《概率论与数理统计》习题 第一章 随机事件和概率

PAGEPAGE5第一章 随机事件和概率一.填空题1.设A,B,C为三个事,且P(AB)P(ABC)0.97,P(ABC) .解.P(ABC)P(ABABC)P(AB)P(ABC)1P(AB)1P(ABC)=P(ABC)－P(AB)=0.97－0.9=0.07设10件产品中有4件不合格,从中任取两,已知所取两件产品中有一件是不合格另一件也是不合格品的概率.解. A二件产品中有一件是不合格}, B二件都是不合格}P(AB) P(B)

c24c2 1P(B| 10 P(P(

c2 51 6c210注意:{二件产品中有一件是不合格品}={二件产品中恰有一件是不合格品}+{二件都是不合格品}所以AB,ABB; A二件都是合格}随机地向半圆0y 2axx2(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于4的概率.解.假设落点(X,Y)为二维随机变量,D为半圆.则1P((X,Y)D)ka1

1,k为比例系.所以k 2 2 a 假设D1={D中落点和原点连线与x轴夹角小于4的区域}2 1 1 1 1P((X,Y)D)kD的面积 ( 2 a2) .1 1

4 2 2 设随机事件A,B及其和事件AB的概率分别是0.4,0.3,0.6,若B表示B的对立事,则积事件AB的概率P(AB)= .解. P(AB)P(P(B)P(AB)0.4+0.3－0.6=0.1P(AB)P(P(AB)0.40.10.3.某市有住户订日,有65住户订晚,有住户至少订这两种报纸中的一,则同时订这两种报纸的住户的百分比.解.假设A={订日报},B={订晚报},C=A+B.由已知P(A)=0.5, P(B)=0.65, P(C)=0.85.所以 P(AB)=P(A)+P(B)－P(A+B)=0.5+=0.3.,,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概.解.设Ai(i=1,2,3).i则 P(A)=0.9, P(A)=0.8, P(A)=0.7,1 2 3P(AA

A)P(A

A)1P(A

A)1P(A)P(

)P(A)1 2

1 2

1 2

1 2 3=1－0.9×0.8×0.7=0.496.电路由元件A与两个并联元件B,C串联而,若A,B,C损坏与否相互独,且它们损的概率依次为0.3,0.2,0.1,则电路断路的概率.解.假设事件A,B,C表示元件A,B,C完好.P(A)=0.7, P(B)=0.8, P(C)=0.9.=A(B+C)=AB+AC.P(A(B+C))=P(AB+AC)=P(AB)+P(AC)－P(ABC)=P(A)P(B)+P(A)P(C)－P(A)P(B)P(C)=0.7×0.8+0.7×0.9－0.7×0.8×0.9=0.686.所以 P(电路断)=1－0.686=0.314.甲乙两人投,命中率分别为0.7,0.6,每人投三,则甲比乙进球多的概解.设X表示甲进球,Y表示乙进球.P()=P(X=3,Y=2)+P(X=3,Y=1)+P(X=3,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=0)+P(X=1,Y=0)=P(X=3)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=2)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=0)=0.73c10.620.73c20.420.730.433 3+c10.30.72c10.60.42c10.30.720.43c10.70.320.433 3 3 3=0.148176+0.098784+0.021952+0.127008+0.028224+0.012096=0.43624.1 1 1三人独立破译一密码,他们能单独译出的概率分别为,, ,则此密码被译出的概率5 3 4 .解.设A,B,C,乙,.,P)

1,P(B)

1,P(C)1.5 3 4P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=11

1111

11

111 .35 3 4 5 3 5 4 3 4 5 3 4 53二．单项选择题.以A,,A为(A)“甲种产品滞,乙种产品畅销” (B)“甲、乙产品均畅销”(C)“甲种产品滞销” (D)“甲产品滞销或乙产品畅销解.(D)是答.设A,B,C,与事件A互斥的事件是(A) (B) A(BC) (C) ABC (D) ABC解. A(ABC)AABC,所以(D)是答.设A,B,则(A)P(AB)P(AB)P(A)P(B) (B)P(AB)P(AB)P(A)P(B)(C)P(A－B)P(B－A)P(A)P(B)－P(AB) (D)P(AB)P(B1.4解.P(A+(P(A)P(B)－P(AB))P(AB)－P(A)P(B)=－P(A)(P(B)－P(AB))+P(AB)(P(B)－P(AB)=－(P(B)－P(AB))(P(A)－P(AB))=－P(B－A)P(A－B)0所以(B)是答案.事件A与B相互独立的充要条件为(A)A+B= (B)P(AB)=P(A)P(B) (C)AB= (D)P(A+B)=P(A)+P(B)解.(B)是答案.设A,B,且P(AB)=0,则A,B互斥(B)AB是不可能事件(C)AB未必是不可能事件(D)P(A)=0或P(B)=0.解.概率理论中P(A)=0不能推出A为不可能事件(证明超出大纲要求).所以(C)是答案.设A,B,且AB,P(B)>0,则下列选项必然成立的是(A)P(A)<P(A|B) (B)P(A)P(A|B) (C)P(A)>P(A|B) (C)P(A)P(A|B)解. P(A|B)P(AB)

P(

P(B=).(B).P(B) P(B)7.已知0<P(B)<1,且P[(A+A)|B]=P(A|B)+P(A

|B),则下列选项必然成立的是1 2 1 2(A)P[(AA)|P(A|P(A |1 2 1 2P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)1 2 1 2P(A+A)=P(A|B)+P(A|B)1 2 1 2P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)1 1 2 2解.由P[(A+A)|B]=P(A|B)+P(A|B)得到1 2 1 2P[(AA)B] P(AB) P(AB) 1 2 1 2 ,所以

B+AB)=P(AB)+P(A

B).(B)是P(B) P(B) P(B)

1 2 1 2答案.三.计算题0.05,100,,在每批中任取一,1个,,.解. P(该批产品合)=全部正)+恰有1个次)c50=95c50100

c49c19550.2794c50100书架上按任意次序摆着15,其中有5,从中随机地抽取3本,.解.假设A={至少有一本数学}. A={没有数学} c3 24 67P(A)=10 , P(A)=A)= c3 91 911510080名,2012名.40名学32名,:;;;;.解. 学生情: 男生 女生北京 12 8免修英语 32 8总数 80 2068P(男生)=

1780 2012 3P(男生)=12P()=

20 512P(女生8032P(10012,9,3个,,3,求:;,.解.i.设Bii(i=0,1,2,3).A.于是P(B

cic3i)93 , P(A|

c3)9ii c312

i c3123

cic3ic3 1P(A)

P(B)P(A|B) 93 9i (c0c3c3

c1c2c3

c2c1c3

c3c0c3)i i (c3)2 (c3)2

939

93

9 3

93 6i0 i0 12 12 1(220)2

18493563633584120)

705648400

0.14684120P(A|B)P(B) (220)2 5ii. P(B | 3 3 3 P(

7056 2148400,甲袋中有n