高考数学二轮复习《参数方程与极坐标方程》解答题专练(含答案)

高考数学二轮复习《参数方程与极坐标方程》解答题专练LISTNUMOutlineDefault\l3[选修4－4，坐标系与参数方程]以平面直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))=eq\r(2)，曲线C2的极坐标方程为ρ=2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))).(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的参数方程；(2)设M，N分别是曲线C1，C2上的两个动点，求|MN|的最小值．LISTNUMOutlineDefault\l3[选修4－4：坐标系与参数方程]已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))，曲线C2的极坐标方程为ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝2.(1)把曲线C1，C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并判断C1，C2的位置关系；(2)斜率为－eq\f(\r(3),3)的直线l交曲线C1于A，B两点，求△AOB(O为坐标原点)的面积的最大值．LISTNUMOutlineDefault\l3[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝－1＋2t))(t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＋6sinθ=0.(1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2)若直线l与圆C相交于M，N两点，求△MNC的面积．LISTNUMOutlineDefault\l3[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋t，,y＝－4＋t))(t为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ.直线l交曲线C于A，B两点．(1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设点P的直角坐标为(－2，－4)，求点P到A，B两点的距离之积．LISTNUMOutlineDefault\l3[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2－\f(3,5)t，,y＝－2＋\f(4,5)t))(t为参数)．以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ=tanθ.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2交于A，B两点，点P的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，－\f(π,4)))，求eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|PB|)的值．LISTNUMOutlineDefault\l3选修4­4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3－\f(\r(2),2)t，,y＝\r(5)＋\f(\r(2),2)t))(t为参数).在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2eq\r(5)sinθ.(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2)若点P坐标为(3，eq\r(5))，圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|＋|PB|的值.LISTNUMOutlineDefault\l3【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（ɑ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为θ=eq\f(π,4)(ρ∈R)．（1）求C1的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1相交于M，N两点，求|MN|．LISTNUMOutlineDefault\l3已知曲线C1的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋2cosθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ.(1)求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；(2)A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△AOB的面积(O为坐标原点).LISTNUMOutlineDefault\l3在平面直角坐标系xOy中，已知直线C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－t，,y＝t－1))(t是参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C2：ρ=8sinθ.(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)判断直线C1与曲线C2的位置关系，若相交，求出弦长.LISTNUMOutlineDefault\l3在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosα，,y＝sinα))(α为参数)，在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为eq\f(\r(2),2)ρcos（θ+eq\f(π,4)）=－1.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)过点M(－1,0)且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积.LISTNUMOutlineDefault\l3选修4­4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),y＝sin2α＋1))(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=4ρsinθ－3.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)求曲线C1上的点与曲线C2上的点的距离的最小值.LISTNUMOutlineDefault\l3选修4­4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\r(2)t,y＝\r(2)t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=eq\f(sinθ,1－sin2θ).(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若点P是曲线C上的动点，求P到直线l距离的最小值，并求出此时P点的坐标.LISTNUMOutlineDefault\l3已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x轴非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系，(1)求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线l的极坐标方程为，求曲线C上的点到直线l的最大距离．LISTNUMOutlineDefault\l3在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．(1)求C与l的直角坐标方程；(2)过曲线C上任意一点作P与l垂直的直线，交l于点A，求│PA│的最大值．LISTNUMOutlineDefault\l3在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为，直线l的极坐标方程为。(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；(2)若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A，B，始终满足|AB|=4，求△MAB面积的最大值与最小值。

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案解析LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)依题意：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))=eq\f(\r(2),2)ρsinθ－eq\f(\r(2),2)ρcosθ=eq\r(2)，所以曲线C1的普通方程为x－y＋2=0.因为曲线C2的极坐标方程为：ρ2=2ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))=eq\r(2)ρcosθ＋eq\r(2)ρsinθ，所以x2＋y2－eq\r(2)x－eq\r(2)y=0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)=1，所以曲线C2的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)＋cosθ,y＝\f(\r(2),2)＋sinθ))(θ是参数)．(2)由(1)知，圆C2的圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))圆心到直线x－y＋2=0的距离d=eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)＋2)),\r(2))=eq\r(2)，又半径r=1，所以|MN|min=d－r=eq\r(2)－1.LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)C1：ρ2＝2ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ·\f(1,2)＋sinθ·\f(\r(3),2)))⇒x2＋y2＝x＋eq\r(3)y，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝1.C2：ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ·\f(1,2)＋sinθ·\f(\r(3),2)))＝2⇒x＋eq\r(3)y－4＝0.圆C1的圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))到直线C2的距离为eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(3,2)－4)),2)＝1，等于圆C1的半径，故C1，C2相切．(2)设直线l：x＋eq\r(3)y＋c＝0，则圆心C1到直线l的距离d＝eq\f(|2＋c|,2)＜1⇒－4＜c＜0，则|AB|＝2eq\r(12－d2)＝eq\r(－4c－c2)，原点O到直线l的距离d1＝eq\f(|c|,2)，所以S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|·d1＝eq\f(1,2)eq\r(－4c－c2)·eq\f(|c|,2)＝eq\f(1,4)·eq\r(－4c3－c4).令f(c)＝－4c3－c4，则f′(c)＝－12c2－4c3＝－4c2(3＋c)，在(－4，－3)上，f′(c)＞0，在(－3，0)上，f′(c)＜0，故当c＝－3时，S△AOB取得最大值，且最大值为eq\f(3\r(3),4).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)将直线l的参数方程消去参数t，得y=－1＋2x，整理得直线l的普通方程为2x－y－1=0.由圆C的极坐标方程为ρ＋6sinθ=0，得ρ2＋6ρsinθ=0.将ρ2=x2＋y2，y=ρsinθ代入，得x2＋y2＋6y=0，故圆C的直角坐标方程为x2＋(y＋3)2=9.(2)由(1)知，圆C的圆心C(0，－3)，半径r=3，则圆心C到直线l的距离d=eq\f(|2×0－（－3）－1|,\r(22＋（－1）2))=eq\f(2\r(5),5).所以|MN|=2eq\r(r2－d2)=2eq\r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))\s\up12(2))=eq\f(2\r(205),5).所以△MNC的面积S=eq\f(1,2)|MN|×d=eq\f(1,2)×eq\f(2\r(205),5)×eq\f(2\r(5),5)=eq\f(2\r(41),5).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋t，,y＝－4＋t))(t为参数)，得直线l的普通方程为x－y－2=0.∴直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ－2=0.易得曲线C的直角坐标方程为y2=2x.(2)∵直线l：x－y－2=0经过点P(－2，－4)，∴直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)T，,y＝－4＋\f(\r(2),2)T)) (T为参数)．将直线l的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)T，,y＝－4＋\f(\r(2),2)T，))代入y2=2x，化简得T2－10eq\r(2)T＋40=0，∴|PA|·|PB|=|T1T2|=40.LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由曲线C1的参数方程消去参数t可得，曲线C1的普通方程为4x＋3y－2=0；由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得，曲线C2的直角坐标方程为y=x2.(2)由点P的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，－\f(π,4)))可得点P的直角坐标为(2，－2)．曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2－\f(3,5)t，,y＝－2＋\f(4,5)t))(t为参数)，代入y=x2得9t2－80t＋150=0，设t1，t2是点A，B对应的参数，则t1＋t2=eq\f(80,9)，t1t2=eq\f(50,3)＞0.∴eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|PB|)=eq\f(|PA|＋|PB|,|PA|·|PB|)=eq\f(|t1＋t2|,|t1t2|)=eq\f(8,15).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3－\f(\r(2),2)t，,y＝\r(5)＋\f(\r(2),2)t))得直线l的普通方程为x＋y－3－eq\r(5)=0.又由ρ=2eq\r(5)sinθ得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2eq\r(5)y=0，即x2＋(y－eq\r(5))2=5.(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(\r(2),2)t))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)t))eq\s\up12(2)=5.即t2－3eq\r(2)t＋4=0.由于Δ=(3eq\r(2))2－4×4=2>0，故可设t1、t2是上述方程的两实数根，所以t1＋t2=3eq\r(2)，t1·t2=4.又直线l过点P(3，eq\r(5))，A、B两点对应的参数分别为t1、t2，所以|PA|＋|PB|=|t1|＋|t2|=t1＋t2=3eq\r(2).LISTNUMOutlineDefault\l3解：（1）曲线的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．（2）由（1）知的极坐标方程为，将代入得，∴，，故．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋2cosθ，,y＝2sinθ，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝2cosθ，,y＝2sinθ，))所以(x＋2)2＋y2=4，又由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，得x2＋y2=4y，把两式作差得，y=－x，代入x2＋y2=4y得交点坐标为(0,0)，(－2,2).(2)如图，由平面几何知识可知，当A，C1，C2，B依次排列且共线时，|AB|最大，此时|AB|=2eq\r(2)＋4，O到AB的距离为eq\r(2)，∴△OAB的面积为S=eq\f(1,2)(2eq\r(2)＋4)·eq\r(2)=2＋2eq\r(2).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－t，,y＝t－1))(t是参数)消去t得x＋y－3=0，所以直线C1的普通方程为x＋y－3=0.把ρ=8sinθ的两边同时乘ρ，得ρ2=8ρsinθ，因为x2＋y2=ρ2，y=ρsinθ，所以x2＋y2=8y，即x2＋(y－4)2=16，所以曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－4)2=16.(2)由(1)知，曲线C2：x2＋(y－4)2=16是圆心坐标为(0,4)，半径为4的圆，所以圆心(0,4)到直线x＋y－3=0的距离d=eq\f(|0＋4－3|,\r(2))=eq\f(\r(2),2)<4，所以直线C1与曲线C2相交，其弦长为2eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)=eq\r(62).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)曲线C化为普通方程为eq\f(x2,3)＋y2=1，由eq\f(\r(2),2)ρcos（θ+eq\f(π,4)）=－1，得ρcosθ－ρsinθ=－2，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2=0.(2)直线l1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))(t为参数)，代入eq\f(x2,3)＋y2=1化简得，2t2－eq\r(2)t－2=0，设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，则t1t2=－1，所以|MA|·|MB|=|t1t2|=1.LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)x2=[eq\r(2)sin(α+eq\f(π,4))]2=(sinα＋cosα)2=sin2α＋1=y，所以C1的普通方程为y=x2.将ρ2=x2＋y2，ρsinθ=y代入C2的方程得x2＋y2=4y－3，所以C2的直角坐标方程为x2＋y2－4y＋3=0.(2)将x2＋y2－4y＋3=0变形为x2＋(y－2)2=1，它的圆心为C(0，2).设P(x0，y0)为C1上任意一点，则y0=xeq\o\al(2,0)，从而|PC|2=(x0－0)2＋(y0－2)2=xeq\o\al(2,0)＋(xeq\o\al(2,0)－2)2=xeq\o\al(4,0)－3xeq\o\al(2,0)＋4=（xeq\o\al(2,0)-eq\f(3,