线性代数5-7教辅资料课件

5.7正定二次型5.7正定二次型一、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．实际上，当我们限定所用的变换为实变换时，二次型的标准形还有如下一些性质．一、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标实证明：由上面定理知，存在正交矩阵P，使得结论：证明：由上面定理知，存在正交矩阵P，使得结论：且令则K

可逆且令则K可逆这个定理称为惯性定理，这里不予证明。二次型的标准形中，正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数。这个定理称为惯性定理，这里不予证明。二次型的标为正定二次型为负定二次型二、正(负)定二次型的概念例如为正定二次型为负定二次型二、正(负)定二次型的概念例如证明充分性故三、正(负)定二次型的判别证明充分性故三、正(负)定二次型的判别必要性用反证法。故推论对称矩阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正．必要性用反证法。故推论对称矩阵为正定的充分必这个定理称为霍尔维茨定理．定理3对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即这个定理称为霍尔维茨定理．定理3对称矩阵为正定的充分正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性质例1判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.例1判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型例2判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知是正定矩阵，例2判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别例3判别二次型的正定性.解例3判别二次型的正定性.解2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导．2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)思考题思考题思考题解答思考题解答

5.7正定二次型5.7正定二次型一、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．实际上，当我们限定所用的变换为实变换时，二次型的标准形还有如下一些性质．一、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标实证明：由上面定理知，存在正交矩阵P，使得结论：证明：由上面定理知，存在正交矩阵P，使得结论：且令则K

可逆且令则K可逆这个定理称为惯性定理，这里不予证明。二次型的标准形中，正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数。这个定理称为惯性定理，这里不予证明。二次型的标为正定二次型为负定二次型二、正(负)定二次型的概念例如为正定二次型为负定二次型二、正(负)定二次型的概念例如证明充分性故三、正(负)定二次型的判别证明充分性故三、正(负)定二次型的判别必要性用反证法。故推论对称矩阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正．必要性用反证法。故推论对称矩阵为正定的充分必这个定理称为霍尔维茨定理．定理3对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即这个定理称为霍尔维茨定理．定理3对称矩阵为正定的充分正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性质例1判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.例1判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型例2判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知是正定矩阵，例2判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别例3判别二次型的正定性.解例3判别二次型的正定性.解2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的