初等矩阵和初等变换

关于初等矩阵和初等变换第一页，共六十三页，2022年，8月28日§2.5初等变换与初等矩阵求矩阵的秩求可逆矩阵的逆矩阵解线性方程组

2.5.1矩阵的初等变换 2.5.2初等矩阵

*

分块矩阵的初等变换第二页，共六十三页，2022年，8月28日2.5.1矩阵的初等变换定义

矩阵A的下列变换称为它的初等行（或列）变换：(1)互换矩阵A的第i行与第j行（或第i列与第j列）的位置，记为rirj(或cicj);（互换）(2)用常数k≠0去乘矩阵A的第i行(或第j列)，记为kri(或kcj);（倍乘）第三页，共六十三页，2022年，8月28日(3)将矩阵A的第j行（或第j列）各元素的k倍加到第i行(或第i列)的对应元素上去，记为ri+krj(或ci+kcj);（倍加）矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换.第四页，共六十三页，2022年，8月28日定义

如果矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵

B,则称

A与

B等价，记为A≌B

，或AB.第五页，共六十三页，2022年，8月28日等价是矩阵间的一种关系，具有以下基本性质: (1)自反性：A≌A

；

(2)对称性：若A≌B,则

A≌B;

(3)传递性：若A≌B,B≌C,则A≌C.在数学中把具有上述三个基本性质的关系称为等价关系.第六页，共六十三页，2022年，8月28日利用矩阵的初等变换，可以把矩阵化为简单的阶梯形矩阵阶梯形矩阵对求逆、求秩、求解线性方程组都非常有用

第七页，共六十三页，2022年，8月28日定义

如果矩阵A满足下列条件：(1)若有零行，则零行全在矩阵A的下方；(2)A的各非零行的第一个非零元的列序数小于下一行中第一个非零元的列序数；则称A为行阶梯形矩阵，或阶梯形矩阵.例如

第八页，共六十三页，2022年，8月28日阶梯形矩阵的一般形式为上述矩阵中,bk(1kr)为非零常数，*号表示某一常数.第九页，共六十三页，2022年，8月28日如果矩阵

A除满足上述条件(1)、(2)外，还满足条件： (3)各非零行的第一个非零元素均为1，且所在列的其它元素都为零，则称A为简化阶梯形矩阵.例如为简化阶梯形矩阵；第十页，共六十三页，2022年，8月28日定理

任何非零矩阵都可以通过初等行变换化为阶梯形矩阵.

第十一页，共六十三页，2022年，8月28日证设矩阵

第十二页，共六十三页，2022年，8月28日记依次减去第一行的倍，则A可化为

.从矩阵的第二行起，

再对矩阵

A1应用上述方法，继续进行下去，即可把

A化为阶梯形矩阵.证毕.第十三页，共六十三页，2022年，8月28日设矩阵A已通过初等行变换化为阶梯形矩阵，我们再对它的第k行分别乘以

初等行变换，则矩阵A就可以化为简化阶梯形

，然后再对矩阵作第三种第十四页，共六十三页，2022年，8月28日（）

再对矩阵（）作初等列变换和初等行变换，则可以把它化成如下更加简单的形式第十五页，共六十三页，2022年，8月28日（）

矩阵（）的左上角是一个单位矩阵，我们称（）为矩阵A的标准形.

第十六页，共六十三页，2022年，8月28日由以上讨论，我们可以得到如下结论定理

任意非零矩阵A=(aij)m×n都与它的标准形等价,即存在矩阵

，使其中Er为r阶单位矩阵,1rmin

{m,n}.后面还要说明：一个矩阵的标准形是唯一的，它反映了矩阵在初等变换下的一种不变性.第十七页，共六十三页，2022年，8月28日例

用初等行变换把矩阵化为阶梯形和简化阶梯形.第十八页，共六十三页，2022年，8月28日解r4+r1第十九页，共六十三页，2022年，8月28日第二十页，共六十三页，2022年，8月28日这就是矩阵A的阶梯形.再对其进行初等行变换第二十一页，共六十三页，2022年，8月28日r2+(-2)r3第二十二页，共六十三页，2022年，8月28日此即到矩阵A的简化阶梯形矩阵.

如果再对A的简化阶梯形作列的初等变换,可得矩阵A的标准形第二十三页，共六十三页，2022年，8月28日第二十四页，共六十三页，2022年，8月28日c4c5第二十五页，共六十三页，2022年，8月28日2.5.2初等矩阵定义

由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.由于矩阵的初等变换有三种，所以对应的初等矩阵有三类：第二十六页，共六十三页，2022年，8月28日i

行j行(1)互换E的第i行（列）与第

j

行（列），第二十七页，共六十三页，2022年，8月28日(2)用数k≠0乘

E的第i行(列)，记为

i行第二十八页，共六十三页，2022年，8月28日(3)用数k乘

E的第j行(i列)加到第i行(j列)上，记为

i行j行第二十九页，共六十三页，2022年，8月28日我们把

分别称为互换、倍乘、倍加初等矩阵.

(1)初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等矩阵；初等矩阵的性质：(3)初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，且(2)初等矩阵都是可逆矩阵；第三十页，共六十三页，2022年，8月28日对于初等矩阵，我们有如下定理定理

设A是一个

m×n矩阵,对A作一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A作一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.这个定理建立了初等变换和初等矩阵的联系.第三十一页，共六十三页，2022年，8月28日证仅就对行作第三种初等变换的情形给出证明.

设矩阵A=(aij)m×n，用m阶初等矩阵E(i,j(k))左乘以A

，则

第三十二页，共六十三页，2022年，8月28日上式右端相当于对矩阵A作第三种初等行变换(即把矩阵A的第

j行乘以常数

k加到第

i行上).

证毕.第三十三页，共六十三页，2022年，8月28日

利用定理和矩阵等价的定义,立即可以得到如下定理

定理2.5.4

mn矩阵A与B等价有m阶初等矩阵P1,P2,…,Ps与n阶初等矩阵

Q1,Q2,…,Qt

,使得

若记P=Ps

…P2P1，Q=Q1Q2…Qt

，则P为m阶可逆矩阵，Q为n阶可逆矩阵，于是得到以下推论。第三十四页，共六十三页，2022年，8月28日推论1

mn矩阵A与B等价存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q,使得

推论2

对于任意非零mn矩阵A，必存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q,使得（2.5.4）这里

是矩阵A的标准形.

第三十五页，共六十三页，2022年，8月28日推论3

若A为n阶可逆矩阵，则A≌E

若不然，它的标准形矩阵主对角线上至少含有一个零元素，对（）两端取行列式，|PAQ|=0即|P||A||Q|=0此与矩阵A,P,Q可逆，|A||P||Q|≠0矛盾.第三十六页，共六十三页，2022年，8月28日

若n阶矩阵A可逆，由推论3，存在n阶初等矩阵P1,P2,…,Pt,Pt+1,…,Ps

，使

即可逆矩阵

A可以表示成有限个初等矩阵的乘积；反之，若A能表示成有限个初等矩阵的乘积，根据可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵的结论，

A一定是可逆的.

第三十七页，共六十三页，2022年，8月28日因此，得到如下结论推论4n阶矩阵A可逆的充分必要条件是它可表示成有限个初等矩阵的乘积.应用这个结论，可以得到一个应用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法.

设矩阵A可逆，则

A-1可表示成有限个初等矩阵的乘积，即

A-1=P1P2…Pt.由A-1A=E，有

（2.5.5）(2.5.6)即第三十八页，共六十三页，2022年，8月28日

（）式表明，可逆矩阵A经过有限次初等行变换可化为单位矩阵

E

；(2.5.6)式则表明，这些初等行变换同时可以把单位矩阵E化为A-1.

根据分块矩阵的乘法，（），(2.5.6)两式可合并为或第三十九页，共六十三页，2022年，8月28日

例

设用初等行变换法求A-1

第四十页，共六十三页，2022年，8月28日解第四十一页，共六十三页，2022年，8月28日r3+r2

第四十二页，共六十三页，2022年，8月28日r2+(-3)r3第四十三页，共六十三页，2022年，8月28日所以第四十四页，共六十三页，2022年，8月28日作业Page67

习题2.4：2.；3.（1）、（2）.

第四十五页，共六十三页，2022年，8月28日*

分块矩阵的初等变换

前面介绍了矩阵的初等变换，它在求可逆矩阵的逆矩阵等方面有着重要的应用，下面我们把它推广到分块矩阵的情形.这里仅以2×2分块矩阵为例进行讨论.

将n阶单位矩阵进行如下分块

，其中k+s=n

第四十六页，共六十三页，2022年，8月28日对其分别进行两行(列)的互换，某一行(列)左乘（右乘）一个矩阵P(Q)，把某一行(列)的M倍(N倍)(M,N为矩阵）加到另一行(列)上的初等变换，可得如下三种分块初等矩阵：

(1)分块互换初等矩阵第四十七页，共六十三页，2022年，8月28日 (2)分块倍乘初等矩阵

这里P为k阶可逆矩阵,

Q为s阶可逆矩阵；

(3)分块倍加初等矩阵

这里M为k×s矩阵，N为

s×k矩阵.第四十八页，共六十三页，2022年，8月28日

同初等矩阵与初等变换的关系一样，对分块矩阵进行初等行变换或初等列变换，只需选择适当的分块初等矩阵去左乘或右乘该矩阵即可.

例如，对于分块矩阵（2.5.7）

为了求逆矩阵或矩阵的行列式，往往需要把它的子块B或C化为零矩阵.为此，只要对该矩阵作第三种初等变换即可.

第四十九页，共六十三页，2022年，8月28日

对矩阵（）左乘一个倍加分块初等矩阵，则

为了消去（）中的子块C，可选择适当的N，使NA+C=O

当A可逆时，只需取N=-CA-1，则

（）第五十页，共六十三页，2022年，8月28日

若要消去矩阵（）中的子块B，可右乘一个倍加分块初等矩阵，同样，在上式中可适当选择M，使AM+B=O.当A可逆时，只需取M=-A-1B，则

(2.5.9)第五十一页，共六十三页，2022年，8月28日

下面我们举例说明分块初等矩阵的应用.

例

设其中A为k阶可逆矩阵，B为s阶可逆矩阵，求D-1

第五十二页，共六十三页，2022年，8月28日解由于第五十三页，共六十三页，2022年，8月28日所以第五十四页，共六十三页，2022年，8月28日例

设A,B,C,D均为n阶方阵，矩阵A可逆，且AC=CA，证明第五十五页，共六十三页，2022年，8月28日即上式两端取行列式证由（）第五十六页，共六十三页，2022年，8月28日第五十七页，共六十三页，2022年，8月28日例2.5.5

设A,B均为3阶方阵，且|B|≠0，试求

第五十八页，共六