《圆的方程》课件(新人教A版必修)

圆的方程第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程平川中学高一数学组2011.12.15圆的方程第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程平川中1问题提出1.在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆呢？2.直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示，怎样建立圆的方程是我们需要探究的问题.圆心和半径问题提出1.在平面直角坐标系中，两点确定一条2.直线可以用一2圆的标准方程圆的标准方程3知识探究一：圆的标准方程平面上到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线,在平面几何中,圆是怎样定义的？如何用集合语言描述以点A为圆心,r为半径的圆？P={M||MA|=r}.AMr知识探究一：圆的标准方程平面上到一个定点的距离等于定长的4思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？思考3:设圆心坐标为A(a,b),圆半径为r,M(x,y)为圆上任意一点,根据圆的定义x,y应满足什么关系？(x-a)2+(y-b)2=r2AMrxoyP={M||MA|=r}.思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？思考3:设圆心坐标为A5思考4:对于以点A(a,b)为圆心,r为半径的圆,由上可知,若点M(x,y)在圆上,则点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2

；反之,若点M(x,y)的坐标适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2

,那么点M一定在这个圆上吗？AMrxoy圆心C(a,b),半径r思考4:对于以点A(a,b)为圆心,r为半径的圆,由上可知,6思考6:以原点为圆心，1为半径的圆称为单位圆，那么单位圆的方程是什么？思考5:我们把方程(x-a)2+(y-b)2=r2称为圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程，那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？x2+y2=1三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：思考6:以原点为圆心，1为半径的圆称为单位圆，那么单位圆的方71(口答)、求圆的圆心及半径(1)、x2+y2=4(2)、(x+1)2+y2=1练习Xy0+2-2C(0、0)r=2XY0-1C(-1、0)r=11(口答)、求圆的圆心及半径(1)、x2+y2=48(1)x2+y2=9(2)(x+3)2+(y-4)2=5练习2、写出下列圆的方程（1）、圆心在原点，半径为3；（2）、圆心在(-3、4),半径为.(1)x2+y2=9(2)(x+3)2+(y-4)2=593、圆心在（-1,2）,与y轴相切练习XY0c-1C(-1、2)r=1(x+1)2+(y-2)2=13、圆心在（-1,2）,与y轴相切练习XY0c-1C(-1、10(x-2)2+(y-2)2=4或(x+2)2+(y+2)2=4202C(2,2)C(-2,-2)XY-2-2Y=X练习4、圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2.(x-2)2+(y-2)2=4或(x+2)2+(11XY0C（8、3）P（5、1）5、已知圆经过P(5、1),圆心在C(8、3),求圆方程.练习(x-8)2+(y-3)2=13XY0C（8、3）P（5、1）5、已知圆经过P(5、1),圆12XC(1、3)3x-4y-6=0Y0练习6、求以c(1、3）为圆心，并和直线3x-4y-6=0相切的圆的方程.XC(1、3)3x-4y-6=0Y0练习6、求以c(1、3）13解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,已知a=1,b=3因为半径r为圆心到切线3x-4y-6=0的距离，所以|3×1-4×3-6|

15所以圆的方程为r===3(x-1)2+(y-3)2=9522)4(3-+解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,r===147、已知两点A(4、9)、B(6、3),求以AB为直径的圆的方程.提示:设圆方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2A(4、9)B(6、3)X0Y练习7、已知两点A(4、9)、B(6、3),求以AB为直径15思考7:方程，，是圆方程吗？思考8:方程与表示的曲线分别是什么？思考7:方程，思考8:方程16知识探究二：点与圆的位置关系

思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？思考2:在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？AOAOAOOA<rOA>rOA=r知识探究二：点与圆的位置关系思考1:在平面几何中，点与圆有17思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆C：，如何判断点M在圆外、圆上、圆内？(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外;(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆C：18思考4:经过一个点、两个点、三个点分别可以作多少个圆？思考5:集合{(x，y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2}表示的图形是什么？Arxoy思考4:经过一个点、两个点、三个点分别可以作多少个圆？思考519例1写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-,-1)是否在这个圆上.AxyOM2M1解:所求的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25方法一:利用点的坐标代入方程是否满足方程去判断;方法二:若点到圆心的距离为d，d>r时，点在圆外；d=r时，点在圆上；d<r时，点在圆内;例1写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的Ax20待定系数法解：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上所求圆的方程为例2⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.待定系数法解：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B(7,21例2△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.BxoyAC例2△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-22圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点xyOCA(1,1)B(2,-2)弦AB的垂直平分线例3.己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点xyOCA(1,1)23(1)圆的标准方程的结构特点.(2)点与圆的位置关系的判定.(3)求圆的标准方程的方法：①待定系数法；②数形结合法③代入法.小结作业明确：三个条件a、b、r确定一个圆。(1)圆的标准方程的结构特点.(2)点与圆的位置关系的判定.24祝同学们学习愉快！作业：124习题4.1A组：2，3，4.祝同学们学习愉快！作业：25《圆的方程》课件(新人教A版必修)26圆的方程第四章圆与方程平川中学高一数学组2011.12.164.1.2圆的一般方程圆的方程第四章圆与方程平川中学高一数学组2011.127问题提出1.圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程是什么？2.直线方程有多种形式,圆的方程是否还可以表示成其他形式？这是一个需要探讨的问题.特征：直接看出圆心与半径问题提出1.圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程是什28圆的一般方程圆的一般方程29x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0-22222202=-++-+rbabyaxyx由于a,b,r均为常数结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：思考1:圆的标准方程展开可得到一个什么式子?知识探究一：圆的一般方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0-22222230结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0思考2:

：是不是任何一个形如

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0方程表示的曲线是圆呢？结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：x2＋y31思考3:方程可化为，它在什么条件下表示圆？配方可得：把方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（）为圆心，以()为半径的圆思考3:方程可化配方可得32（3）当D2+E2-4F＜0时,方程（1）无实数解,所以

不表示任何图形。（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2y=-E/2，表示一个点（）所以形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0）可表示圆的方程思考4:当或时，方程表示什么图形？（3）当D2+E2-4F＜0时,方程（1）无实数解,所以（233思考5:方程叫做圆的一般方程，其圆心坐标和半径分别是什么？圆心为，半径为思考5:方程34圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0圆的一般方程与标准方程的关系：（D2+E2-4F>0）a=-D/2，b=-E/2，r=(1)的系数相同，且不等于零；(2)没有xy项；(3)圆的标准方程与一般方程各有什么优点？标准方程：明确地指出了圆心和半径；一般方程：突出了代数方程的形式结构，更适合方程理论的应用一般式有那些特点？圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0圆的一般方程35思考7:当D=0，E=0或F=0时，圆的位置分别有什么特点？CxoyCxoyCxoyD=0E=0F=0思考7:当D=0，E=0或F=0时，CxoyCxoyCxoy36练习:判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就找出圆心和半径.点(0,0)半径:圆心:半径:圆心:练习:判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就找出圆心和半径.37知识探究二：圆的直径式方程

思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如何求以线段AB为直径的圆方程？思考2:一般地,已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以线段AB为直径的圆方程如何？(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0AxoyBP知识探究二：圆的直径式方程思考1:已知点A(1，3)和B(38例1:求过点的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心.解:设圆的方程为:因为都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即所以,圆的方程为:理论迁移例1:求过点39例2方程表示的图形是一个圆，求a的取值范围.用待定系数法求圆的方程的步骤：1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程．①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.根据题目条件,恰当选择圆方程形式:②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.

例2方程用待定系数法求圆的方程的步骤：①若知道或涉及圆心40例3已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.yABMxo例3已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A41例3:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.解:设M的坐标为(x,y),点A的坐标是.由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,所以即:因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的方程,即:例3:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆42求轨迹方程的方法:若生成轨迹的动点随另一动点的变动而有规律地变动,可把Q点的坐标分别用动点P的坐标x,y表示出来,代入到Q点满足的已有的等式,得到动点P的轨迹方程关键:列出P,Q两点的关系式.求动点轨迹的步骤:1.建立坐标系,设动点坐标M(x,y);2.列出动点M满足的等式并化简;3.说明轨迹的形状.求轨迹方程的方法:若生成轨迹的动点随另43

例4已知点P（5，3），点M在圆x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和最小值.yCPMxoAB例4已知点P（5，3），点M在圆x2+y2-4x+244练习1:判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就找出圆心和半径.点(0,0)半径:圆心:半径:圆心:练习1:判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就找出圆心和半径45半径:圆心:半径:圆心:当时,当时,半径:圆心:表示点:半径:圆心:半径:圆心:当时46练习3:如图,等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4,高为3,求这个等腰梯形的外接圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径长.3解:设圆的方程为:因为A,B,C都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即圆的方程:即:圆心:半径:练习3:如图,等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4,高为3,471.任一圆的方程可写成的形式，但方程表示的曲线不一定是圆,当时，方程表示圆心为，半径为的圆.小结作业2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程标准方程(圆心,半径)1.任一圆的方程可写成48作业：

P124习题：A组:1，6，B组:1.祝同学们学习进步！作业：祝同学们学习进步！49圆的方程第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程平川中学高一数学组2011.12.15圆的方程第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程平川中50问题提出1.在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆呢？2.直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示，怎样建立圆的方程是我们需要探究的问题.圆心和半径问题提出1.在平面直角坐标系中，两点确定一条2.直线可以用一51圆的标准方程圆的标准方程52知识探究一：圆的标准方程平面上到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线,在平面几何中,圆是怎样定义的？如何用集合语言描述以点A为圆心,r为半径的圆？P={M||MA|=r}.AMr知识探究一：圆的标准方程平面上到一个定点的距离等于定长的53思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？思考3:设圆心坐标为A(a,b),圆半径为r,M(x,y)为圆上任意一点,根据圆的定义x,y应满足什么关系？(x-a)2+(y-b)2=r2AMrxoyP={M||MA|=r}.思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？思考3:设圆心坐标为A54思考4:对于以点A(a,b)为圆心,r为半径的圆,由上可知,若点M(x,y)在圆上,则点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2

；反之,若点M(x,y)的坐标适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2

,那么点M一定在这个圆上吗？AMrxoy圆心C(a,b),半径r思考4:对于以点A(a,b)为圆心,r为半径的圆,由上可知,55思考6:以原点为圆心，1为半径的圆称为单位圆，那么单位圆的方程是什么？思考5:我们把方程(x-a)2+(y-b)2=r2称为圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程，那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？x2+y2=1三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：思考6:以原点为圆心，1为半径的圆称为单位圆，那么单位圆的方561(口答)、求圆的圆心及半径(1)、x2+y2=4(2)、(x+1)2+y2=1练习Xy0+2-2C(0、0)r=2XY0-1C(-1、0)r=11(口答)、求圆的圆心及半径(1)、x2+y2=457(1)x2+y2=9(2)(x+3)2+(y-4)2=5练习2、写出下列圆的方程（1）、圆心在原点，半径为3；（2）、圆心在(-3、4),半径为.(1)x2+y2=9(2)(x+3)2+(y-4)2=5583、圆心在（-1,2）,与y轴相切练习XY0c-1C(-1、2)r=1(x+1)2+(y-2)2=13、圆心在（-1,2）,与y轴相切练习XY0c-1C(-1、59(x-2)2+(y-2)2=4或(x+2)2+(y+2)2=4202C(2,2)C(-2,-2)XY-2-2Y=X练习4、圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2.(x-2)2+(y-2)2=4或(x+2)2+(60XY0C（8、3）P（5、1）5、已知圆经过P(5、1),圆心在C(8、3),求圆方程.练习(x-8)2+(y-3)2=13XY0C（8、3）P（5、1）5、已知圆经过P(5、1),圆61XC(1、3)3x-4y-6=0Y0练习6、求以c(1、3）为圆心，并和直线3x-4y-6=0相切的圆的方程.XC(1、3)3x-4y-6=0Y0练习6、求以c(1、3）62解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,已知a=1,b=3因为半径r为圆心到切线3x-4y-6=0的距离，所以|3×1-4×3-6|

15所以圆的方程为r===3(x-1)2+(y-3)2=9522)4(3-+解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,r===637、已知两点A(4、9)、B(6、3),求以AB为直径的圆的方程.提示:设圆方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2A(4、9)B(6、3)X0Y练习7、已知两点A(4、9)、B(6、3),求以AB为直径64思考7:方程，，是圆方程吗？思考8:方程与表示的曲线分别是什么？思考7:方程，思考8:方程65知识探究二：点与圆的位置关系

思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？思考2:在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？AOAOAOOA<rOA>rOA=r知识探究二：点与圆的位置关系思考1:在平面几何中，点与圆有66思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆C：，如何判断点M在圆外、圆上、圆内？(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外;(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆C：67思考4:经过一个点、两个点、三个点分别可以作多少个圆？思考5:集合{(x，y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2}表示的图形是什么？Arxoy思考4:经过一个点、两个点、三个点分别可以作多少个圆？思考568例1写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-,-1)是否在这个圆上.AxyOM2M1解:所求的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25方法一:利用点的坐标代入方程是否满足方程去判断;方法二:若点到圆心的距离为d，d>r时，点在圆外；d=r时，点在圆上；d<r时，点在圆内;例1写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的Ax69待定系数法解：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上所求圆的方程为例2⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.待定系数法解：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B(7,70例2△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.BxoyAC例2△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-71圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点xyOCA(1,1)B(2,-2)弦AB的垂直平分线例3.己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点xyOCA(1,1)72(1)圆的标准方程的结构特点.(2)点与圆的位置关系的判定.(3)求圆的标准方程的方法：①待定系数法；②数形结合法③代入法.小结作业明确：三个条件a、b、r确定一个圆。(1)圆的标准方程的结构特点.(2)点与圆的位置关系的判定.73祝同学们学习愉快！作业：124习题4.1A组：2，3，4.祝同学们学习愉快！作业：74《圆的方程》课件(新人教A版必修)75圆的方程第四章圆与方程平川中学高一数学组2011.12.164.1.2圆的一般方程圆的方程第四章圆与方程平川中学高一数学组2011.176问题提出1.圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程是什么？2.直线方程有多种形式,圆的方程是否还可以表示成其他形式？这是一个需要探讨的问题.特征：直接看出圆心与半径问题提出1.圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程是什77圆的一般方程圆的一般方程78x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0-22222202=-++-+rbabyaxyx由于a,b,r均为常数结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：思考1:圆的标准方程展开可得到一个什么式子?知识探究一：圆的一般方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0-22222279结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0思考2:

：是不是任何一个形如

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0方程表示的曲线是圆呢？结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：x2＋y80思考3:方程可化为，它在什么条件下表示圆？配方可得：把方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（）为圆心，以()为半径的圆思考3:方程可化配方可得81（3）当D2+E2-4F＜0时,方程（1）无实数解,所以

不表示任何图形。（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2y=-E/2，表示一个点（）所以形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0）可表示圆的方程思考4:当或时，方程表示什么图形？（3）当D2+E2-4F＜0时,方程（1）无实数解,所以（282思考5:方程叫做圆的一般方程，其圆心坐标和半径分别是什么？圆心为，半径为思考5:方程83圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0圆的一般方程与标准方程的关系：（D2+E2-4F>0）a=-D/2，b=-E/2，r=(1)的系数相同，且不等于零；(2)没有xy项；(3)圆的标准方程与一般方程各有什么优点？标准方程：明确地指出了圆心和半径；一般方程：突出了代数方程的形式结构，更适合方程理论的应用一般式有那些特点？圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0圆的一般方程84思考7:当D=0，E=0或F=0时，圆的位置分别有什么特点？CxoyCxoyCxoyD=0E=0F=0思考7:当D=0，E=0或F=0时，CxoyCxoyCxoy85练习:判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就找出圆心和半径.点(0,0)半径:圆心:半径:圆心:练习:判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就找出圆心和半径.86知识探究二：圆的直径式方程

思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如何求以线段AB为直径的圆方程？思考2:一般地,已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以线段AB为直径的圆方程如何？(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0AxoyBP知识探究二：圆的直径式方程思考1:已知点A(1，3)和B(87例1:求过点的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心.解:设圆的方程为:因为都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即所以,圆的方程为:理论迁移例1:求过点88例2方程表示的图形是一个圆，求a的取值范围.用待定系数法求圆的方程的步骤：1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程．①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.根据题目条件,恰当选择圆方程形式:②若已知三点求圆的方程,我们常常采