线性代数性质定理复习

1、行列式的性质（1）行列式与它的转置行列式相等，即

T

（3）行列式中如有两行（列）相同或成比例，则此行列式为零。（4）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数

（5）把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数

（6）若行列式的某一行（列）的各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。2、行列式的按行（按列）展开（1）

i

,

j

ij

i

j

ij

ij

iij

ij

i

,

j

ij

i

j

ij

ij

ij

（2）

...

,

(i

)i

i

i

i

i

j

...

,

j

j j

j

j i

jij

...

i

j

ij

i

j

...

,

i

j

3、克拉默法则

i

i

,

i

i

i

4、常用的行列式

1、矩阵的运算（1）

,B,

C

（a)

B

B

AB

C

BCB

AB

C

BC（b),R,

,B

（2）

（a)

（b)

B

B（c)（3）前面矩阵的列数=后面矩阵的行数（a)

BC

AB

（b)

B

B

AB

（c)（a)

AB

BA

AB

BA,B（b)

,B

T T（a)（b)

B

T

T

B

T（c)

T

T（d)

AB

T

B

TT（e)

T

T

（5）

l（a)

l

l;

,l

l（b)

,B

B

AB

B

;

AB

B

（6）

,B（a)（b)（c)

T

B2、逆矩阵（1）

B

AB

BA

E

B

B

（2）

方阵

B

AB

E

B

（3）（a)

（b)

T

TT

T

（c)

（d)

,B,B

AB

B

（4）伴随矩阵

i

,

j

*

*

ij

TT

，（其中

ij

*

*

E（a)（b)

*

,

*

*

*

T

*

T

*

*（d)T（e)3、克拉默法则的矩阵表示

b

b

*b

1、定义

r

r

;r

;r

i

j

i

i

j

i

;

;

j

i

i

j

:

B

B

r

R

r

（1）R

r

r

F

rF

r

m

R

R

m,

mR

R

（a) R

T

R

（b) :

B

R

R

B

（c) （d)

,

（e)（f)（g)

R

,R

B

R

,B

R

R

B

B

b

R

R

,

b

R

R

B

R

R

B

R

R

,R

B

（h)

m

Bl

R

R

B

b

R

R

,

b

（1

R

R

,

b

R

R

,

b

R

R

,

b

b

,

b

,...,b

,

K,

(

Bb

,

b

,...,b

,

K,

(

B

AK)

R

（3）矩阵方程

B

R

R

,B

,..., l m ml

B

K

K

B

B

K

1、

,

,L

,

,

T

,

,...,

,...,

,

,...,

,

b

R

,

,...,

R

,

mm

T

2、线性组合与线性表示（1）向量

b:

,

,...,m

...

m

m

b

b

ml

R

R

B

R

,B

（2）向量组B:b

,

bml

R

R

B

R

,B

,

,...,

X

b

,

b

,...,b

B

R

R

,B

B （4）若向量组

B

R

B

R

3、线性相关与线性无关:

,

,...,

m

m mR

,

,...,

mmm

...

,

,...,

m

j

j

m

m

,

,...,

,

,...,

,

,...,

m

,

,...,

,

,

,...,

,

b

m

m（2）m

m

:

,

,...,（3）设向量组b

5、向量组的最大无关组与向量组的秩（1）定义：如果在向量组中能选出r

,

,...,

r

（a)

:

,

,...,

r

（b)

r

r

R

（c)

上述条件（b）可改为：向量组

,

,...,

,

,...,

R

R

,

,...,

R m

6、齐次线性方程组

:

,

,...,

m

m

m

R

r

个最大无关组称为齐次线性方程组的

基础解系

，其中含

R

r

个解向量。设r

r

...

,

,...R

r r r7、非齐次线性方程组

b

b

*

r

r

,

,...,

...

r r

*

8、向量空间（1）设

R

R

r

r

r

维向量空间的一个基为

j

,

j

,...,

j

，则任一向量

，总有唯一的一组有序数

,

,...,

j

j

...

j

,

,...,

j

,

j

,...,

j

（2）给定

:

,

,...,

m

L

,

,...,

m

...

,

,...,

R

m

m

m

B

T

,

,...,

1、

（1）设有

,

:

:

,

...

T

（2）非负实数

,

...

（3）当

,

T

2、正交向量组：

,

,...,

b

,

b

,b

b

,b

b,

brb

...

b

r,

b

r

brb

,

b

b

b

,

b

,

b

,

b

r

b

r r r r

,b

,...,b

,

,...,

R

,

,...,

,

,...,

3、正交矩阵

T

E

（1）（2）（3）

T

E

T

E

T

4、特征值与特征向量（1）设

Ax

的特征值,

（2）

E

LLL

E

,

1）

...

...

2）

...

...

m

...

m

m m

E

,

,...,

r

p

,

p

,...,

p

,

,...,

5、相似矩阵

p

,

p

,...,

p

（1）

B

P

B

B

相似,把

B

B

B

B

），

，使得

,

,...,

,则

,

,...,i

i

i

p3）矩阵

6、对称矩阵的对角化（1）对称矩阵的性质

T

,

,...,

（2）对称阵

,...,

,...,

...

E

i

i

i

i

...

i

P

PT

7、二次型化标准形（1）二次齐次函数

,

,L

,

...

L

ji

ij

ij,

,

,...,

T

的矩阵,

（2）二次型研究的主要问题是：寻求可逆变换

Cy

(

)

T

CT

L

i

,

i

B

C

C

B

,则称矩阵B

B

T

C

T

,

,...,

（4）给定二次型

T

TT

T

...