数学-立体几何1.31课件

例1:已知棱长均为5,底面为正方形的四棱锥S-ABCD,如图,求它的侧面积､表面积.

分析:要求棱锥的侧面积,应先弄清各侧面的形状,此棱锥各侧面均为边长为5的正三角形.表面积为侧面积和底面积之和,即S表面积=S侧+S底.

解:∵四棱锥S—ABCD的各棱长均为5,

∴各侧面都是全等的正三角形.

设E为AB中点,则SE⊥AB,

∴S侧=4S△SAB=4×AB×SE

S表面积=S侧+S底=25+25=25(

+1).

规律技巧:求棱锥的表面积,可以先求侧面积,再求底面积.求侧面积,要清楚各侧面三角形的形状,并找出求其面积的条件.求底面积要清楚底面多边形的形状及求其面积的条件.

变式训练1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为()解析:如上图,三棱锥D1-AB1C的各面均是正三角形.

其边长为正方体侧面对角线.

设正方体的棱长为a,则面对角线长为

∴SD1-AB1C:S正方体

答案:B

例2:如下图所示,在长方体ABCD—A′B′C′D′中,截下一个棱锥C—A′DD′,求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.分析:剩余部分几何体不是规则几何体,可利用长方体和棱锥体积的差来求得剩余部分的体积.解:已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′—BCC′B′,设它的底面ADD′A′面积为S,高为h,则它的体积为V=Sh.

而棱锥C-A′DD′的底面积为S,高是h,故棱锥C-A′DD′的体积为

VC-A′DD′=

余下的体积是

所以棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1:5.

规律技巧:计算多面体的体积,基础仍是多面体中一些主要线段的关系,要求概念清楚,能根据条件,找出其底面及相应的高.

变式训练2:已知正三棱台A1B1C1—ABC的两底面边长分别为2､8,侧棱长等于6,求三棱台的体积V.

解:,设C1D1､CD分别平分A1B1､AB,O1､O为上､下两底面的中心,则O1O为棱台的高,设为h,

作C1H⊥OC于H,

则C1H=h,且

例3:如右图所示,在长方体ABCD—A′B′C′D′中,AB=2,AD=4,AA′=3,求在长方体表面上连结A､C′两点间诸曲线的长度的最小值.

解:由于在长方体表面上连结A､C′两点,可以通过A′B′､B′B,BC三段进行连结,故分三种情况讨论.

(1)若由A跨过A′B′与C′连结,即将上底面A′B′C′D′翻折到与ABB′A′在同一平面内(如下图(1)),则误区警示:多面体沿着各棱的展开有时图形类似,有时图形完全不一样,应区别对待,本题长､宽､高都不相等,因而求AC′的最小值应为三种情况讨论比较才能得到.

变式训练3:如下图,已知三棱锥A-BCD的底面是等边三角形,三条侧棱长都等于1,∠BAC=30°,M､N分别在棱AC和AD上,求BM+MN+NB的最小值.

解:将三棱锥A-BCD的侧面沿AB展开在同一平面上,如下图

∵AB=AC=AD=1,BC=CD,

∴△ABC≌△ACD,

∴∠BAC=∠CAD=30°,

同理∠DAB′=30°,

∴∠BAB′=∠BAC+∠CAD+∠DAB′=90°.

由图可知,当点B､M､N､B′共线时,BM+MN+NB取最小值.

在△ABB′中,AB=AB′=1,∠BAB′=90°,

∴BB′=

∴BM+MN+NB的最小值为例4:把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面,求这个圆柱的体积.错解:设卷成的圆柱的底面半径为r,母线长为l,

则2πr=6,l=3,所以所以V圆柱=πr2·l=π错因分析:错解的原因是把宽当成母线,沿着矩形的长卷成圆柱,没有考虑到也可以沿着矩形的宽卷成圆柱.1.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的全面积是()

A.3πB.3

π

C.6πD.9π解析:设圆锥的母线长为l,则由 得l=2.

且圆锥的底面周长为2π,所以圆锥的全面积答案:A

2.若正方体的全面积为72,则它的对角线的长为()解析:设正方体的棱长为a,则6a2=72.∴所以对角线长为

答案:D

3.长方体过一个顶点的三条棱长的比是1:2:3,对角线的长是 则这个长方体的体积是()

A.6B.12

C.24D.48

解析:设长方体的三条棱长分别为a,2a,3a(a>0),由题意得

a2+(2a)2+(3a)2= 解得a=2,

∴体积V=a·2a·3a=6a3=48.

答案:D

4.如右图所示,在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中,P是A1B1上一点,且PB1=A1B1,则多面体P-BCC1B1的体积为()

C.4 D.16解析:VP-BCC1B1=×4×4×1=答案:B

5.若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为l的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是()

A.3:2 B.2:1

C.4:3 D.5:3

答案:C

6.等边三角形ABC的边长为a,直线l过A且与BC垂直,将

△ABC绕直线l旋转一周所得的几何体的表面积是________.解析:依题意知,圆锥的母线长为a,底面半径为 周长为aπ.

∴圆锥的表面积7.已知棱长为1,各面都是正三角形的四面体,则它的表面积是________.8.如右图所示,四棱锥V-ABCD的底面为边长等于2cm的正方形,顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高,侧棱长VC=4cm,求这个四棱锥的体积.

解:连结AC､BD相交于点O,

连结VO,则VO⊥底面ABCD(如下图)

∵AB=BC=2cm,在正方形ABCD中,

在Rt△VOC中求得:

故这个四棱锥的体积为9.圆台上､下底面积分别为π､4π,侧面积为6π,求这个圆台的体积.

解:设圆台的上､下底面半径分别为r､R,母线长为l,高为h,轴截面如下图所示.

由题意可得:πr2=π,∴r=1,

πR2=4π,∴R=2,

由(rl+Rl)π=6π,∴l=2.

∴V台10.(2007·广东)已知某几何体的俯视图是如下图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.

(1)求该几何体的体积V;

(2)求该几何体的侧面积S.

解:由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥.

∴(1)V=×(8×6)×4=64.

(2)该四棱锥有两个侧面是全等的等腰三角形,且其高为

另外两个侧面也是全等的等腰三角形,这两个侧面的高为

因此S侧11.(2010·陕西文8)若某空间几