数字测量学-5测量误差基本知识

第五章测量误差基本知识

第五章测量误差基本知识

第一节测量误差概述

一、测量误差的定义在测量工作中，各观测值之间或在观测值与理论值之间不可避免地存在着差异，称这些差异为观测值的测量误差。设某观测量的真值为X表示。若以（i=1,2,…,n）表示对某量的n次观测值，并以△表示真误差，则真误差可定义为观测值与真值之差，即

第一节测量误差概述

若用xi表示X的估值，vi表示改正数，则

第一节测量误差概述二、测量误差的产生外界环境、测量仪器和观测者构成观测条件。1、外界环境

主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、大气折光、风力等因素的不断变化，会导致观测结果中带有误差。2、仪器误差

仪器制造误差；检校残余误差3、观测误差

观测者的感官的鉴别能力、技术熟练程度和劳动态度等也会产生误差。第一节测量误差概述观测条件不可能完全理想，测量误差的产生不可避免。但是，在测量工作实践中，可以采取一定的措施和方法来改善乃至控制观测条件，从而能够控制测量误差。观测结果的质量与观测条件的优劣有着密切的关系。观测条件好，观测误差就可能会小一些，观测质量相应地会高一些；反之，观测结果的质量就会相应降低。当观测条件相同时，可以认为观测结果的质量是相同的。在相同条件下所进行的一组观测为等精度观测，而称在不同条件下所进行的一组观测为非等精度观测。

第一节测量误差概述三、测量误差的分类测量误差按性质可分为两类：系统误差偶然误差（又称随机误差）。此外，还有属于错误性质的“粗差”。第一节测量误差概述1、系统误差在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，若误差的数值和正负号按一定规律变化或保持不变（或者误差数值虽有变化而正负号不变），具有这种性质的误差称为系统误差。性质：这些误差在测量成果中具有累积性，对测量成果质量的影响较为显著。减弱措施：由于这些误差具有一定的规律性，所以，可以通过加入改正数或采取一定的观测措施来消除或尽量减少其对测量成果的影响。【例】钢尺名义长度为30m，实际长度为29.99m，则每量30m的距离，产生1cm的误差，丈量60m的距离，产生2cm的误差。第一节测量误差概述2、偶然误差

在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，若误差的取值有多种可能，其数值和正负号均无法确定。即，就误差列中的单个误差来看，其数值和正负号没有规律性，但从误差列的总体来观察，则具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差，又称随机误差。例如，望远镜瞄准目标时产生的照准误差；在水准尺估读毫米的读数误差等，都属于偶然误差。第一节测量误差概述2、偶然误差

在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，若误差的取值有多种可能，其数值和正负号均无法确定。即，就误差列中的单个误差来看，其数值和正负号没有规律性，但从误差列的总体来观察，则具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差，又称随机误差。性质：是服从或近似服从正态分布的随机误差。偶然误差是由观测条件受到诸多无法预料的因素影响所致。偶然误差，就个别值而言，在数值和正负号上确实无规律可循，是无法预知的。在测量工作中，只能减小偶然误差的影响，而无法将其完全消除。第一节测量误差概述在观测过程中，系统误差和偶然误差总是相伴而生的。当系统误差占主导地位时，观测误差就呈现一定的系统性；反之，当偶然误差占主导地位时，观测误差就呈现偶然性。系统误差有明显的规律性，容易发现，也较易控制，所以在测量过程中总可以采取各种办法消除其影响，使其处于次要地位。而偶然误差则不然，不能完全消除，故本章中所讨论的测量误差，均系指偶然误差而言。第一节测量误差概述3、粗差

粗差是测量中的疏忽大意而造成的错误或电子测量仪器产生的伪观测值。

粗差非常有害，会对工程造成难以估量的损失。所以，应尽早将粗差剔除。

第二节偶然误差的特性

一、观测实验与偶然误差的分布

实验：相同观测条件下，独立地观测217个三角形的全部内角，由于观测结果中存在偶然误差，三角形的三内角观测值之和不等于其理论值180°，由下式可求得每个三角形三内角和的真误差(又称三角形闭合差,属偶然误差），即

式中:表示第i个三角形的闭合差，表示第i个三角形三内角之和，符号“[]”为高斯求和符号，等价于“∑”。第二节偶然误差的特性分析：将217个真误差分成正误差和负误差两类，并分别按绝对值大小，从小到大排序。取误差区间为d△=3″,统计落在各区间正负误差的个数ni和真误差落在某区间这一事件的频率为(N为真误差总数，即N=217)，统计结果如表所示。统计时将等于区间上限的真误差统计在下一个区间内，如d△=3″不属第一区间0″～+3″，而属第二区间+3″～+6″。第二节偶然误差的特性误差区间dΔ/″正误差负误差合计个数ni频率ni/N个数ni频率ni/N个数ni频率ni/N0-3300.14290.13590.273-6210.10200.09410.196-9150.07180.08330.159-12140.06160.07300.1312-15120.06100.05220.1115-1880.0480.04160.0818-2150.0260.03110.0521-2420.0120.0140.0224-2710.0000.0010.0027以上00.0000.0000.00∑1080.501090.50217100%第二节偶然误差的特性从上表可看出：误差出现的频率与误差大小有关，即绝对值小的误差出现的频率较大，而绝对值大的误差出现的频率较小；在各区间内，正误差和负误差的个数相近，且正误差的总个数（108）和负误差的总个数（109）几乎相等；真误差的绝对值不会超过某一定值（本次实验为27″）等。第二节偶然误差的特性若以横坐标表示真误差大小，以纵坐标表示真误差在各区间的分布密度（频率除以误差区间长，即 ()/)。可以将表制作成真误差分布图，又称直方图。直方图可以更形象地表达217个真误差的分布状态第二节偶然误差的特性

若按照上述方法再做一些测量实验，其测量结果仍会显示出类似的规律。通过大量测量实验统计结果，特别是当观测次数很多时，可总结出偶然误差的如下特性：（1）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超出一定限值（有界性）；（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多（或称概率大，密集性）；第二节偶然误差的特性(3)绝对值相等的正、负误差出现的机会相等(对称性)；(4)当观测次数n无限增加时，误差的算术平均值(数学期望)趋近于零(抵偿性),即

式中:为真误差代数和,即第二节偶然误差的特性图所反映的误差分布（观测次数有限）称为经验分布。当观测次数n→∞、误差区间间隔无限缩小时，落在各区间的误差频率

将趋近于其概率P(△i)，这时直方图中长方形顶边所形成的折线将变成一条光滑曲线，称为误差的理论分布（或误差分布曲线），这就是概率论中著名的高斯正态分布。二、误差分布曲线第二节偶然误差的特性式中:横坐标表示误差的大小，为偶然误差(随机变量)的标准差,标准差的平方为方差:第二节偶然误差的特性高斯正态分布曲线的纵坐标表示误差分布的概率密度，它是偶然误差的函数，简称概率函数,概率密度函数的数学模型记为f(△)

第二节偶然误差的特性曲线下的面积是误差出现的概率，即:

当观测次数无限增加时，△的所有可能取值均出现，“误差落在误差曲线与横轴所包围的面积内”这个事件是必然事件，误差出现的概率等于1，即第三节衡量精度的指标从前面的分析可以知道，测量成果中会不可避免地含有误差。什么样的测量成果才算合格?第三节衡量精度的指标一、精度与观测质量

高斯分布曲线有一个峰顶和两个拐点,当△=0时,密度函数有最大值;两拐点的横坐标值为

由于横轴和其垂线,所包围的曲边形面积,是误差落在区间(-σ，+σ)的概率，为一定值，所以当参数σ的绝对值愈小时,曲线愈陡峭，表示误差的分布愈密集；反之，当参数σ的绝对值愈大时，曲线愈平缓，表示误差的分布愈离散。第三节衡量精度的指标由于横轴和其垂线,所包围的曲边体形面积,是误差落在区间(-σ，+σ)的概率，为一定值，所以当参数σ的绝对值愈小时,曲线愈陡峭，表示误差的分布愈密集；反之，当参数σ的绝对值愈大时，曲线愈平缓，表示误差的分布愈离散。第三节衡量精度的指标精度——误差分布的密集或离散的程度。精度高，表示误差分布密集，反映了观测条件好、观测质量高；反之，精度低，表示误差分布离散，反映了观测条件差、观测质量低。因此，精度可用来衡量观测质量的好坏，是测量上的一个重要概念第三节衡量精度的指标精度描述了观测条件的好坏和观测质量的高低。要特别注意，精度所反映的是在一定的观测条件下，真误差群体的分布状况，而绝不是个别真误差的大小。第三节衡量精度的指标当观测条件一定时，误差分布状态唯一被确定，误差分布曲线的两个拐点也唯一被确定。用σ作为精度指标，可以定量地衡量观测质量。所以在衡量观测精度时，就不必再作误差分布表，也不必绘制直方图，只要设法计算出该组误差所对应的标准差σ值即可。二、常用的精度指标1、中误差m高斯分布密度函数中的参数σ，在几何上是曲线拐点的横坐标，概率论中称为随机变量的标准差（方差的平方根）。第三节衡量精度的指标用测量专业的术语来叙述标准差σ：在一定观测条件下，当观测次数n无限增加时，观测量的真误差△i的平方和的平均数的平方根的极限，由下式表示：

式中为真误差的平方和：σ的平方称为方差σ2

，在概率论中有严格的定义：方差σ2是随机变量x与其数学期望E(x)之差的平方的数学期望，用数学公式表达就是第三节衡量精度的指标通常，观测次数n总是有限的，只能求得标准差的“估值”，记作m，称为“中误差”。其值可用下式计算：

由中误差的定义可知，中误差m不等于每个测量值的真误差，它只是反映这组真误差群体分布的离散程度大小的数字指标。第三节衡量精度的指标2、平均误差θ

定义：在一定观测条件下，当观测次数n无限增加时，真误差绝对值的理论平均值的极限称为平均误差，记作

因观测次数n总是有限的，故其估值表示：

式中为真误差绝对值之和。第三节衡量精度的指标3、或然误差ρ在一定观测条件下，当观测次数n无限增加时，在真误差列中，若比某真误差绝对值大的误差与比它小的误差出现的概率相等，则称该真误差为或然误差，记作ρ。因观测次数n有限，常将ρ的估值记作ω。或然误差ω可理解为：将真误差列按绝对值从大到小排序，当为奇数时，居中的真误差就是ω；当为偶数时，居中的两个真误差的平均值作为ω。第三节衡量精度的指标平均误差、或然误差与中误差有如下关系：

θ≈0.7979mω≈0.6745m作为精度指标，中误差最为常用，因为中误差更能反映误差分布的离散程度。第三节衡量精度的指标例[5-1]

设对某个三角形的内角用两种不同精度的仪器各进行了10次观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为

Ⅰ列:3",-4",-3",4",-5",-2"，3",3",-4",5"

Ⅱ列:-1",0",12",0",-1",-10",1",0",1",-10"

试求其观测精度。第三节衡量精度的指标1）用中误差公式计算

2）用平均误差公式计算

3）用或然误差公式计算按绝对值将误差列由大到小排序，即Ⅰ列:5″,5″,4″,4″,4″,3″,3″,3″,3″,2″Ⅱ列:12",10",10",1″,1″,1″,1″,0″,0″,0″

第三节衡量精度的指标计算结果表明：用中误差衡量观测精度,第一列高于第二列,符合客观实际,因第二列中有+12″，-10″，-10″三个大的误差存在，误差分布离散。很显然，用平均误差和或然误差来衡量观测精度,在本例均未有效地反映实际情况。Ⅰ列:3",-4",-3",4",-5",-2"，3",3",-4",5"Ⅱ列:-1",0",12",0",-1",-10",1",0",1",-10"第三节衡量精度的指标4、极限误差在一定观测条件下，误差不会超出一定的限值。当误差超过限差时，就认为观测结果不符合要求，应舍去。我们称这样的限值为限差。理论及实验研究表明,误差落在区间(-kσ,+kσ)的概率为

k=1时，P（△）≈68.3%；

k=2时，P（△）≈95.5%；

k=3时，P（△）≈99.7%。第三节衡量精度的指标由此可见：误差大于2倍中误差时，出现的概率仅为4.5%；误差大于3倍中误差时，出现的概率为0.3%。由于大于2倍中误差的偶然误差出现的机会已很小，因此测量工作中常取2倍中误差作为误差的限值，称为测量成果取舍的限差，也称容许误差，即△限=2m在测量工作中，真误差、中误差和容许误差都称为绝对误差。第三节衡量精度的指标5、相对误差

在进行精度评定时，有时仅利用绝对误差还不能反映测量的精度。因为有些量,如长度,用绝对误差不能全面反映观测精度。

定义：绝对误差与测量值之比，记作K。习惯上相对误差用分子为1的分数表达，分母越大,相对误差越小，测量的精度就越高。第三节衡量精度的指标解：若用绝对误差衡量测量精度，因m1=m2=±10mm,无法判别那条边长丈量的精度更高。

计算相对误差：

即第二条边丈量精度高于第一条边。距离测量中常用相对误差衡量测量精度。例[5-2]

用同一把已检定过的钢尺分别丈量两条边，长度分别为30m和90m，其中误差(绝对误差)均为±10mm。试衡量其测量精度。第四节

误差传播定律及其应用测量工作中,许多量不是直接观测值,而是观测值的函数。阐述观测值中误差与其函数中误差之间数学关系的定律称为中误差传播定律。利用中误差传播定律即可求得观测值函数的中误差。观测量与观测量之间的函数关系多种多样，但归纳起来可分为线性关系和非线性关系。

第四节

误差传播定律及其应用一、线性函数

(一)倍数函数

设未知量Z与未知量X之间,存在倍数关系为 Z=kX

式中,k为常数(无误差,下同)。

设X的观测值为x,则Z的计算值z为z=kx

又设观测值x的中误差为mx,现在要求z的中误差mz。第四节

误差传播定律及其应用

设x和z的真误差分别为△x和△z,由真误差定义式(5-1)得,Z=z-△z,X=x-△X,则可得△X和△z的函数关系为

若对X共观测了n次，则有

将上式两边平方，得

将上式两边同时求和,并除以n,得第四节

误差传播定律及其应用由中误差定义可得:

;

于是，上式可写为：由此可见:观测值与常数乘积的中误差,等于

观测值中误差与常数的乘积。第四节

误差传播定律及其应用例[5-3]:在1:500比例尺地形图上,量得两点间的水平距离d=23.4mm,其中误差md=±0.2mm。试求此两点间实地的水平距离D及其中误差mD。解:依题意,两点间实地水平距离D及其中误差分别为

D=500d=500×23.4=11700mm=11.7mMD=kmd=500×(±0.2)=±100mm=±0.1m

则最后答案可写为：

D=(11.7±0.1)m表示测量值为11.7m，测量中误差为±0.1m。第四节

误差传播定律及其应用(二)和或差函数

设有未知量Z为其他两个独立的观测量X,Y的和函数或差函数,可合写为Z=X±Y X和Y的观测值分别为x和y,由此得函数的计算值z为

z=x±y

已知x和y的中误差分别为mx和my,现求z的中误差mz

用前述同样的推导方法，可得：

或由此可见：两独立观测值的代数和的中误差，等于这两个独立观测值中误差平方和的平方根。上式可表述为:n个同精度观测值代数和的中误差等于观测值中误差的倍。第四节

误差传播定律及其应用当z是一组独立观测值x1、x2、…、xn的和或差函数时,即z=x1±x2±…±xn根据上述推导方法，可得函数z的中误差平方为

式中为观测值xi的中误差。特别是当诸xi为同精度观测值时,有,则上式可写为

第四节

误差传播定律及其应用例［5-4]:对某△ABC,不等精度观测了两个内角A、B,其值分别为:∠A=64°21′06″±4″∠B=70°35′40″±3″

求∠C及其中误差。第四节

误差传播定律及其应用例［5-4]:对某△ABC不等精度观测了两个内角A、B，其值分别为:∠A=64°21′06″±4″ ∠B=70°35′40″±3″

求∠C及其中误差。解:∠C=180°－∠A－∠B=45°03′14″

由于∠C=180°－∠A－∠B，根据中误差传播定律, mC2=mA2+mB2=32+42=25

得mC=±5″

所以,∠C=45°03′14″±5″第四节

误差传播定律及其应用(三)一般线性函数

由此可见:线性函数的中误差的平方,等于各常数与其相应观测值中误差乘积的平方和。式中,k1,k2,…,kn为常数。设各观测量的观测值x1,x2,…,xn,其中误差分别为m1,m2,…,mn。则得设未知量Z为独立观测量X1,X2,…,Xn的线性函数,即第四节

误差传播定律及其应用例[5-5]:设有线性函数

式中x1，x2，x3为独立观测值，其中误差分别为m1=±3mm、m2=±2mm、m3=±1mm，求z的中误差。解:按上式,并将x1、x2、x3的中误差代入后可得所以第四节

误差传播定律及其应用二、非线性函数

设未知量Z与独立观测量X1,X2,…,Xn之间有如下的函数关系

Z=f(X1,X2,…,Xn)

设X1,X2,…,Xn的观测值为x1,x2,…,xn,其中误差分别为m1，m2，…，mn。由观测值求得函数的计算值为z=f(x1，x2，…，xn)第四节

误差传播定律及其应用

求上述函数的全微分，得

式中，是函数关于各变量x1，x2,…,xn的偏导数,若以观测值代入,则它们皆为常数,并以真误差的符号“△”替代微分的符号“d”,因而上式可认为是线性函数,由公式(5-30)得

z=f(x1，x2，…，xn)第四节

误差传播定律及其应用

由此可见：

一般函数的中误差的平方，等于该函数各观测值的偏导数与相应观测值中误差乘积的平方和。上式为误差传播定律的一般形式，其他形式的函数都可看作它的特例。第四节

误差传播定律及其应用

于是,求非线性函数的中误差的方法可归纳为以下步骤:

1、根据问题列出函数关系式

式中,f为函数形式的一般符号,其具体形式由题意确定。

2、对函数求全微分

式中(i=1,2,…,n)可用观测值代入求得其值。第四节

误差传播定律及其应用3、用中误差符号代替微分符号,写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式:

应当指出的是,只有各观测值相互独立,即观测值之间不存在函数关系时,才能应用误差传播定律。

第四节

误差传播定律及其应用例[5-6]:已知一条边长D=200±0.02m,该边坐标方位角α=52°46′40″±20″。试求纵坐标增量的中误差。

解:(1)列出函数关系式

(2)求全微分

第四节

误差传播定律及其应用

(3)将微分式写成中误差式并求出函数中误差,得

(52°46′40″)(52°46′40″)

所以,第四节

误差传播定律及其应用三、误差传播定律在测量上的应用

(一)距离测量的中误差

用钢尺量距：设用长度为l的钢尺丈量A、B两点之间的距离S，共量了n个尺段，若每尺段丈量中误差均为ml，求S的中误差。

因为S为各尺段li的线性函数,即 S中误差应为上式表明:距离丈量的中误差与所测尺段数n的平方根成正比。第四节

误差传播定律及其应用

推而广之,当用光电仪器测距时,通常已知每公里距离测量中误差(比例误差),设为mkm,则对D公里的距离,其中误差应为

上式表明:光电测距的中误差与所测距离的平方根成正比。

第四节

误差传播定律及其应用 (二)水准测量的中误差

设在A、B两点之间,共设n站,则A、B两点之间的高差为:

设每站的高差观测中误差均为m站,则A、B两点之间的高差中误差为

在平坦地区，各站的视线长度大致相等，每公里的测站数也大致相同，故可认为每公里水准测量高差的中误差相同，设为mkm，则:

第四节

误差传播定律及其应用

上式表明:在平坦地区进行水准测量时,水准测量高差的中误差与距离S(以公里为单位)的平方根成正比。可见,水准路线越长，高差中误差就越大。或第四节

误差传播定律及其应用

(三)导线测量中角度测量的误差传递

下面通过例子说明角度测量误差在导线测量过程中的传递情况。例[5-8]:在导线测量中，若各转折角的中误差为，若不考虑起始边坐标方位角的中误差，求第n条导线边的坐标方位角的中误差。第四节

误差传播定律及其应用

解:导线终边方位角为由式(5-27)得：

即第五节观测值的算术平均值及其中误差

一、观测值的算术平均值

在相同的观测条件下，对某一未知量(如角度或边长)的真值为X，对该量作n次观测，设n次观测值分别为l1、l2、…、ln。则观测值的真误差为△i(i=1，2，…，n)，即第五节观测值的算术平均值及其中误差

等式两边求和并同除以n，有

式中称为“算术平均值”，习惯以x表示；当观测次数无限增加时，根据偶然误差特性(4)，式中趋近于零。于是可得

第五节观测值的算术平均值及其中误差

在实际工作中,观测次数总是有限的,算术平均值x作为未知量的估值，称为未知量的“最或是值(或称最可靠值)”，它比任何观测值都接近真值。

算术平均值的一般表达式为

以上所述就是算术平均值原理,它是测量中重要理论之一。第五节观测值的算术平均值及其中误差二、算术平均值的中误差

根据算术平均值的计算公式

设各观测值的中误差均为m，1/n为常数，若以mx表示平均值的中误差，则得算术平均值的中误差计算公式为

第五节观测值的算术平均值及其中误差

从而

即算术平均值的中误差与观测次数的平方根成反比，或者说，算术平均值的精度比观测值的精度提高了倍。第五节观测值的算术平均值及其中误差三、用改正数计算等精度观测值的中误差

用真误差求观测值的中误差,即

用改正数计算观测值的中误差,即

式中

为观测值的改正数。第五节观测值的算术平均值及其中误差推导如下:1)改正数等于独立观测值的最或然值x与观测值的差，即

其中，n为观测次数。

第五节观测值的算术平均值及其中误差2)改正数的性质∵将上式两边求和，有由于，代入上式，有

[v]=0

结论：改正数的和恒等于零。这一性质可作为计算的检核。第五节观测值的算术平均值及其中误差3)用改正数计算观测值的中误差由前面已列出的两个关系式，即

以上两式相加，有

式中，△x=x-X为算术平均值x的真误差。第五节观测值的算术平均值及其中误差

由此得观测值的真误差为

上式两边平方后求和，有

∵∴上式第三项为零，将上式等号两边同除以n，便有式(5-45)

第五节观测值的算术平均值及其中误差

其中，

是算术平均值的真误差：

第五节观测值的算术平均值及其中误差

根据偶然误差特性(4)，当n→∞时，上式右边第二项趋于零。这样上式为：

将其代入式(5-45)，得

即，

第五节观测值的算术平均值及其中误差

整理后得

上式即为用改正数来求观测值中误差的公式，称为白塞尔公式。

若将此式代入式(5-41)，则得用改正数计算观测值算术平均值中误差的计算公式为第五节观测值的算术平均值及其中误差

例[5-9]

设用经纬仪对某角等精度观测了6个测回，其观测值列于表5-2中，试求该角的最或然值、观测值中误差和最或然值中误差。解:(P103表5-2)第五节观测值的算术平均值及其中误差四、关于观测次数的讨论

根据式(5-46)，当m一定时，随着n的增大，m的值不断减小，即x的精度不断提高。但当观测次数增加到一定数目以后,再增加观测次数，精度则提高得很少。可见，一味地增加观测次数并不一定有利。第五节观测值的算术平均值及其中误差在测量工作中，观测次数有时称为测回数。测回数的定义随观测量不同而不同经纬仪测角时，盘左盘右各一次称为一测回；光电测距时，瞄准反射棱镜一次，连续从显示器上读得四个数据称为一测回。在生产实践中，决定观测次数或测回数，主要依据工程要求、仪器精度等因素，有关“规范”均有相应的规定。第五节观测值的算术平均值及其中误差例：设某经纬仪一个测回的测角中误差为6〃，现用这台经纬仪观测一个角度，要求该角度的测量中误差为3〃

，请问需要观测几个测回？

解：已知,求n=?

由式(5-41)得:

所以，n=4(测回)第六节由真误差计算中误差在测量工作中,虽然观测量的真值不容易得到，但有时由若干个观测量(如长度、角度和高差等)所构成的函数，其真值是知道的,于是这些观测值函数的真误差可以求得。这种情况下,就可以用真误差来计算中误差。下面介绍两个在测量工作中经常用到的由真误差计算中误差的公式。第六节由真误差计算中误差一、由三角形闭合差求测角中误差——菲列罗公式