应力和应变分析强度理论之应力状态分析课件

第七章应力和应变分析强度理论目录1第七章目录1第七章应力状态分析

应力状态的概念

用解析法分析二向应力状态

用图解法分析二向应力状态

三向应力状态

广义胡克定律

三向应力状态下的应变能密度

强度理论概述

四种常见的强度理论目录目录2第七章应力状态分析应力状态的概念目录目录2低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁1、问题的提出7—1应力状态的概念目录3低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁1、问脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁7—1应力状态的概念目录4脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁7—一、应力状态的概念及其描述（一）、应力状态的概念目录5一、应力状态的概念及其描述（一）、应力状态的概念目录5轴向拉压同一横截面上各点应力相等：FF同一点在斜截面上时：目录6轴向拉压同一横截面上各点应力相等：FF同一点在斜截面上时：目此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。目录7此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各

横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。目录8横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明

过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（StateoftheStressesofaGivenPoint）。应力哪一个面上？

哪一点？哪一点？

哪个方向面？指明目录9过一点不同方向面上应力的集合，称之为这应力状态的概念2、受力构件内应力特征：（1）构件不同截面上的应力状况一般是不同的；（2）构件同一截面上不同点处的应力状况一般是不同的；（3）构件同一点处，在不同方位截面上应力状况一般是不同的。1、一点处的应力状态:受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合,称为一点处的应力状态。10应力状态的概念2、受力构件内应力特征：（1）构件不同截面PA(a)abcdA(b)3、单元体法(c)（1）单元体截取方法:围绕该点取出一个单元体。例如图9-1a所示矩形截面悬臂梁内A点的应力状态11PA(a)abcdA(b)3、单元体法（2）单元体特征单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布；任意一对平行平面上的应力相等12（2）单元体特征单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布；任FF示例一S平面111目录13FF示例一S平面111目录131FFS平面1n同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.目录141FFS平面1n同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.目FlaS13S平面zMzT4321yx7—1应力状态的概念目录15FlaS13S平面zMzT4321yx7—1应力状态yxz单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用表示，并且该单元体称为主应力单元。7—1应力状态的概念目录16yxz单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零7—1应力状态的概念目录17空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态7-3二向应力状态分析--解析法187-3二向应力状态分析--解析法18xya1.正负号规则正应力：拉为正；反之为负切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。α角：由x轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。αntx7-2二向应力状态分析--解析法目录19xya1.正负号规则正应力：拉为正；反之为负切应力：使微元顺xya2.斜截面上的应力dAαnt7-2二向应力状态分析--解析法目录20xya2.斜截面上的应力dAαnt7-2二向应力状态分析列平衡方程dAαnt7-2二向应力状态分析--解析法目录21列平衡方程dAαnt7-2二向应力状态分析--解析法目录利用三角函数公式并注意到化简得7-2二向应力状态分析--解析法目录22利用三角函数公式并注意到化简得7-2二向确定正应力极值设α＝α0

时，上式值为零，即3.

正应力极值和方向即α＝α0

时，切应力为零7-2二向应力状态分析--解析法目录23确定正应力极值设α＝α0时，上式值为零，即3.正应力极值（2）主平面的位置以1代表max作用面的方位角，2代表min作用面的方位角。}24（2）主平面的位置以1代表max作用面的方位角，2代

若

若{25若若{25试求（1）斜面上的应力；

（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题1：一点处的平面应力状态如图所示。已知7-2二向应力状态分析--解析法目录26试求（1）斜面上的应力；例题1：一点处的平面应力状态如图解：（1）斜面上的应力7-2二向应力状态分析--解析法目录27解：（1）斜面上的应力7-2二向应力状态分析--解（2）主应力、主平面7-2二向应力状态分析--解析法目录28（2）主应力、主平面7-2二向应力状态分析--解析法目主平面的方位：代入表达式可知主应力方向：主应力方向：7-2二向应力状态分析--解析法目录29主平面的方位：代入表达式可知主应力方向：主（3）主应力单元体：7-2二向应力状态分析--解析法目录30（3）主应力单元体：7-2二向应力状态分析--解析法目例7-3-1分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力xyCyxMCxyOxy

yx31例7-3-1分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并破坏分析低碳钢铸铁32破坏分析低碳钢铸铁327-3二向应力状态分析--图解法337-3二向应力状态分析--图解法33这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆7-3二向应力状态分析--图解法目录34这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆7-3二向应力状RC1.应力圆：7-3二向应力状态分析--图解法目录35RC1.应力圆：7-3二向应力状态分析--图解法目录3建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法在坐标系内画出点A(x，xy)和B(y，yx)

AB与a轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；xxyyxyOnaO

aaCA(

x,

xy)B(

y,yx)x2anD(

a,

a)36建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力(，)应力圆上一点(，)面的法线应力圆的半径两面夹角两半径夹角2；且转向一致。xxyyxyOnaO

aaCA(

x,

xy)B(

y,yx)x2anD(

a,

a)37三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力(，)四、在应力圆上标出极值应力OC

aaA(x,

xy)B(

y,

yx)x2a12a0

1

2

338四、在应力圆上标出极值应力OCaaA(x,x1.定义三个主应力都不为零的应力状态

7-5三向应力状态目录391.定义三个主应力都不为零的应力状态7-5三向应力状态目首先研究与其中一个主平面(例如主应力3所在的平面)垂直的斜截面上的应力。40首先研究与其中一个40用截面法，沿求应力的截面将单元体截为两部分，取左下部分为研究对象。41用截面法，沿求应力的截41与3所在的面垂直的斜截面上的应力可由1,2作出的应力圆上的点来表示。主应力3所在的两平面上是一对自相平衡的力，因而该斜面上的应力,与3无关,只由主应力1,2决定。42与3所在的面垂直的斜截面上的应力可由主应力3所在的与主应力2所在主平面垂直的斜截面上的应力,可用由1,3作出的应力圆上的点来表示。43与主应力2所在主平面垂直的斜截面上的应力,可用由1与主应力１所在主平面垂直的斜截面上的应力,可用由2,3作出的应力圆上的点来表示。44与主应力１所在主平面垂直的斜截面上的应力,可用由2该截面上应力和对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内。abc截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面abc45该截面上应力和对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的结论三个应力圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力。D46结论三个应力圆周上的D46D47D47该点处的最大正应力(指代数值)应等于最大应力圆上A点的横坐标1A（9-8）48A（9-8）48最大剪应力则等于最大的应力圆上B点的纵坐标(图9-11c)AB（9-9）49最大剪应力则等于最AB（9-9）49AB最大剪应力所在的截面与2所在平面垂直,并与1与3所在的主平面各成45°角。50AB最大剪应力所在的50上述两

公式同样适用于平面应力状态或单轴应力状态,

只需将具体问题的主应力求出,并按代数值123的顺序排列。空间应力圆画法51上述两公式同样适用于平面应力状态或单轴应力状态,空间应力圆例题9-3单元体的应力如图a所示

,作应力圆,并求出主应力和最大剪应力值及其作用面方位。52例题9-3单元体的应力如图a所示,作应力圆,因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z无关,依据x截面和y截面上的应力画出应力圆.

解:

该单元体有一个已知主应力53因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z无关,依据oA1A246MP-26MP量得另外两个主应力为c54oA1A246MP-26MP量得另外两个主应力为c54该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为oA1A2c55该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为oA1A2ocA1A2B根据上述主应力，作出三个应力圆。56ocA1A2B根据上述主应力，作56ocA1B从应力圆上量得A2据此可确定1所在的主平面方位和主单元体各面间的相互位置.57ocA1B从应力圆上量得A2据此可确定1所在的57ocA1A2B其中最大剪应力所在截面与2垂直,与1和3所在的主平面各成45夹角。

58ocA1A2B其中最大剪应力所在58max59max59§7–6平面内的应变分析一、应变分析解析法60§7–6平面内的应变分析一、应变分析解析法602、已知一点A的应变（），画应变圆二、应变分析图解法——应变圆（StrainCircle）1、应变圆与应力圆的类比关系建立应变坐标系如图在坐标系内画出点

A(x，xy/2)

B(y，-yx/2)AB与a

轴的交点C便是圆心以C为圆心，以AC为半径画圆——应变圆。应力状态与应变状态eaga/2ABC612、已知一点A的应变（），画应变圆二、应变eaga/2三、方向上的应变与应变圆的对应关系maxmin20D(，/2)2n应力状态与应变状态方向上的应变(，/2)应变圆上一点(，/2)方向线应变圆的半径两方向间夹角两半径夹角2；且转向一致。ABC62eaga/2三、方向上的应变与应变圆的对应关系maxm四、主应变数值及其方位应力状态与应变状态63四、主应变数值及其方位应力状态与应变状态63例5已知一点在某一平面内的1、2、3、方向上的应变1、2、3，三个线应变，求该面内的主应变。解：由i=1,2,3这三个方程求出x，y，xy；然后在求主应变。应力状态与应变状态64例5已知一点在某一平面内的1、2、3、方向上的例6

用45°应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。xyu45o0max应力状态与应变状态65例6用45°应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变1.基本变形时的胡克定律yx1）轴向拉压胡克定律横向变形2）纯剪切胡克定律

7-8广义胡克定律目录661.基本变形时的胡克定律yx1）轴向拉压胡克定律横向变形22、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法

7-8广义胡克定律目录672、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法7-8广义胡克定律

7-8广义胡克定律目录687-8广义胡克定律目录683、广义胡克定律的一般形式

7-8广义胡克定律目录693、广义胡克定律的一般形式7-8广义胡克定律目录697-9复杂应力状态的变形比能（2）各向同性材料在空间

应力状态下的体积应变（1）概念:构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用表示。

123a1a2a3目录707-9复杂应力状态的变形比能（2）各向同性材料在空间（17-9

复杂应力状态的应变能密度(2)在三个主应力同时存在时,单元体的应变能密度为1、应变能密度的定义：单位体积物体内所积蓄的应变能称为应 变能密度2、应变能密度的计算公式:(1)单向应力状态下,物体内所积蓄的应变能密度为717-9复杂应力状态的应变能密度(2)将广义胡克定律代入上式,经整理得用表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度，称为

体积改变能密度。用表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为形状改变能密度或畸变能密度应变能密度

等于两部分之和目录72将广义胡克定律代入上式,经整理得用表示单元体体积改变相(a)(b)图9—18由于两单元体的体积应变相等，所以υv也相等。目录73(a)(b)图9—18由于两单元体的体积应变相等，所以(b)图b所示单元体的三个主应力相等，因而，变形后的形状与原来的形状相似，即只发生体积改变而无形状改变。目录74(b)图b所示单元体的三个主应力相等，因而，变形后的形状(a)(b)图9—18所以，a所示单元体的体积改变能密度υv

为目录75(a)(b)图9—18所以，a所示单元体的体积改变能密度(a)a单元体的应变能密度为a所示单元体的体积改变应变能密度υv为目录76(a)a单元体的应变能密度为a所示单元体的体积改变应变能密度空间应力状态下单元体的形状改变能密度为对于最一般的空间应力状态下的单元体,其应变能密度为目录77空间应力状态下单元体的形状改变能密度为对于最一般的空间应（拉压）（弯曲）（正应力强度条件）（弯曲）（扭转）（切应力强度条件）1.杆件基本变形下的强度条件7-10、强度理论概述目录78（拉压）（弯曲）（正应力强度条件）（弯曲）（扭转）（切应力强满足是否强度就没有问题了？7-10、强度理论概述目录79满足是否强度就没有问题了？7-10、强度理论概述目录79强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。7-11、四种常见强度理论目录80强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了构件由于强度不足将引发两种失效形式(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论7-11、四种常见强度理论目录81构件由于强度不足将引发两种失效形式(1)脆性断裂：材料1.最大拉应力理论（第一强度理论）材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值－构件危险点的最大拉应力－极限拉应力，由单拉实验测得7-11、四种常见强度理论目录821.最大拉应力理论（第一强度理论）材料发生断裂的主要因断裂条件强度条件1.最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁扭转7-11、四种常见强度理论目录83断裂条件强度条件1.最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。－构件危险点的最大伸长线应变－极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得7-11、四种常见强度理论目录842.最大伸长线应变理论（第二强度理论）无论材料处于实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。强度条件2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）断裂条件即7-11、四种常见强度理论目录85实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆强度条件2.无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。3.最大切应力理论（第三强度理论）－构件危险点的最大切应力－极限切应力，由单向拉伸实验测得7-11、四种常见强度理论目录86无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元屈服条件强度条件3.最大切应力理论（第三强度理论）低碳钢拉伸低碳钢扭转7-11、四种常见强度理论目录87屈服条件强度条件3.最大切应力理论（第三强度理论）低碳钢拉实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。局限性：2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，1、未考虑的影响，试验证实最大影响达15%。3.最大切应力理论（第三强度理论）7-11、四种常见强度理论目录88实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到局限性：2无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的畸变能密度达到一个极限值。4.畸变能密度理论（第四强度理论）－构件危险点的形状改变比能－形状改变比能的极限值，由单拉实验测得7-11、四种常见强度理论目录89无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元屈服条件强度条件4.畸变能密度理论（第四强度理论）实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。7-11、四种常见强度理论目录90屈服条件强度条件4.畸变能密度理论（第四强度理论）实验表明：强度理论的统一表达式：相当应力7-11、四种常见强度理论目录91强度理论的统一表达式：相当应力7-11、四种常见强度理论目录

各种强度理论的适用范围及其应用1、在三向拉伸应力状态下，会脆断破坏，无论是脆性或塑性材料，均宜采用最大拉应力理论。2、对于塑性材料如低C钢，除三向拉应力状态以外的复杂应力状态下，都会发生屈服现象，可采用第三、第四强度理论。目录92各种强度理论的适用范围及其应用1、在三

3、对于脆性材料，在二向拉应力状态下，应采用最大拉应力理论。4、在三向压应力状态下，材料均发生屈服失效，无论是脆性或塑性材料均采用第四强度理论。目录933、对于脆性材料，在二向拉应力状态下，4、在三向压应

例题7–3

两端简支的工字钢梁承受载荷如图(a)所示。已知其材料Q235钢的=170MPa,=100MPa。

试按强度条件选择工字钢的号码。200KN200KNCDAB0.420.421.662.50例题10-3图（a）单位：m目录94例题7–3两端简支的工字钢梁承受载荷如图(a)200KN200KNCDAB0.420.421.662.50解：作钢梁的内力图。(c)8４kN.mM图(b)Q图200kN200kNQc=Qmax=200kNMc=Mmax=84kN.mC,D为危险截面按正应力强度条件选择截面取C截面计算目录95200KN200KNCDAB0.420.421.662.50正应力强度条件为选用28a工字钢，其截面的W=508cm3按剪应力强度条件进行校核

对于28a工字钢的截面，查表得12213.7126.32808.513.7

126.3目录96正应力强度条件为选用28a工字钢，其截面的按剪应最大切应力为选用28a

钢能满足切应力的强度要求。目录97最大切应力为选用28a钢能满足切应力的强度要求。目录97a(e)a点的应力状态如图e所示a点的三个主应力为由于材料是Q235钢，所以在平面应力状态下，应按第四强度理论来进行强度校核。目录98a(e)a点的应力状态如图e所示a点的三个主应力为由于材第七章应力和应变分析强度理论目录99第七章目录1第七章应力状态分析

应力状态的概念

用解析法分析二向应力状态

用图解法分析二向应力状态

三向应力状态

广义胡克定律

三向应力状态下的应变能密度

强度理论概述

四种常见的强度理论目录目录100第七章应力状态分析应力状态的概念目录目录2低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁1、问题的提出7—1应力状态的概念目录101低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁1、问脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁7—1应力状态的概念目录102脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁7—一、应力状态的概念及其描述（一）、应力状态的概念目录103一、应力状态的概念及其描述（一）、应力状态的概念目录5轴向拉压同一横截面上各点应力相等：FF同一点在斜截面上时：目录104轴向拉压同一横截面上各点应力相等：FF同一点在斜截面上时：目此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。目录105此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各

横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。目录106横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明

过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（StateoftheStressesofaGivenPoint）。应力哪一个面上？

哪一点？哪一点？

哪个方向面？指明目录107过一点不同方向面上应力的集合，称之为这应力状态的概念2、受力构件内应力特征：（1）构件不同截面上的应力状况一般是不同的；（2）构件同一截面上不同点处的应力状况一般是不同的；（3）构件同一点处，在不同方位截面上应力状况一般是不同的。1、一点处的应力状态:受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合,称为一点处的应力状态。108应力状态的概念2、受力构件内应力特征：（1）构件不同截面PA(a)abcdA(b)3、单元体法(c)（1）单元体截取方法:围绕该点取出一个单元体。例如图9-1a所示矩形截面悬臂梁内A点的应力状态109PA(a)abcdA(b)3、单元体法（2）单元体特征单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布；任意一对平行平面上的应力相等110（2）单元体特征单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布；任FF示例一S平面111目录111FF示例一S平面111目录131FFS平面1n同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.目录1121FFS平面1n同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.目FlaS13S平面zMzT4321yx7—1应力状态的概念目录113FlaS13S平面zMzT4321yx7—1应力状态yxz单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用表示，并且该单元体称为主应力单元。7—1应力状态的概念目录114yxz单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零7—1应力状态的概念目录115空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态7-3二向应力状态分析--解析法1167-3二向应力状态分析--解析法18xya1.正负号规则正应力：拉为正；反之为负切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。α角：由x轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。αntx7-2二向应力状态分析--解析法目录117xya1.正负号规则正应力：拉为正；反之为负切应力：使微元顺xya2.斜截面上的应力dAαnt7-2二向应力状态分析--解析法目录118xya2.斜截面上的应力dAαnt7-2二向应力状态分析列平衡方程dAαnt7-2二向应力状态分析--解析法目录119列平衡方程dAαnt7-2二向应力状态分析--解析法目录利用三角函数公式并注意到化简得7-2二向应力状态分析--解析法目录120利用三角函数公式并注意到化简得7-2二向确定正应力极值设α＝α0

时，上式值为零，即3.

正应力极值和方向即α＝α0

时，切应力为零7-2二向应力状态分析--解析法目录121确定正应力极值设α＝α0时，上式值为零，即3.正应力极值（2）主平面的位置以1代表max作用面的方位角，2代表min作用面的方位角。}122（2）主平面的位置以1代表max作用面的方位角，2代

若

若{123若若{25试求（1）斜面上的应力；

（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题1：一点处的平面应力状态如图所示。已知7-2二向应力状态分析--解析法目录124试求（1）斜面上的应力；例题1：一点处的平面应力状态如图解：（1）斜面上的应力7-2二向应力状态分析--解析法目录125解：（1）斜面上的应力7-2二向应力状态分析--解（2）主应力、主平面7-2二向应力状态分析--解析法目录126（2）主应力、主平面7-2二向应力状态分析--解析法目主平面的方位：代入表达式可知主应力方向：主应力方向：7-2二向应力状态分析--解析法目录127主平面的方位：代入表达式可知主应力方向：主（3）主应力单元体：7-2二向应力状态分析--解析法目录128（3）主应力单元体：7-2二向应力状态分析--解析法目例7-3-1分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力xyCyxMCxyOxy

yx129例7-3-1分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并破坏分析低碳钢铸铁130破坏分析低碳钢铸铁327-3二向应力状态分析--图解法1317-3二向应力状态分析--图解法33这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆7-3二向应力状态分析--图解法目录132这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆7-3二向应力状RC1.应力圆：7-3二向应力状态分析--图解法目录133RC1.应力圆：7-3二向应力状态分析--图解法目录3建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法在坐标系内画出点A(x，xy)和B(y，yx)

AB与a轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；xxyyxyOnaO

aaCA(

x,

xy)B(

y,yx)x2anD(

a,

a)134建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力(，)应力圆上一点(，)面的法线应力圆的半径两面夹角两半径夹角2；且转向一致。xxyyxyOnaO

aaCA(

x,

xy)B(

y,yx)x2anD(

a,

a)135三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力(，)四、在应力圆上标出极值应力OC

aaA(x,

xy)B(

y,

yx)x2a12a0

1

2

3136四、在应力圆上标出极值应力OCaaA(x,x1.定义三个主应力都不为零的应力状态

7-5三向应力状态目录1371.定义三个主应力都不为零的应力状态7-5三向应力状态目首先研究与其中一个主平面(例如主应力3所在的平面)垂直的斜截面上的应力。138首先研究与其中一个40用截面法，沿求应力的截面将单元体截为两部分，取左下部分为研究对象。139用截面法，沿求应力的截41与3所在的面垂直的斜截面上的应力可由1,2作出的应力圆上的点来表示。主应力3所在的两平面上是一对自相平衡的力，因而该斜面上的应力,与3无关,只由主应力1,2决定。140与3所在的面垂直的斜截面上的应力可由主应力3所在的与主应力2所在主平面垂直的斜截面上的应力,可用由1,3作出的应力圆上的点来表示。141与主应力2所在主平面垂直的斜截面上的应力,可用由1与主应力１所在主平面垂直的斜截面上的应力,可用由2,3作出的应力圆上的点来表示。142与主应力１所在主平面垂直的斜截面上的应力,可用由2该截面上应力和对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内。abc截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面abc143该截面上应力和对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的结论三个应力圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力。D144结论三个应力圆周上的D46D145D47该点处的最大正应力(指代数值)应等于最大应力圆上A点的横坐标1A（9-8）146A（9-8）48最大剪应力则等于最大的应力圆上B点的纵坐标(图9-11c)AB（9-9）147最大剪应力则等于最AB（9-9）49AB最大剪应力所在的截面与2所在平面垂直,并与1与3所在的主平面各成45°角。148AB最大剪应力所在的50上述两

公式同样适用于平面应力状态或单轴应力状态,

只需将具体问题的主应力求出,并按代数值123的顺序排列。空间应力圆画法149上述两公式同样适用于平面应力状态或单轴应力状态,空间应力圆例题9-3单元体的应力如图a所示

,作应力圆,并求出主应力和最大剪应力值及其作用面方位。150例题9-3单元体的应力如图a所示,作应力圆,因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z无关,依据x截面和y截面上的应力画出应力圆.

解:

该单元体有一个已知主应力151因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z无关,依据oA1A246MP-26MP量得另外两个主应力为c152oA1A246MP-26MP量得另外两个主应力为c54该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为oA1A2c153该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为oA1A2ocA1A2B根据上述主应力，作出三个应力圆。154ocA1A2B根据上述主应力，作56ocA1B从应力圆上量得A2据此可确定1所在的主平面方位和主单元体各面间的相互位置.155ocA1B从应力圆上量得A2据此可确定1所在的57ocA1A2B其中最大剪应力所在截面与2垂直,与1和3所在的主平面各成45夹角。

156ocA1A2B其中最大剪应力所在58max157max59§7–6平面内的应变分析一、应变分析解析法158§7–6平面内的应变分析一、应变分析解析法602、已知一点A的应变（），画应变圆二、应变分析图解法——应变圆（StrainCircle）1、应变圆与应力圆的类比关系建立应变坐标系如图在坐标系内画出点

A(x，xy/2)

B(y，-yx/2)AB与a

轴的交点C便是圆心以C为圆心，以AC为半径画圆——应变圆。应力状态与应变状态eaga/2ABC1592、已知一点A的应变（），画应变圆二、应变eaga/2三、方向上的应变与应变圆的对应关系maxmin20D(，/2)2n应力状态与应变状态方向上的应变(，/2)应变圆上一点(，/2)方向线应变圆的半径两方向间夹角两半径夹角2；且转向一致。ABC160eaga/2三、方向上的应变与应变圆的对应关系maxm四、主应变数值及其方位应力状态与应变状态161四、主应变数值及其方位应力状态与应变状态63例5已知一点在某一平面内的1、2、3、方向上的应变1、2、3，三个线应变，求该面内的主应变。解：由i=1,2,3这三个方程求出x，y，xy；然后在求主应变。应力状态与应变状态162例5已知一点在某一平面内的1、2、3、方向上的例6

用45°应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。xyu45o0max应力状态与应变状态163例6用45°应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变1.基本变形时的胡克定律yx1）轴向拉压胡克定律横向变形2）纯剪切胡克定律

7-8广义胡克定律目录1641.基本变形时的胡克定律yx1）轴向拉压胡克定律横向变形22、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法

7-8广义胡克定律目录1652、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法7-8广义胡克定律

7-8广义胡克定律目录1667-8广义胡克定律目录683、广义胡克定律的一般形式

7-8广义胡克定律目录1673、广义胡克定律的一般形式7-8广义胡克定律目录697-9复杂应力状态的变形比能（2）各向同性材料在空间

应力状态下的体积应变（1）概念:构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用表示。

123a1a2a3目录1687-9复杂应力状态的变形比能（2）各向同性材料在空间（17-9

复杂应力状态的应变能密度(2)在三个主应力同时存在时,单元体的应变能密度为1、应变能密度的定义：单位体积物体内所积蓄的应变能称为应 变能密度2、应变能密度的计算公式:(1)单向应力状态下,物体内所积蓄的应变能密度为1697-9复杂应力状态的应变能密度(2)将广义胡克定律代入上式,经整理得用表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度，称为

体积改变能密度。用表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为形状改变能密度或畸变能密度应变能密度

等于两部分之和目录170将广义胡克定律代入上式,经整理得用表示单元体体积改变相(a)(b)图9—18由于两单元体的体积应变相等，所以υv也相等。目录171(a)(b)图9—18由于两单元体的体积应变相等，所以(b)图b所示单元体的三个主应力相等，因而，变形后的形状与原来的形状相似，即只发生体积改变而无形状改变。目录172(b)图b所示单元体的三个主应力相等，因而，变形后的形状(a)(b)图9—18所以，a所示单元体的体积改变能密度υv

为目录173(a)(b)图9—18所以，a所示单元体的体积改变能密度(a)a单元体的应变能密度为a所示单元体的体积改变应变能密度υv为目录174(a)a单元体的应变能密度为a所示单元体的体积改变应变能密度空间应力状态下单元体的形状改变能密度为对于最一般的空间应力状态下的单元体,其应变能密度为目录175空间应力状态下单元体的形状改变能密度为对于最一般的空间应（拉压）（弯曲）（正应力强度条件）（弯曲）（扭转）（切应力强度条件）1.杆件基本变形下的强度条件7-10、强度理论概述目录176（拉压）（弯曲）（正应力强度条件）（弯曲）（扭转）（切应力强满足是否强度就没有问题了？7-10、强度理论概述目录177满足是否强度就没有问题了？7-10、强度理论概述目录79强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。7-11、四种常见强度理论目录178强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了构件由于强度不足将引发两种失效形式(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论7-11、四种常见强度理论目录179构件由于强度不足将引发两种失效形式(1)脆性断裂：材料1.最大拉应力理论（第一强度理论）材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值－构件危险点的最大拉应力－极限拉应力，由单拉实验测得7-11、四种常见强度理论目录1801.最大拉应力理论（第一强度理论）材料发生断裂的主要因断裂条件强度条件1.最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁扭转7-11、四种常见强度理论目录181断裂条件强度条件1.最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。－构