协调与谈判解的定义课件

协调与谈判主要内容：

§4.1协调博弈

§4.2相关均衡

§4.3纳什谈判解

§4.4初始参考点和其它谈判解

§4.5威胁协调与谈判主要内容：1

§4.1协调博弈

§4.1.1多重纳什均衡

§4.1.2协调博弈§4.1协调博弈2§4.1.1多重纳什均衡※多重纳什均衡※多重纳什均衡的一些选择标准§4.1.1多重纳什均衡※多重纳什均衡3多重纳什均衡

当一个博弈中存在有不止一个纳什均衡时，称为一个多重纳什均衡博弈问题。在多重纳什均衡的情况下，有两个基本问题：一是在多个纳什均衡中进行选择的标准，二是如何保证局中人的策略选择能保证所选策略能实现纳什均衡，而这两个问题又是交织在一起的。多重纳什均衡当一个博弈中存在有不止一个纳什4多重纳什均衡的一些选择标准

1.帕累托占优纳什均衡。

2.风险占优纳什均衡。

3.聚点均衡。多重纳什均衡的一些选择标准1.帕累托占优纳5帕累托占优纳什均衡

定义4.1.1

在博弈中，若均为G的其纳什均衡，若满足则称为博弈G的帕累托占优纳什均衡。

例4.1.1战争与和平博弈设有两个国家均有战争与和平两策略，其博弈结果如右：

该博弈有三个纳什均衡：（战争，战争）、（和平，和平）和一个混合策略纳什均衡。很显然，（和平，和平）是一个帕累托占优纳什均衡。帕累托占优纳什均衡定义4.1.1在博弈6风险占优纳什均衡

例4.1.2价格竞争博弈：设有两个商家，均有“高价”和“低价”两种策略，其收益情况见右表：该博弈有三个纳什均衡点：（高价，高价）、（低价，低价）和一个混合策略纳什均衡点。经过比较，（高价，高价）是一个帕累托占优纳什均衡。但是纳什均衡（低价，低价）对商家更有吸引力。因为采用帕累托占优纳什均衡（高价，高价）具有风险，当局中人1采用“高价”策略时，若对方局中人2采用“低价”时，他得到的收益将减少到0；而局中人出“低价”策略，可保证最低收入为7。风险占优纳什均衡例4.1.2价格竞争博弈：设有两个商家7

若将此例的情况再特殊一点，假设这两个商家相邻，且出售同一品牌的同一种产品，其收益情况见右表：此时，博弈仍有三个纳什均衡，其中（高价，高价）和（低价，低价）仍是两个纯策略纳什均衡点，（高价，高价）是帕累托占优纳什均衡。但此时商家一定会出“低价”策略，而避免出“高价”策略的风险。在这个博弈中，我们称（低价，低价）为该博弈的“风险占优纳什均衡”。风险占优纳什均衡难以给一个准确的定义，它取决于局中人的风险态度，历史情况，外来影响等多种因素，只能具体情况具体分析。风险占优纳什均衡在经济和管理中的应用是非常普遍的现象若将此例的情况再特殊一点，8聚点均衡

在一些多重均衡的博弈中，人们对多个均衡点选取依赖于博弈之外的一些特定的环境状态，包括共同的知识，共同的习惯，特殊的背景等。在前面的第2章中，我们讨论过夫妻爱好问题。该博弈中有三个纳什均衡，其中两个纯策略纳什均衡分别是（足球，足球）和（芭蕾，芭蕾）。夫妻双方选择什么样的纳什均衡呢？这里不存在上述的帕累托占优纳什均衡，也不存在风险占优纳什均衡，其均衡选择依赖于该博弈之外的特定环境。如果丈夫工作劳累，妻子温柔体贴，他们会选择（足球，足球）；如果该周末正好是妻子的生日，他们会选择（芭蕾，芭蕾）。在多重均衡的博弈中，我们称这种有一致意向选择的均衡为“聚点均衡”，它取决于该博弈之外的特定环境。聚点均衡在一些多重均衡的博弈中，人们对多个均9

例4.1.3约会博弈现有两个人约定第二天就一项重要事宜进行商讨，但未给出具体时间。一旦约会成功，两人都会有收益，约会不能见面会误事，收益为负效应。假设第一人在时刻到达，而第二个人在时刻到达。显然当时，是纳什均衡点，这种纳什均衡点有无穷多个。进行约会的对方会选择哪一时刻，取决于博弈之外的特定环境。如果双方都知道对方的工作习惯是上午9点开始工作，他们会选择会面时刻在上午9点。如果对方历次见面都是中午12点吃工作餐，他们会选择时刻在中午12点。在多重均衡的博弈中，聚点均衡只能具体问题具体分析。例4.1.3约会博弈10§4.1.2协调博弈※多重均衡的博弈的两个难题※协调博弈的分类

※纯粹协调博弈的特征※博弈论专家对实现协调有一些共同的看法

§4.1.2协调博弈※多重均衡的博弈的两个难题11多重均衡的博弈的两个难题第一个难题是，当理性的局中人面临着多种策略可以达到均衡时，如何使所有局中人在策略选择上实现纳什均衡的一致性，即使每个局中人的选择结果而组成的策略组合是一个纳什均衡。第二个难题是，在多重均衡中，存在有社会最优的帕累托占优纳什均衡，如何使所有的局中人选择策略，使得组成的策略组合是一个帕累托占优纳什均衡。这构成了协调博弈讨论的问题。多重均衡的博弈的两个难题第一个难题是，当理性的局中人面临着多12协调博弈的分类对协调博弈可分为两类：纯粹协调博弈和非纯粹协调博弈。

在一个纯粹协调博弈中，局中人对不同的均衡有相同的偏好。例如，例4.1.2

。在一个非纯粹协调博弈中，局中人对不同的均衡有不同的偏好。例如夫妻爱好博弈。协调博弈的分类对协调博弈可分为两类：纯粹协调博弈和非纯粹协调13纯粹协调博弈的特征纯粹协调博弈有什么特征，我们先看一个例题。例4.1.4Cooper的协调博弈：设有两个局中人A和B，两人从事同一种生产。局中人努力的情况为。假设人均消费量为每个人的得益为

该博弈的得益矩阵如图该博弈有两个纯策略纳什均衡(1，1)和(2，2)，很明显（1，1）是风险占优均衡。而（2，2）是帕累托占优纳什均衡。帕累托占优纳什均衡是社会最优的。这显然是个纯粹协调博弈问题。纯粹协调博弈的特征纯粹协调博弈有什么特征，我们先看一个例题。14在该博弈中，若局中人A选择了策略{2}，局中人B从第一个均衡（1，1）转向（2，2），B的收益将增加1个单位。局中人A和B位置交换结论也一样。这表明，有一个局中人选择了帕累托占优纳什均衡中的策略，能增加另一方选择帕累托占优纳什均衡中策略的边际收益。这种具有正反馈的特征称之为策略的互补性。在实际的博弈中，局中人是否都会选择策略2，或在多次同样的博弈中局中人都会选择策略2，以实现帕累托占优纳什均衡呢？答案是否定的。对纯粹协调博弈，（下面简称协调博弈）的研究大多是用实验博弈的方法进行的。下面将Cooper等人对协调博弈的研究介绍如下。在该博弈中，若局中人A选择了策略{2}，局中人B从第一个均衡15CG是CooperationGame

的简称，2×2是指2人双矩阵非合作博弈。该博弈的得益矩阵如下：该博弈有两纯策略纳什均衡{1，1}和{2，2}，其中{1，1}是风险占优均衡，{2，2}是帕累托占优纳什均衡，这与例4.1.4在本质上是一样的。库珀（Cooper）对该博弈的实验是这样进行的：选择了11个人，每人均与其余人进行上述得益矩阵下的两次博弈，其博弈顺序不是公共的知识。若每次博弈完后，则按上面得益矩阵计分。当实验全部结束后，参与人按所得的分数进行奖励。CG是CooperationGame的简称，2×2是指216实验结果表明，自然协调成功的情况不存在。在实验进行到最后11个阶段的博弈中，出现了10次{1，1}的风险占优均衡，有1次未出现均衡，而帕累托占优纳什均衡{2，2}未出现。库珀对这种现象的解释是：风险占优在该博弈中的指导作用要好于帕累托占优。

不少学者进行了类似的2人协调博弈实验。取所取得局中人的得益函数为其中为局中人的策略，取值为自然数序列，可参考例4.1.4。这些实验都与库珀对CG-2×2的博弈实验有类似结论。实验结果表明，自然协调成功的情况不存在。在实验进行到最后1117例4.1.6CG-3×3协调博弈：CG的意义同例4.5，3×3是指一个2人3策略的非合作博弈。该博弈的得益矩阵为：库珀通过改变参数x和y的取值，实验局中人对这些参数的理解和对均衡的影响。其中三个最典型的实验为：

情形1：（x，y）=（1000，0）情形2：（x，y）=（700，1000）在这两种情况下，策略组合{1，1}和{2，2}都是纯策略纳什均衡，且{1，1}是风险占优均衡，{2，2}是帕累托占优纳什均衡。例4.1.6CG-3×3协调博弈：CG的意义同例4.5，318实验的结果是：（1）博弈的结果基本上都是纳什均衡；（2）在情形1中，多数结果是{1，1}风险占优均衡；在情形2中，多数结果是{2，2}帕累托占优纳什均衡。在该博弈中，策略组合{3，3}称为次优策略组合，但不是纳什均衡。对策略{3}，情形1中局中人的最优反应是策略{1}，而在情形2中，局中人的最优反应是策略{2}。因此，库珀对该博弈结果的解释是：寻求次优策略的最优反映导致了均衡结果的选择。

情形3：（x，y）=（700，650）。

这时，博弈的纯策略纳什均衡同情形1和情形2一样，{3，3}仍然是次优的策略组合。对策略{3}，局中人的最优反应是策略{1}。但实验结果表现为均衡{2，2}结果。因而库珀得到“没有出现完全和这些结果一致的解释”。这里的“这些结果”是指上面提出的，寻求次优策略的最优反映导致了均衡结果的选择。实验的结果是：19博弈论专家对实现协调有一些共同的看法1.博弈前的交流。

假定在博弈前，局中人可以向对方传递信息，但这一信息并不约束局中人在博弈中对策略的选择。这类博弈通常称为廉价商议（cheaptalk）博弈。库珀对例4.1.5的协调博弈进行实验，并发现，如果局中人双方都发出声明，即双向沟通的情况下，最后n个阶段中，91%的结果都是{2，2}帕累托均衡。而且，最后n个阶段中，所有声明的策略都是{2}。在单向沟通的情况下，廉价商议的结果则不那么明显。实验结果表明，53%的结果实现了帕累托占优纳什均衡，并且87%的情况下局中人宣布策略是{2}，并发出声明的局中人并不总是遵守这一承诺，而接受声明的局中人也不一定采取策略{2}。博弈论专家对实现协调有一些共同的看法1.博弈前的交流。202.外部建议

假设在博弈前，存在一个局中人之外的建议者，他对局中人的策略选择给出建议。范·海克（VanHuyck）等人对下面三个博弈进行了外部建议的实验。

（a）（b）（c）对表4.17（a），在局中人未收到外部建议之前，40%的博弈实验结果在三个纯策略纳什均衡上协调成功，当对三个局中人给出外部建议时，协调成功的概率是95%。

2.外部建议21

对表4.1.7（b），在局中人未收到外部建议之前，98%的博弈实验结果是纳什均衡（1，1）。而当外部建议选取均衡{3，3}时，只有17%的局中人接受了建议。而当外部建议选取{2，2}时，有75%的局中人接受了建议。这个结果表明，当建议不符合局中人利益时，局中人并不接受建议。对表4.1.7（c），在局中人未收到外部建议之前，70%的博弈实验结果是纳什均衡（2，2）。而当外部建议者给出一个{1，1}均衡（或{3，3}均衡）建议时，实验博弈的结果与建议相符的只有16%。这个结果表明，若外部建议不是帕累托占优纳什均衡时，建议是无效的。对表4.1.7（b），在局中人未收22

3.外部选择：

假定在协调博弈之前增加一个对博弈之外的选择，再进行协调博弈，会增加协调成功的可能性。库珀对CG-2×2协调博弈（即例4.1.5）进行了实验。在协调博弈之前，局中人有两个选择：是选择不参加博弈，直接得到900单位收益，二是参加例4.1.5的CG-2×2协调博弈。实验结果是有40%的参与人选择了不参加博弈，直接得到900单位的收益，剩下的人参加协调博弈，77%的博弈结果是{2，2}帕累托占优纳什均衡，只有2%的博弈结果是{1，1}风险占优均衡。范·海克对CG-2×2协调博弈进行了实验。在协调博弈之前，对协调博弈的参与权进行拍卖。拍卖的方式是英国时钟式拍卖，即先给一个较低的参与权价格，经过一个固定时间，价格增加一个固定量，随着价格的增加，对参与权不满意的参与人可以宣布退出。该实验最初有18位参与人，经过参与权拍卖，最后留下9人参加博弈。再经过两两成对的配对，对CG-2×2协调博弈进行纯策略博弈。实验的结果是，几乎所有的结果都是{2，2}帕累托占优纳什均衡。3.外部选择：假定在协调博弈之前增加一个对博弈之23§4.2相关均衡※相关均衡※事前沟通的两个例子※相关均衡是一种机制设计的思想

§4.2相关均衡※相关均衡24相关均衡

在静态博弈的纳什均衡中，我们发现，纳什均衡没有考虑均衡的效率。这导致了人们对纳什均衡的异议。例如，在例4.1.6，CG-3×3协调博弈中，无论（x，y）取什么样的数对，{1，1}和{2，2}都是纯策略纳什均衡点，而博弈中效率最高的结果（600，600）是策略组合{3，3}的结果。那么是否有办法来实现这种效率最高的策略组合{3，3}呢？协调博弈的分析使我们看到，在博弈之前进行信息沟通有助于对博弈结果向理想方向转变。相关均衡就是利用纳什均衡的思想，通过事前沟通，以实现博弈结果向理想方向转变。相关均衡在静态博弈的纳什均衡中，我们25事前沟通的两个例子

我们再考察一下夫妻爱好博弈，其博弈的收益见表该博弈有2个纯策略纳什均衡（足球，足球）和（芭蕾，芭蕾）。在静态博弈中，局中人是不允许进行事前串通的。因此在博弈前，尽管丈夫和妻子知道（足球，足球）和（芭蕾，芭蕾）是纯策略纳什均衡，但当他们独立同时进行策略选择后，其结果未必是纳什均衡。这时，我们可以在博弈前作这样的约定：抛一硬币，若正面向上，在博弈中，双方都选择{足球}策略；若反面向上，在博弈中，双方都选择{芭蕾}策略。根据博弈前双方的约定，保证了博弈的结果是一个纯策略纳什均衡。事前沟通的两个例子我们再考察一下夫妻爱好博弈，其博弈的收益26设有两个商家出售同一种商品。为了促进商品的销售，可以进行广告宣传，但做广告需要成本。假设两个商家都做广告，肯定双方都有收益；都不做广告，则双方都无收益；若有一个商家做广告，而另一家不做，则做广告的商家独自承担成本，但另一个商家则坐享广告带来的好处。两商家分别是1和2，策略集都是{做广告，不做广告}，收益情况见下表。广告博弈与“战争与和平博弈”以及一般的竞争博弈有相同的结构。在该博弈中，存在三个纳什均衡

{做广告，不做广告}，{不做广告，做广告}和。

前两个是纯策略纳什均衡。混合策略纳什均衡的结果是设有两个商家出售同一种商品。为了促进商品的销售，可以进行广27

两个商家都是理性的局中人，他（她）经过分析发现，若实现了纳什均衡，尽管两个商家所得到的利益不一致，双方都有一定的好处，否则可能出现均无收益的最坏结局。同时也发现，若双方都采用“做广告”的策略，其总收益比纳什均衡下的总收益还要好。于是两商家采用了纳什均衡思想进行了事先沟通，制定出进行博弈的约定。

约定1：抛一枚硬币，若正面向上，采用（做广告，不做广告）策略组合；若反面向上，采用（不做广告，做广告）策略组合。由于抛硬币时出现正面和反面的概率都是一样的，则每个商家得到的期望收益为：

约定2：选择一个博弈的局外人，按下面三步确立每个商家的策略选择：两个商家都是理性的局中人，他（她）经过分析发现，若实现了纳28第一步，局外人在{A,B,C}中随机地任取一个字母，然后进入下一步；

第二步，若局外人选取是A则通知商家1，不通知商家2；，若局外人选取是B，则通知商家2，不通知商家1；若局外人选取是C则两个商家都不通知，然后进入第三步；

第三步，若商家1得到通知，则选择{不做广告}，否则选择{做广告}，若商家2得到通知，则选择{不做广告}，否则选择{做广告}。分析这种约定的结果是：（1）局外人选取了A，则有策略组合{不做广告，做广告}，导致一个纳什均衡的出现；（2）局外人选取了B，则有策略组合{做广告，不做广告}，导致一个纳什均衡的出现；（3）局外人选取了C，则有策略组合{做广告，做广告}，导致一个次优策略组合的出现；

第一步，局外人在{A,B,C}中随机地任取一个字母，然后进29

由第一步的选取是等可能的，则选取A，B和C的概率分别是，因而商家的期望收益为：。在广告博弈中的两种博弈前约定，与“夫妻爱好博弈”的事前约定一样，满足下面两个要求：

1.约定是公平合理的，双方都愿意接受；

2.在约定的要求下，没有人愿意单独的违背约定，否则可能导致自己得益的损失。

上面两个条件的约定实际上是博弈中局中人策略选择的理性规定，称之为博弈的相关均衡。相关均衡能够提高博弈的效率。

由第一步的选取是等可能的，则选取A，30

在例4.2.1中，出现了两种约定，哪一种约定更好呢？这要取决于博弈的得益结构情况。在例4.2.1中，第一种约定比第二种约定的结果要好些

。但如果将例4.2.1的得益结构作如下变化：易知，约定2要比约定1好。（提示：）在例4.2.1中，出现了两种约定，哪一种约定更好呢31相关均衡是一种机制设计的思想

博弈的相关均衡的确立是一种机制设计的思想，这种机制设计满足纳什均衡的思想，这种机制设计必须使博弈的局中人对博弈有足够的理解和相互的信任，因为约定是没有法律效力的。适用于相关均衡的博弈分析必须是局中人的收益情况是对称的，这才能保证约定的公平合理。相关均衡是一种机制设计的思想博弈的相32§4.3纳什谈判解※纳什谈判解的实质※二人谈判问题※谈判过程※纳什公理体系※纳什谈判解的定义※纳什谈判解的三个定理※三个定理的说明※

例题4.3.1※

例题4.3.2§4.3纳什谈判解※纳什谈判解的实质33纳什谈判解的实质

纳什谈判解又称为纳什讨价还价解。

在非合作博弈中，出现了纳什均衡对效率考虑的失缺。纳什本人也意识到这点，因而在他提出n人非合作博弈纳什均衡的概念之后，提出了纳什谈判解（1950）。纳什谈判解的实质是对博弈中所有局中人可能得到的最大收益集合的边界上进行一种收益的分配。因而也是一种从非合作博弈向合作博弈的演变。这里的合作博弈具有非线性的可转移支付。如何使局中人能得到的收益达到公平合理，纳什给出了纳什公理体系，并推导出纳什解的结果。本节对此进行介绍。纳什谈判解的实质纳什谈判解又称为34二人谈判问题

设有一个二人有限策略的完全信息静态博弈，即双矩阵博弈。局中人1取混合策略，局中人2取混合策略集，局中人1和2的支付矩阵分别是A和B，即。当局中人1取策略局中人2取策略时，局中人1和2的得益分别为:

记两人所得为，并考虑到可用抽彩方式决定两人的收益，且抽彩结果是线性的，则两个局中人的得益是中一个有界闭凸子集，记并称为结果集或可达集。即任何表示两个局中人可以共同行动，分别获得收益。一般地讲，在可达集的帕累托边界上，一个局中人得到的多一些，另一个局中人得到的就少一些。那么一个局中人能同意让对方得到多少呢？给对方少一些所得，对方是否会接受呢？这构成了两个局中人的谈判问题。二人谈判问题设有一个二人有限策略的完全信息静态博弈，即双35谈判过程

当局中人在谈判中考虑自己能得多少，对方可以得多少，首先要考虑局中人不合作行动时可以得到多少，也就要考虑一个进行谈判的初始参考点，不妨设为。由于谈判是完全信息静态博弈下进行的，这里初始点应是一个共同知识，一个合理的假设点。例如：（4.3.1）（4.3.2）显然由（4.3.1）和（4.3.2）式确立的是可以达到博弈结果集的，即。局中人注意到往往是的一个内点，他们想以为谈判的初始点，在中寻找比更高的收益，并且是双方都能接受的，记为，并称为纳什谈判解。则谈判过程可以抽象地记为：（4.3.3）谈判过程当局中人在谈判中考虑自己能得多少，对方可以得36纳什公理体系公理1

（个体合理性）

；公理2

（可行性）

；公理3

（帕累托最优性）

若，且，则公理4

（无关方案的独立性）

若，则公理5

（线性变换的无关性）

若，且，则。公理6（对称性）如果对任意，都有，若，则纳什公理体系公理1（个体合理性）37

对于函数到底如何规定的问题，纳什提出以上的公理体系，并在这些合理的公理下，确立了函数的形式。以上6条公理中，前三条公理的意义很明确，对谈判问题显然应满足的。第4条公理指当结果集扩大后的谈判结果仍在原结果集中，则原结果集上谈判结果也就是扩大后的谈判结果。这显然是合理的。第5条公理使得每个局中人的收益可用效用函数来度量，满足效用函数的线性变换不变性条件。第6条公理指谈判的双方若有相同的获得结果能力，并且谈判的初始点一样，当然应该是谈判的结果一样。因此，这6条公理组成的公理体系都是谈判双方可以接受的。Roth（1977年）证明了满足公理1和公理4，则必有公理3成立。对此，读者可以自己去证明。对于函数到底如何规定的问题，纳什提出以上的公理体系，并38纳什谈判解的定义

定义4.3.1

满足上述纳什公理体系下的称为纳什谈判解（Nashbargainingsolution）。

在上述公理体系基础上，纳什证明了下列结论，证明了纳什谈判解的存在性、唯一性及具体求解方法。纳什谈判解的定义定义4.3.1满39纳什谈判解的三个定理定理4.3.1

若是有界的闭凸集，为谈判初始点。若有满足，则下面的规划有唯一的最优解：

（4.3.4）定理4.3.2

若是定理4.3.1条件下的最优解，令函数（4.3.5）则有。定理4.3.3

设2人谈判问题的结果集为凸集，是初始参考点，则存在唯一满足公理1到公理6的函数。证明过程：定理4.3.1定理4.3.2定理4.3.3纳什谈判解的三个定理定理4.3.1若是有界的闭凸集，40定理4.3.1的证明最优解的存在性。由于显然是有界的闭集，因此连续函数在此集合上必有最优值和最优解。最优解的唯一性。反证法。设有和都是最优解且，不妨假定设由于是凸集，。于是

显然，。这与和都是最大值点矛盾。故的最大值点是惟一的。

定理4.3.1的证明最优解的存在性。由于41定理4.3.2的证明

采用反证法。设存在有，使得。令。（4.3.6）因为是凸集，因此。此时。（4.3.7）由假设，有

（4.3.8）在（4.3.7）式中当，最后一项可以忽略。并由（4.3.8）式有。（4.3.9）但是这与是的最大值点矛盾。故有定理4.3.2的证明采用反证法。42定理4.3.3的证明

令是定理3.4.1所得的最优解。下面证明满足公理1到公理6。

显然，

满足公理1和2。又因为如果且，那么。因此，它满足公理3。它同时满足公理4，这是因为如果它是在上的最大值点，它一定也是上的最大值点。令，。此时（4.3.10）因此，当是的最大值点时，亦是的最大值点。所以满足公理5。最后，它也满足公理6。因为，如果是对称的，并且，我们易知而是唯一的最大值点，因此，也就是说。定理4.3.3的证明令43

下面验证满足纳什公理体系的解的唯一性。若如上定理4.3.1所得的最优解，考虑如下集合（4.3.11）因为为定理4.3.1的最优解，由定理4.3.2，。考虑从到的一个线性变换：（4.3.12）由于，即也即：由定理4.3.1假设可知，，从而

于是，下面验证满足44

此时，由（4.3.12）式有。又因为是对称的，根据公理6可知，讨价还价解一定在线上。根据公理3，它即为点根据上述线性变换的反变换，由公理5可知，一定是的解。因为，根据公理4，也是的解。而这个问题的最优解是唯一的，所以是唯一最优解。

当定理4.3.1的条件不成立时，有两种情况：在第一种情况里，取。此时从公理1至公理3可以看出不存在其它的解，且满足从公理1到公理6也只有这样的唯一解

。

在第二种情况里，取。此时从公理1至公理3可以看出不存在其它的解，且满足从公理1到公理6也只有这样的唯一解。此时，由（4.3.12）式有45三个定理的说明

定理4.3.3表明，满足纳什公理体系的谈判解是存在的，并且由定理4.3.1可知，它即是函数在中求最大值时的最优解。满足纳什公理体系（公理1—公理6）的纳什谈判解也简称为谈判解，有的教材也称为纳什解。下面我们对定理4.3.2进行一些分析。根据该定理，对有。若取等号，即有：（4.3.13）上式右端是一个常数，因此上式是上的一条直线，对于任意中的点都在该直线的左下方。三个定理的说明定理4.3.3表明，满46

当结果集的边界是光滑的，该直线是的切线，且切点在点。再从（4.3.13）式看，该直线的斜率为：而连接和直线斜率为，正好是上式的相反数，这对我们求解纳什谈判解是很有作用的。同时，反映了在谈判过程中，两个局中人可以接受的效用转换率。

当两个局中人在谈判中的效用转换率为1：1时，（）问题变得更简单。例如，两人谈判问题的结果集在直线的左下方。当结果集的边界是光滑的，该直线47若初始参考点为，则纳什谈判解为

根据公理3，我们知道讨价还价问题的解一定在的子集上。因为是凸的，因此是这些的点：不存在一个，使得并且。我们称为

帕累托最优边界

图4.3.3图4.3.4若初始参考点为，则纳什谈判解为48

定理4.3.2给出了初始参考点和纳什谈判解点之间特殊的关系。初始参考点与纳什谈判解的连线的斜率与过该谈判点的的支撑线的斜率互为相反数。如果的帕累托最优边界是光滑的，那么这条支撑线其实就是过谈判点的切线。如图4.3.3所示，若T是初始参考点，P是纳什谈判解，则TP的斜率与过P点的切线的斜率互为相反数。在TP上任意一点U作为初始谈判点，其纳什谈判解仍是P点。对于双矩阵博弈来说，是一个封闭的有限的多边形，其帕累托最优边界为折线ABCD，如图4.3.4所示。若的斜率等于BC斜率的相反数，则对上任一点U，作为初始谈判点，那么它们的纳什谈判解都是。对于像过C点在上，左右“切线”的斜率不相等的点，则若初始谈判点在（斜率等于过C点在上左“切线”的斜率的相反数）上，（斜率等于过C点在上右“切线”的斜率的相反数）上或在它们与所围的区域之内，对应的纳什谈判解仍是C点。读者可以自己对此进行分析。定理4.3.2给出了初始参考点和纳49例题4.3.1

例4.3.1设有一雇员为公司老板打工，若雇员打工后可为公司一年盈利10万元，而雇员不打工，则无盈利，那么对这10万元盈利应如何分配？假设雇员本人总共有资产价值10万元，若能分到盈利，他所增加的效用为，令，为大于0的一个常数。很容易验证：，表明雇员是穷人，具有风险规避的特点。公司老板是富有的，如他能分到盈利，他所增加的效用为。例题4.3.1例4.3.1设有一50

公司老板和雇员对盈利10万元分配进行谈判，谈判的初始参考点为，即公司老板不雇工，对老板和雇员的增加效用均为0，且。则有（4.3.15）则结果集为下图所示，其中的右上曲线（即帕累托最优边界）为。公司老板和雇员对盈利10万元分配进51

利用定理4.3.1，计算在上的极大值，可以得到满足下式经计算，万元。即公司老板分配得万元，而雇员分得万元。该例表明，对风险规避急于需要钱的雇员和富裕的老板，由于效用函数不一样，因而分配的结果也不一样。具有风险规避的雇员在谈判中并无优势。利用定理4.3.1，计算52例题4.3.2

例4.3.2考虑下面的双矩阵博弈若两个局中人能通过契约进行合作，那么对合作的收益应如何分配，即纳什谈判解是什么？对该问题，先求纳什均衡，并以纳什均衡结果作为谈判初始参考点。根据第二章所介绍的双矩阵2×2博弈纳什均衡的求解法，可得到唯一的纳什均衡为。对应得纳什均衡结果为

由本节对纳什谈判问题的讨论，若允许对结果分配进行抽彩，则可达集为中（6，1），（1，3），（2，4）和（4，1）四个结果点围成的凸集，见下图。例题4.3.2例4.3.2考虑下面的双矩53

很明显，可达集的帕累托边界为（2，4）和（6，1）两点连成的线段。很容易求得该直线方程为：下面求纳什谈判解

方法1

根据定理4.3.1求解：

由于纳什谈判解具有中的帕累托最优性，因此纳什谈判解一定在（4.3.16）表示的直线上。由（4.3.16）可以得：代入（4.3.17）式

不难得出，代回到，得到。很明显，可达集的帕累托边界为（2，54

于是纳什谈判解为：

方法2

根据定理3.4.2，可达集在点切线的斜率与连接和两点的直线的斜率互为相反数。可达集在点的切线即为（4.3.16）表示的直线，斜率为。连接和两点直线斜率为：

则（4.3.18）于是纳什谈判解为：55

将上式化简，有：再由纳什谈判解具有帕累托最优性，即在直线（4.3.16）上，则纳什谈判解是下面方程组的解：

（4.3.19）

求解可得纳什谈判解为：（4.3.20）将上式化简，有：56§4.4初始参考点和其它谈判解

§4.4.1初始参考点

§4.4.2其它谈判解§4.4初始参考点和其它谈判解§4.4.1初始57§4.4.1初始参考点※几个初始参考点的介绍※例4.4.1利用不同初始参考点求解纳什谈判解§4.4.1初始参考点58几个初始参考点的介绍

在纳什谈判解的寻求中，我们已看到，初始参考点对纳什谈判解起着十分重要的作用。在上一节中，我们应用了两个方法求谈判问题的初始参考点：

1.保守收益点。即用（4.3.1）式和（4.3.2）式求；

2.纳什均衡结果。即在例4.3.2中，先取纳什均衡，然后采用纳什均衡结果去求。在例4.3.1中，采取的是保守收益点方法确定。在本节中，我们再介绍其它几种求初始参考点方法。几个初始参考点的介绍在纳什谈判解的寻59

设结果集或可达集是一个有界凸集。是一个事先给出的初始参考点，结合下图先给出一些记号：

图4.4.1

（4.4.1）（4.4.2）（4.4.3）（4.4.4）（4.4.5）（4.4.6）设结果集或可达集是一个有界凸集60

定义4.4.1

设是平面上的凸集，

称为的理想点。

定义4.4.2

设是平面上的凸集，

称为的最小期望点。

定义4.4.3

设是平面上的凸集，点称为的最小妥协点。

定义4.4.4

设是平面上的凸集，由，和所围成矩形称为含的最小矩形。其对角线交点称最小矩阵的中心。

定义4.4.1设是平面上的凸集，61

有了上述定义后，对纳什谈判解初始参考点除了前面介绍的1和2之外还可以有下列的选取法：3.采用的最小期望点作为新的初始参考点；4.采用的最小妥协点作为新的初始参考点；5.包含的最小矩形的中心作为新的初始参考点。除此之外，也有其它初始参考点的选取法，这里不作一一列举。有了上述定义后，对纳什谈判解初始参考点除了前面介绍的162例4.4.1

例4.4.1设有一凸集，由曲线和围成。记（1）为初始参考点，为纳什谈判解；（2）为最小期望点，为以为初始参考点所得的纳什谈判解；（3）为最小妥协点，为以为初始参考点所得的纳什谈判解；（4）为含的最小矩阵的中心，为以为初始参考点所得的纳什谈判解。经计算有：。则得到不同的纳什谈判解：

分别如右图所示。例4.4.1例4.4.1设有一凸63§4.4.2其它谈判解※

R-K-S谈判解※

R-K-S谈判解的公理体系※定理4.4.4谈判解的唯一性定理※例题求解§4.4.2其它谈判解※R-K-S谈判解64R-K-S谈判解

R-K-S谈判解（Raiffa-Kalai-Smorodinskybargainingsolution）,它由Raiffa（1957）提出，而由Kalai和Smorodinsky对该模型进行公理化。设两人谈判问题的可达集H为凸集，为初始参考点，是H的理想点。作一条连接和的直线，该直线与可达集H的边界相交交点称为R-K-S谈判解，具体见下图。设2人谈判解的可达集H是一个凸集，为谈判的初始参考点，两个局中人可接受的R-K-S谈判解结果为，令。

R-K-S谈判解R-K-S谈判解（R65R-K-S谈判解的公理体系

公理1（个体合理性）；公理2（可行性）；公理3（帕累托最优性）若有，且，则一定有：；公理5（线性变换的无关性）设D是由线性变换从H得到，即，如果，则一定有：公理6（对称性）若，必有，则当，则有：。公理7（单调性）若，则

R-K-S谈判解的公理体系公理1（个体合理性）66

这6个公理中，前5个公理与纳什公理体系是一致的（注意缺少公理4）。最后一个公理（单调性）说明可达域越大，则谈判的结果对双方都会更好，这显然也是合理的。

定义4.4.5

满足上述Kalai和Smorodinsky提出公理体系下的，称为R-K-S谈判解。这6个公理中，前5个公理与纳什公理体67定理4.4.4谈判解的唯一性定理

设二人谈判问题的结果集H为凸集，为谈判的初始参考点，则存在唯一满足上述公理体系的R-K-S谈判解

。

该定理的证明略去。在R-K-S谈判解中，两个人的收益效用转换称为可自由配置（freedisposal）。定理4.4.4谈判解的唯一性定理68例题求解

我们对例4.4.1进行R-K-S谈判解的计算。在此，我们仍取。

若局中人1是公司老板，其收益为，增加的效用。局中人2为雇员，其收益为，在原有10万元的基础上，其增加的效用为（其中取1）。他们对10万元盈利进行分配。同前面分析一样，二人可达集H如上图所示，其H的右上曲线函数为：。例题求解我们对例4.4.1进行R-K69

该谈判问题的理想点。R-K-S谈判解可以对下面方程组求解得到：

其中后一个是连接初始参考点（0，0）和理想点的直线方程。经求解可得。即两人谈判的可分配数为：（万元），（万元）这个结果与前面纳什谈判解的结果差异不大，其经济解释是相同的。该谈判问题的理想点70

对于例4.4.2，我们也可进行R-K-S谈判解计算。该博弈的结果集H为中（6，1），（1，3），（2，4）和（4，1）4个结果所围成的凸集，初始参考点，我们仍取为纳什均衡结果点：。

图4.4.5凸集H的中帕累托边界直线为：而连接初始参考点和理想点的直线为：，因此R-K-S谈判解为下列方程组的解：经求解：对于例4.4.2，我们也可进行R-71§4.5威胁※例4.5.1对纳什谈判解的质疑※有效威胁的两个条件※纳什建议进行讨价还价的三个步骤※含威胁的纳什讨价还价解求解思路※定理4.5.1均衡威胁策略的存在性定理※定理4.5.2纳什仲裁值的唯一性定理※例4.5.2均衡威胁策略和纳什仲裁值求解例题§4.5威胁※例4.5.1对纳什谈判解的质疑72例4.5.1对纳什谈判解的质疑

一个工厂的工人有两种选择，要么工作，要么不工作。如果工作，他将得到能够维持他生存的薪水，同时老板能够得到10美元。用（0，10）来表示此时工人与老板各自得到的效用。如果他不工作，他将会挨饿，同时老板没有利润，用（-500，0）来表示此时工人与老板各自得到的效用。当然，如果老板愿意的话，他会分一点利润给工人。假定效用是线性转移的，是平面第一象限中包括了所有的点。明显地，，纳什谈判解为。然而，纳什谈判解忽视了第二个参与人即老板比他的对手（工人）处于更有利的地位。事实上，工人不能阻止老板获得10美元的利润，虽然他可能采用不工作来作为威胁，但是以不工作来作为威胁并不可信，因此他只有继续工作以领取能维持他生存的薪水。

毫无疑问，上例的提出确实表明了纳什谈判解的不足。因此如何对具有威胁的考虑，来修正纳什的解法是我们在本节需要考虑的问题。例4.5.1对纳什谈判解的质疑一73有效威胁的两个条件

一般说来，必须满足以下两个条件，威胁才算是有效的：第一、它必须是可信的；第二、它能够改善威胁者（对被威胁者）的地位。

例如，将杀人作为威胁比将生气作为威胁更有效。因为杀手对于受害者来说地位当然提高了，然而生气却做不到这一点。另一方面，将毁灭整个地球作为威胁虽然能够改善威胁者的地位，但它是不可信的，因此它不是有效的有效威胁的两个条件一般说来，必须满足以下74纳什建议进行讨价还价的三个步骤1．参与人1宣布一个威胁策略；2．参与人2在没有考虑到的情况下，宣布一个威胁策略；3．参与人1和2开始讨价还价谈判。如果他们能够达成一致，则收益按照一致的意见分配（此时不再考虑威胁）。如果不能达成一致，则各自使用他们的威胁策略和。两个参与人的支付由这种方式决定。自然地，我们要关心这些威胁是如何起作用的。如果一个参与人宣布了一个很疯狂的威胁，他会发现自己不愿意在以后将这个威胁实现（比如说杀人）。当然，不管参与人愿不愿意将威胁实现，我们都假定参与人的行为在一定程度上与他的威胁有关的。纳什建议进行讨价还价的三个步骤1．参与人1宣布一个威胁策略；75含威胁的纳什讨价还价解求解思路

我们将关心局中人的威胁策略如何产生，以及在具有威胁的情况下，纳什谈判解是什么？下面，我们仅针对2人双矩阵非合作博弈讨论问题。在一个2人双矩阵非合作博弈中，局中人1和局中人2的收益矩阵分别为和。若局中人1采用威胁策略，局中人2采用威胁策略，则威胁值和可作为纳什谈判过程中的初始参考点和。于是含威胁的纳什讨价还价解为最大化的解：（4.5.1），，对（4.5.1）式的是最优解，则称为均衡威胁策略，称为初始点，称为纳什仲裁值。那么，均衡威胁策略是否存在？答案是肯定的。含威胁的纳什讨价还价解求解思路我们将76定理4.5.1均衡威胁策略的存在性定理

任何一个双矩阵博弈中，至少存在着一个均衡威胁策略。我们知道，两个参与人在选择威胁策略时，他们要达到的目的是冲突的。这是因为，他们的谈判点是在点上，而为帕累托最优边界，这就决定了他们的收益是相互冲突的。同时，我们不难得到下面一个定理。定理4.5.1均衡威胁策略的存在性定理77定理4.5.2纳什仲裁值的唯一性定理

如果和都是均衡威胁策略，那么和也是。而且纳什仲裁值对和是相同的。对于定理4.5.1和4.5.2，我们不再给予证明。读者可以尝试自己去完成。定理4.5.2纳什仲裁值的唯一性定理78例4.5.2

求下面双矩阵博弈中的均衡威胁策略和纳什仲裁值我们知道在双矩阵博弈中，，其中，分别是双矩阵中的四个点（如图4.5.1所示）。不难得出，混合策略的纳什均衡为（（0.5，0.5），对应的纳什均衡结果为。由于的帕累托最优边界为，因此在根据上一节的解法可知，

纳什谈判解为。例4.5.2求下面双矩阵博弈中的均衡威79

仔细观察矩阵A和B，局中人2发现稍微处于有利的地位。因为当局中人2坚持采用第一个纯策略，局中人1没有更多的反抗能力。因为局中人1采用第一个纯策略，正是局中人2所期望的；若采用第二个纯策略局中人2虽然会损失1个单位，但局中人1会损失3个单位，所以局中人2会采用威胁策略（1，0）。相应的局中人1也会采用威胁策略（0，1），当然这种威胁力较局中人2的威胁策略所具有的威胁力要弱些。下面正式讨论均衡威胁策略和纳什仲裁值。仔细观察矩阵A和B，局中人2发现稍微80

根据对（4.5.1）式的分析，我们来求解局中人1的最优威胁策略。考虑到：对进行矩阵博弈分析，其纳什均衡点为，博弈的值为-2。即为均衡威胁策略，而。在的可转移效用情况下以及两个局中人的最优收益为。采用（4.5.2）和（4.5.3）式有

即纳什仲裁值为。根据对（4.5.1）式的分析，我们81

若采用R-K-S谈判解计算：

理想点为。连接（1，4）和（4，1）是可达集的帕累托边界，其直线方程为。连接和理想点（4，4）的直线方程为。求解：

得到，在有威胁的情况下的R-K-S谈判解

。若采用R-K-S谈判解计算：82协调与谈判主要内容：

§4.1协调博弈

§4.2相关均衡

§4.3纳什谈判解

§4.4初始参考点和其它谈判解

§4.5威胁协调与谈判主要内容：83

§4.1协调博弈