[D(b－k21)/V1(b－a)]e-bt，

C2(t)=[Dk12/V2(b－a)](e-at－e-bt)

第十三页，共五十八页，2022年，8月28日2.恒速静脉注射(点滴)模型某些药物因溶解度低、刺激性过大，不宜快速注射。则采用恒速静脉注射(点滴)。初始条件为:

f0(t)=k0,C1(0)=0,C2(0)=0，那么(1)的解为

C1(t)=A1e-at＋B1e-bt+k0/k10V1，

C2(t)=A2e-at＋B2e-bt+k12k0/k21k10V2第十四页，共五十八页，2022年，8月28日其中

A1=－[k0(k10－b)/V1k10(a－b)],B1=－[k0(a－k10)/V1k10(a－b)]A2=[V1(k12+k10－a)/k21V2]A1,B2=[V1(k12+k10－b)/k21V2]B1

一旦在t=T时停止滴注,那么C1(t)、C2(t)

在t>T后将按指数规律衰减并趋于零。第十五页，共五十八页，2022年，8月28日3.口服或肌肉注射模型口服或肌肉注射与静脉注射的重要区别之一，就表现在药物的吸收过程，即在给药部位和药物进入中心室之间有一个将药物吸收入血液的过程。这就相当于有一个吸收室，如图3所示。第十六页，共五十八页，2022年，8月28日图3口服或肌肉注射时

药物的吸收模式

吸收室中心室

x0(t)f0=k01x0x1(t)第十七页，共五十八页，2022年，8月28日药物进入中心室的速率记x0(t)为吸收室的药量，k01为药物由吸收室进入中心室的转移速率系数，于是有:dx0/dt=－k01x0x0(0)=D

其中D是给药量。此时药物进入中心室的速率

f0(t)=Dk01exp(－k01t)第十八页，共五十八页，2022年，8月28日那么(1)的解为如下形式:C1(t)=Ae-at＋Be-bt+E·exp(-k01t)C2(t)=Fe-at＋Ge-bt+H·exp(-k01t)

借助待定系数法和初始条件

C1(0)=C2(0)=0，可得系数A、B、E、F、G、H的值。第十九页，共五十八页，2022年，8月28日四、参数估计

从上可知，中心室的血药浓度C1(t)与转移速率系数k12、k21，排除速率系数k10、房室容积V1、V2以及输入参数D、k0等因素有关而房室模型恰恰是通过对C1(t)的测量来确定一些对药理学及临床医学最为重要的参数，如转移速率系数kij，特别是以中心室向体外排除的速率系数k10，显然这是微分方程的反问题，或称为系统辩识的问题。下面以快速静脉注射给药方式为例来介绍估计诸参数的方法。第二十页，共五十八页，2022年，8月28日参数估计过程从中心室采取血样，并获得血药浓度

C1(t1),C1(t2),C1(t3)，…，C1(tn)我们将参数估计过程分成两步:(1)先计算a、b、A、B，其中:A=[D(a－k21)/V1(a－b)]，

B=[D(b－k21)/V1(b－a)](2)再确定k12、k21、k10。第二十一页，共五十八页，2022年，8月28日1.计算a、b、A、B

因为C1(t)=Ae-at＋Be-bt，不妨设a<b。则当t充分大时，C1(t)可近似为Ae-at

，即

lnC1(t)=lnA－at,

对于适当大的ti和相应的C1(ti)，运用最小二乘法不难估计出a、A，然后计算

C1*(t)=C1(t)－Ae-at，于是lnC1*(t)=lnB－bt,

对较小的ti，仍用最小二乘法来求得b、B。第二十二页，共五十八页，2022年，8月28日2.确定k12、k21、k10因为当t→∞,C1(t)和C2(t)均趋于零，即进入中心室的药物全部被排除，所以

D=k10∫0∞C1(t)V1dt=k10V1(A/a+B/b)又C1(0)=D/V1=A+B，所以

k10=ab(A+B)/(aB+bA)

代入

a+b=k12＋k10+k21，

ab=k21k10

可得

k21=ab/k10=(aB+bA)/(A+B)k12=a+b－k10－k21。第二十三页，共五十八页，2022年，8月28日模型的应用还有许多方面的问题，如污染问题、传染病的传播问题、生态问题等都可以化为这种由有限个具有房室特点的部分组成的系统，称为房室系统。如果系统由n个房室组成，称为n室系统。其物质的质量分布规律为：

dxi/dt=∑j≠i[kjixj(t)－kijxi(t)]＋ki0xi(t)＋f0(t)i=1,…,n第二十四页，共五十八页，2022年，8月28日

评注房室系统的建模过程是将机理分析与数据处理相结合的一种有效方法。它在药物动力学、代谢系统分析和化学反应动力学方面都得到了成功的应用。但是，针对房室个数的选择问题，目前还没有统一的方法。当转移速率系数kij明显依赖于xi时，这时系统就变成非线性房室模型。对于非线性系统的辨识问题，至今尚无完整的理论方法。另外，目前也有将随机性引入到房室模型中来，从而建立有随机房室模型的趋势。第二十五页，共五十八页，2022年，8月28日

药物服用模型第二十六页，共五十八页，2022年，8月28日

问题的背景医生给病人开处方时，必须注明两点:

服药的剂量服药的时间间隔。超剂量的药品会对身体产生严重不良的后果，甚至死亡。剂量不足，则不能达到治病的目的。为采用适当剂量，就要研究药品在体内分布。第二十七页，共五十八页，2022年，8月28日

模型假设(1)患者服药量为一常数y0，

(2)相邻两次服药时间间隔为T，T为一常量，

(3)令y(t)表示t时刻药品在患者体内的浓度，

(4)y(0)表示t=0时患者服药量y0。第二十八页，共五十八页，2022年，8月28日模型分析和建立患者服药后，随时间推移，药品在体内逐渐被吸收，发生生化反应。也就是体内药品的浓度逐渐降低，药品浓度的变化量与服药量成线性比，则有

dy/dt=－kyy(0)=y0

其中k>0为常数,k值取决于药品的种类。其解为

y(t)=y0e-kt

，t[0，T)第二十九页，共五十八页，2022年，8月28日当t=T时，由于经过时间间隔T，患者第二次服药，剂量仍为y0，所以t=T时

y(T)=y0+y0e-kT

则当t[T，2T)时，体内药品浓度:y(t)=(y0+y0e-kT)e-kt,t[T，2T)

当t=2T时，患者第三次服药仍为y0，所以

y(2T)=y0十(y0+e-kT)e-kT=y0(1+e-kT+e-2kT)

则y(t)=y0(1+e-kT+e-2kT)e-kt,t[2T，3T)第三十页，共五十八页，2022年，8月28日以此类推，则当t=nT时，体内药品浓度

y(nT)=y0(1+e-kT+e-2kT+…+e-nkT)

上式右边为一等比数列之和，求和得

y(nT)=y0(1-e-(n+1)kT)/(1-e-kT)则y(t)=y0(1-e-(n+1)kT)/(1-e-kT),t[nT，(n+1)T]当n→∞时,limn→∞y(nT)=y0/(1-e-kT)第三十一页，共五十八页，2022年，8月28日药物剂量的确定如果治疗患者病情所需药物剂量水平接近yc，我们近似地有yc=y0/(1-e-kT)。如果间隔时间T为确定量，那么剂量y0可由

y0=(1-e-kT)yc

所确定，体内药品浓度的分布，可由图1说明，由图1可看出患者多次服药后，体内药品浓度缓慢趋于极限值yc。第三十二页，共五十八页，2022年，8月28日图1体内药物浓度的分布图

浓度

yc方法2

方法1

y0

0T2T3T4T5T6Tt(时间)

第三十三页，共五十八页，2022年，8月28日

服药方法2假设患者开始服药，就采用剂量yc(身体所需量)且每间隔时间T继续服药，使体内药品浓度达到yc，若药品浓度变化仍遵循dy/dt=－ky的规律那么t∈[0，T)时，体内药品浓度

y(t)=yce-kT

当t=T时，根据假设，需加剂量y1，使

y1十yce-kT=yc,

所以y1=(1-e-kT)yc

由上式可知，每间隔时间T,患者服用剂量为y1(事实上y1=y0)，药品在体内分布由图1标出。第三十四页，共五十八页，2022年，8月28日图1体内药物浓度的分布图

浓度

yc方法2

方法1

y0

0T2T3T4T5T6Tt(时间)

第三十五页，共五十八页，2022年，8月28日

服药方法2的特点优点：使药品在体内浓度从一开始就满足所需水平缺点：以大的初始剂量作为开始，可能会使身体不适应，产生副作用通常采用的方法：初始时刻，令患者服药剂量为2y0，以后每间隔时间T，继续服药y0。第三十六页，共五十八页，2022年，8月28日

进一步讨论若患者体内药品浓度的减少遵守规律

dy/dt=－key

（k为正常量），仍以时间间隔T为周期服药，在第二次服药前，浓度yl由下式给出

yl=－ln(kT－e-y0)

在第三次服药前

y2=－ln[kT(l－e-y0)+e-2y0]以此类推，在第n十l次服药前:yn=－ln[kT(l+e-y0+…+e-(n-1)y0)+e-ny0]则当yn→yc时T=e-yc(l－e-y0)/k

由该式我们也可以确定服药时间间隔。第三十七页，共五十八页，2022年，8月28日传染病的传播模型第三十八页，共五十八页，2022年，8月28日

问题背景随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制,但是在世界的某些地区，特别是贫穷的发展中国家，还不时出现传染病流行的情况。同时，一种更为险恶的传染病——爱滋病，则在全球范围内蔓延。2000年底，世界各地的艾滋病患者和病毒携带者高达3610万人，全球死于艾滋病的总人数已达到2180万。长期以来，建立数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等等，一直是各国关注的课题。第三十九页，共五十八页，2022年，8月28日问题提出被传染的人数与哪些因素有关?如何预报传染病高潮的到来了?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变?

传染病的传播涉及因素很多，不可能通过一次简单的假设就能建立起完善的数学模型这里的方法是，先做出最简单的假设，看看会得到什么结果，然后针对不合理或不完善处，逐步修改和增加假设，得到比较满意的模型。第四十页，共五十八页，2022年，8月28日传染病模型一

模型一假设

1)每个病人在单位时间内传染的人数为常数k02)一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。第四十一页，共五十八页，2022年，8月28日模型一的建立

记时刻t的得病人数为i(t)，开始时有i0个传染病人，则在[t,t+△t]时间内增加的病人数为

i(t十△t)－i(t)=k0i(t)△t于是得

di(t)/dt=k0i(t)i(0)=i0（1）其解为

i(t)=i0

第四十二页，共五十八页，2022年，8月28日

模型一的评注

该结果表明，病人人数将按指数规律无限增加，当t→∞时，i(t)→∞，显然与实际不符。事实上，一个地区的总人数大致可视为常数(不考虑传染病传播时期出生和迁移的人数)。在传染病传播期间，一个病人单位时间能传染的人数k0则是在改变的。在初期，k0较大，随着病人的增多，健康者减少，被传染机会也将减少，于是k0就会变小。所以应该对模型一的假设进行修改。第四十三页，共五十八页，2022年，8月28日

传染病模型二

记时刻t的健康者人数为s(t)，当总人数不变时，k0应随s(t)减少而变小。

模型二假设

1)总人数为常数n，且i(t)+s(t)=n2)单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为k(传染强度)。3)一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。第四十四页，共五十八页，2022年，8月28日模型二的建立据假设2)，方程(1)中的k0应变为ks(t),即

di(t)/dt=ks(t)i(t)i(0)=i0(2)将s(t)=n-i(t)代入上式,得

di(t)/dt=ki(t)[n-i(t)]i(0)=i0(3)

其解为

i(t)=n/[1+(n/i0-1)e-knt](4)第四十五页，共五十八页，2022年，8月28日

传染病曲线i(t)～t曲线见图1，这个模型可用来预报传染病较快的疾病前期传染病高峰到来的时间，医学上称di/dt～t为传染病曲线。它反映了传染病人的变化率与时间的关系，如图2所示。第四十六页，共五十八页，2022年，8月28日图1i(t)～t曲线

图2di/dt～t传染病曲线

i(t)di/dt

nn/2i0

0t1t0t1t第四十七页，共五十八页，2022年，8月28日传染病高峰时刻由i(t)=n/[1+(n/i0-1)e-knt]可得

di(t)/dt=[kn2(n/i0-1)e-knt]/[1+(n/i0-1)e-knt]2令d2i/dt2=0,得di(t)/dt的极大值点为

t1=ln(n/i0-1)/kn由此可见，当传染强度k或n增加时,t1都将变小，即传染病高峰来得快，这与实际吻合。此处的k可由经验和统计数据估计第四十八页，共五十八页，2022年，8月28日模型二的评注

由(4)式:i(t)=n/[1+(n/i0-1)e-knt]

当t→∞时，i(t)→n。这意味着最终人人都将被传染，显然这与实际不符其原因是假设3)不合理，应进一步改进。第四十九页，共五十八页，2022年，8月28日传染病模型三有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人模型三假设1)总人数为常数n，且i(t)+s(t)=n2)单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为k(传染强度)。3)病人每天被治愈的占病人总数的比例为，称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康者。第五十页，共五十八页，2022年，8月28日考虑到条件3，模型二的(2)式应改为

di(t)/dt=ks(t)i(t)-·i(t)i(0)=i0(5)将s(t)=n-i(t)代入上式,得

di(t)/dt=ki(t)[n-i(t)]-·i(t)i(0)=i0(6)其解为i(t)=(kt+n/i0)-1(k=)和i(t)=[k/(k-)+(n/i0-k/(k-))exp(-(k-)t)]-1(k≠)第五十一页，共五十八页，2022年，8月28日i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数i00ti>11-1/i0t1di/dt