全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 （有答案）全等三角形问题中常见的辅助线的作法 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 （有答案）总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，角平分线平行线，线段垂直平分线，三角形中两中点，可向两边作垂线。等腰三角形来添。常向两端把线连。连接则成中位线。也可将图对折看,角平分线加垂线,要证线段倍与半,三角形中有中线,对称以后关系现。三线合一试试看。延长缩短可试验。延长中线等中线。等腰三角形“三线合一”法： 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形角平分线在三种添辅助线垂直平分线联结线段两端用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或 30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形，常角之间的相计算边的长度与角的度数， 这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角， 从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1）2)3)4)5)6)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法三角形.常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1）2)3)4)5)6)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法三角形.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等， 构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的转”法构造全等三角形.遇到角平分线在三种添辅助线的方法， （1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理. （2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。 （3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明•这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时， 常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中,AB=5AC=3,则中线AD的取值范围是 构造全等“旋例2例2、如图，△ABC中，E、F分别在ABAC上，DEXDED是中点，试比较BE+CF与EF的大小.3、如图，△ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证：AD平分/BAE.

-1-应用：应用：应用：应用：acebadCAE90,(1acebadCAE90,(1)问中得到的两个结论是否(2)将图①中的等腰E1、(09崇文二模)以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰Rt连接DE,M、N分别是BC、DE的中点•探究：AM与DE的位置关系及数量关系.(1)如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ;RtABD绕点A沿逆时针方向旋转 (0<<90)后，如图②所示,二、截长补短【例11(06年北京中考题判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.)已知ABC中,A60',BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O,试BECDBC在BC上截取BFBE，连结BFO,• 190：V2【解析1理由是：利用SAS证得BEO也OFBOC60,•••DOE180,A120'AEOADO180'DOE120,1 3180■2CFOCDCFBCBFCFBECDDMN60,射线2CFOCDCFBCBFCFBECDDMN60,射线MN与/DBA外角的平分线交于点4180,•••利用AAS证得CDO也【例21如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作N,DM与MN有怎样的数量关系？---在RtPDF中，可得PD AdAgI: 2I西丽西V5 15PAD绕点A顺时针旋转90,得到PPPB,PPQPA2,PBPB取得最大值(如图)PB的最大值为6FG2(2)如图所示，将•••PPB中，PBP、P、B三点共线时，PBPPPB6，即PAB,PD的最大值，即为PB的最大值4且P、D两点落在直线AB的两侧•••当此时此时C边ABC的两边AB、AC所在直60,BDC120C3、在等MDN系及AMN的周长Q与等边,BD=DC.探究：当M、ABC的周长线上分别有两点M、N,N分别在直线AB、AC上移动时,D为£abc外一点，且BM、NC、MN之间的数量关L的关系.CCC图1 图2如图1,当点M、N边AB、AC上，时Q ；如图2，点M、N边AB、AC上，以证明；且DM=DN且当DM时,DN图3BM、NC、时，猜想((III)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN=x，贝yQ=分析：(1MBDNCD全等。那么BMMDN60,QAMANAMANMB(用x、L表示).)如果DMDN,DMNDNM，因为BD60 30NC,BMDDNC60，三角形NCD中，MN之间的数量关系是I)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加DC,那么DBCDCB30,也就有90，直角三角形MBD、NCD中，因为BDDC,DMDN，根据HL定理，两三角形2NC，在三角形DNM中，DMNCBM，三角形NDC30,DN2NC因此三角形DMN是个等边三角形，因此MNDNMNNCABAC2AB，三角形ABC的周长L3AB，因此如果DMDN，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长DN,AMN的周长Q：L中我们已经得出，三角形全等，那么EDNMDN了NE，因为NE.2:3.AC至E，使CEBM,MBCE,BD连接DE.(1)DC，因此两BDCMDN60.三角形MDN和EDN中，有DMDE,MNNE，至此我们把BM转换成了CE,把MN转换成MBDNCD90，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，DMDE,BDMCDE,EDN60，有一条公共边，因此两三角形全等，CNCE，因此MNBMCN.Q与L的关系的求法同(1)，得出的结果是一样的。我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同(中，由(1)中已经得出的么BMCH,DM等就需要知道MDNMB90,我们做的角BDMDH，三角形MDN和NDH中，已知的条件有HDN,因为CDHMDB,因此DCH2)过D作CDHMDB，三角形BDM和CDHCDH,BDCD,因此两三角形全等(ASA).那MDDH，一条公共边ND，要想证得两三角形全MDHBDC120,因为MDN60，那么60,因此MDNNHANACNDH12060NMANACBM2ANNDH,这样就构成了两三角形全等的条件.三角形MDNBM，三角形AMN的周长QANAMMNANAB12AB.因为ANX,AB—L,因此三角形AMN的周长3和DNH就全等了.那么BMQ2xMl.3解：(1)如图1,BM、NC、MN之间的数量关系： BMNC(2)猜想：结论仍然成立.证明：如图2,延长AC至E,使CE•••BDCD，且BDC120•••DBCDCB30又ABC是等边三角形•-MBD在MBD与BMCEMBDBDDCNCD90ECD中ECD•••MBD•••DMDE•EDN在MDN与DMDEMDNDNDNECD(SAS),BDMCDEBDCMDN60EDN中EDNEDNNC•••