弧长和扇形面积-第二课时-课件

弧长和扇形面积第二课时弧长和扇形面积（1）弧长计算公式和扇形面积计算公式回顾。弧长

，（其中n表示弧所对的圆心角的度数，R表示弧所在圆的半径）扇形面积

，（其中n表示扇形圆心角的度数，R表示扇形所在圆的半径）上节课我们学习了弧长计算公式和扇形面积计算公式，你们还记得它们是怎样的吗？（1）弧长计算公式和扇形面积计算公式回顾。弧长上面的物体中，有你熟悉的立体图形吗？（2）圆锥的再认识它们都含有圆锥体（如下图），那么什么是圆锥体呢？上面的物体中，有你熟悉的立体图形吗？（2）圆锥的再认识它们都圆锥是由一个底面和一个侧面组成的，它的底面是一个圆，它的侧面是一个曲面。我们将圆锥顶点和底面圆周上任意一点连接的线段称作圆锥的母线，那么一个圆锥有多少条母线呢？它们在数量上有什么关系？为什么是相等的呢？有无数条，它们是相等的。圆锥是由一个底面和一个侧面组成的，它的底面是一个圆，它的侧面由勾股定理，每条母线l=，h表示圆锥的高，r表示底面半径，对于同一个圆锥体，h和r的长是固定的，因此母线的长也是固定的。我们不仅知道母线长度是相同的，而且还了解了有关母线的一条非常重要的性质：母线l、圆锥高h、底面半径r之间满足：

。

由勾股定理，每条母线l=，h表示圆锥的如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，母线SB=15cm，底面半径OB=5cm，要生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算帽身至少需多少平方米的材料吗？探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式活动1创设情景，感受新知。重点知识★要想算出所需材料的数量，我们先要想想：组成帽子的是圆锥体的那个部分？圆锥体的侧面如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，母线SB由于圆锥的侧面是一个曲面，我们不太方便计算其面积，有没有办法将其转化为平面图形呢？沿着圆锥的一条母线，将圆锥侧面剪开并展平，就会得到一个扇形。要想求出所需材料的数量，我们只需要求出这个扇形的面积就可以了，这个问题和我们上节课学习的扇形面积的计算一样了。

但是求这个扇形的面积需要哪些条件呢？它们是已知的吗？探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式重点知识★由于圆锥的侧面是一个曲面，我们不太方便计算其面积，有没有办法①需要知道扇形半径、圆心角度数，其中扇形半径就是圆锥的母线，是已知的，但圆心角度数是未知的；②也可以通过扇形弧长和扇形半径来求，其中扇形半径就是圆锥的母线，是已知的，扇形弧长其实就是圆锥底面圆的周长，是可以求出来的，因此也相当于是已知的。探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式重点知识★①需要知道扇形半径、圆心角度数，其中扇形半径就是圆锥的母线，大家分析得非常好，接下来请大家以小组为单位，完成下列问题串：如图，沿圆锥的一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，（1）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，如图所示，那么这个扇形的半径为________；（2）扇形的弧长其实是底面圆周展开得到的，所以扇形弧长为_____；（3）因此圆锥的侧面积为________，圆锥的全面积为__________。活动2小组合作，探究新知。l2πrπrlπr

（l+r）探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式重点知识★大家分析得非常好，接下来请大家以小组为单位，完成下列问题串：归纳：①如上图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，根据上节课学习的扇形面积公式

（其中l表示扇形的弧长，R表示扇形半径）可知：该圆锥的侧面展开图的面积是

；②圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，表示为：③通过上面两个公式，我们可以看到，只要知道母线、底面半径就可以求圆锥的侧面积的全面积。探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式重点知识★归纳：探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式重点知识★例1.已知圆锥的底面半径为3，母线为4，则它的侧面积是_______，全面积是____________。解：∵母线l＝4，底面半径r＝3∴由圆锥侧面积计算公式得：由圆锥全面积计算公式得：【思路点拨】已知底面半径和母线长，可以直接套用圆锥侧面积和全面积计算公式求得。活动1基础性例题探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲例1.已知圆锥的底面半径为3，母线为4，则它的侧面积是___练习：已知圆锥的底面半径为4，母线为8，则它的侧面积是_______，全面积是_________。解：∵母线l＝8，底面半径r＝4∴由圆锥侧面积计算公式得：由圆锥全面积计算公式得：探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲练习：已知圆锥的底面半径为4，母线为8，则它的侧面积是___例2.已知圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积是_______，全面积是_______。解：∵底面半径为3，高为4，∴由勾股定理得，母线＝5【思路点拨】本题求圆锥的侧面积和全面积时，并没有直接告诉圆锥的母线，需要先用勾股定理求出圆锥的母线。∴由圆锥侧面积计算公式得：由圆锥全面积计算公式得：探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲例2.已知圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积是____练习：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=8，BC=6，将△ABC绕AC所在的直线k旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为（

）A.30πB.40πC.50πD.60π解：将△ABC绕AC所在的直线k旋转一周得到的是一个圆锥体∵∠ACB=90o，AC=8，BC=6∴由勾股定理，AB＝10∴由圆锥侧面积计算公式得：探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲练习：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=8，B例1.已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm²，则这个圆锥的底面半径是________。【思路点拨】已知圆锥的母线、圆锥侧面积，可以逆用圆锥侧面积的计算公式求得圆锥底面半径，实际上圆锥母线、圆锥底面半径、圆锥侧面积三者中可以“知二求一”。解：∵母线长l＝5cm，圆锥侧面积∴圆锥侧面积计算公式：

解得：

r=4∴底面半径为4cm。活动2提升型例题探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲例1.已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm²，则这个练习：用直径为80cm的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计接缝部分），则该圆锥的底面半径是________。解：∵围成圆锥侧面的半圆形的直径为80cm∴圆锥的侧面积为而圆锥侧面积解得：

r=20∴该圆锥的底面半径是20cm。【思路点拨】圆锥侧面积是一个扇形，因此它的面积还可以用扇形的另一个计算公式计算

，用两种计算方式可以得到一个等量关系。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲练习：用直径为80cm的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计接例2.圆锥的底面半径是4，母线长是12，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是_______。解法一：∵圆锥的底面半径是4，母线长是12∴圆锥侧面积＝设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n所以展开图的面积还可以表示为：

∴

，解得：n＝120∴这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120°。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲例2.圆锥的底面半径是4，母线长是12，则这个圆锥侧面展开图解法二：∵圆锥的底面半径是4∴底面周长＝2π×4=8π设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n∵圆锥的母线长是12∴侧面展开图的弧长＝∴

，

解得：n＝120∴这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120°。例2.圆锥的底面半径是4，母线长是12，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是_______。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲解法二：∵圆锥的底面半径是4例2.圆锥的底面半径是4，母线长【思路点拨】圆锥侧面展开图的面积一方面可以通过母线和底面半径来求，即

；另一方面也可以通过扇形本身的面积计算公式来求，即

，这样就得到

，解这个方程即可得到圆锥侧面展开图的圆心角

，其中r表示圆锥底面半径，l表示圆锥母线。还可以根据圆锥侧面展开图的弧长来建立等量关系，一方面圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长

2πr；另一方面圆锥侧面展开图的弧长等于

，这样就得到

，同样可以得到圆锥侧面展开图的圆心角

。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲【思路点拨】圆锥侧面展开图的面积一方面可以通过母线和底面半径练习：用半径为30cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径是_______。解法一：∵扇形的半径为30cm，圆心角为120°∴扇形面积＝设底面半径为r由题意，圆锥的母线为30cm∴圆锥的侧面积＝∴，解得：r＝10

∴该圆锥的底面半径是10cm。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲练习：用半径为30cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的解法二：∵扇形的半径为30cm，圆心角为120°∴扇形弧长＝设底面半径为r∴底面圆的周长为2πr∴

，解得：

r＝10

∴该圆锥的底面半径是10cm。练习：用半径为30cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径是_______。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲解法二：∵扇形的半径为30cm，圆心角为120°练习：用半径【思路点拨】本题可以根据圆锥侧面积的两种不同方法来建立方程：一方面可以通过母线和底面半径来求，即

；一方面也可以通过扇形本身的面积计算公式来求，即

。还可以根据圆锥底面圆周长的两种不同方法来建立方程：一方面可以通过底面半径来求，即2πr；

一方面也可以通过扇形的弧长计算公式来求，即

。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲【思路点拨】本题可以根据圆锥侧面积的两种不同方法来建立方程：例1.回到一开始提出的圣诞帽问题：如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，母线SB=15cm，底面半径OB=5cm，要生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算帽身至少需多少平方米的材料吗？（π取3.142）活动3探究型例题探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲例1.回到一开始提出的圣诞帽问题：如图，玩具厂生产一种圣诞老解：∵母线SB=15cm，底面半径OB=5cm∴一顶圣诞帽需要的材料是cm²∴生产这种帽身10000个，需要

cm²＝75πm²

≈

235.65m²。∴玩具厂至少需235.65平方米的材料【思路点拨】已知底面半径和母线长，可以直接套用圆锥侧面积公式即可，但实际问题需要注意单位问题。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲解：∵母线SB=15cm，底面半径OB=5cm【思路点拨练习：圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少纸？（结果精确到0.1cm2）解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为lcm，∵纸帽的底面周长为58cm，∴

，解得：

又∵纸帽的高为20cm∴由勾股定理得：

∴一顶纸帽的面积为∴要制作20顶这样的纸帽至少要用

。【思路点拨】要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少纸，

只要计算纸帽的侧面积即可。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲练习：圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸例2.如图，圆锥的底面半径是1，母线长为6，一只蚂蚁从底面圆周上一点B，沿圆锥侧面爬行一圈，再回到B点，请问它爬行的最短距离是多少？解：设圆锥侧面展开图为扇形ABB’，连接BB’，则BB’为蚂蚁走过的最短路径，设∠BAB’＝n°，∵AB＝AB’＝6则弧BB’＝

又∵弧BB’＝底面圆的周长＝2πr＝2π∴

，解得：n＝60°∴∠BAB’＝60°探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲例2.如图，圆锥的底面半径是1，母线长为6，一只蚂蚁从底面圆例2.如图，圆锥的底面半径是1，母线长为6，一只蚂蚁从底面圆周上一点B，沿圆锥侧面爬行一圈，再回到B点，请问它爬行的最短距离是多少？∵AB＝AB’＝6∴△ABB’为等边三角形∴BB’＝AB＝AB’＝6即蚂蚁爬行的最短距离是6。【思路点拨】本题需找到蚂蚁爬行的最短路径是什么，再通过弧BB’的两种计算方法建立方程，求出∠BAB’＝60°。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲例2.如图，圆锥的底面半径是1，母线长为6，一只蚂蚁从底面圆解：设圆锥侧面展开图为扇形ABB’，则点C位于展开图中弧BB’的中点C’处，连接AC’，过点B作BD⊥AC’于点D，则BD为蚂蚁所走的最短路线，设∠BAB’＝n°，∵AB＝AB’＝3则弧BB’＝

又∵弧BB’＝底面圆的周长＝2πr＝2π∴

，解得：n＝120°∴∠BAB’＝120°练习：如图，圆锥的底面半径是1，母线长是3，一只蚂蚁从底面圆周上一点B，沿圆锥侧面爬行到与AB相对的另一母线AC上（即BC恰好是底面的直径），问蚂蚁爬行的最短路线是什么？探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲解：设圆锥侧面展开图为扇形ABB’，则点C位于展开图中弧BB又∵C’是弧BB’的中点∴∠DAB＝又∵BD⊥AC′∴AD＝∴由勾股定理：BD＝∴蚂蚁爬行的最短距离是

。练习：如图，圆锥的底面半径是1，母线长是3，一只蚂蚁从底面圆周上一点B，沿圆锥侧面爬行到与AB相对的另一母线AC上（即BC恰好是底面的直径），问蚂蚁爬行的最短路线是什么？探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲又∵C’是弧BB’的中点练习：如图，圆锥的底面半径是1，母线（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，圆锥有无数条母线，它们的长度都相等，每条母线l＝

（h表示圆锥的高，r表示底面半径）。（2）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则该圆锥的侧面展开图的面积是

。（3）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则

。知识梳理：（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，（1）注意圆锥侧面积、全面积的区别。（2）侧面积、底面半径、母线长三者可以“知二求一”，注意公式的逆用。（3）全面积、底面半径、母线长三者可以“知二求一”，注意公式的逆用。（4）在圆锥侧面展开图里，侧面积的计算有两种方式，一种是根据侧面积计算公式来算，另一种则是利用展开图的圆心角度数和半径来算，往往会利用这两种方式建立方程。（5）在圆锥侧面展开图里，弧长的计算有两种方式，一种是利用展开图的圆心角度数和半径来算，另一种则是根据底面的周长来算，往往会利用这两种方式建立方程。知识巩固：（1）注意圆锥侧面积、全面积的区别。知识巩固：谢谢谢谢弧长和扇形面积第二课时弧长和扇形面积（1）弧长计算公式和扇形面积计算公式回顾。弧长

，（其中n表示弧所对的圆心角的度数，R表示弧所在圆的半径）扇形面积

，（其中n表示扇形圆心角的度数，R表示扇形所在圆的半径）上节课我们学习了弧长计算公式和扇形面积计算公式，你们还记得它们是怎样的吗？（1）弧长计算公式和扇形面积计算公式回顾。弧长上面的物体中，有你熟悉的立体图形吗？（2）圆锥的再认识它们都含有圆锥体（如下图），那么什么是圆锥体呢？上面的物体中，有你熟悉的立体图形吗？（2）圆锥的再认识它们都圆锥是由一个底面和一个侧面组成的，它的底面是一个圆，它的侧面是一个曲面。我们将圆锥顶点和底面圆周上任意一点连接的线段称作圆锥的母线，那么一个圆锥有多少条母线呢？它们在数量上有什么关系？为什么是相等的呢？有无数条，它们是相等的。圆锥是由一个底面和一个侧面组成的，它的底面是一个圆，它的侧面由勾股定理，每条母线l=，h表示圆锥的高，r表示底面半径，对于同一个圆锥体，h和r的长是固定的，因此母线的长也是固定的。我们不仅知道母线长度是相同的，而且还了解了有关母线的一条非常重要的性质：母线l、圆锥高h、底面半径r之间满足：

。

由勾股定理，每条母线l=，h表示圆锥的如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，母线SB=15cm，底面半径OB=5cm，要生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算帽身至少需多少平方米的材料吗？探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式活动1创设情景，感受新知。重点知识★要想算出所需材料的数量，我们先要想想：组成帽子的是圆锥体的那个部分？圆锥体的侧面如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，母线SB由于圆锥的侧面是一个曲面，我们不太方便计算其面积，有没有办法将其转化为平面图形呢？沿着圆锥的一条母线，将圆锥侧面剪开并展平，就会得到一个扇形。要想求出所需材料的数量，我们只需要求出这个扇形的面积就可以了，这个问题和我们上节课学习的扇形面积的计算一样了。

但是求这个扇形的面积需要哪些条件呢？它们是已知的吗？探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式重点知识★由于圆锥的侧面是一个曲面，我们不太方便计算其面积，有没有办法①需要知道扇形半径、圆心角度数，其中扇形半径就是圆锥的母线，是已知的，但圆心角度数是未知的；②也可以通过扇形弧长和扇形半径来求，其中扇形半径就是圆锥的母线，是已知的，扇形弧长其实就是圆锥底面圆的周长，是可以求出来的，因此也相当于是已知的。探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式重点知识★①需要知道扇形半径、圆心角度数，其中扇形半径就是圆锥的母线，大家分析得非常好，接下来请大家以小组为单位，完成下列问题串：如图，沿圆锥的一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，（1）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，如图所示，那么这个扇形的半径为________；（2）扇形的弧长其实是底面圆周展开得到的，所以扇形弧长为_____；（3）因此圆锥的侧面积为________，圆锥的全面积为__________。活动2小组合作，探究新知。l2πrπrlπr

（l+r）探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式重点知识★大家分析得非常好，接下来请大家以小组为单位，完成下列问题串：归纳：①如上图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，根据上节课学习的扇形面积公式

（其中l表示扇形的弧长，R表示扇形半径）可知：该圆锥的侧面展开图的面积是

；②圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，表示为：③通过上面两个公式，我们可以看到，只要知道母线、底面半径就可以求圆锥的侧面积的全面积。探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式重点知识★归纳：探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式重点知识★例1.已知圆锥的底面半径为3，母线为4，则它的侧面积是_______，全面积是____________。解：∵母线l＝4，底面半径r＝3∴由圆锥侧面积计算公式得：由圆锥全面积计算公式得：【思路点拨】已知底面半径和母线长，可以直接套用圆锥侧面积和全面积计算公式求得。活动1基础性例题探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲例1.已知圆锥的底面半径为3，母线为4，则它的侧面积是___练习：已知圆锥的底面半径为4，母线为8，则它的侧面积是_______，全面积是_________。解：∵母线l＝8，底面半径r＝4∴由圆锥侧面积计算公式得：由圆锥全面积计算公式得：探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲练习：已知圆锥的底面半径为4，母线为8，则它的侧面积是___例2.已知圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积是_______，全面积是_______。解：∵底面半径为3，高为4，∴由勾股定理得，母线＝5【思路点拨】本题求圆锥的侧面积和全面积时，并没有直接告诉圆锥的母线，需要先用勾股定理求出圆锥的母线。∴由圆锥侧面积计算公式得：由圆锥全面积计算公式得：探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲例2.已知圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积是____练习：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=8，BC=6，将△ABC绕AC所在的直线k旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为（

）A.30πB.40πC.50πD.60π解：将△ABC绕AC所在的直线k旋转一周得到的是一个圆锥体∵∠ACB=90o，AC=8，BC=6∴由勾股定理，AB＝10∴由圆锥侧面积计算公式得：探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲练习：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=8，B例1.已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm²，则这个圆锥的底面半径是________。【思路点拨】已知圆锥的母线、圆锥侧面积，可以逆用圆锥侧面积的计算公式求得圆锥底面半径，实际上圆锥母线、圆锥底面半径、圆锥侧面积三者中可以“知二求一”。解：∵母线长l＝5cm，圆锥侧面积∴圆锥侧面积计算公式：

解得：

r=4∴底面半径为4cm。活动2提升型例题探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲例1.已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm²，则这个练习：用直径为80cm的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计接缝部分），则该圆锥的底面半径是________。解：∵围成圆锥侧面的半圆形的直径为80cm∴圆锥的侧面积为而圆锥侧面积解得：

r=20∴该圆锥的底面半径是20cm。【思路点拨】圆锥侧面积是一个扇形，因此它的面积还可以用扇形的另一个计算公式计算

，用两种计算方式可以得到一个等量关系。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲练习：用直径为80cm的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计接例2.圆锥的底面半径是4，母线长是12，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是_______。解法一：∵圆锥的底面半径是4，母线长是12∴圆锥侧面积＝设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n所以展开图的面积还可以表示为：

∴

，解得：n＝120∴这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120°。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲例2.圆锥的底面半径是4，母线长是12，则这个圆锥侧面展开图解法二：∵圆锥的底面半径是4∴底面周长＝2π×4=8π设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n∵圆锥的母线长是12∴侧面展开图的弧长＝∴

，

解得：n＝120∴这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120°。例2.圆锥的底面半径是4，母线长是12，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是_______。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲解法二：∵圆锥的底面半径是4例2.圆锥的底面半径是4，母线长【思路点拨】圆锥侧面展开图的面积一方面可以通过母线和底面半径来求，即

；另一方面也可以通过扇形本身的面积计算公式来求，即

，这样就得到

，解这个方程即可得到圆锥侧面展开图的圆心角

，其中r表示圆锥底面半径，l表示圆锥母线。还可以根据圆锥侧面展开图的弧长来建立等量关系，一方面圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长

2πr；另一方面圆锥侧面展开图的弧长等于

，这样就得到

，同样可以得到圆锥侧面展开图的圆心角

。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲【思路点拨】圆锥侧面展开图的面积一方面可以通过母线和底面半径练习：用半径为30cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径是_______。解法一：∵扇形的半径为30cm，圆心角为120°∴扇形面积＝设底面半径为r由题意，圆锥的母线为30cm∴圆锥的侧面积＝∴，解得：r＝10

∴该圆锥的底面半径是10cm。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲练习：用半径为30cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的解法二：∵扇形的半径为30cm，圆心角为120°∴扇形弧长＝设底面半径为r∴底面圆的周长为2πr∴

，解得：

r＝10

∴该圆锥的底面半径是10cm。练习：用半径为30cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径是_______。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲解法二：∵扇形的半径为30cm，圆心角为120°练习：用半径【思路点拨】本题可以根据圆锥侧面积的两种不同方法来建立方程：一方面可以通过母线和底面半径来求，即

；一方面也可以通过扇形本身的面积计算公式来求，即

。还可以根据圆锥底面圆周长的两种不同方法来建立方程：一方面可以通过底面半径来求，即2πr；

一方面也可以通过扇形的弧长计算公式来求，即

。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲【思路点拨】本题可以根据圆锥侧面积的两种不同方法来建立方程：例1.回到一开始提出的圣诞帽问题：如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，母线SB=15cm，底面半径OB=5cm，要生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算帽身至少需多少平方米的材料吗？（π取3.142）活动3探究型例题探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲例1.回到一开始提出的圣诞帽问题：如图，玩具厂生产一种圣诞老解：∵母线SB=15cm，底面半径OB=5cm∴一顶圣诞帽需要的材料是cm²∴生产这种帽身10000个，需要

cm²＝75πm²

≈

235.65m²。∴玩具厂至少需235.65平方米的材料【思路点拨】已知底面半径和母线长，可以直接套用圆锥侧面积公式即可，但实际问题需要注意单位问题。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲解：∵母线SB=15cm，底面半径OB=5cm【思路点拨练习：圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少纸？（结果精确到0.1cm2）解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为lcm，∵纸帽的底面周长为58cm，∴

，解得：

又∵纸帽的高为20cm∴由勾股定理得：

∴一顶纸帽的面积为∴要制作20顶这样的纸帽至少要用

。【思路点拨】要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少纸，

只要计算纸帽的侧面积即可。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲练习：圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸例2.如图，圆锥的底面半径是1，母线长为6，一只蚂蚁从底面圆周上一点B，沿圆锥侧面爬行一圈，再回到B点，请问它爬行的最短距离是多少？解：设圆锥侧面展开图为扇形ABB’，连接BB’，则BB’为蚂蚁走过的最短路径，设∠BAB’＝n°，∵AB＝AB’＝6则弧BB’＝

又∵弧BB’＝底面圆的周长＝2πr＝2π∴

，解得：n＝60°∴∠BAB’＝60°探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识▲