2006年考研数学三真题及答案

2006年考研数学三真题一、填空题424）(1)𝑙𝑖𝑚(𝑛1𝑛→∞ 𝑛

)(1) 𝑛= 。【答案】1。【解析】

(𝑛1

)(1) 𝑛,因为𝑙𝑖𝑚

=𝑙𝑖𝑚2k1

=1,且𝑛 𝑘→∞

2𝑘

𝑘→∞ 2𝑘𝑙𝑖𝑚𝑥

=𝑙𝑖𝑚(2k2

=1,故𝑙𝑖𝑚

=1。𝑘→∞

2𝑘1

𝑘→∞2𝑘1

𝑛→∞ 𝑛【方法二】𝑙𝑖𝑚(𝑛1

)(1)

𝑛𝑙𝑖𝑚𝑒(1) 𝑛𝑙𝑛𝑛1 而𝑛→∞ 𝑛

𝑛𝑛→∞𝑙𝑖𝑚𝑙𝑛𝑛1 =𝑙𝑖𝑚ln(1 1)=0(无穷小)，(1) 𝑛为有界变量，𝑛→∞ 𝑛 𝑛→∞ 𝑛=𝑒0=。综上所述，本题正确答案是1。【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算(2)设函数𝑓(𝑥)在𝑥=2的某领域内可导，且𝑓′(𝑥)=𝑒𝑓(𝑥),𝑓(2)=1,则𝑓′′(2)= 。【答案】2𝑒3。【解析】本题主要考查复合函数求导。由𝑓′(𝑥)=𝑒𝑓(𝑥)知𝑓′′(𝑥)=𝑒𝑓(𝑥)𝑓′(𝑥)=𝑒𝑓(𝑥)∙𝑒𝑓(𝑥)=𝑒2𝑓(𝑥)𝑓′′′(𝑥)=𝑒2𝑓(𝑥)∙2𝑓′(𝑥)=2𝑒3𝑓(𝑥)𝑓′′′(2)=2𝑒3𝑓(2)=2𝑒3。综上所述，本题正确答案是2𝑒3。【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数的导数(3)设函数𝑓(𝑢)可微，且𝑓′(0)=全微𝑑𝑧|(1,2)= 。【答案】4𝑑𝑥−2𝑑𝑦。

1,𝑧=𝑓(4𝑥2−𝑦2)处的2𝜕𝑥【解析】因为𝜕𝑧|(1,2)=𝑓′(4𝑥2−𝑦2)∙8𝑥|(1,2)=4,𝜕𝑥𝜕𝑧𝜕𝑦

|(1,2)=𝑓′(4𝑥2−𝑦2)∙(−2𝑦)|(1,2)=−2,𝑑𝑧|(1,2)=𝜕𝑧

𝑑𝑥+

𝜕𝑧

|

=4𝑑𝑥−2𝑑𝑦。𝜕𝑥

(1,2)

𝜕𝑦 (1,2)综上所述，本题正确答案是4𝑑𝑥−2𝑑𝑦。【考点】高等数学—多元函数微积分学—偏导数、全微分(4)设矩𝑨=[2 为二阶单位矩阵矩满𝑩𝑨=𝑩+−1 2则|𝑩|= 。【答案】2。【解析】𝑩𝑨=𝑩+2𝑬⇒𝑩(𝑨−𝑬)=2𝑬⇒|𝑩(𝑨−𝑬)|=|𝟐𝑬|⇒|𝑩||𝑨−𝑬|==4|𝑨−𝑬|=|

1|=2，所以|𝑩|=2。−1 1综上所述，本题正确答案是2。【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质线性代数—矩阵—矩阵的线性运算(5)设随机变量𝑋与𝑌相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则𝑃{𝑚𝑎𝑥{𝑋,𝑌}≤}= 。【答案】1。9【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。事件{𝑚𝑎𝑥{𝑋,𝑌}≤1}={𝑋≤1,𝑌≤1}={𝑋≤1}∩{𝑌≤1},又根据X,Y相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出{ } 1 1 1P𝑋≤1

= ∙ = 。3 3 9综上所述，本题正确答案是1。9【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布(6)设总体𝑋的概率密度为𝑓(𝑥)=

1𝑒 |𝑥|(∞ <𝑥<+∞),𝑋,

,⋯,2 1 2𝑛𝑋为总𝑋的随机简单样本，其样本方差𝑆2,𝐸𝑆2= 。𝑛【答案】2。【解析𝐸𝑆2=𝐷(X)=𝐸(𝑋2) [𝐸(𝑋)]2=𝐸(𝑋2)=∫+∞𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥=2∫+∞𝑥21𝑒∞ ∞ 2综上所述，本题正确答案是2。

|𝑥|𝑑𝑥=2。【考点】概率论—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质（7~14432）)𝑦=)𝑓′(𝑥)>,𝑓′′(𝑥)>0𝑥为自变量𝑥在点𝑥0处的增量，∆𝑦与𝑑𝑦分别为𝑓(𝑥)在点𝑥0处对应的增量与微分，若∆𝑥>0，则(A)0<𝑑𝑦<∆𝑦 (B)0<∆𝑦<𝑑𝑦(C)∆𝑦<𝑑𝑦<0 (C)𝑑𝑦<∆𝑦<0【答案】A。【解析】【方法一】由函数𝑦=𝑓(𝑥)单调上升且凹，根据∆𝑦和𝑑𝑦的几何意义，得如下所示的图由图可得0<𝑑𝑦<∆𝑦【方法二】0𝑓(𝑥0+∆𝑥)>0

)+𝑓′(𝑥0

)∆𝑥𝑥≠𝑓(𝑥0

+∆𝑥)−𝑓(𝑥0

)>𝑓′(𝑥0

)∆𝑥>0,∆𝑥>0，即0<𝑑𝑦<∆𝑦综上所述，本题正确答案是A。【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义(8)设函数𝑓(𝑥)在𝑥=0处连续，且𝑙𝑖𝑚𝑓(ℎ2)ℎ→0 ℎ2

=1,则(A)𝑓(0)=0𝑓′(0)存在 (B)𝑓(0)=1且𝑓′(0)存在− −(C)𝑓(0)=0且𝑓′(0)存在 (D)𝑓(0)=1且𝑓′(0)存在+ +【答案】C。【解析】由𝑙𝑖𝑚𝑓(ℎ2)ℎ→0 ℎ2

=1,且𝑙𝑖𝑚ℎ2=0,则𝑙𝑖𝑚𝑓(ℎ2)=0,由于f(x)ℎ→0 ℎ→0在𝑥=0处连续，且𝑙𝑖𝑚𝑓(ℎ2)=𝑓(0)=0,从而ℎ→0𝑙𝑖𝑚𝑓(ℎ2)ℎ→0

=𝑙𝑖𝑚𝑓(ℎ2)−𝑓(0)=1ℎ→0 由于上式中ℎ2→0(只有从大于零一边趋于零)，则由上式可得𝑓′(0)综上所述，本题正确答案是

=1。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念高等数学—一元函数微分学—导数的概念∑∞𝑛=1

𝑎𝑛收敛，则级数∑∞𝑛=1

|𝑎𝑛

|收敛 ∞(B)∑(B)∑

(−1)𝑛𝑎收敛𝑛(A)∑∞𝑛𝑛=1

𝑎𝑛

𝑛1

收敛 ∞(A)∑(A)∑

𝑎𝑛𝑎 𝑛1 收敛2【答案】D。∑【解析】由∞∑𝑛=1

𝑎𝑛收敛知∑∞

𝑛=1𝑎𝑛1 收敛，所以级数𝑛=1

𝑎𝑛𝑎 𝑛12𝑛=1收敛。𝑛=1综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学—无穷级数—收敛级数的和的概念非齐次线性微分方程𝑦′ 𝑃(𝑥)𝑦=𝑄(𝑥)有两个不同的解𝑦(𝑥),𝑦1 2

(𝑥),𝐶为任意常数，则该方程的通解是(A)𝐶[𝑦1

(𝑥)−𝑦2

(𝑥)] (B)𝑦1

(𝑥) 𝐶[𝑦1

(𝑥)−𝑦2

(𝑥)](C)𝐶[𝑦1

(𝑥) 𝑦2

(𝑥)] (D)𝑦1

(𝑥) 𝐶[𝑦1

(𝑥) 𝑦2

(𝑥)]【答案】B。2(𝑥)−2

(𝑥)是对应其次线性微分方𝑦′ 𝑃(𝑥)𝑦=𝑄(𝑥)的非零解，所以它的通解是𝑌=𝐶[𝑦1

(𝑥)−𝑦2

(𝑥)],故原方程的通解为𝑦=𝑦1

(𝑥)+𝑌=𝑦1

(𝑥)+𝐶[𝑦1

(𝑥)−𝑦2

(𝑥)]。综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学—常微分方程与差分方程—非齐次线性微分方程性质及解的结构设𝑓(𝑥,𝑦)𝜑(𝑥𝑦)𝜑′(𝑥𝑦)≠0(𝑥𝑦)是𝑦 0 0𝑓(𝑥,𝑦)在约束条件𝜑(𝑥,𝑦)=0下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若𝑓′(𝑥,𝑦)=0，则𝑓′(𝑥,𝑦

)=0𝑥 0 0 𝑦 0 0(B)𝑓′(𝑥

)=0𝑓′(𝑥,

)≠0𝑥 0 0 𝑦 0 (C)若𝑓′(𝑥,𝑦)≠0，则𝑓′(𝑥,𝑦

)=0𝑥 0 0 𝑦 0 0(D)𝑓′(𝑥,𝑦)≠0𝑓′(𝑥,

)≠0𝑥 0 0 𝑦 0 0【答案】D。【解析】本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法。0作拉格朗日函数𝐹(𝑥,𝑦,𝜆)=𝑓(𝑥,𝑦)+𝜆𝜑(𝑥,𝑦),并记对应𝑥0,𝑦的0𝐹′(𝑥

,

,

)=0𝜆𝜆则

0 0 0 即0 𝐹′(𝑥,𝑦,𝜆)=0𝑦 0 0 0𝑥0𝑓′(𝑥𝑥0

,

)+𝜆

𝜑′

,

)=0,消去𝜆得：00𝑥00𝑓′(𝑥,𝑦)+𝜆𝜑′(𝑥,00𝑥00

)=0 0𝑦 0 0 0 𝑦 0 0𝑓′(𝑥,𝑦

)𝜑′(𝑥,

)−𝑓′(𝑥,

)𝜑′(𝑥,

)=0,整理得：𝑥 0 0

𝑦 0

𝑦 0

𝑥 0 0𝑓′(𝑥,𝑦

)= 1 𝑓′(𝑥,

)𝜑(𝑥,𝑦)𝜑′(𝑥𝑦)≠0),𝑦𝑥 0 0𝑦

𝜑′(𝑥0,𝑦0) 𝑦 0

𝑥 0 0 𝑦若𝑓′(𝑥

,

)≠0,

,

)≠0。𝑥 0 0 𝑦 0 0综上所述，本题正确答案是D【考点】高等数学—多元函数微积分学—二元函数的极限(12)设𝜶1

,

,⋯,

𝑛是𝑚×𝑛是𝜶1𝜶

,,𝜶

,⋯,,⋯,𝜶

𝑨𝜶

,,𝑨𝜶

,⋯,,⋯,𝑨𝜶

线性相关线性无关

1,

2,⋯,

𝑠

1,

2,⋯,

𝑠线性相关1𝜶1

2,

𝑠,⋯,

1

2,

𝑠,⋯,

线性无关【答案】A。【解析】【方法一】因为𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑠线性相关，故存在不全为零的数𝑘,𝑘1 2

,⋯,

使得𝑘1𝜶

+

𝜶2

+⋯+

𝜶𝑠=011从而有𝑨(𝑘1𝜶11

+

𝜶2

+⋯+

𝜶𝑠

)=𝑨0=01即𝑘1𝑨𝜶1

+𝑘2

𝑨𝜶2

+⋯+

𝑨𝜶𝑠

=0,由于𝑘1

,

,⋯,

不全为0而是上式成立，说明𝑨𝜶1,𝑨𝜶2,⋯,𝑨𝜶𝑠线性相关。【方法二】利用秩来求解，利用分块矩阵有(𝑨𝜶1

,

,⋯,

)=𝑨(𝜶1

,

,⋯,𝜶𝑠)那么𝑟(𝑨𝜶1,𝑨𝜶2,⋯,𝑨𝜶𝑠)≤𝑟(𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑠)因为𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑠线性相关，有𝑟(𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑠)<s1从而𝑟(𝑨𝜶1,𝑨𝜶2,⋯,𝑨𝜶𝑠)<𝑠,故𝑨𝜶,𝑨𝜶2,⋯,𝑨𝜶𝑠线性相关。1综上所述，本题正确答案是A【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关、向量组的秩设𝑨𝑨21𝑩𝑩1列110的−1倍加到第2列得𝑪，记𝑷=010，则001(A)𝑪=𝑷−1𝑨𝑷 (B)𝑪=𝑷𝑨𝑷−1(C)𝑪=𝑷T𝑨𝑷 (D)𝑪=𝑷𝑨𝑷T【答案】B。【解析】按已知条件，用初等矩阵描述有1 1 0 1 −1 0𝑩=0 10𝑨,𝑪=𝑩0100 01001所以𝑪=101100𝑨10−1100=𝑷𝑨𝑷−𝟏。001001综上所述，本题正确答案是B【考点】线性代数—矩阵—矩阵的线性运算(14)设随机变量𝑋服从正态分布𝑁(𝑢,𝜎2),𝑌服从正态分布𝑁(𝑢,𝜎2),1 1 2 22且𝑃{|𝑋−𝑢1|<1}>𝑃{|𝑌−𝑢|<1},则必有2(A)𝜎1(C)𝑢1

<𝜎2<𝑢2

(A)𝜎1(D)𝑢1

>𝜎2>𝑢2【答案】A。【解析】由于𝑋与𝑌的分布不同，不能直接判断𝑃{|𝑋−|<1}和𝑃{|𝑌−𝑢|<2较。𝑃{|𝑋−𝑢|<1}=𝑃{|𝑋−𝑢1|<1},随机变量𝑋−𝑢1~𝑁(0,1),且其概1

𝜎1

𝜎1率密度函数为偶函数，故𝑃{|𝑋𝑢 1|<1}=2𝑃{0<𝑋𝑢 1<1}=2[Φ(1) Φ(0)]𝜎1

𝜎1

𝜎1

𝜎1

𝜎1=2Φ(1) 1,同𝑢|<=2Φ(1) 1,𝜎1

2 2因是单调增函数当<>𝑃{|𝑌 2

|<1}时，2Φ1) 1>2Φ1) 1即Φ1)>Φ11>1即σ1

𝜎 <𝜎1

𝜎1。

𝜎2

𝜎1

𝜎2综上所述，本题正确答案是A【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—正态分布及应用三、解答题（15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）(15)（本题满分7分）设𝑦

𝑦1𝑥𝑦

1𝑦𝑠𝑖𝑛 𝑦𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥

,𝑥>0,𝑦>0,求= 𝑙𝑖𝑚𝑦);𝑦→∞(II)𝑙𝑖𝑚𝑥→0【解析】本题主要考查洛必达法则和等价无穷小的替换。𝑙𝑖𝑚时x𝑙𝑖𝑚

𝑦 =1,𝑦→∞

𝑦→∞ 1𝑥𝑦 𝑥𝑙𝑖𝑚𝑦𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥= 𝑙𝑖𝑚𝑦)𝑦→∞

𝑦 𝑦→∞ 𝑦=𝜋𝑥则= 𝑙𝑖𝑚𝑦)

1 1𝜋𝑥 。𝑦→∞

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥(II)𝑙𝑖𝑚𝑙𝑖𝑚(1𝑥→0 𝑥→0 𝑥

1𝜋𝑥

) π𝑥→0

𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥=𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥𝑥 𝜋𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥=𝑥→0=

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥𝑥𝑥2

𝜋(等价无穷小替换)11𝑥2111𝑥21𝑥→0 2𝑥𝑥1𝑥𝑥1𝑥22𝑥→0 2𝑥

𝜋=𝜋。【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的比较、洛必达法则(16)（本题满分7分）计算二重积分∬√𝑦2 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦,其中𝐷是由直线𝑦=𝑥,𝑦=𝐷1,𝑥=0所围成的平面区域。【解析】画出二重积分，将二重积分化为累次积分即可。𝑦1𝑦=𝑥𝐷01𝑥𝑦1𝑦=𝑥𝐷01𝑥1 𝑦∬√𝑦2 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦=∫ 𝑑𝑦∫ √𝑦2 𝑥𝑦𝑑𝑥𝐷 0 0=2∫1(𝑦2𝑥𝑦)

32|𝑦𝑑𝑦3 0 𝑦 0=2𝑦2𝑑𝑦。3 0 9【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的计算(17)（本题满分10分）证明：当0<𝑎<𝑏<𝜋时，𝑏𝑠𝑖𝑛𝑏 2𝑐𝑜𝑠𝑏 𝜋𝑏>2𝑐𝑜𝑠𝑎 𝜋𝑎.【解析】本题可构造函数，利用函数的单调性来证明设𝑓(𝑥)=𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥+2𝑐𝑜𝑠𝑥+𝜋𝑥𝑥 ∈[0,𝜋]则𝑓′(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−2𝑠𝑖𝑛𝑥+𝜋=𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥+𝜋𝑓′′(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥=−𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥<0,𝑥 ∈(0,𝜋)则𝑓′(𝑥)[0,𝜋]上单调减，从而𝑓′(𝑥)>𝑓′(𝜋)=0𝑥 ∈(0,𝜋)因此，𝑓(𝑥)在[0,𝜋]上单调增，0<a<b<π时，𝑓(𝑏)>𝑓(𝑎)即 𝑏𝑠𝑖𝑛𝑏+2𝑐𝑜𝑠𝑏+𝜋𝑏>𝑎𝑠𝑖𝑛𝑎+2𝑐𝑜𝑠𝑎+𝜋𝑎。【考点】高等数学—函数、极限、连续—基本初等函数的性质(18)（本题满分8分）在𝑥0𝑦𝐿过点𝑀(0,1),𝑃(𝑥,𝑦)(𝑥≠0)处的切线斜率与直线𝑂𝑃𝑎𝑥(常数𝑎>0)。求𝐿的方程；(II)当𝐿与直线𝑦=𝑎𝑥所围成的平面图形的面积为8时，确定𝑎的值。3【解析】本题需要利用导数的几何意义建立微分方程，用定积分计算图形的面积。(I)设曲线𝐿的方程为𝑦=𝑓(𝑥),则由题设可得𝑦′−𝑥𝑦

=𝑎𝑥,这是一阶线性微分方程，其中𝑃(𝑥)=−1,𝑄(𝑥)=𝑎𝑥,代入通解公式得𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦=𝑥

𝑒∫1𝑑𝑥

(∫𝑎𝑥𝑒−∫1𝑑𝑥𝑑𝑥+𝐶)=𝑥(𝑎𝑥+𝐶)=𝑎𝑥2+𝐶𝑥,又𝑓(1)=0,所以𝐶=−𝑎,L𝑦=𝑎𝑥2𝑎𝑥(𝑥≠0)。(II)𝐿与直线𝑦=𝑎𝑥(𝑎>0)所围成平面图形如下图所示，所以：𝑦𝑦=𝑎𝑥01𝑦𝑦=𝑎𝑥012𝑥0

−𝑎𝑥)]𝑑𝑥=𝑎∫2(2𝑥−𝑥2)𝑑𝑥0=4𝑎=8,故𝑎=2。3 3——基本初等函数的性质—∑∞𝑛=1

(−1)𝑛−1𝑥𝑛(2𝑛−1)

的收敛域及和函数𝑆(𝑥)。【解析】因为幂级数缺项，按函数项技术收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数。记𝑢𝑛

(𝑥)=(−1)𝑛−1𝑥2𝑛1 𝑛(2𝑛−1)

(−1)𝑛𝑥2𝑛3𝑢 (𝑥)𝑙𝑖𝑚| 𝑛1 |

(𝑛 1)(2𝑛 1)=𝑙𝑖𝑚| |=|𝑥|2,𝑛𝑛→∞ 𝑢𝑛

(𝑥) 𝑛→∞ (−1)𝑛−1𝑥2𝑛11)所以|𝑥|2<1,即|𝑥|<1时，所给幂级数收敛；当|𝑥|>1时,所给幂级数发散；当𝑥=±1时，所给幂级数为(−1)𝑛−1

, (−1)𝑛 均收敛，故所给幂级数的收敛域[−1,1].在(−1,1)内，

𝑛(2𝑛−1) 𝑛(2𝑛−1)𝑠(𝑥)=

(−1)𝑛−1𝑥

=2𝑥

(−1)𝑛−1𝑥

=

(𝑥),𝑛=1 𝑛(2𝑛−1) 𝑛=1(2𝑛)(2𝑛−1) 1而𝑠′(𝑥)=∑∞

(−1)𝑛−1𝑥2𝑛−1,𝑠

=

(−1)𝑛−1𝑥2𝑛−2= 1 ,1

2𝑛−1

𝑛=1

1𝑥 2所𝑠′(𝑥)−𝑠′=∫𝑥𝑠′′(𝑡)𝑑𝑡=∫𝑥

𝑑𝑡=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥,1 1 0

01𝑡 21又𝑠′(0)1

0𝑠(𝑥)1

=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥,同理𝑠(𝑥)−𝑠1

𝑥 𝑥(0)=∫𝑠′(𝑡)𝑑𝑡=∫𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑡𝑑𝑡10 0𝑥 𝑡 1=𝑡𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑡|𝑥−∫ 𝑑𝑡=𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥− 𝑙𝑛(1+𝑥2),0 1+𝑡2 201又𝑠1(0)=0,1

(𝑥)=𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥−1𝑙𝑛(1+𝑥2),2故𝑠(𝑥)=2𝑥2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥−𝑥𝑙𝑛(1+𝑥2),𝑥∈(−1,1).由于所给幂级数在𝑥=±1处都收敛，且𝑠(𝑥)=2x2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥−𝑥𝑙𝑛(1+𝑥2)在𝑥=±1处连续，所以𝑠(𝑥)在𝑥=±1成立，即𝑠(𝑥)=2𝑥2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥−𝑥𝑙𝑛(1+𝑥2),𝑥∈[−1,1]。【考点】高等数学—无穷级数—理幂级数及其收敛域、幂级数的和函数(20)（本题满分13分）设四维向量组𝜶𝟏=(1+𝑎,1,1,1)𝑇,𝜶𝟐=(2,2+𝑎,2,2)𝑇,𝜶𝟑=(3,3,3+𝑎,3)𝑇,𝜶𝟒=(4,4,4,4+𝑎)𝑇,问𝑎为何值时，𝜶𝟏,𝜶𝟐,𝜶𝟑,𝜶𝟒线性相关？当𝜶𝟏,𝜶𝟐,𝜶𝟑,𝜶𝟒线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。【解析】本题考查求极大线性无关组并把其他向量用极大线性无关组线性表出的方法。𝑛个𝑛维向量线性相关⇔|𝜶𝟏,𝜶𝟐,⋯,𝜶𝒏|=0,记𝑨=(𝜶𝟏,𝜶𝟐,𝜶𝟑,𝜶𝟒)1+𝑎23412+𝑎34123+𝑎41234+𝑎1+𝑎23412+𝑎34123+𝑎41234+𝑎于是当𝑎=0或𝑎=−10时，𝜶𝟏,𝜶𝟐,𝜶𝟑,𝜶𝟒线性相关，当𝑎=0时，𝜶𝟏为𝜶𝟏,𝜶𝟐,𝜶𝟑,𝜶𝟒的一个极大线性无关组，且𝜶𝟐=2𝜶𝟏,𝜶𝟐=3𝜶𝟏,𝜶𝟒=4𝜶𝟏.当𝑎=−10时，对𝐴施以初等行变换，有−9 2 3 4 −9 −2 3 412−741012−74100−100123−61000−10

−8 3

→ 10 −10 0 0−9 2 3 4 0 0 0 012−1012−1010−10120−1100−1

0 → 1 −1 0

=(𝜷𝟏

,𝜷𝟐

,𝜷𝟑

,𝜷),𝟒𝟑 𝟒 𝟏 𝟐 𝟑 由于𝜷𝟐,𝜷,𝜷为𝜷,𝜷,𝜷,𝜷𝟑 𝟒 𝟏 𝟐 𝟑 𝜶 的一个极大𝜷 =−𝜷 −𝜷 −𝜷,故𝜶,𝜶,𝜶 的一个极大𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 𝟒 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒𝜶𝟏=−𝜶𝟐𝜶𝟑𝜶𝟒。【考点】线性代数—向量—向量的线性表示、向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组(21)（本题满分13分）设三阶实对称矩阵𝑨的各行元素之和均为3，向量=(−1,2−1)T𝜶2=(0−1,1)T𝑨𝒙=𝟎的两个解。𝑨的特征值与特征向量；(II)求正交矩阵𝑸和对角矩阵𝚲，使得𝑸𝑇𝑨𝑸=𝚲;(III)求𝑨及(𝑨−3𝑬)6,其中𝑬为三阶单位矩阵。2【解析】本题中𝑨未知，故用定义法求解。131(I)因为矩阵𝑨的各行元素之和均为3,即有𝑨1=3=31,所131以3是矩阵𝑨的特征值，𝜶=(1,1,1)𝑇是𝑨属于3的特征向量。1又=𝟎=0𝜶2,故1

,𝜶2是矩阵𝑨属于𝜆=0的两个线性无关的特征向量。因此矩阵𝑨的特征值是3,0,0.𝜆=3的特征向量为𝑘(1,1,1)𝑇,其中𝑘≠0为常数；𝜆=0的特征向量为𝑘1

(−1,2,−1)𝑇+𝑘2

(0,−1,1)𝑇,其中𝑘1

,𝑘2是不全为0的常数。𝜶1

,

不正交，故需要𝑆𝑐ℎ𝑚𝑖𝑑𝑡正交化，𝜷 =𝜶𝟏 1

=(−1,2,−1)𝑇,(𝜶

,𝜷

0 −3 −1 1 −1𝜷 =𝜶𝟐 2

− (𝜷𝟏

𝟏 𝜷,𝜷) 𝟏

= −1 − 2 = 0,6 1 −1 16 −1 −1 1𝟏单位𝜸 =1𝟏√6

2 ,𝜸𝟐=1−1

0 ,𝜸𝟑=1 1.1 √3 1−1 −1 12√6 √2 √32𝑸=

,

,𝜸)= 0 1 ,𝟑√6 √3𝟑−1 1 1√6 √2 √30得 𝑸𝑇𝑨𝑸=𝚲= 03(III)由前面𝑸−1𝑨𝑸=𝚲,𝑨=𝑸𝑨𝑸−1=𝑸𝑨𝑸𝑇 即−1 −1 1 −1 2 −1 √6 √2

√3

√6 √6

1 1 1𝑨= 2 0 1√6

0 −1 3 √2

1 = 1 1 1,√2 1 1 1−1 1 1√6 √2 √3

1 1 1√3 √3 √3又𝑸−1𝑨𝑸=𝜦⇒𝑸−1(𝑨−3𝑬)𝑸=𝜦−3𝑬2 23 3 3⇒𝑸−1(𝑨−2𝑬)6𝑸=(𝜦−2𝑬)6=(2)6E所以(𝑨−3𝑬)6

=𝑸(

3)6E 𝑸−1=(3)6E。2 2 2【考点】线性代数—矩阵的特征值和特征向量—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质、计算(22)（本题满分13分）𝑋(𝑥)

1− 1<𝑥<0,210 ≤𝑥<2,令𝑌=𝑋2,4{0 .𝐹(𝑥,𝑦)为二维随机变量(𝑋,𝑌)的分布函数，求：(I)𝑌的概率密度𝑓𝑌

(𝑦);(II)𝐶𝑜𝑣(𝑋,𝑌);1,2【解析】(I)设Y的分布函数为𝐹𝑌

(𝑦),则𝐹𝑌

(𝑦)=𝑃𝑌≤𝑦}=𝑃𝑋2≤𝑦}𝑌当𝑦≤0(𝑦)=0𝑌

(𝑦)=0;当0<𝑦<1时，𝑌𝐹(𝑦)=≤𝑋≤√𝑦}=≤𝑋<0}+𝑃{0≤𝑋≤𝑌√𝑦}=

1√𝑦+1√𝑦=3√𝑦,𝑓𝑌(𝑦)=𝐹′𝑌(𝑦)= 3 ;2 4

8√𝑦当0≤𝑦<4时，𝐹(𝑦)=𝑃{−1≤𝑋<0}+𝑃{0≤𝑋<√𝑦}=1+1√𝑦,𝑌