《高等数学》习题册

《高等数学》习题册姓名： 专业： 班级： 1.

习题1.1-1.23x4（13x4

； （2）y 2 ； （3）ylg1x；（4）y 1 ； （5）ylnlnx

x23xln(ln(x1)

； （6）y

1xx2x21试确定下列函数在指定区间上是有界函数还是无界函数：（1）f(x)sinx（2）f(x)x2x,(2,8];（3）f(x)

1 x,(0,)； （4）f(x)tan(2x),(0, ).x8试判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)x2（2）f(x)x3（3）f(x)x2x2); （4）f(x)

exex2下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出它的周期（最小正周期（1）f(x)cos(x2); （2）f(x)xcosx;（3）f(x)sin2113x21（1）y1x； （2）y10x1； （3）3x21求分段函数

x3, x1y5x1,x1的定义域和值域。.（1）yx)3； （2）yex1； （3）ycos2(3x1)；cosx（4）yln x1；（5）yarcsin ；（6）ytan3(e3x)；cosx2习题1.3-1.5写出数列的通项并在数轴上通过观察判断下列数列是否收敛？若收敛，极限是多少？（1）1，3，5，7，

，…；3 5 7 9 11（2）1，

3 1 5 1 7，，，，，…；2 3 4 5 6写出下列数列的前三项：（1）x

n1；

(11)n； n n

n n （3）xn

(1)n1； （4）xn

nsin . n（1）x

1；

n1； n 2n

n n1

(1)n；

n1. n n

n n由定义求下列函数的极限：（1）lim 1 ； （2）lim(3x5)；x1x2 x2limcosxlimcosx；（4）limx.x0xx,f(x3x1,

x3;x

讨论函数f(x)的极限是否存在？f(x)xx00.7、求下列极限（1）limxtanx

; (2)limsin(x1);x x

x1

x1(3)limsinxx0 6x2

(4)lim12x1 ;xx0x2x1(5)lim(1 )x

; (6)lim( )x .x x

x2x18、计算下列极限3（1）

lim3n3n2

；

lim3x22；x4n32n1 x14x2；（3）

limx2

；

lim 2；xx2x3 x4 x4xlim(2

1 1 (xh)2x2（5）

)； （6）lim .x

x x2

h0 hx0x 1（1）y

； （2）y sinx；x1 x（3）y

x1 sinx； （4）y .sinx 1cosxx在怎样的趋向下是无穷小量或是无穷大量？x2 x23x2（1）y ； （2）yx2计算下列极限：

x2x2.（1）limsinx； （2）limxcos1；x x x0 xx2（3）lim(3x32x1)； （4）lim .x2x x3x1利用等价无穷小的性质计算下列极限：（1）

limtan(2x2)

；

limtanxsinx

； （3）limln(1x).x01cosx

x0

sin3x

x0 sin3xx03xx2x2x3相比，哪一个是高阶无穷小？14x1时，无穷小1x和（1）1x3

(1x2是否同阶？是否等价？2习题1.6.（1）y

x21x23x

，x1，x2； （2）ycos ，xa；1x14x,（3）yx2,求下列极限et1

x2,x2,

x2 （4）y

xaxxa

，xa.（1）lim ； （2）lim(sin )3；x2 t

x 2（3）limln(2cos2x)； （4）x x0x6

x11；x（5）limln(ax)lna(a0).x0 x设函数

x,

x1,x1.

f(x)x3,

x1,讨论下列方程在指定区间中根的存在性x（1）x3x

20,x(0,2)（2）x(0,1)一、填空题1.f(x

第一章总习题16x2，则f(16x22．设函数f(x)11 ，则f[f(x)]= .3．函数ylnsin2x的复合过程是 4．函数y3x1的反函数是 .如果limsinax2，则a= .x0 2x 3如果lim(1a)xe2，则a= .x x当x0时，2sinxcosx与x相比是 无穷.设函数

ax,x2f(x)x21,xf(x)

x

处连续，则a= .x函数f(x)e1的间断点为 .x5limxcos1= .x0 x二、选择题下列函数对中为同一个函数的是（ ）.A.y1

x,y2

x2x

； B.y1

x,y ；x2x2C.y1

x,y2

( x)2； D.y1

x,y .x22x2limxx0

f(x)A，limxx0

f(x)A，则下列说法中正确的是（ ）.A.f(x)A； B.limf(x)A；0C.f(xx0

xx0有定义； D.f(x)在点x0

连续.f(x

，则limf(x)是（ ）.xx x0xA.1； B.1； C.0 D.函数ycos1为无穷小量的条件是（ ）.xA.x； B.x0； C.x； D.x2.2

f(x)ex,x0 , ,

x

处连续，则b

=（ ）.A.–1； B.1； C.0； D.e.三、计算下列函数的极限1x11．limx41； 2.limx27x10； 3.1x1x1

x31

x5

x225

x0 x24．lim( 1

)；5.lim(321

)； 6.limx23x1；x1

1

1x3

x

x x2

x

3x227．limx1

sin(x1)； 8.lim x22(xx02(x3f(x)2x,0x1

； 9.lim(x3)3x;x xx1四、讨论函数

2x,1x2 在点

的连续性，并画出它的图像.x五、证明：当x4时， 2与x216相比是同阶无穷.xx52x2x10在区间（-1，1）习题2.13．求下列函数在指定点的导数值（1）ycosx，yx（3）ylnx，y

2 （2）ycotx，y3 x 4（4）yex，yx3

x26（5）yarcsinx，y求下列函数的导数

1 （6）yarctanx，y|3x2 x3（1）yx； （2）y1；x（3）y（5）y

； yx5；xx1； y 1 ；xxx2yx在xy

)3，求点xy

)的坐标.yfMa

处胡切线方程和法线方程.f(x)

()； （2）f

x

(,)；（3）fx()fx

处可导,求证 f

x)f

x)f)

lim x x习题2.2-2.3求下列函数的导数：x（1）yx

； （2）y

x

； (3)y

cost；xx （4）y（5）y

； （6）yxlnxx；x（1）ycos3x； （2）yex2； （3）yln3x；（4）y2sinx； （5）y

； （6）ylog11x2

(2x1)；x（7）yln(1x2)； （8）ylnlnx； （9）yarcsin ；x（10）ysin3(12x)； （11）yln(x 1x2)；（12）yarctan(x21)；（13）ysinxcos3x； （14）yarcsin(sinx。7（1）ysinxcosx； （2）ye2x；（3）yxex； （4）yx2)arctanx；（5）yexcosx； （6）yx2lnxyxlnx上的平行于直线xy

xexy求下列函数的n阶导数：（1）ycosx； （2）yxex.习题2.4求下列函数的微分（1）yx7cosx3x； （2）yx1x21x31x4；7x（3）yx

2 3 4lnx； （4）yxlnxx；（5）ysinx； （6）y x ；x 1x2（7）yeaxbx2； （8）ysinaxcosbx；1x2（9）ylntanx； （10）y1x2求近似值：（1）；

； ）arcta.当x比较小时，推导下列近似公式：1）sixx； （）arctaxx； 3）lnx)x.4．半径为的钢珠加热后,半径增加习题2.5-2.6（1）x2y22x； xyexey0；（3）

xyxy； （4）)xy。8x求摆线ycost)求下列函数的导数：txt

在对应txtcost,（1） （2）tyt

ytsint;y第二章总习题单选题如果函数f(x)在点x可导，则f(x)（ ）.A．

f(xh)f(x)；

f(xh)f(x)；h0 h h0 2hC．

f(x)f(xh)；

f(xh)f(xh)．h0 h1x21211x2121a2

h0 h1a2，那么y1a2121x2

；

x ；a1a21a1a21 x21x221x21x2（3）设yf(x)，则y（ ）.A．f(x)； B．f(x)； C．f(x)； D．f(x)．设函数yf(x)在点x可导且f(x)0则曲线yf(x)在（x f(x)）0 0 0, 0处的切线的倾斜角是（ ）.A．0°； B．90°； C．锐角； 钝角．函数f(x)在点x连续是函数在该点可导的（ ）.0A．充分但不必要条件； 必要但不充分条件；C．充分必要条件； 即不充分也不必要条件两条曲线y1和yax2b在点(2,1)处相切，则常数a、b为（ ）.x 2A．aC．a

1,b3； a1,b3；16 4 16 41,b1； a1,b1．16 4 16 4（7）设f(x)可微，则d(ef(x))（ ）.A．f(x)dx； ef(x)dx；9C．f(x)ef(x)dx； f(x)d(ef(x))．（8）若yef(x)，其中f(x)二阶可导，则y（ ）.A．ef(x)； ．ef(xf(x)； C．ef(x)[f(x)f(x)]； ．ef(x)f(x)2f(x)．填空题已知函数f(x)sin1，则f1) ；x 若曲线yax2在点x1处的切线与直线y2x1垂直，则a ；设质点沿直线作非匀速运动，其运动方程为st2，当时间t1时的速度为，加速度为 ；（4）设f(x)x(x1)(x2)(x3)(x4)，则f(0) ；已知函数yxex，则y ；设函数yf(u)，而u又是x的函数u(x)，则dy ；115x21 x1 xx2x

； （2）y(23x2) ；y

xsinacosxcosasin

（a为常数；1sin1sin1sin

； （5）y1cot2xlnsinx；2（6）y2x(xsinxcosx)；7）ylntanx；（8）yln

xcotxln(1sinx)x；2

2 4求下列函数的二阶导数1x2（1）yln(1x2)； （2）yln(x1x2（3）y(1x2)arctanx； （4）yln[f(x)].在抛物线4yx2x1yx习题3.2求下列极限（1）limsinxx； （2）limexx1；x0 xsinx x0 x2（3）limtanxx； （4）limcosxln(x3)；x0

xsinx

x3

ln(exe3)lim

ln(1x2)

lim1ln(x1)（5）

； （6）

；xln(1x4) x0x x2 10 e limx( arctanx)； （8）lim

（n为自然数）x 2 xxn（9）

limtanxx

；

lim

ex21；x0x2sinx

x0cosx1（11）

lim

2 arctanx)x； （12）lim(cos)2x x2极限limxsinxxsin2

是型未定式吗？x0

(cosxcos2x)是x的几阶无穷小？3已知limtanxsinxx0 xp

1，求常数p.2习题3.31.选择题，请选出符合题意的选项：设yf(x)在(,)内可导且f(x)0则f(x)在(,)（ ）A.严格单调减少； 严格单调增加；C.是个常数； 不是严格单调函.函数yln(1x2)的严格单调增加区间为（ ）A.（-，5； B.(-，0；2xx2C.（，； D.(,2xx2（1）y3x44x3； （2）y ；y

x3

； （4）yx2lnx；3x（5）yexx； （6）f(x)arctanxx；3x（7）f(x)2x8； f(x)ln(x 1x2)；x11（9）f(x)lnx．x3．求下列函数的极值点和极值.（1）y3x44x3；（2）y3x48x36x224x；（3）y3x48x36x2；（4）y

3x83x2．8 3 2 3习题3.4f(x)1x35x24x在区间上的最大值和最小值．3 2500造价相同，问底边和高各为多少米时，才能使所使用材料最省？3.（1）若两个正数之和为8，其中之一为x，求这两个正数的立方和S(x)，及其最小值与最大值点.将边长为a（如图4.5所示的阴影部分xf(x)x33x29x10在[-2，2]4y2x2ax3x1取得极小值，求a的值.习题3.5讨论下列曲线的凹凸性，并求出曲线的拐点：（1）yxlnx； （2）y3x55x43x5；（3）y（5）y

1x23lnxx

； （4）yln(1x3)；已知曲线yax3bx2x2有一个拐点-，，求a,b的值.12单选题x0

第三章总习题为f(x)的极值点，则下列命题（ ）正.f(x0

)0； f(x0

)0；C．f(x0

)0或f(x0

)不存在；D．f(x0

)不存在．x0

f(xyf(xx0

处不一定（ ）.连续； 可导； C．有极值； 有水平切线．函数y2x3x5在定义域内（ ）.单调增加；B．单调减少；C．曲线为凹的；D．曲线为凸的．若在区间内f(x)0，f(x)0，则f(x)在区间(a,b)内的图形（ A．沿x轴正向下降且为凸的； B．沿x轴正向上升且为凸的；C．沿x轴正向下降且为凹的； D．沿x轴正向上升且为凹的．曲线yxsinx在(0,2)内有（ ）个拐.A．3个； 个； 个； 个．2．填空题函数f(x)ln(1x2)x在 区间上单调减少；当x1时，若函数yx22pxq取得极值，则p ；（3）若a是曲线yx3ax29x4的拐点，则a ；曲线弧yxarctanx在,内为 的；曲线f(x)x2lnx在e]上的最大值是 ，最小值是 ．求极限（1）

xmam

； （2）limsin3x；xaxn

an

xtan5x（3）lim(

1 )；（4）

exex．x1x21

x1

xex

exy3x48x36x2的单调区间与极值．f(x)x3ax2bxcx0时曲线上点的切线平x轴，试确定a、b、c的值．15063元，问场地的长、宽各为多少时，才能使所用材料费最少？R的圆内作等腰三角形，求三角形的底与底边上的高之和的最大值．习题4.1填空题函数x2的原函数是 .函数sinx是函数 的原函.（3）已知f(x)g(x)，则

g(x)dx .13darctanxdx .dlnx .解下列问题：求过点)，且点xf处的切线斜率为xyfyfxxy已知动点在时刻t时的速度为v，且当ts，求此动点的运动方程.习题4.2-4.3（1）dx d(3x2)； （2）xdx d(x21)；（3）

1dx d(11)； （4）e3xdx d(e3x)；xx2 xxx（5）x

1dx d

1)； （6）xex2dx d(ex2)；（7）sin2xdx dcos2x； （8）sec23xdx dtan3x；（9）

dx darctan3x；（10） dx darcsin2x.14x214x2（1）x xdx； （2）(x23x2)dx；（3）

(1x)2

； （4）3x43x21 ；x dx x21 dx（5）(2ex

3)dx；

3 2 )dx.x 1x2

1x2（7）2

52xdx； （8）secx(secxtanx)dx；3x（9）

xdx； （10）

cos2x dx.2 cos2xsin2x（1）

e5xdx； （2）(32x)3dx；（3）xsinx2dx； （4）ln2xdxx14（5）

x1x2e1

dx； （6）

cosxdxsin2x(arctanx)2（7）

xdx； x2x

1x2

dx；（9）

x2x2

dx； （10）arcsinxdx；1x2（11）sin2xdx； （12）sin4xcos31x2（13）x 1xdx； （14） 1 dx；1 2x（15）

1 dx； （16）

1 dx；3x1 x3x2（17）

1x2dx； （18）

1 dx；1x2（19）

x21dx； （20）x

x2 dx.9x2（1）xsinxdx ； （2）ln2xdx；（3）arcsinxdx； （4）xexdx；（5）xsinxcosxdx； （6）excosxdx.f，求xf.xfxx，求xf.第四章总习题填空题过点24，且其切线斜率为3x2的曲线方程为 .设f(x)是函数cosx的一个原函数，则f(x)dx . dxe3xc.（4）设fx)且f(0)0，则f(x)dx .（5）设f(cosx)sin2x，则f(x)= .15（6）

fx)

dx= .1f(选择题若F(x),G(x)都是函数f(x)的原函数，则必有（ ）.F(x)G(x) B.F(x)cG(x)C.F(x)G(x)c D.F(x)

1G(x（c为不为零的常数）c

d

x=（ ）.xarctanC.

B.arccotxxxxc D.arccot cxxxx3设f(x)ktan2x的一个原函数为2lncos2x，则k等于（ ）.3A.2 B.4 C.3 D.33 3 2 4若f(x)dxxexc，则f(x)=（ ）.(x2)ex B.(x1)ex C.xex D.(x1)exf(lnx)（5）如果f(x)ex，则 dx=（ ）.xA.1c B.1c C.lnxc D.lnxcx x计算下列不定积分（1）(2x3x)2dx；

sin xdx；x（3）

cosx dx； 3 4sinx

1 dxex ex（5）

ex dx； （6）

1 dx；ex1

x2x6（7）cos2xsinxdx； （8）1x4dx；1 x21 x1 x1

； （10）x2

1 dx；1x2（11）xcos2xdx； （12）ln(1x2)dx；（13） 1 dx； （14）cos xdx.1exx1x14，y3x2bxcp(2,,4)p-3，又知这个16y6xc选择题：1）定积分b

f(x)dx是（ ）.

习题5.1-5.2A.f(x)的一个原函数； B.任意常数；C.f(x)的全体原函数； D.确定常.2）12

lnxdx=（ ）.A.1lnxdx2lnxdx； B.1lnxdx2lnxdx；2 1 1 1 2 C.1lnxdx2lnxdx； D.1lnxdx2lnxdx.1 1 1 12 2设f(x)在b上连续，则f(x)在b上的平均值为（ ）.A.f(a)f(b)； B.

f(x)dx；C.1

2f(x)dx； D.

a1 bf(x)dx.2a ba a函数f(x)在区间3,上连续且平均值为，则3

f(x)dx=（ ）1A. ； B.2C.12； D.18.1）1x2dx和1x3dx； ）2lnxdx和2ln2xdx.0 0 1 1利用定积分的定义，计算定积分2(2x1dx.0利用定积分的性质，估计下列定积分的值：1）4(x21dx； （）2exdx.1 1；利用定积分的几何意义，计算下列定积分：（1）

2xdx ； （）3(x1dx.1 0（3）

f(x)dx

，其中

1x,f(x)

1x0.1 1x3, 0x1.由抛物线yx21，直线x1,x3及x轴所围成的曲边梯形的面积A= .17选择题：（1）变上限积分x0

f(t)dt是（ ）A.f(x)的一个原函数； B.f(x)的全体原函数；C.f(x)的一个原函数； D.f(x)的全体原函.2）设F(x)2x

3t2dt，则F(1)（ ）77A. 2； B.2 ；77C.2； D..3）设f(x)xt1dt，则f(x)有（ ）01 1A.极小值

； B.极小值-；2 21 1C.极大值； D.极大-.2 24）若1(2xkdx2，则k（ ）0A.0； B.1； 求下列个函数的导数F(x.

1； D.1.21）F(x)xcost1dt； （）F(x)0tetdt.0 x求下列定积分：3 1 1（1）1

(3x2x； （2）212

1x2

dx； x（3）4tan2d； （4）cos2 dx.0

0 2习题5.3（1）5 x1dx； （2）e2 1

dx；1 x 1

x 1lnx（3）1 x2 dx； （4）1 1

dx.0(1x2)2

0exex用部分积分法计算下列定积分：xcos3xdx

elnxdx（1）20

； ；1 x318（3）

1ln(x20

；

12arctan2xdx.03.利用函数的奇偶性，计算下列定积分：（1）11

ln(

xdx； （）111x2

(x22x3)dx.习题5.5求下列各题中平面图形的面积：x抛物线y 与直线yx所围的面.x1曲线y 与直线yx,xe所围的图.xyx2y2x2y1ysinxycosxx0xy

1x2y

8所围的图形y2

4 x24p2px及其在点( ,p)处的法线所围的图形的面.p2习题5.7求下列广义积分：(1)

0exdx (2)1dx 1 x2(3) 1 dx

(4)lnxdx1x2(5)eaxsinbxdx(a0) (6)

e xarctanxdx0 1 1x2(1)0

1dx (2)1 dx1x1x2(3)1

1dxxlnx

(4)

12 dxcos2x42 dx

1 1 1(5)

0x)2

exdxx2第五章总习题一.填空题曲线ycosx与直线x0，x,y0所围成平面图形面积等.19f(