陕西省西安市新城区西安中学2022年高一数学第一学期期末统考试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．若函数的定义域为，满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域为，则称函数为“上的优越函数”．如果函数是“上的优越函数”，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.2．若，则下列不等式成立的是().A. B.C. D.3．已知锐角终边上一点A的坐标为,则的弧度数为（）A.3 B.C. D.4．圆关于直线对称的圆的方程为A. B.C. D.5．定义在上的函数满足，当时,,当时,.则=（）A.338 B.337C.1678 D.20136．已知集合，则（）A. B.或C. D.或7．△ABC的内角、、的对边分别为、、,若,,,则（）A. B.C. D.8．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AB中元素的个数为A.1 B.2C.3 D.49．设θ为锐角，，则cosθ=（）A. B.C. D.10．函数（且）与函数在同一个坐标系内的图象可能是A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．设函数，则__________12．若，则实数的值为______.13．已知函数①当a=1时，函数的值域是___________；②若函数的图像与直线y=1只有一个公共点，则实数a的取值范围是___________14．设，且，则的取值范围是________.15．两条平行直线与的距离是__________三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．记不等式的解集为A，不等式的解集为B.（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值范围.17．已知函数，.（1）用函数单调性的定义证明：是增函数；（2）若，则当为何值时，取得最小值？并求出其最小值.18．已知有半径为1，圆心角为a（其中a为给定的锐角）的扇形铁皮OMN，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形.方案1：如图1，裁剪出的矩形ABCD的顶点A，B在线段ON上，点C在弧MN上，点D在线段OM上；方案2：如图2，裁剪出的矩形PQRS的顶点P，S分别在线段OM，ON上，顶点Q，R在弧MN上，并且满足PQ∥RS∥OE，其中点E为弧MN的中点.（1）按照方案1裁剪，设∠NOC=，用表示矩形ABCD的面积S1，并证明S1的最大值为；（2）按照方案2裁剪，求矩形PQRS的面积S2的最大值，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形.19．已知函数（且）的图像经过点.（1）求函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围.20．某市郊区有一加油站，2018年初汽油的存储量为50吨，计划从年初起每周初均购进汽油吨，以满足城区内和城外汽车用油需求，已知城外汽车用油每周5吨；城区内汽车用油前个周需求量吨与的函数关系式为，为常数，且前4个周城区内汽车的汽油需求量为100吨.（1）试写出第个周结束时，汽油存储量（吨）与的函数关系式；（2）要使16个周内每周按计划购进汽油之后，加油站总能满足城区内和城外的需求，且每周结束时加油站的汽油存储量不超过150吨，试确定的取值范围.21．已知.（1）化简；（2）若α＝－，求f(α)的值.

参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1、D【解析】由于是“上的优越函数”且函数在上单调递减，由题意得，，问题转化为与在时有2个不同的交点，结合二次函数的性质可求【详解】解：因为是“上的优越函数”且函数在上单调递减，若存在区间，使在上的值域为，由题意得，，所以，，即与在时有2个不同的交点，根据二次函数单调性质可知，即故选：D2、B【解析】∵a＞b＞c，∴a﹣c＞b﹣c＞0，∴故选B3、C【解析】先根据定义得正切值，再根据诱导公式求解【详解】由题意得，选C.【点睛】本题考查三角函数定义以及诱导公式，考查基本分析化简能力，属基础题.4、A【解析】由题意得，圆心坐标为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以对称圆方程为考点：点关于直线的对称点；圆的标准方程5、B【解析】,,即函数是周期为的周期函数.当时,,当时,.,,故本题正确答案为6、C【解析】直接利用补集和交集的定义求解即可.【详解】由集合，可得：或，故选：C.【点睛】关键点点睛：本该考查了集合的运算，解决该题的关键是掌握补集和交集的定义..7、C【解析】由已知利用余弦定理可求的值,利用等腰三角形的性质可求的值.【详解】解：∵,,,∴由余弦定理可得,求得：c＝1.∴∴.故选：C.【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中应用,属于基础题.8、B【解析】由题意可得，故中元素的个数为2，所以选B.【名师点睛】集合基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图9、D【解析】为锐角，故选10、C【解析】利用指数函数和二次函数的性质对各个选项一一进行判断可得答案.【详解】解：两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数的图象过点，故排除A，D；二次函数的对称轴为直线，当时，指数函数递减，，C符合题意；当时，指数函数递增，，B不合题意，故选C【点睛】本题通过对多个图象的选择考查指数函数、二次函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、【解析】先根据2的范围确定表达式，求出；后再根据的范围确定表达式，求出.【详解】因为，所以，所以.【点睛】分段函数求值问题，要先根据自变量的范围，确定表达式，然后代入求值．要注意由内而外求值，属于基础题.12、【解析】由指数式与对数式的互化公式求解即可【详解】因为，所以，故答案为：13、①.（－∞，1]②.（－1，1]【解析】①分段求值域，再求并集可得的值域；②转化为＝在上与直线只有一个公共点，分离a求值域可得实数a的取值范围【详解】①当a＝1时，即当x≤1时，，当x＞1时，，综上所述当a＝1时，函数的值域是，②由无解，故＝在上与直线只有一个公共点，则有一个零点，即实数的取值范围是.故答案为：；.14、【解析】由题意得，，又因为，则的取值范围是15、【解析】直线与平行，，得，直线，化为，两平行线距离为，故答案为.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1）（2）【解析】（1）分别求出集合，再求并集即可.（2）分别求出集合和的补集，它们的交集不为空集，列出不等式求解.【详解】（1）当时，的解为或（2）a的取值范围为17、证明详见解析；（2）时，的最小值是.【解析】（1）根据函数单调性定义法证明，定义域内任取，且，在作差，变形后判断符号，证明函数的单调性；（2）首先根据函数的定义域求的范围，再根据基本不等式求最小值.【详解】（1）证明：在区间任取，设，，，，，即，所以函数在是增函数；（2），的定义域是，，设，时，，当时，，当，即时，等号成立，即时，函数取得最小值4.【点睛】易错点睛：本题的易错点是第二问容易忽略函数的定义域，换元时，也要注意中间变量的取值范围.18、（1），证明见解析；（2），方案1可以裁剪出面积最大的矩形.【解析】（1）分别用含有的三角函数表示，写出矩形的面积，利用三角函数求最值；（2）利用（1）的结论，根据对称性知，矩形的最大面积为，然后利用作差法比较大小即可【小问1详解】在图1中，，，，，，，当时，矩形最大面积为，得证.【小问2详解】在图（2）中，设与边，分别交于点，，由（1）的结论，可得矩形的最大面积为，根据对称性知，矩形的最大面积为.因为为锐角，所以，于是.因此，.故按照方案1可以裁剪出面积最大的矩形，其最大面积为.19、（1）；（2）【解析】（1）直接代入数据计算得到答案.（2）确定函数单调递增，根据函数的单调性得到答案.【详解】（1）（且）的图像经过点，即，故，故.（2）函数单调递增，，故，故【点睛】本题考查了函数的解析式，根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用.20、(1)(2)【解析】（1）根据题意前4个周城区内汽车的汽油需求量为100吨，得，；（2）每周结束时加油站的汽油存储量不超过150吨，故，恒成立,转化为恒成立，通过换元分别求得函数的最值即可解析：（1）由已知条件得，解得.所以..（2）由题意，，所以，恒成立，即恒成立.设，则，所以（）恒成立，由（）恒成立，得（当，即时取等号）；由（）恒成立，得（当，即时取等号）