答案-6讲第三章

《现代数字信号处理》第六讲离散傅里叶变换国家短波通信工程技术研究中心徐以涛1.定义

设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换对为X(k)是X(z)在单位圆上的N点等间隔采样。X(k)是X(ejω)在[0,2π]上的N点等间隔采样。复习2.DFT与ZT、FT的关系3.DFT与DFS的关系有限长序列周期序列周期延拓取主值区间DFTDFS周期延拓取主值区间复习

复习

3.3离散傅里叶变换的基本性质线性性质复共轭序列的DFT

循环移位性质帕斯维尔定理循环卷积定理DFT的共轭对称第五讲3.1～3.3

周期序列的离散傅里叶级数离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的基本性质（一）第六讲3.4～3.6

离散傅里叶变换的基本性质（二）频率采样与内插用DFT计算线性卷积

用DFT对信号进行谱分析3离散傅里叶变换（DFT）1.有限长共轭对称序列和共轭反对称序列序列有限长序列关于n=0对称关于N/2对称特征共轭反对称共轭对称实部虚部共轭对称

共轭反对称偶函数奇函数偶函数奇函数3.3.6

DFT的共轭对称性1.有限长共轭对称序列和共轭反对称序列

当N为偶数时当N为奇数时图中*表示对应点为序列取共轭后的值N＝8N＝73.3.6

DFT的共轭对称性2.有限长序列的分解

3.将有限长序列分为共轭对称和共轭反对称分量时共轭对称部分共轭反对称部分实部j和虚部DFTDFT4.将有限长序列分为实部和虚部时3.3.6

DFT的共轭对称性5.x(n)为长度为N的实序列时（1）若即（2）若即则X(k)实偶对称，则X(k)纯虚奇对称，实序列DFT计算

利用对称性，只计算部分DFT；两个实序列构成复序列，统一计算DFT，可得到各自DFT。

3.3.6

DFT的共轭对称性

第六讲

3.3离散傅里叶变换的基本性质线性性质复共轭序列的DFT

循环移位性质帕斯维尔定理循环卷积定理DFT的共轭对称

3.4频率采样与内插频域采样定理频域内插公式

3.5用DFT计算线性卷积

3.6用DFT对信号进行谱分析频谱混叠复习：时域采样定理和内插公式内插采样3.4频率采样与内插连续信号频谱(FT)和序列频谱(DTFT、DFT)的关系FT时域采样N点FT频域采样N点N点DFT周期延拓连续谱离散谱连续谱3.4频率采样与内插IDFT单位圆上N点采样频域采样定理ZTIDFS取主值区关系？周期延拓当采样点数N≥x(n)的长度M时

已知有限长序列x(n)的Z变换为X(z)，可通过X(z)的频率域采样X(k)恢复原序列x(n)，条件是采样点数N≥x(n)的长度M，否则产生时域混叠现象。3.4频率采样与内插①②③④单位圆上N点采样IDFTZTFT2.内插公式（用X(k)表示X(z)）关系－频域采样定理表示－频域内插公式内插函数3.4频率采样与内插

3.5用DFT计算线性卷积

3.6用DFT对信号进行谱分析原理：序列循环卷积<对应

>DFT乘积 序列循环卷积<等价

>线性卷积计算：重叠相加法、重叠保留法原理：连续信号FT<对应

>序列DTFT

序列DTFT <等价

>序列DFT指标：分析范围和分辨率误差：混叠、栅栏、泄漏第六讲重点：计算线性卷积的方法；谱分析的指标。难点：重叠相加法；对谱分析的误差的理解。1.用DFT计算循环卷积

3.5用DFT计算线性卷积2.线性卷积与循环卷积等价条件线性卷积与循环卷积等价条件：L≥N＋M－1线性卷积循环卷积等于

以L为周期的周期延拓序列的主值序列

3.5用DFT计算线性卷积3.用DFT计算线性卷积线性卷积循环卷积等价条件：L≥N＋M－13.5用DFT计算线性卷积3.用DFT计算线性卷积3.5用DFT计算线性卷积4.重叠相加法长序列分段重叠区域叠加3.5用DFT计算线性卷积FTDTFTDTFTDFT时域采样时域截短频域采样周期延拓频域卷积1.连续时间信号的谱分析3.6用DFT对信号进行谱分析谱分析范围：频率分辨率：3.6用DFT对信号进行谱分析时域采样时域截短频域采样持续时间最高频率采样间隔T采样频率采样点数频率分辨率实际信号预滤波截取处理时域采样N点DFT乘TFT时频域采样点数相同3.6用DFT对信号进行谱分析1.连续时间信号的谱分析实际信号预滤波截取处理时域采样N点DFT乘TFT1.连续时间信号的谱分析3.6用DFT对信号进行谱分析FTDTFTDTFTDFT时域采样时域截短频域采样周期延拓频域卷积2.序列的谱分析3.6用DFT对信号进行谱分析（1）频谱混叠3.谱分析的误差来源3.6用DFT对信号进行谱分析N=8DFTN=16DFTM=4FTDFT点数－》谱线根数高密度谱：与N有关，谱线数（2）栅栏效应3.谱分析的误差来源3.6用DFT对信号进行谱分析3.谱分析的误差来源旁瓣（3）频谱泄漏截断=加窗操作

=序列×

窗口3.6用DFT对信号进行谱分析拖尾和展宽3.谱分析的误差来源原因措施

预滤波

N点DFT是在一个周期内用N个采样点对频域特性进行描述。补零，加大DFT运算的点数，得到高密度谱。增加窗函数的长度，提高频率分辨率。混叠现象栅栏效应频谱泄漏

窗函数具有单主瓣和多个旁瓣，原来的离散谱线卷积后也成为具有主瓣和旁瓣的频谱，出现了拖尾和展宽。

改变窗的类型，减小旁瓣的影响。3.6用DFT对信号进行谱分析

3.5用DFT计算线性卷积

3.6用DFT对信号进行谱分析原理：序列循环卷积<对应

>DFT乘积 序列循环卷积<等价