2023年新高考数学一轮复习课时2.3《基本不等式》达标练习（含详解）

2023年新高考数学一轮复习课时2.3《基本不等式》达标练习一 、选择题LISTNUMOutlineDefault\l3要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A.80元B.120元C.160元D.240元LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,2)C.1D.2LISTNUMOutlineDefault\l3“a＞b＞0”是“ab＜eq\f(a2＋b2,2)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件LISTNUMOutlineDefault\l3设0<a<b，则下列不等式中正确的是()A.a<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)B.a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC.a<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2)D.eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<bLISTNUMOutlineDefault\l3若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2\r(3),3)LISTNUMOutlineDefault\l3当x>0时，函数f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)有()A.最小值1B.最大值1C.最小值2D.最大值2LISTNUMOutlineDefault\l3当0<m<eq\f(1,2)时，若eq\f(1,m)＋eq\f(2,1－2m)≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围为()A.[－2,0)∪(0,4]B.[－4,0)∪(0,2]C.[－4,2]D.[－2,4]LISTNUMOutlineDefault\l3若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是()A.2B.3C.4D.5LISTNUMOutlineDefault\l3当0＜m＜eq\f(1,2)时，若eq\f(1,m)＋eq\f(2,1－2m)≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围为()A.[－2,0)∪(0,4]B.[－4,0)∪(0,2]C.[－4,2]D.[－2,4]LISTNUMOutlineDefault\l3已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4=5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为()A.10B.15C.20D.25LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)=x2＋(a＋8)x＋a2＋a－12(a<0)，且f(a2－4)=f(2a－8)，则eq\f(f（n）－4a,n＋1)(n∈N*)的最小值为()A.eq\f(37,4)B.eq\f(35,8)C.eq\f(28,3)D.eq\f(27,4)LISTNUMOutlineDefault\l3对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A.(－∞，－2)B.[－2，＋∞)C.[－2,2]D.[0，＋∞)二 、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计).则泳池的长设计为米时，可使总造价最低.LISTNUMOutlineDefault\l3若x>0，y>0，x＋4y＋2xy=7，则x＋2y的最小值是.LISTNUMOutlineDefault\l3已知0＜x＜eq\f(3,2)，则y=eq\f(2,x)＋eq\f(9,3－2x)的最小值为________.LISTNUMOutlineDefault\l3已知x，y为正实数，则eq\f(2x,x＋2y)＋eq\f(x＋y,x)的最小值为.

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案解析LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C.解析：设容器底面矩形的长和宽分别为a和b，容器的总造价为y元，则ab=4，y=4×20＋10×2(a＋b)=20(a＋b)＋80，∵a＋b≥2eq\r(ab)=4(当且仅当a=b=2时等号成立)，∴y≥160，故选C.]LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C解析：由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2≥2eq\r(a)＋2，当且仅当x＝eq\r(a)时取等号；②当x<0时，f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2≤－2eq\r(a)＋2，当且仅当x＝－eq\r(a)时取等号.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－2\r(a)＝0，,2\r(a)＋2＝4，))解得a＝1.故选C.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：A；解析：由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，故“a＞b＞0”是“ab＜eq\f(a2＋b2,2)”的充分不必要条件，故选A.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B解析：因为0<a<b，所以a－eq\r(ab)=eq\r(a)(eq\r(a)－eq\r(b))<0，故a＜eq\r(ab)；b－eq\f(a＋b,2)=eq\f(b－a,2)＞0，故b>eq\f(a＋b,2)；由基本不等式知eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab).综上所述，a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<b.故选B.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B解析：对于x2＋3xy－1＝0可得y＝eq\f(1,3)(eq\f(1,x)-x)，∴x＋y＝eq\f(2x,3)＋eq\f(1,3x)≥2eq\r(\f(2,9))＝eq\f(2\r(2),3)(当且仅当x＝eq\f(\r(2),2)时等号成立).故选B.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B解析：f(x)＝eq\f(2,x＋\f(1,x))≤eq\f(2,2\r(x·\f(1,x)))＝1.当且仅当x＝eq\f(1,x)，x>0即x＝1时取等号.所以f(x)有最大值1.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D.解析：因为0<m<eq\f(1,2)，所以eq\f(1,2)×2m×(1－2m)≤eq\f(1,2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2m＋1－2m,2)))2=eq\f(1,8)，当且仅当2m=1－2m，即m=eq\f(1,4)时取等号，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,1－2m)=eq\f(1,m1－2m)≥8，又eq\f(1,m)＋eq\f(2,1－2m)≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.所以实数k的取值范围是[－2,4].故选D.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D解析：由3x＋y＝5xy，得eq\f(3x＋y,xy)＝eq\f(3,y)＋eq\f(1,x)＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·eq\f(1,5)(eq\f(3,y)＋eq\f(1,x))＝eq\f(1,5)(4＋9＋eq\f(3y,x)＋eq\f(12x,y))≥eq\f(1,5)(4＋9＋2eq\r(36))＝5，当且仅当eq\f(3y,x)＝eq\f(12x,y)，即y＝2x时，“＝”成立，故4x＋3y的最小值为5.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D；解析：因为0＜m＜eq\f(1,2)，所以eq\f(1,2)×2m×(1－2m)≤eq\f(1,2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2m＋1－2m,2)))2=eq\f(1,8)，当且仅当2m=1－2m，即m=eq\f(1,4)时取等号，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,1－2m)=eq\f(1,m1－2m)≥8，又eq\f(1,m)＋eq\f(2,1－2m)≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.所以实数k的取值范围是[－2,4]，故选D.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C；解析：由题意可得a9＋a10＋a11＋a12=S12－S8，由S8－2S4=5可得S8－S4=S4＋5，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)=(S8－S4)2，综上可得：a9＋a10＋a11＋a12=S12－S8=eq\f(（S4＋5）2,S4)=S4＋eq\f(25,S4)＋10≥2eq\r(S4×\f(25,S4))＋10=20，当且仅当S4=5时等号成立.故a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：A；解析：二次函数f(x)=x2＋(a＋8)x＋a2＋a－12图象的对称轴为直线x=－eq\f(a＋8,2)，由f(a2－4)=f(2a－8)及二次函数的图象，可以得出eq\f(a2－4＋2a－8,2)=－eq\f(a＋8,2)，解得a=－4或a=1，又a<0，所以a=－4，所以f(x)=x2＋4x，所以eq\f(f（n）－4a,n＋1)=eq\f(n2＋4n＋16,n＋1)=eq\f(（n＋1）2＋2（n＋1）＋13,n＋1)=n＋1＋eq\f(13,n＋1)＋2≥2eq\r(（n＋1）·\f(13,n＋1))＋2=2eq\r(13)＋2，又n∈N*，所以当且仅当n＋1=eq\f(13,n＋1)，即n=eq\r(13)－1时等号成立，当n=2时，eq\f(f（n）－4a,n＋1)=eq\f(28,3)，n=3时，eq\f(f（n）－4a,n＋1)=eq\f(29,4)＋2=eq\f(37,4)<eq\f(28,3)，所以最小值为eq\f(37,4)，故选A.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B解析：当x＝0时，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，此时a∈R，当x≠0时，则有a≥eq\f(－1－|x|2,|x|)＝－(|x|＋eq\f(1,|x|))，设f(x)＝－(|x|＋eq\f(1,|x|))，则a≥f(x)max，由基本不等式得|x|＋eq\f(1,|x|)≥2(当且仅当|x|＝1时取等号)，则f(x)max＝－2，故a≥－2.故选B.二 、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：15；解析：设泳池的长为x米，则宽为eq\f(200,x)米，总造价f(x)=400×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2×\f(200,x)))＋100×eq\f(200,x)＋60×200=800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(225,x)))＋12000≥1600eq\r(x·\f(225,x))＋12000=36000(元)，当且仅当x=eq\f(225,x)(x＞0)，即x=15时等号成立，即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：3.解析：因为x>0，y>0，x＋4y＋2xy=7，则2y=eq\f(7－x,x＋2).则x＋2y=x＋eq\f(7－x,x＋2)=x＋2＋eq\f(9,x＋2)－3≥2eq\r(x＋2·\f(9,x＋2))－3=3，当且仅当x=1时取等号.因此其最小值是3.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：eq\f(25,3).解析：∵y=eq\f(2,x)＋eq\f(9,3－2x)=eq\f(5x＋6,x（3－2x）)，设5x＋6=t，则x=eq\f(t－6,5)，∵0＜x＜eq\f(2,3)，∴6＜t＜eq\f(28,3)，∴y=eq\f(5x＋6,x（3－2x）)=eq\f(25t,－2t2＋39t－162)=eq\f(25,－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(81,t)))＋39)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＜t＜\f(28,3)))，记f(t)=t＋eq\f(8