哥德巴赫猜想素数和式个数计算公式

哥德巴赫猜想素数和式个数计算公式李联忠（营山中学四川营山637700）摘要：哥德巴赫猜想素数和式个数计算公式：G=n+(-1)1X+(-1)2桅n+X——-kj-+…+(-1)iEn+x12—i—ipP-Ppppk=1LkJk、j=1,k主j-kj-L12i」+q-h不大于U弟的素数均是2n的约数时，哥德巴赫猜想计算公式TOC\o"1-5"\h\zP-1P-1P-1P-1G=n-—p—-—p——p———p—+q-h\o"CurrentDocument"12ki关键词：数论哥德巴赫猜想公式中图分类号：文献标识号：文章编号：弓I理：若p25Vp2,p=2,p=3,…,p,…,p,p为连续素数，则在1、2、ii+112kii+13・・・n中去掉p的倍数，余下的数（1除外）全为素数。设p2<2nVp2p=2,p=3,…,p，…,p,p为连续素数，N=2n的和式ii+112kii+1N=2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=・=m+(2n-m)="・=(n+n)(1WmWn)若pI(2n-m)则2n三m(modp)设2n除以p的余数为N(〃),N(P)/0,这kkkkk时应在1、2、・n中去掉两个同余类（余N（P）和0）,才能保证余下和式中，m、（2n-m）都不是P的倍数,N（P）=0，这时应在1、2、3、・n中去掉一个同余类（余0）,就能保证余下和式中，m、（2n-m）都不是P的倍数。这样，余下和式全为两素数之和（1没去掉时，含1的G=n+(-1)1X［工1+(-1)2Xn+X——-kj-+…+(-1)'Xn+X12—i—ipP•Ppppk=1kk、j=1,k丰j-kj-12i和式除外），加上不大于p的素数和，i则2n表示成两素数之和的种数+q-h（q=不大于p的素数和的个数，2n-1是合数龙=0,是素数龙=1i

X三0(modp);x三0或p-n(p)(modP),•••,X三0或P-n(P)(modP)TOC\o"1-5"\h\z1122221iii[X三0或p-n(p)(modp)[X三0或p-n(p)(modp)<kjkkkX三0或p-n(p)(modp)、kjjjjXi=0或p-n(p)(modp)=0或p-n(p)(modp)12-iiiin(p)表n除以p的余数，n(P)=0,只取余数0,:]为取整号，X…X；…，kkk1IX/.；•.•X12「••为中国剩余定理同余组的解，n(p)=N(p),(p>3))证明：P,P,•••P，…P,P为连续素数P=2,(1<k<i),12kii+11设X三0或p-n(p)(modp)，则要去掉的模p余0和余n(p)的两个同余类个数可表示为】宰r]

kkkkkkpk前i个素数要去掉的同余类数的个数可表示为旗[^+¥]；设＜k=1前i个素数要去掉的同余类数的个数可表示为旗[^+¥]；设＜k=1Pk峙、潍kk，则前面多X三0或p-n(p)(modp)kj▽n+XTOC\o"1-5"\h\z去掉的个数可表示为'[py],应加上；k,j=1,i^j.kj'X三0或p-n(P)(modP)lkjlll设｛x三0或p-n(p)(modp),则前面多加的lkjkkkXk三0或p-n((P)(modP)n+X个数表示为JL[p],应减去；以此类推，所以有l,k,j=1,l丰k丰jlkjG=n-L[点]+L[工:+(-1)3L[=^]+...+(-1)2[上J"-入iLp」+PPPPp+PP••-P^k=1kk'iskjl,k'E勺lkj12i(其中g=不大于p的素数和的个数心-1是合数龙=0,是素数龙=1)i例：求46表示为两素数和的和式个数。解：•「52<46<72P=2P=3P=5q=2h=012323+023+023+0一_2_3523+3-〃23+023+023+0一_2_3523+3-〃(3)23232323+5-n(5)5232x32x3x523+22x323+42x523+523+202x3x523+93x523+242x3x523+143x523+142x3x5+2-0=23-11-7-4-8-5+3+4+2+2+1+1+2+2-0-1-1-1+2-0=4以上取整号内分子所加数，如分母为2X3X5的分子所加的数0、20、24、14的计算。用P(0、n(P))表去素数P的同余类的余数，模2只去了余0的数即2(0),kkk模3去了余0和46除以3余1的数即3(0、1)，模5去了余0和46除以5余1的数即5(0、1),加的数除以素数的余数应为2(0),3(0、2),5(0、4)。下面是分母为2X3X5的分子所加的数的计算。235中国剩余定理同余组解0000020200042402414若不大于、瑟的素数都是2n的约数，则有如下的化简公式P-1P-1P-1P-1G=n—长—+q—hTOC\o"1-5"\h\ziPPPP12ki(其中q=不大于P的素数和的个数，2n-1是合数h=0,是素数h=1)i证明：P<\2n,且PI2nkk・•・P—n(P)=P三0(modP)，即对每一个P,只需去掉P的倍数kkkkkkG=n+(-1)1X+(-1)2工+n+X———-kj-+•-+(-1)iXn+X12—i—iPP-PPPPk=1kk、j=1,k丰j-kj-12i

=n—工里+工+...+(-1)2+厂hp十pppp...pwhTOC\o"1-5"\h\zk—1k*,jT*kjkj12i?-1?-1?-1?-1—n•—•——p——p—+q-h12ki（其中q—不大于p的素数和的个数,2n-1是合数h=0,是素数h=1）i例：求30表示为两素数和的和式个数。解:•.r'30前的素数为2、3、5且2130,3130,5130,q=0,h=1,代人简化公式得G=15X1-2-4+0-1=3事实上30=7+23=11+19=13+17TOC\o"1-5"\h\z3235例：求100表示两素数和的和式个数。解：p=2、p=3、p=5、p=7Vt100,q=1,h=01234且21100、51100、100除以3、7的余数1、2...X=0,X=0或2,x=0,x=0或5,x=0或2,x=0,x=0或12x=0或5,123412131423X—0,12,14或5,X—0或5,X—0或2QX—0,12,14,或26,X—0或40,X—0,75,35或5X1234—0,180,140或110L-50-囹-悖50+250+550+2+50+50L-50-囹-悖50+250+550+2+50+50+50+12[501+1+|_2x3]2x52x7l_2x7]_3x5]5050+53x550+50+12+50+14+50+5+50+3x73x73x73x75x7+2x3+50+55x75050+205050+12-[50+141_[50+26-_2•3•5_2•3•52•3•7_2•3•7_L2•3•7]L2•3•7_50+405050+75[50+3550+52•5•73•5•73•5•7~t3•5•73•5•7502•5•7502•3•5•7[50+180][50+140+1_2•3•5•7]+1_2•3•5•7+50+I】02•3•5•7=50-25-16-17-10-7-7+8+8+5+3+4+3+3+2+2+3+2+1+1-1-2-1-1-1-1-0-1-0-1-0-0+0+1+0+0+1-0=6例：求102表示两素数和的和式个数。TOC\o"1-5"\h\z解：,「P=2、P=3、P=5、P=7<\102,q=1,h=11234且21102、31102、102除以5、7的余数2、4...X=0,X=0,x=0或3,x=0或3,x=0,x=0或8,x=0或1。x=0或3,123412131423X=0或3,X=0,10,28或3,X=0或18,X=0,或24X=0,10,28或3&X=0,45,63或32434123124134234x=0,150,168或1081234g=51J四-「四-「四-「箜］-「四-「业4L艾JL习JL亏」L」L了」L+51+51+3+51+51+51+51+3+51+51+10+51+28+3x73x75x75x75x751+3+51+51+51+8+51+51+10「511「51+3一++2x32x52x52x7l_2x7JL3x5_L3x5J5151+185151+245151+10_2•3•5_2•3•52•3•72•3•72•5•7_2•5•7_51+28-51+38-51-5+45-51+6