2011-2016年河南中考数学第22题解析

BDCDCBBDCDCB8=220112016年河南中考数学第22题解析22.（10分）（2016河南）（1）问题如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=l3b填空：当点A位于时线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a,b的式子表示）（2）应用点A为线段B除外一动点，且BC=3,AB=1.如图2所示，分别以ARAC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE连接CD,BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由②直接写出线段BE长的最大值.（3）拓展如图3,在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（2,0）,点B的坐标为（5,0）,点P为线段AB外一动点，且PA=2,PM=PB/BPM=9&请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标。y：ABTOC\o"1-5"\h\zO x备用图解：(1)CB的延长线上，a+b; 2分(2)①DC=BE理由如下•••△人8口和4ACE都是等边三角形，•.AD=AB,AC=AE/BAD4CAE=60,•••/BAD+ZBAC4CAE+ZBAC,即/CADhEAB, 5 分△CA里△EAB(SAS,DC=BE 6 分②BE长的最大值是4. 8分（3）AM的最大值为3+2亚\点P的坐标为（2-啦，亚）……10分【提示】如图3,构造△BN国△MAP则NB=AM由（1）知，当点N在BA的延长线上时，NB有最大值备用图）。易得△APN是等腰直角三角形，AP=2,AN=2亚,AM=NB=AB+AN=3+/2;过点P作PE!x轴于点E,PE=AEJ2,又A(2,0)P(2-,>)AC的中22.（10分）（2015河南））如图1,在Rt^ABC中，/B=90°,BC=2AB=8点D,E分别是边点，连DE将△ED砥点C按顺时针方向旋转，记旋转角为AC的中（1）问题发现AE AE①当a=0°时，BD=；②当a=180°时，BD= .（2）拓展探究AE试判断：当0°WaW360°时，BD的大小有无变化？请仅就图 2的情形给出证明.⑶解决问题当^EDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段 BD的长.谷瑞林制图谷瑞林制图TOC\o"1-5"\h\z解：（1）①2 1分近②2 2分提示：①当a=00时，在Rt^ABC中，BC=2AB=8JAB=4;AC/842=4迷又点D,E分别是边BGAC的中点，，CE//AB,AECECA4,5 、5

AE=4石+2,万=6万②当a=180AE=4石+2,万=6万.・BC=8;CD=4; BD=8+4=12AE6x5 ,5BD 12=2(2)无变化。(若误判断，但后续证明正确，不扣分) 3分在图1中，二.点D,E分别是边BC,AC的中点，，CE//AB,CECDCACB,/EDChB=900;如图2,,「△EDC在旋转过程中形状大小不变，CECDCACB仍然成立。 4分又・•/ACE至BCD=x;. AC@△BCtDAEACBDBC 6 分在Rt△ABC中，AC4842=4后,AEAC4,^5色..BDBC=8=2。AETOC\o"1-5"\h\z•••BD的大小不变。 8分_ 12,5(3)4瓶或5 10分提示：如图4,当^EDC在BC上方，且A、D、E三点共线时，四边形ABCD^矩形，BD=AC=4^;如图5,当^EDC在BC下方，且A、D>E三点共线时，△ADC^直角三角形，由勾股定理得，AD=8,.,.AE=6,AE.5 12、、5根据BD2,得BD=52 22 22 22 2A、D、E在同一直线上，连接BE（2）线段A、D、E在同一直线上，连接BE（2）线段ADBE之间的数量关系D图IACBhDCE=90,「点A、QE在同一直线上，CM为△「DCE中DE边上的高，连接BE请判断/AEB的度数及线段CMAEBE之间的数量关系,4分（2）拓展探究如图2,4ACB和4DCE均为等腰三角形，/22.（10分）（2014河南）（1）问题发现如图1,△ACB和△DCE匀为等边三角形，点填空：（1）/AEB的度数为⑵ZAEB=90°;AE=2CM+BE. (注：若未给出本判断结果，但后续理由说明完全正确，不扣分)理由：ACB和4DCE均为等腰直角三角形，/ACB=/DCE=900,.•.AC=BC,CD=CE,ZACB=/DCBWDCE-/DCB,即/ACD=ZBCE・.△AC里△BCE. .•.AD=BE,/BEC4ADC=135.・•/AEB土BEC-/CED=135—450=900. 在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，.•.CM=DM=MEaDE=2CM..•.AE=DE+AD=2CM+BE 10分【提示】PD=1,/BPD=90,1(PB-BP/)=-312 2二.BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线，点P为切点.第一种情况：如图①，过点A作AP的垂线，交1(PB-BP/)=-312 2CD=收.1.BD=2,BP=V3,，AM=1PP=2种情况如图②，AM1PP=1(PB+BP)=3122.(10分)(2013河南)如图1,将两个完全相同的三角形纸片 ABC^DEC^合放置，其中/0=90°,/B=ZE=30°.(1)操作发现如图2,固定△ABG使△DEC^g点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是;②设△BDC勺面积为S,△AEC的面积为S2,则S1与G的数量关系是.(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想(1)中S1与3的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了^BDC^4AEC中BGCE边上的高，请你证明小明的猜想图1 图2(3)拓展探究已知/ABC=60，点D是其角平分线上一点， BD=CD=4DE//AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使S\dc=Sabde,请直接写出相应的BF的长.♦♦♦♦【解析】试题分析：(1)①根据旋转的性质可得 AC=C哪后求出^ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得/ ACD=60,然后根据内错角相等，两直线平行解答；②根据等边|T1三角形的性质可得AC=AD再根据直角三角形30o角所对的直角边等于斜边的一半求出 AC=AB,然后求出AC=BD再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；(2)根据旋转的性质可得BC=CE,AC=CM求出/ACNhDCM然后利用“角角边"证明△ACN^ADCMir等，根据全等三角形对应边相等可得 AN=DM然后利用等底等高的三角形的面积相等证明 ；试题解析：(1)①线段DE与AC的位置关系是平行 .②S1与S2的数量关系是相等.证明：如图2,过D作DN!AC交AC于点N,过E作EMLAC交AC延长线于M过C作CF±AB交AB于点F.由①可知^ADC是等边三角形，DE//AC,.DN=CF,DN=EM.CF=EM 图2ACB=90),/B=30o,

•.AB=2AC又「AD=AC,,.Si=11-,.Si=11-CF-BD,S2=-AC-EMB.•.Sl=S2.证明：如图3,作DGLBC于点G,AHLCE交EC延长线于点H.・•/DCEWACB=9Gb../DCG+ACE=18@.又/ACH它ACE=18@, /ACHWDCG又・•/CHAhCGD=90,AC=CD,..△AHeADGCAH=DG又•••CE=CBJS1=S2.又「CE=CB/.S=S2.(3)如图，过点D作DF//BE易求四边形BEDF是菱形，所以BE=DF,且BEDF上的高相等,此日^DC『与BDE,过点D作D技，BDABG60,•••/FiDF>=ZABG60,•.△DFF2是等边三角形，，DF=DE,•・BD=CD/AB060°,点D是角平分线上一点，DBC/DCS0.5X60=30°,•./CDF=180°-30°=150°,/CDF=360-150°-60°=150°,./CDF=/CDF,•••在^CDF和△CDF中，.△CDF^△CDF(SAS,••点E也是所求的点，••/ABG60,点D是角平分线上一点， DE//AB,，/DBG/BDE：/ABD0.X60=30,又「BD=4,BE="V又「BD=4,BE="V.BF：4/3

~T~随,BE=BF+FiF2=一473些故BF的长为3或？.22.（10分）（2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一

原题:个案例，请补充完整.如图1,22.（10分）（2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一

原题:个案例，请补充完整.如图1,在口ABC邛，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G,若AF&3EFCD,求——的值.CG（1）尝试探究在图1中，过点E作EH//AB交BG于点H,贝UAB和EH的数量关系是C第口EH的数量CD…,——的值是CG（2）类比延伸如图2,在原题的条件下，若AFm（m>0）,则CD的值是EF CG（用含m的代数式表示）（3）如图2,在原题的条件下，若AFm（m>0）,则CD的值是EF CG（用含m的代数式表示）（3）拓展迁移如图3,梯形ABCD43,,试写出解答过程.DC//AB,点和BD相交于点F.a、ABBC一a,一CDBEb（a>0,b>0）,b的代数式表示）.AFE是BC的延长线上一点，AE则EF的值是（用含322.（1）AB=3EHCG=2EH2.（3322.（1）AB=3EHCG=2EH2.（3分）（4分）作EH//AB交BG于点H,贝U△EFH^△AFRABAFEHEFm,ABmEH.•.AB=CDCD=mEH •••EH//AB//CR △BEHT△BCG（5分）CGEHBCBE2,：CG2EH.ABAFEHEFm,ABmEH.•.AB=CDCD=mEH •••EH//AB//CR △BEHT△BCG（5分）CGEHBCBE2,：CG2EH.CDCGmEH2EH侬.）（3）ab. .. （10分）【提示】过点E作EH//AB交BD的延长线于点H.22.(2011河南)(10分)如图，在Rt^ABC中，/B=90°,BC=5j3,/C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动 .设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DUBC于点F,连接DEEF.(1)求证：AE=DF(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.解：(1)在^DFC中，/DFC=90,/0=30°,DC=2t,DF=t.X•••AE=t,AE=DF. 2 分(2)能.理由如下：-.AB±B0,DF±B0,..AE//DF.又AE=DF，四边形AEFD为平行四边形.……3分•.AB=B0-tan30°=5石—5,A02AB10.3ADACDC102t10右使YAEFD为麦形，则需AEAD.即t102t,t一.3TOC\o"1-5"