初等几何研究复习题

习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。已知：如图，梯形ABCC^,AD//BC,AB=AD+BC,比DC中点求证：/DAB与/ABC的平分线必经过E点。证明（同一法）：设/DAB^/ABC的角平分线交于E'点，只需证E'点与E点重合。••AD//BC./DAB+ZABC=180•・/1=/2,/3=/4,.2+Z3=90°./AE'B=90°作Rt^ABE的余^边AB上的中线FE',则FE'=1AB=AF=BF2./2=/AE'F,Z3=ZBE'F・/1=/2=/AE'F•・E'F//AD//BC连结EF,贝UEF为梯形ABCD的中位线,EF//AD//BC•.E'F与EF共线.FE'=1AB=1(AD+BC),FE=1(AD+BC)222E'F=田E'与E重合，证毕.习题是等腰三角形ABC的顶点，将其腰AB延长至D,使BD=AB知CD=10厘米，求AB边上中线的长。解：过B作BF//AC交CD于F,则85是4DAC勺中位线。.•.BF1AC2./FBC=/ACB又/ACB4ABCAB=AC，___1___，/FBC"BCBF=1AB=BE.△EBC^△FBC(SAS11_・•.CE=CF』CD=1X10=5cm22即△ABC中边上的中线CE的长为5厘米。习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=ACD为BC延长线上一点，过D作DE±AB于E,作DFLAC延长线于F。求证：DE—DF为常量。证明：作^ABC的边AB上的高CH再作CGIDE于G则四边形CHEG^矩形。••/3+/B=90°,Z4+72=90°,/B=/ACB至23=/4又CD为公共边。•••RtADGC^RtADFCDF=DG•.DE—DF=DE-DG=EG=CH(常量)证毕习题4.在△ABC中，/B=2/C,AD±BC于DbM是BC的中点。求证：dm=1ab。2证明：(I)当//DME=C,/B为锐角时，作MEAC交AB于E,连结DE则E为AB的中点BEMhBAC在Rt^ABD中，有DE=1AB=BE=AE2/B=ZEDB=/DEM廿DME=2/DME=/DEM=2C-/C=ZC/DEM=DMEDE=DM1

de=1ab

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CW=-AB2(n)当/B为钝角时，作MBAC交AB于E。连结DE,则E为AB的中点在Rt△ADB中DE=1AB=BE=AEE和M分另1J是AB和BC的中点2ME是△ABC的中位线/C=ZBME/BAC=BEM./BAC=180-(/B+ZC)./BEM=180-(/B+ZC)又「BE=DE在^BDE中/ABD4EDB=180-ZB，/BED=180-/ABD-/EDB=2ZB-180°/DEM=B-/C,又/B=2/C./DEM=BME1DM=1AB2(出)当/B为直角时，易证DM=1AB21(IV)当/A为直角时，易证DM=1AB习题是圆的直径，引弦AC使/BAC=30,过点C引切线交AB的延长线于D,求证：AC=CD证明：如图，连结CBAB是。的直径/ACB=90.「CD为。。的切线，/BAC=30•••/BCDhBAC=30又・•/CBDWBAC吆ACB=30+90°=120°，在^BCD中，/D=180°-(/CBD+ZBCD=30°/BAC=/BDdPAC=CD习题6.两圆相交于两点A和B,在每一个圆中各作弦AC和AD,使切于另一圆。求证：/ABC=/ABD证明：如图，AC和AD分别是。。”的切线，交。0,于C和D/CAB=/ADB/DAB至ACB在△ABC^n△ABD中ZABC=180-(/CAB叱ACB=180°-(/ADB+ZDAB=/ABD即ZABC=/ABD习题7.四边形ABCDK设AD=BC且M和N是对角线AC和BD的中点。证明：直线AD和BD与MN成等角证明：如图，四边形ABCD43AD=BCM和N点分别为对角线AC和BD的中点，MN交ADBC下证：/AGF=/BFG连结BM^延长至E,BM=ME连结AE和CE显然：ABCM平行四边形。连结DE/BFG=/AHG•••AD=BCAD=AE而M和N分别是BD和BE的中点，MIN/DEAG=AHBCD=90+1(/C-/B)BCD=90+1(/C-/B)

2习题8.设延长△ABC的边BA至D,使AD=AC则/证明：2/BCD=2BCA+21①AD=AC/1=/D・./BAC=/1+ZD=2/1/B+ZBCA+21=180°即：2/1=180°-/B-ZBCA②将②代入①得：

2/BCD=2/BCA+180-ZB-ZBCABCD=90+1(/C-/B)

2习题9.设。为乙ABC内部任一点，则OA+OBCA+CB证明：连AO延长交BC于D△ADC中AC+CD>AD①△OBD43,OD+DBOB②由①②有：CB+AC=AC+CD+DB\D+DB=AO+OD+DBkO+BO习题10.三角形的一中线小于夹此中线两边的半和，而大于这半和与第三边一半的差已知：△ABC中，AD是BC边上的中线求证：1(AB+AC-1BC<AD<1(AB+AC222证明：作DE平行于AB交AC于E贝UdeJab,aeJac22在△ADE中，则AD<AE+DE=L(AB+AC2延长AD至F,使DF=AD贝U有AD+BD>AB,AD+DOACAF+BOAB+AC2AD>AB+AC-BdPAD>1(AB+AC-1BC22综上得：1(AB+AC-1BC<AD<1(AB+AC22211.证明：梯形两条对角线中点的连线平行于底边习题APB90°PCAB习题13.证明：三角形的三条外角平分线和对边相交所得三点共线。已知:三点.求证:证明:如图，AD,BE,CF分别是ABC三个外角的平分线且分别交FD,E,F三点共线.AD是BAE的角平分线同理:BDDC""CEEACB,CABA于D,E,FBDDC从CE.EAABAC-BCBA而AFFBCACB习题习题AF而ABACBCBACACBE,F三点共线.14.两圆有两条内公切线，证明这两线与连心线共点已知：如图所示D分别为切点，求证：AB,CD证明:AB,。与Q外离，AB,CD是O与OO为连心线.OQ三点共线.CD是。与Q两条内公切线，则AB,CD必有交点.设AB,下证点P在OQ上即可.连结QP,QP.此时PA,点引Q的两条切线.则有POi平分APC.即1同理可得DPO2—2从而O1PO21=1APC21=1APC2=APC=1800Q的两条内公切线且A,B,C,CD的交点为PC即为从APO1DPBP.Q外一APO1APDAPDAPD所以P,O,Q三点共线即所以AB,CDOQ三点共线.APDAPCDPO2APCP在OQ15.利用锡瓦定理证明三角形下列三线共点(1.)已知：求证：三中线如图.AD,BE,CF分别ABC边BC,AD,BE,CF三线共点CAAB上的中线.证明：D,E,F分别是中点BDCEAF/一一1DCEAFB从而BD.CEAF..1DCEAFB所以AD,BECF三点共线.(2.)三内角平分线.已知：如图，ADBE,CF分别是ABC三内角平分线.求证：AD,BE,CF三点共线.证明：由AD,BE,CF分另1J是ABC三内角平分线TOC\o"1-5"\h\zBDABCEBCAFCA...DCACEABAFBCBBDCEAFABBCCA.....1DCEAFBACBACB故：ADBE,CF三点共线.习题16.已知：C是RtABC的直角顶点，以AB为边作正方形ABCD以AC边作正方形ACFG它们都包含ABC求证：CEBG证明：四边形ABDEACFG为正方形.GACBAE900以A为旋转中心，有：CR(A,900)G,ER(A,900)B贝U:CE=BGGEBG.习题17.已知：圆内接四边形中BC=CD.求证：AB?AD+BC2=AC2证明：连接BD交AC于ETOC\o"1-5"\h\z由于BC=CD则12在ABC和AED中12ABC-AED34ABACAEADAB?ADAE?AC52.在CD臣口CAD中12、ACDE-CADECDDCA2CD2AC?CECDCEACCDBCCD由①和②有AB?ADBC2AB?AD+BC2=AC2BC2AC?CE②AE?ACAC?CE2AC?(AECE)AC习题18.平行四边形ABC曲底边BC固定，另一边AB长为a,则其对角线交E的轨迹为一圆圆心是BC中点，半径是-.2（假设：平行四边形ABCD^边BC的中点O,AB边长为a,P为对角线AB,BD的交点，BC为固定.）TOC\o"1-5"\h\z求证：点P的轨迹是0（-）2证明：10若P是平行四边形ABCD寸角线AC,BD的B'Bc交点，连接0P,由P,0分别是BD,BC的中点，故aOP=CD=-.i,2-一%fX/，,a、，一一故PO（-）,（完备性得证）2AD20.社P为0（亘）上任意一点，连接OP分别过B,C2作OP的平行线l1,l2.连接CP并延长交11于A,连接BP并延长交12于D,连接AD贝UOP是CAB和BCD的中位线,于是AB=a,OD=a.且AD习题19.设定圆中互相垂直的两弦的平方和是常数，则此两弦所在直线交点的轨迹是圆。假设AB与CD是。O（r）中两条互相垂直的弦，且AB±CD于P,AB2CD2a（常数），求点P的轨迹.证明：点P关于O的对称点也满足条件，故该轨迹为以DO为圆心，以OP为半径的圆。D如图所示：连AO延长交。O于E,连AGDBCE则/1+/2=90°2+/3=90°,从而/i=/3DeCb,DegbCbgbDbCeBDCEAC2CE2(2r)2AC2BD24r2过点P作MN，OP有MP=NPAB2CD222(APBP)(CPPD)2AP2PB2APBPCP22PD2CPPD=(AP2cp2)(PB222PD)4MP_22_2ACBD4MP4MPMP2OP2rMP22rOP1.8r2-a

212所求轨迹可能是以O为圆心-J8ra为半径的圆珠笔。习题20.将已知点到定圆上各点连线