相似三角形6大证明技巧

相似三角形6大证明技巧模块一相似三角形证明方法模块一相似三角形证明方法相似三角形的判定方法总结:1.2.3.4.1.2.3.4.5.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似三边成比例的两个三角形相似.（SSS）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.（SAS）两角分别相等的两个三角形相似.（AA）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似（HL）相似三角形的模型方法总结:“反A”型与“反乂”型.示意图结论工.C B反A型：如图，已知^ABC,/ADE=Z。，则4ADEs△ACB(AA),AAE-AC=AD-AB.若连CD、BE,进而能证明AACDs△ABE(SAS):D C反X型：如图，已知角/BAO=/CD。，则△AOBs△DOC(AA),AOA-OC=OD-OB.若连AD,BC,进而能证明△AODs△BOC.“类射影”与射影模型示意图结论AC B类射影：如图，已知^ABC,/ABD=/。，则^ABDs△ACB(AA),AAB2=AD-AC.C：射影定理如图，已知/ACB=90°,CH±AB于H,则UAC2=AH-AB,BC2=BH-BA,HC2=HA-HBAH B2017年・04秋・9年级数学•相似专题班•第2讲・学生版

“旋转相似”与“一线三等角”示意图结论AC旋转相似：ABAD如图，已知^ABC^AADE，则 — ，ACAEZBAC=ZDAE,；.ZBAD=ZCAE,・•・△BADsACAE(SAS)e EA B C一线三等角：如图，已知/A=ZC=ZDBE，则△DABsABCE(AA)巩固练习反人型与反X型已知98。中，/AEF=/ACB,求证：(1)AE-AB=AF-AC(2)/BEO=/CFO,/EBO=ZFCO(3)ZOEF=ZOBC,ZOFE=ZOCB类射影如图，已知AB2如图，已知AB2=AC-AD，求证:BDABBC-AC射影定理已知^ABC,ZACB=90°,CH±AB于H,求证：AC2=AH.AB,BC2=BH.BA,HC2=HA-HB2017年04秋・9年级数学相似专题班•第2讲・学生版模块二比例式的证明方法模块二比例式的证明方法通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型"6型，X型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”.但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题.合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧.技巧一：三点定型法技巧二：等线段代换技巧三：等比代换技巧四：等积代换技巧五：证等量先证等比技巧六：几何计算 【例1】如图，平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于尸，求证：DCCF•AE-AD需证△需证△DCFs^EBF【例2】如图，△ABC中，ZBAC=90。，M为BC的中点，DM1BC交CA的延长线于D,交AB于E.求证：AM2=MD-ME需证△MEAs^MDA【例3】如图，在RdABC中，AD是斜边BC上的高，ZABC的平分线BE交AC于E,交AD交AD于F.求证:BFABBE-BC需证△ABEs^CBF2017年・04秋・9年级数学•相似专题班•第2讲・学生版

技巧二：等线段代换悄悄地替换比例式中的某条线段…【例4】如图，在△/BC,AD平分/BAC,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F，求证：FD2=FB-FC连AF,则AF=DF需证af2=FB•FC，需证△FACs^fbA【例5】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于F,ZECA=ZD•求证：AC-BE=CE-AD••・・BC=AD需证AC•BE=CE•BC，需证△EAC^^ecb【例6】如图，“CB为等腰直角三角形，AB=AC,/BAC=90°,ZDAE=45°,求证：(1)AB2=BE-CD (2)BC2=2BE•CD2017年04秋・9年级数学相似专题班•第2讲・学生版

证明；(1)在RkABC中,■,'AB=AC,.X'.vBAE=zBAD-zDAE..zDAE=45\zBAE。BAD十4咒HijzADC=zBAD-zE=zEAD-4S",-,zBAE=zADC⑵H-ABE-ACD,得些=上ABCDSE-CD=AS-AC而AE二AC,BC1=AB2-AC2,SC2=2ABSC2CD【例7】如图，△ABC中，AB=AC,AD是中线，P是AD上一点，过C作CF//AB,延长BP交AC于E，交CF于F.求证：BP2=PE-PF.AFCDAFCD连PC,需证PC2=PE•PF，需证△PECs^pcf技巧三：等比代换E、交CD的延长线于【例8】如图，平行四边形ABCD中，过B作直线AC、E、交CD的延长线于F，求证:即证OBOAOEOA即证OBOAOEOAOFOC"OBOC2017年・04秋・9年级数学•相似专题班•第2讲・学生版【例9】如图，在△ABC中，已知ZA=90。时，AD1BC于D,E为直角边AC的中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB-AF=AC-DF.需要证AB需要证AB_DFAC-AF即证AB_ADDF_BDAC—BD'AF—AD技巧四：等积代换技巧四：等积代换MBC证：/AEF=ZMBC证：/AEF=ZC【例10】如图，△ABC中，BD、CE是高，EH1BC于H、交BD于G、交CA的延长线于M.求证：HE2=HG-MH.HE2=BH•HC,HG•MH=BH•HC【例11］如图，在△ABC中，AD1BC于D,DE1AB于E,DF1AC于F,连EF,求AD2=AE•AB,AD2=AF•ACAE•AB=AF•AC,ZEAF=ZCAB△EAF^△CAB2017年04秋・9年级数学相似专题班•第2讲・学生版ZCBDZCBD=ZECD.AE±BD,E为垂足，求证:【例12］如图，在△ABC中，/BAC=AE±BD,E为垂足，求证:CD2=AD2=DE•DB△CDEs△BDC【例13］在Rt4BC中，AD.LBC,P为AD中点，MN_LBC,求证MN2=AN-NC延长DA、MN延长DA、MN交于E,证MN=NEMN•NE=AN•NC2017年・04秋・9年级数学•相似专题班•第2讲・学生版技巧五：证等量先证等比【例14】已知，平行四边形ABCD中，E、F分别在直线AD、CD上，EF//AC,BE、BF分别交AC于M、N.，求证：AM=CN.FN【例15】已知如图AB=AC，BD//AC，AB//CE，过A点的直线分别交BD、CE于D、E.求证：AM=NC，技巧五：证等量先证等比【例14】已知，平行四边形ABCD中，E、F分别在直线AD、CD上，EF//AC,BE、BF分别交AC于M、N.，求证：AM=CN.FN【例15】已知如图AB=AC，BD//AC，AB//CE，过A点的直线分别交BD、CE于D、E.求证：AM=NC，MN//.DE.AMMCAECNNEAEABDCDE'ACBEDEAB=AC,AMCNABACAECMAEACBECN_CMDE'DCDEACDC△CNMs'CADPM_EMPNAP_EM

~FF~~B^FB~AB~1bPMPNPF=FB, =——PFFB2017年04秋・9年级数学相似专题班•第2讲・学生版

FNECFMFMECA——=——,= =——,AC=BCAFACPFFBBCFNFM——=——,△FNMstFABAFPF【例17］如图，正方形BFDE内接于△ABC,CE与DF交于点N,AF交ED于点M,CE与AF交于点P.求证：(1)MN//AC；(2)EM=DN..EM_EMD一~FFEM_EMD一~FFAE_ADEN_ADEMAB_AC，EC—AC，DEEN“ “一=一,△EMNs^EDCEC【例18](X)设E、F分别为AC、AB的中点，D为BC上一点，P在BF上，DP//CF,Q1.在CE上，DQ//BE,PQ交BE于R,交CF于S,求证：RS=3PQ2017年・04秋・9年级数学•相似专题班•第2讲・学生版【例19】(X)如图，梯形ABCD的底边AB上任取一点"过M作MK//BD,MN//AC,分别交AD、BC于K、N,连KN,分别交对角线AC、BD于P、Q,求证：KP=QN..技巧六：几何计算【例20】(2016年四月调考)如图，在4ABC中，AC>AB,AD是角平分线，AE是中线，BF±AD于G,交A