结构力学第二章结构的几何分析课件

基本要求：领会几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系和刚片、约束、自由度等概念。掌握体系的计算自由度的概念及计算无多余约束的几何不变体系的几何组成规则，及常见体系的几何组成分析。了解结构的几何特性与静力特性的关系。Chapter2

Geometricconstructionanalysis几个基本概念无多余约束的几何不变体系的组成规则体系的计算自由度分析举例第2章结构的几何构造分析基本要求：Chapter2Geomet目的：分析、判断一个体系是否几何可变，或者如何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才可以作为结构。1、研究结构正确的连接方式，确保所设计的结构能承受荷载，维持平衡，不至于发生刚体运动。2、在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择适当的计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的解题途径。§2-1基本概念问题：是不是任何一个结构都能成为工程结构？

目的：分析、判断一个体系是否几何可变，或者如何保证它成为几何

体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变，称为几何可变体系。FPFP几何可变体系(geometricallychangeablesystem)2-1-1几何不变体系、几何可变体系体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的前提下，几何不变体系(geometricallyunchangeablesystem)

体系受到任意荷载作用，在不考虑材料应变的前提下，体系若能保证几何形状、位置不变，称为几何不变体系FP几何不变体系体系受到任意荷载作用，在不考虑材料应几何可变体系又可分为两种（1）几何常变体系(constantlychangeablesystem)（2）几何瞬变体系(instantaneouslychangeablesystem)发生有限位移发生微小位移几何可变体系又可分为两种（1）几何常变体系发生有限位移发生微

体系受到任意荷载作用，在不考虑材料应变的前提下，体系产生瞬时变形后，变为几何不变体系，则称几何瞬变体系。FPFP组成几何不变体系的条件：

具有必要的约束数；

约束布置方式合理体系受到任意荷载作用，在不考虑材料应变的前提下，APANNPNNPAPΔ是微量ββ∑Y=0，N=0.5P/sinβ→∞

由于瞬变体系能产生很大的内力，故几何常变体系和几何瞬变体系不能作为建筑结构使用.

只有几何不变体系才能作为建筑结构使用！！发生微量位移APANNPNNPAPΔ是微量ββ∑Y=0，N=0.5P/s2-1-2自由度(degreesoffreedom)1）刚片：凡本身为几何不变者，均视其为刚片2）自由度：体系运动时，可以独立改变的几何参数的数目，即确定体系位置所需要独立坐标的数目1动点=2自由度xyxy1刚片=3自由度2-1-2自由度(degreesoffreedom)12-1-3约束(restraint)约束

：能限制体系运动的装置内部约束（体系内各杆之间或结点之间的联系）外部约束（体系与基础之间的联系)2-1-3约束(restraint)约束：能限制体系运动单链杆1个单链杆=1个约束。链杆可以是曲的、折的杆，只要保持两铰间距不变，起到两铰连线方向约束作用即可单约束仅连接两个刚片的约束.单刚结点1个单刚结点=3个约束常见约束装置单链杆1个单链杆=1个约束。单约束仅连接两个刚片的约单铰1个单铰=2个约束=2个的单链杆。虚铰——在运动中虚铰的位置不定，这是虚铰和实铰的区别。通常我们研究的是指定位置处的瞬时运动，因此，虚铰和实铰所起的作用是相同的都是相对转动中心。单铰1个单铰=2个约束=2个的单链杆。复铰一个连接n个刚片的复铰相当于(n-1)个单铰，相当于2(n-1)个约束。复约束连接两个以上刚片的约束复刚一个连接n个刚片的复刚相当3(n-1)个约束。复链杆连接n个结点的复链杆相当于2n-3个单链杆复铰一个连接n个刚片的复铰相当于(n-1)个单铰，相当于22-1-4必要约束、多余约束多余约束

(

redundentrestraints)：体系中增加一个或减少一个该约束并不改变体系的自由度数。结论：只有必要约束才能对体系自由度有影响。必要约束

(

necessaryrestraints)：体系中增加一个或减少一个该约束，将改变体系的自由度数。必要约束多余约束注意：多余约束将影响结构的受力与变形。2-1-4必要约束、多余约束多余约束(redunden瞬变体系分析特点：从微小运动角度看，这是一个可变体系；微小运动后即成不变体系。瞬变体系分析特点：从微小运动角度看，这是一个可变体系；AO联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。单铰瞬铰定轴转动绕瞬心转动！能形成虚铰的是链杆()2，3虚铰(瞬铰)AO联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。单铰瞬2-1-5静定结构、超静定结构无多余约束的几何不变体系静定结构仅由静力平衡方程即可求出所有内力和约束力的体系.qq有多余约束的几何不变体系超静定结构仅由静力平衡方程不能求出所有内力和约束力的体系.2-1-5静定结构、超静定结构无多余约束的几何不变体§2-2平面几何不变体系的组成规律2-2-1平面杆系组成规律规律1.点与刚片两杆连，二杆不共线AB规律2.两个刚片铰、杆连，铰不过杆规律3.三个刚片三铰连，三铰不共线规律4.两个刚片三杆连，三杆不共点ABCBABA组成没有多余约束的几何不变体系§2-2平面几何不变体系的组成规律2-2-1平面杆系组成ABC将BC杆视为刚片,

该体系就成为一刚片与一点相联一点与一刚片用两根不共线的链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系A12两根共线的链杆联一点瞬变体系两根不共线的链杆联结一点称为二元体

在一体系上增加（或减去）二元体不改变原体系的机动性，也不改变原体系的自由度。ABC将BC杆视为刚片,图a为一无多余约束的几何不变体系AC将杆AC、BC均看成刚片，杆通过铰瞬变体系两刚片以一铰及不通过该铰的一根链杆相联组成无多余约束的几何不变体系

AB图a

就成为两刚片组成的无多余约束几何不变体系B图b两刚片以不互相平行，也不相交于一点的三根链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。

Aa图a为一无多余约束的几何不变体系AC将杆AC图a为一无多余约束的几何不变体系ABC图a将杆AC,AB,BC均看成刚片，三刚片以不在一条直线上的三铰相联，组成无多余约束的几何不变体系。三铰共线瞬变体系三刚片以三对平行链杆相联瞬变体系两平行链杆于两铰连线平行,瞬变体系

就成为三刚片组成的无多余约束的几何不变体系图a为一无多余约束的几何不变体系ABC图a将杆AC,AB,B每个规律条件是必须的，否则将成为可变体系如果规律的条件不具备共线则瞬变体系FPFP并线则常变体系每个规律条件是必须的，否则将成为可变体系如果规律的条件不具备有限交点无限交点瞬变体系常变体系有限交点无限交点瞬变体系常变体系四个规律只是相互之间变相，终归为三角形稳定性四个规律只是相互之间变相，终归为三角形稳定性2-2-2组成分析举例结构装配方式

从基础出发，由近及远，由小到大固定一点2-2-2组成分析举例结构装配方式从基础出发，由近

从基础出发，由近及远，由小到大固定一刚片固定两刚片主从结构从基础出发，由近及远，由小到大固定一刚片固定两刚片主从

从刚片出发，由内及外，内外联合形成整体体系。若上部体系基础由不交于一点的三杆相连，可去掉基础只分析上部体系从刚片出发，由内及外，内外联合形成整体体系。若上部体系

从规律出发，由内及外，内外联合形成整体体系。铰杆代替利用虚铰从规律出发，由内及外，内外联合形成整体体系。铰杆代替利解题方法3.将几何不变部分作一个大刚片；复杂形状的链杆可看成直链杆；连接两个刚片的链杆用虚铰代替（代替法）1.先找出体系中一个或几个不变部分，在逐步组装扩大形成整体（组装法）2.对于不影响几何不变的部分逐步排除，使分析对象简化（排除法）解题方法3.将几何不变部分作一个大刚片；复杂形状的链杆可对图示体系作几何组成分析解:三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系为无多余约束的几何不变体系.

或两刚片三连杆不平行也不相交与一点.实例分析IIIIII对图示体系作几何组成分析解:三刚片三铰相连,三铰不共线,所对图示体系作几何组成分析III解:三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系为无多余约束的几何不变体系.III对图示体系作几何组成分析III解:三刚片三铰相连,三铰不共对图示体系作几何组成分析对图示体系作几何组成分析对图示体系作几何组成分析解:该体系为常变体系.去二元体对图示体系作几何组成分析解:该体系为常变体系.去二元体对图示体系作几何组成分析解:该体系为有一个多余约束几何不变体系对图示体系作几何组成分析解:该体系为有一个多余约束几何不变ABCDEFG去掉二元体，将体系化简单，然后再分析依次去掉二元体A、B、C、D后，剩下大地。故该体系为无多余约束的几何不变体系。ACBD依次去掉二元体A、B、C、D、E、F、G后剩下大地，故该体系为几何不变体系且无多余约束。ABCDEFG去掉二元体，将体系化简单，然后再分析依次去掉二如上部体系于基础用满足要求三个约束相联时，可去掉基础，只分析上部抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩下两个刚片用两根杆相连故：该体系为有一个自由度的几何可体系。如上部体系于基础用满足要求三个约束抛开基础，分析上部，故：该体系为无多余约束的几何不变体系。抛开基础，只分析上部，上部体系由左右两刚片用一铰和一链杆相连。故：该体系为无多余约束的几何不变体系。抛开基础，只分析上部，ⅠⅡABCFDⅢ当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片间用链杆形成的瞬铰相连，而不用单铰相连O12O23O13如图示，三刚片用三个不共线的铰相连，故：该体系为无多余约束的几何不变体系。如将基础、ADE、EFC作为刚片，将找不出两两相联的三个铰。ABDECFO23O23O23O13O13O13O12O12O12ⅠⅡABFDⅢ当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，ⅠⅡⅢⅠⅡⅢ（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ）(Ⅰ,Ⅲ)（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ）(Ⅰ,Ⅲ)如图示，三刚片以共线三铰相连几何瞬变体系三刚片以三个无穷远处虚铰相连组成瞬变体系ⅠⅡⅢⅠⅡⅢ（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ）(Ⅰ,Ⅲ)（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ三刚片用不共线三铰相连，故无多余约束的几何不变体系。由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅱ,Ⅲ)ⅢⅡⅠ三刚片用不共线三铰相连，故无多余约束的几何不变体系。由一基本④该体系为无多余约束的几何不变体系。①抛开基础,只分析上部。②在体系内确定三个刚片。③三刚片用三个不共线的三铰相连。④该体系为无多余约束的几何不变体系。①抛开基础,只分析上部。有一个多余约束的几何不变体系有一个多余约束的几何不变体系该体系是几何不变体系有四个多余约束。由基础开始逐件组装ABCDB有基础开始，依次组装梁AB、BC、CD,故原体系为无多余约束几何不变体系该体系是几何不变体系有四个多余约束。由基础开始逐件组装ABC

ABCDEFGH由基础开始，依次组装梁AB、BCD、加二元体CEA后为无多余约束的几何不变体系，作为刚片Ⅰ，再与刚片FGH用交于一点的三根链杆相连，故原体系为瞬变体系。ABCDEFGH由基础开始，依次组装梁AB、BCD、加

ⅠⅡⅢⅡⅢ(ⅠⅡ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)ⅡⅢⅡⅢⅡⅢ(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)瞬变体系有一个多余约束的几何不变体系大家一起来ⅠⅡⅢⅡⅢ(ⅠⅡ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)ⅡⅢⅡABCDEFGH

ⅠⅡⅢ(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)

无多余约束的几何不变体系无多余约束的几何不变体系瞬变体系(Ⅱ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)

大家一起来ABCDEFGHⅠⅡⅢ(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅱ,

无多余约束的几何不变体系变体系

大家一起来无多余约束的几何大家一起来一个虚铰在无穷远2-2-3讨论关于无穷远的虚铰：三杆不平行不变平行且等长常变平行不等长瞬变一个虚铰在无穷远：若组成此虚铰的二杆与另两铰的连线不平行则几何不变；否则几何可变；一个虚铰在无穷远2-2-3讨论关于无穷远的虚铰：三两个虚铰在无穷远四杆不平行不变平行且等长常变平行不等长瞬变两个虚铰在无穷远：若组成此两虚铰的两对链不平行则几何不变；否则几何可变；两个虚铰在无穷远四杆不平行不变平行且等长常变平行不等长三个虚铰在无穷远彼此等长常变彼此不等长瞬变三个虚铰在无穷远：体系为可变（三点交在无穷远的一条直线上）End三个虚铰在无穷远彼此等长常变彼此不等长瞬变三个虚铰在无穷§2-3计算自由度体系是否几何可变？自由度的个数S=？体系有无多余约束？多余约束的个数n=？S=a-ca----自由度总和c----非多余约束W=a-dd----全部约束§2-3计算自由度体系是否几何可变？自由度的个数S=？S=定义：体系中各构件间无任何约束时的总自由度数与总约束数之差称计算自由度（W）。S-W=nS≥0，n≥0S≥

Wn≥-W定义：体系中各构件间无任何约束时的总自由度数与总约束数之差称1个单链杆=1个约束1个单刚结点=3个约束1个单铰=2个约束=2个单链杆单约束复约束一个连接n个刚片的复铰相当于(n-1)个单铰，相当于2(n-1)个约束一个连接n个刚片的复刚相当3(n-1)个约束连接n个结点的复链杆相当于2n-3个单链杆1个单链杆=1个约束单约束复约束一个连接n个刚片的复铰算法1W=3m-(3g+2h+b)m----刚片数（不含地基）g----单刚结点数h----单铰结点数b----单链杆个数（含支杆）算法2W=2j-bj----铰结点个数b----单链杆个数算法介绍W=(3m+2j)-(3g+2h+b)算法1W=3m-(3g+2h+b)m----刚片数（例:计算图示体系的自由度W=3

×9-(2×12+3)=0按刚片计算3321129根杆,9个刚片有几个单铰？3根单链杆例:计算图示体系的自由度W=3×9-(2×12+3)=0按另一种解法W=2

×6-12=0按铰结计算6个铰结点12根单链杆另一种解法W=2×6-12=0按铰结计算6个铰结点12根单W=0,体系是否一定几何不变呢？讨论W=3

×9-(2×12+3)=0体系W等于多少？可变吗？322113有几个单铰？W=0,体系讨论W=3×9-(2×12+3)=0体系W32

除去约束后，体系的自由度将增加，这类约束称为必要约束。

因为除去图中任意一根杆，体系都将有一个自由度，所以图中所有的杆都是必要的约束。除去约束后，体系的自由度将增因为除去图中任意一根杆，

除去约束后，体系的自由度并不改变，这类约束称为多余约束。

下部正方形中任意一根杆，除去都不增加自由度，都可看作多余的约束。

图中上部四根杆和三根支座杆都是必要的约束。若多于约束记为s自由度记为n计算自由度为W根据多余约束的定义，上述三个量间有何关系?n＝W+s除去约束后，体系的自由度并不下部正方形中任意一根杆，例:计算图示体系的自由度W=3

×9-(2×12+3)=0W=0,但布置不当几何可变。上部有多余约束，下部缺少约束。W=2

×6-12=0W＝0s＝1n＝1例:计算图示体系的自由度W=3×9-(2×12+3)=0WW=2

×6-13=-1<0例：计算图示体系的自由度W<0,体系是否一定几何不变呢？上部具有多余联系W=3

×10-(2×14+3)=-1<0W=2×6-13=-1<0例：计算图示体系的自由度W<0,计算自由度=

体系真实的自由度？W=3

×9-(2×12+3)=0W=2

×6-12=0要记住n＝W+s计算自由度？W=3×9-(2×12+3)=0W=2×6缺少联系几何可变W=3

×8-(2×10+3)=1W=2

×6-11=1缺少联系W=3×8-(2×10+3)=1W=2×6-11W>0，S>0，几何可变体系W=0，S=n，如无多余约束则几何不变，如有多余约束则几何可变。W<0，n>0，有多余约束定性结论W>0，S>0，几何可变体系W=0，S=n，如实例分析m＝7,D,E复铰，折算全部h=9b=3，g=0AFCGBDE解1：W＝3×7－（2×9＋3）＝0解2：j＝7,AC,BC复链杆，折算全部b=14W＝2j-b=2×7－14＝0实例分析m＝7,AFCGBDE解1：W＝3×7－（2×9＋3解法一：将AB、BC、CD、DE、FG、GH、HI、IJ、GB、HC、ID看作刚片，m＝11B、C、D、G、H、I是连接三个刚片的复刚结点，因此每个结点相当于2个单刚结点，g＝12F、J是固定铰支座，各相当于2个约束（联系），再加上A、E支座的三个约束，共7个约束。在m=11的情况下，刚片间没有铰结点，h=0W＝3×11－（3×12＋7）＝－10解法一：将AB、BC、CD、DE、FG、GH、HI、IJ、G解法二：将ABCDEGHI、FGHIJ看作刚片，m＝2G、H、I是连接两个刚片的单刚结点，g＝3F、J是固定铰支座，各相当于2个约束（联系），再加上A、E支座的三个约束，共7个约束。在m=2的情况下，刚片间没有铰结点，h=0W＝3×2－（3×3＋7）＝－10由此可得什么结论？解法二：将ABCDEGHI、FGHIJ看作刚片，m＝2G、HIIIIIIj=6，b=12W=2j－b=2×6－12=0ⅠⅡⅢ（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ）(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,II)(II,III)IIIIIIj=6，b=12ⅠⅡⅢ（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ解法一：所有结点都是铰结点，j＝16包括支座在内共有连杆31根W＝2×16－31＝1解法二：图示三角形视为刚片，m＝8刚片间单铰h＝8，刚结点没有，g＝0W＝3×8－(2×8＋7)＝1包括支座在内共有连杆7根解法一：所有结点都是铰结点，j＝16包括支座在内共有连杆31例:计算图示体系的自由度GW=3×8-(3×1+2×10+1)=0ACCDBCEEFCFDFDGFG32311有几个刚片？有几个单铰？例:计算图示体系的自由度GW=3×8-(3×1+2×1m=1，g=3，h=0，b=4则：W=3m－(3g+2h+b)=3×1－(3×3+4)

＝－10m=1，g=3，h=0，W=3m－(3g+2h+b)例a：m=9；h=12；b=3。所以：W=3×9－2×12－3=0ABCDEF⑨①②③④⑤⑥⑧⑦例b：j=6；b=12。所以：W=2×6-12=0⑨①②③④⑤⑥⑧⑦例a：j=6；b=12所以：W=2×6－12=0对于由j个结点、b根链杆的铰结链杆体系，

W=2j

－b例a：m=9；h=12；b=3。ABCDEF⑨①②③小结W>0表明体系存在自由度，肯定是几何可变体系W=0表明体系的约束数正好等于部件总自由度数，是体系不变的必要条件，而非充分条件，如无多余约束，体系是静定结构。W<0表明体系的约束数多于部件总自由度数，必有多余约束，如为几何不变体系，则体系是超静定结构小结W>0表明体系存在自由度，肯定是几何可变体系W总之，体系为不变体系除满足约束个数，尚须约束的合理布置。W>0体系几何可变W≤0体系几何不变注意：W并不一定代表体系的实际自由度，仅说明了体系必须的约束数够不够。W≤0只是保证体系为几何不变的必要条件,而不是充分条件总之，体系为不变体系除满足约束个数，尚须约束的合理布置。W>S=（各部件自由度总数）－（非多余约束数）

=（各部件自由度总数）－（全部约束数－多余约束数）

=（各部件自由度总数）－（全部约束数）+（多余约束数）由此可见：只有当体系上没有多余约束时，计算自由度才是体系的实际自由度！+n所以：S=WW实际自由度S、计算自由度W和多余约束n之间的关系：WS=（各部件自由度总数）－（非多余约束数）+n所以：习题练习习题练习BADECbc321aABCDEFGBADECbc321aABCDEFG结构力学第二章结构的几何分析课件结构力学第二章结构的几何分析课件O12O23O13ⅡⅢⅠABDECbc321a1、去除基础；2、去除二元体；3、剩下部分为大三角形CDE、小三角形abc由链杆1、2、

3相联；1、去除二元体；2、找三刚片、三个铰；3、三铰4、故原体系为瞬变体系。4、故原体系为无多余约束的几何不变体系。O12O23O13ⅡⅢⅠABDECbc321a1、去除基础；GE①②③④1、分别由一根杆添加两个二元体得到图示两个刚片；2、图示两个刚片由四根链杆相联；3、该体系是有一多余约束的内部几何不变体系。ABCDEFGABC依次组装梁AB、BC、两杆结点E、G，链杆EG是多余约束。该体系是有一多余约束的几何不变体系。GE①②③④1、分别由一根杆添加两个二元体得到图示两个刚片；ⅢⅠⅡABCⅢ/Ⅲ/1、大地作一刚片Ⅲ，体系内找出两个刚片Ⅰ、Ⅱ，按三刚片组成法则组成一新刚片Ⅲ´；2、体系内在找出两个刚片Ⅰ´、Ⅱ´，三个新刚片以共线的三铰O13、O12、O23相联，组成瞬变体系。Ⅱ/Ⅰ/O13O23O12ⅢⅠⅡABCⅢ/Ⅲ/1、大地作一刚片Ⅲ，体系内找出两个刚片Ⅰ（Ⅰ,Ⅱ）ⅠⅡⅢ(Ⅰ,Ⅲ)（Ⅱ，Ⅲ）图示三刚片用三个不共线的铰相联，故该体系为无多余约束的几何不变体系。每个方向有一个无穷远点（即该方向各平行线的交点）。不同方向有不同的无穷远点。各无穷远点都在同一直线上，此直线称为无穷远线。各有限远点都不在无穷远线上。（Ⅰ,Ⅱ）ⅠⅡⅢ(Ⅰ,Ⅲ)（Ⅱ，Ⅲ）图示三刚片用三个不共线的三个刚片用共点的三铰相联，两个自由度，几何常变体系。三个刚片用共点的三铰相联，1、抛开基础，只分析上部。2、图示两刚片用三根链杆相联；3、无多余约束的几何不变体系。1、刚片等效代换。2、图示三刚片用三个不共线的瞬铰相联；3、无多余约束的几何不变体系。1、抛开基础，只分析上部。1、刚片等效代换。1、支座等效平移；2、去除二元体；3、大地与刚片A用三根交于一点的支杆相联；4、故体系为瞬变体系。AEnd1、支座等效平移；2、去除二元体；3、大地与刚片A用三根交于

基本要求：领会几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系和刚片、约束、自由度等概念。掌握体系的计算自由度的概念及计算无多余约束的几何不变体系的几何组成规则，及常见体系的几何组成分析。了解结构的几何特性与静力特性的关系。Chapter2

Geometricconstructionanalysis几个基本概念无多余约束的几何不变体系的组成规则体系的计算自由度分析举例第2章结构的几何构造分析基本要求：Chapter2Geomet目的：分析、判断一个体系是否几何可变，或者如何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才可以作为结构。1、研究结构正确的连接方式，确保所设计的结构能承受荷载，维持平衡，不至于发生刚体运动。2、在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择适当的计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的解题途径。§2-1基本概念问题：是不是任何一个结构都能成为工程结构？

目的：分析、判断一个体系是否几何可变，或者如何保证它成为几何

体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变，称为几何可变体系。FPFP几何可变体系(geometricallychangeablesystem)2-1-1几何不变体系、几何可变体系体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的前提下，几何不变体系(geometricallyunchangeablesystem)

体系受到任意荷载作用，在不考虑材料应变的前提下，体系若能保证几何形状、位置不变，称为几何不变体系FP几何不变体系体系受到任意荷载作用，在不考虑材料应几何可变体系又可分为两种（1）几何常变体系(constantlychangeablesystem)（2）几何瞬变体系(instantaneouslychangeablesystem)发生有限位移发生微小位移几何可变体系又可分为两种（1）几何常变体系发生有限位移发生微

体系受到任意荷载作用，在不考虑材料应变的前提下，体系产生瞬时变形后，变为几何不变体系，则称几何瞬变体系。FPFP组成几何不变体系的条件：

具有必要的约束数；

约束布置方式合理体系受到任意荷载作用，在不考虑材料应变的前提下，APANNPNNPAPΔ是微量ββ∑Y=0，N=0.5P/sinβ→∞

由于瞬变体系能产生很大的内力，故几何常变体系和几何瞬变体系不能作为建筑结构使用.

只有几何不变体系才能作为建筑结构使用！！发生微量位移APANNPNNPAPΔ是微量ββ∑Y=0，N=0.5P/s2-1-2自由度(degreesoffreedom)1）刚片：凡本身为几何不变者，均视其为刚片2）自由度：体系运动时，可以独立改变的几何参数的数目，即确定体系位置所需要独立坐标的数目1动点=2自由度xyxy1刚片=3自由度2-1-2自由度(degreesoffreedom)12-1-3约束(restraint)约束

：能限制体系运动的装置内部约束（体系内各杆之间或结点之间的联系）外部约束（体系与基础之间的联系)2-1-3约束(restraint)约束：能限制体系运动单链杆1个单链杆=1个约束。链杆可以是曲的、折的杆，只要保持两铰间距不变，起到两铰连线方向约束作用即可单约束仅连接两个刚片的约束.单刚结点1个单刚结点=3个约束常见约束装置单链杆1个单链杆=1个约束。单约束仅连接两个刚片的约单铰1个单铰=2个约束=2个的单链杆。虚铰——在运动中虚铰的位置不定，这是虚铰和实铰的区别。通常我们研究的是指定位置处的瞬时运动，因此，虚铰和实铰所起的作用是相同的都是相对转动中心。单铰1个单铰=2个约束=2个的单链杆。复铰一个连接n个刚片的复铰相当于(n-1)个单铰，相当于2(n-1)个约束。复约束连接两个以上刚片的约束复刚一个连接n个刚片的复刚相当3(n-1)个约束。复链杆连接n个结点的复链杆相当于2n-3个单链杆复铰一个连接n个刚片的复铰相当于(n-1)个单铰，相当于22-1-4必要约束、多余约束多余约束

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redundentrestraints)：体系中增加一个或减少一个该约束并不改变体系的自由度数。结论：只有必要约束才能对体系自由度有影响。必要约束

(

necessaryrestraints)：体系中增加一个或减少一个该约束，将改变体系的自由度数。必要约束多余约束注意：多余约束将影响结构的受力与变形。2-1-4必要约束、多余约束多余约束(redunden瞬变体系分析特点：从微小运动角度看，这是一个可变体系；微小运动后即成不变体系。瞬变体系分析特点：从微小运动角度看，这是一个可变体系；AO联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。单铰瞬铰定轴转动绕瞬心转动！能形成虚铰的是链杆()2，3虚铰(瞬铰)AO联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。单铰瞬2-1-5静定结构、超静定结构无多余约束的几何不变体系静定结构仅由静力平衡方程即可求出所有内力和约束力的体系.qq有多余约束的几何不变体系超静定结构仅由静力平衡方程不能求出所有内力和约束力的体系.2-1-5静定结构、超静定结构无多余约束的几何不变体§2-2平面几何不变体系的组成规律2-2-1平面杆系组成规律规律1.点与刚片两杆连，二杆不共线AB规律2.两个刚片铰、杆连，铰不过杆规律3.三个刚片三铰连，三铰不共线规律4.两个刚片三杆连，三杆不共点ABCBABA组成没有多余约束的几何不变体系§2-2平面几何不变体系的组成规律2-2-1平面杆系组成ABC将BC杆视为刚片,

该体系就成为一刚片与一点相联一点与一刚片用两根不共线的链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系A12两根共线的链杆联一点瞬变体系两根不共线的链杆联结一点称为二元体

在一体系上增加（或减去）二元体不改变原体系的机动性，也不改变原体系的自由度。ABC将BC杆视为刚片,图a为一无多余约束的几何不变体系AC将杆AC、BC均看成刚片，杆通过铰瞬变体系两刚片以一铰及不通过该铰的一根链杆相联组成无多余约束的几何不变体系

AB图a

就成为两刚片组成的无多余约束几何不变体系B图b两刚片以不互相平行，也不相交于一点的三根链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。

Aa图a为一无多余约束的几何不变体系AC将杆AC图a为一无多余约束的几何不变体系ABC图a将杆AC,AB,BC均看成刚片，三刚片以不在一条直线上的三铰相联，组成无多余约束的几何不变体系。三铰共线瞬变体系三刚片以三对平行链杆相联瞬变体系两平行链杆于两铰连线平行,瞬变体系

就成为三刚片组成的无多余约束的几何不变体系图a为一无多余约束的几何不变体系ABC图a将杆AC,AB,B每个规律条件是必须的，否则将成为可变体系如果规律的条件不具备共线则瞬变体系FPFP并线则常变体系每个规律条件是必须的，否则将成为可变体系如果规律的条件不具备有限交点无限交点瞬变体系常变体系有限交点无限交点瞬变体系常变体系四个规律只是相互之间变相，终归为三角形稳定性四个规律只是相互之间变相，终归为三角形稳定性2-2-2组成分析举例结构装配方式

从基础出发，由近及远，由小到大固定一点2-2-2组成分析举例结构装配方式从基础出发，由近

从基础出发，由近及远，由小到大固定一刚片固定两刚片主从结构从基础出发，由近及远，由小到大固定一刚片固定两刚片主从

从刚片出发，由内及外，内外联合形成整体体系。若上部体系基础由不交于一点的三杆相连，可去掉基础只分析上部体系从刚片出发，由内及外，内外联合形成整体体系。若上部体系

从规律出发，由内及外，内外联合形成整体体系。铰杆代替利用虚铰从规律出发，由内及外，内外联合形成整体体系。铰杆代替利解题方法3.将几何不变部分作一个大刚片；复杂形状的链杆可看成直链杆；连接两个刚片的链杆用虚铰代替（代替法）1.先找出体系中一个或几个不变部分，在逐步组装扩大形成整体（组装法）2.对于不影响几何不变的部分逐步排除，使分析对象简化（排除法）解题方法3.将几何不变部分作一个大刚片；复杂形状的链杆可对图示体系作几何组成分析解:三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系为无多余约束的几何不变体系.

或两刚片三连杆不平行也不相交与一点.实例分析IIIIII对图示体系作几何组成分析解:三刚片三铰相连,三铰不共线,所对图示体系作几何组成分析III解:三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系为无多余约束的几何不变体系.III对图示体系作几何组成分析III解:三刚片三铰相连,三铰不共对图示体系作几何组成分析对图示体系作几何组成分析对图示体系作几何组成分析解:该体系为常变体系.去二元体对图示体系作几何组成分析解:该体系为常变体系.去二元体对图示体系作几何组成分析解:该体系为有一个多余约束几何不变体系对图示体系作几何组成分析解:该体系为有一个多余约束几何不变ABCDEFG去掉二元体，将体系化简单，然后再分析依次去掉二元体A、B、C、D后，剩下大地。故该体系为无多余约束的几何不变体系。ACBD依次去掉二元体A、B、C、D、E、F、G后剩下大地，故该体系为几何不变体系且无多余约束。ABCDEFG去掉二元体，将体系化简单，然后再分析依次去掉二如上部体系于基础用满足要求三个约束相联时，可去掉基础，只分析上部抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩下两个刚片用两根杆相连故：该体系为有一个自由度的几何可体系。如上部体系于基础用满足要求三个约束抛开基础，分析上部，故：该体系为无多余约束的几何不变体系。抛开基础，只分析上部，上部体系由左右两刚片用一铰和一链杆相连。故：该体系为无多余约束的几何不变体系。抛开基础，只分析上部，ⅠⅡABCFDⅢ当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片间用链杆形成的瞬铰相连，而不用单铰相连O12O23O13如图示，三刚片用三个不共线的铰相连，故：该体系为无多余约束的几何不变体系。如将基础、ADE、EFC作为刚片，将找不出两两相联的三个铰。ABDECFO23O23O23O13O13O13O12O12O12ⅠⅡABFDⅢ当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，ⅠⅡⅢⅠⅡⅢ（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ）(Ⅰ,Ⅲ)（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ）(Ⅰ,Ⅲ)如图示，三刚片以共线三铰相连几何瞬变体系三刚片以三个无穷远处虚铰相连组成瞬变体系ⅠⅡⅢⅠⅡⅢ（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ）(Ⅰ,Ⅲ)（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ三刚片用不共线三铰相连，故无多余约束的几何不变体系。由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅱ,Ⅲ)ⅢⅡⅠ三刚片用不共线三铰相连，故无多余约束的几何不变体系。由一基本④该体系为无多余约束的几何不变体系。①抛开基础,只分析上部。②在体系内确定三个刚片。③三刚片用三个不共线的三铰相连。④该体系为无多余约束的几何不变体系。①抛开基础,只分析上部。有一个多余约束的几何不变体系有一个多余约束的几何不变体系该体系是几何不变体系有四个多余约束。由基础开始逐件组装ABCDB有基础开始，依次组装梁AB、BC、CD,故原体系为无多余约束几何不变体系该体系是几何不变体系有四个多余约束。由基础开始逐件组装ABC

ABCDEFGH由基础开始，依次组装梁AB、BCD、加二元体CEA后为无多余约束的几何不变体系，作为刚片Ⅰ，再与刚片FGH用交于一点的三根链杆相连，故原体系为瞬变体系。ABCDEFGH由基础开始，依次组装梁AB、BCD、加

ⅠⅡⅢⅡⅢ(ⅠⅡ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)ⅡⅢⅡⅢⅡⅢ(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)瞬变体系有一个多余约束的几何不变体系大家一起来ⅠⅡⅢⅡⅢ(ⅠⅡ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)ⅡⅢⅡABCDEFGH

ⅠⅡⅢ(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)

无多余约束的几何不变体系无多余约束的几何不变体系瞬变体系(Ⅱ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)

大家一起来ABCDEFGHⅠⅡⅢ(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅱ,

无多余约束的几何不变体系变体系

大家一起来无多余约束的几何大家一起来一个虚铰在无穷远2-2-3讨论关于无穷远的虚铰：三杆不平行不变平行且等长常变平行不等长瞬变一个虚铰在无穷远：若组成此虚铰的二杆与另两铰的连线不平行则几何不变；否则几何可变；一个虚铰在无穷远2-2-3讨论关于无穷远的虚铰：三两个虚铰在无穷远四杆不平行不变平行且等长常变平行不等长瞬变两个虚铰在无穷远：若组成此两虚铰的两对链不平行则几何不变；否则几何可变；两个虚铰在无穷远四杆不平行不变平行且等长常变平行不等长三个虚铰在无穷远彼此等长常变彼此不等长瞬变三个虚铰在无穷远：体系为可变（三点交在无穷远的一条直线上）End三个虚铰在无穷远彼此等长常变彼此不等长瞬变三个虚铰在无穷§2-3计算自由度体系是否几何可变？自由度的个数S=？体系有无多余约束？多余约束的个数n=？S=a-ca----自由度总和c----非多余约束W=a-dd----全部约束§2-3计算自由度体系是否几何可变？自由度的个数S=？S=定义：体系中各构件间无任何约束时的总自由度数与总约束数之差称计算自由度（W）。S-W=nS≥0，n≥0S≥

Wn≥-W定义：体系中各构件间无任何约束时的总自由度数与总约束数之差称1个单链杆=1个约束1个单刚结点=3个约束1个单铰=2个约束=2个单链杆单约束复约束一个连接n个刚片的复铰相当于(n-1)个单铰，相当于2(n-1)个约束一个连接n个刚片的复刚相当3(n-1)个约束连接n个结点的复链杆相当于2n-3个单链杆1个单链杆=1个约束单约束复约束一个连接n个刚片的复铰算法1W=3m-(3g+2h+b)m----刚片数（不含地基）g----单刚结点数h----单铰结点数b----单链杆个数（含支杆）算法2W=2j-bj----铰结点个数b----单链杆个数算法介绍W=(3m+2j)-(3g+2h+b)算法1W=3m-(3g+2h+b)m----刚片数（例:计算图示体系的自由度W=3

×9-(2×12+3)=0按刚片计算3321129根杆,9个刚片有几个单铰？3根单链杆例:计算图示体系的自由度W=3×9-(2×12+3)=0按另一种解法W=2

×6-12=0按铰结计算6个铰结点12根单链杆另一种解法W=2×6-12=0按铰结计算6个铰结点12根单W=0,体系是否一定几何不变呢？讨论W=3

×9-(2×12+3)=0体系W等于多少？可变吗？322113有几个单铰？W=0,体系讨论W=3×9-(2×12+3)=0体系W32

除去约束后，体系的自由度将增加，这类约束称为必要约束。

因为除去图中任意一根杆，体系都将有一个自由度，所以图中所有的杆都是必要的约束。除去约束后，体系的自由度将增因为除去图中任意一根杆，

除去约束后，体系的自由度并不改变，这类约束称为多余约束。

下部正方形中任意一根杆，除去都不增加自由度，都可看作多余的约束。

图中上部四根杆和三根支座杆都是必要的约束。若多于约束记为s自由度记为n计算自由度为W根据多余约束的定义，上述三个量间有何关系?n＝W+s除去约束后，体系的自由度并不下部正方形中任意一根杆，例:计算图示体系的自由度W=3

×9-(2×12+3)=0W=0,但布置不当几何可变。上部有多余约束，下部缺少约束。W=2

×6-12=0W＝0s＝1n＝1例:计算图示体系的自由度W=3×9-(2×12+3)=0WW=2

×6-13=-1<0例：计算图示体系的自由度W<0,体系是否一定几何不变呢？上部具有多余联系W=3

×10-(2×14+3)=-1<0W=2×6-13=-1<0例：计算图示体系的自由度W<0,计算自由度=

体系真实的自由度？W=3

×9-(2×12+3)=0W=2

×6-12=0要记住n＝W+s计算自由度？W=3×9-(2×12+3)=0W=2×6缺少联系几何可变W=3

×8-(2×10+3)=1W=2

×6-11=1缺少联系W=3×8-(2×10+3)=1W=2×6-11W>0，S>0，几何可变体系W=0，S=n，如无多余约束则几何不变，如有多余约束则几何可变。W<0，n>0，有多余约束定性结论W>0，S>0，几何可变体系W=0，S=n，如实例分析m＝7,D,E复铰，折算全部h=9b=3，g=0AFCGBDE解1：W＝3×7－（2×9＋3）＝0解2：j＝7,AC,BC复链杆，折算全部b=14W＝2j-b=2×7－14＝0实例分析m＝7,AFCGBDE解1：W＝3×7－（2×9＋3解法一：将AB、BC、CD、DE、FG、GH、HI、IJ、GB、HC、ID看作刚片，m＝11B、C、D、G、H、I是连接三个刚片的复刚结点，因此每个结点相当于2个单刚结点，g＝12F、J是固定铰支座，各相当于2个约束（联系），再加上A、E支座的三个约束，共7个约束。在m=11的情况下，刚片间没有铰结点，h=0W＝3×11－（3×12＋7）＝－10解法一：将AB、BC、CD、DE、FG、GH、HI、IJ、G解法二：将ABCDEGHI、FGHIJ看作刚片，m＝2G、H、I是连接两个刚片的单刚结点，g＝3F、J是固定铰支座，各相当于2个约束（联系），再加上A、E支座的三个约束，共7个约束。在m=2的情况下，刚片间没有铰结点，h=0W＝3×2－（3×3＋7）＝－10由此可得什么结论？解法二：将ABCDEGHI、FGHIJ看作刚片，m＝2G、HIIIIIIj=6，b=12W=2j－b=2×6－12=0ⅠⅡⅢ（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ）(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,II)(II,III)IIIIIIj=6，b=12ⅠⅡⅢ（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ解法一：所有结点都是铰结点，j＝16包括支座在内共有连杆31根W＝2×16－31＝1解法二：图示三角形视为刚片，m＝8刚片间单铰h＝8，刚结点没有，g＝0W＝3×8－(2×8