2021年高考真题数学试卷-全国甲卷理科

2021年高考真题数学试卷-全国甲卷理科一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设集合M={hD<h<4},N=0g4^Ws},则&k=（）.A.B.，工 C.{]|4W£<5}D.5|0<工忘5}A.该地农户家庭年收入低于「万元的农户比率估计为K.B.该地农户家庭年收入不低于.：「万元的农户比率估计为1・，C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过i「万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于「，万元至、「，万元之间3、已知.|i：二一则——（）.B.--I： C. D.-，

4、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据上和小数记录法的数据「满足；一」’」.已知某同学视力的五分记录法的数据为I」、则其视力的小数记录法的数据约为"I：「I（）.C.A.I.--C.5、已知\,个是双曲线，的两个焦点，「为，上一点，且『 3,，，则1的离心率为（）.B.T C-- D.」6、在一个正方体中，过顶点：的三条棱的中点分别为『.，？・，，，'.该正方体截去三棱锥.4一厂门，后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）.7、等比数列，「的公比为；，前，・项和为.、,，设甲：".I乙：•是递增数列，则（）.A.甲是乙的充分条件但不是必要条件甲是乙的必要条件但不是充分条件甲是乙的充要条件甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8、•,那年1二月、日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为、-，力（单位：：：），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有一4,L',，三点，且.1,匚，i在同一水平面上的投影V,"，：,’满足—：「3」，，.；；；「工..由

10、将I个.和，个।：随机排成一行则」个・；不相邻的概率为（).A.D.-11110、将I个.和，个।：随机排成一行则」个・；不相邻的概率为（).A.D.-111、已知一4，L'，，是半径为I的球■:，的球面上的三个点，且.’!1 ：•；：・，棱锥口的体积为（）.A3n..1.2B值B.1.2C….-1D.12、设函数：，•：的定义域为R，I：•」为奇函数，.1,二为偶函数，当工时9 3 7 5A.I B.I C.I D-

二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分．13、曲线;:=：,）在点：..；处的切线方程为14、已知向量•；一：」， .；：：，——.，•，・..若•；I■，则/- 16 1 '且「'：，则四边形的面积为15、已知，」，二为椭圆- 16 1 '且「'：，则四边形的面积为16、已知函数—I"，；.' 的部分图像如图所示，则满足条件f⑸-ff⑸-f(—f))47r••的最小正整数.为13-JT三、解答题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题．考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17、甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了二二件产品，产品的质量情况统计如下表：一缎品二级品附.汇J.附： 5+切9+阂9+劝（5+由，甲机床15050200乙机床1208。200合计270130400>A)0.0500.0100,001kX8416.6351.0.828（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有乂,.的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?18、已知数列一的各项均为正数，记》为一的前：项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列，」是等差数列；②数列｛国是等差数列；③JI」.19、已知直三棱柱二门’-二工，.中，侧面」」；：3为正方形，〃——『.，，，・分别为士.和1。的中点，口为棱！ 上的点，中一：.(1)证明：⑦ .(2)当33为何值时，平面：「.「与平面。丁二所成的二面角的正弦值最小?20、抛物线,的顶点为坐标原点J,焦点在•••轴上，直线•'：..交『于』•，②两点，且：：；.已知点「二「，且…』,与：相切.⑴求"'的方程.(2)设！，匕二是一上的三个点，直线.！！，.！「均与■工相切.判断直线.！「与■的位置关系，并说明理由.21、已知'；•,且，•,一.，函数" 「•・：：.a：⑴当，：二时，求；L的单调区间.(2)若曲线.，「-：与直线,• ।有且仅有两个交点，求■的取值范围.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．【选修44：坐标系与参数方程】22、在直角坐标系•」，,•中，以坐标原点为极点，.•■轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，.的极坐标方程为"；".'•.；'.⑴将i的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)设点：的直角坐标为..；，.U为，上的动点，点，满足I；: .，写出点/的轨迹，.的参数方程，并判断f与，.是否有公共点.［选修45：不等式选讲］23、已知函数--■--, I-(2)若■•I「.，求■的取值范围

参考答案参考答案1、【答案】B;【解析】如数轴所示：-jl 301 45—｛唱“4故选_;.2、2、【答案】C;【解析】A选项：低于「万元对应的名二为::.二：:.-；，由于组距为.，故频率即为：：.। ，故A正确;B选项：不低于.；「万元对应的;二为::.：二1」」2 ；：2—二.1,由于组距为I,故频率即为!! ”「故B正确;c选项：峰值出现在-「位置，平均值应为一二左右，也可估计平均值为0J12xlx3+0.04xlx4+OJOx1x5+0.14x1xG+0-20xLx7-HJ.20x1x8+0JOx1x94-0.10x1x10+0.04：.._——：：二. ；：.._!I：.八，故「错误;频率D选项：介于I-万元与、，-，万元之间的「为：：；】•二「：：：「：一】，，由于组距为I,故频率即为::. ⑺..，超过一半，故口正确.3、【答案】B;?十2i3+2l -2+3i【解析】:一一2一- 2故选.；.4、【答案】C;TOC\o"1-5"\h\zI.-- ',卜=10一巾=七 七0.8助0 L2695、【答案】A;【解析】设•一"则',由余弦定理得/：，.：一「，：广一：'：7. 2:£即।-r,■-,6、【答案】D;【解析】直观图如图所示：

故侧视图为D.故选3.7、【答案】B;【解析】对，•1—--,二2.，但、・单调递减，若‘二•为递增数列，• 一—," ；；(/—।(]—1Sr十Sr十1-Sh=在1f十1—的Q” 1)」二对,.二、成立••・,•1 1：,''",•・乙可以证明甲，甲无法证明乙，•・甲是乙的必要不充分条件.故选B.8、【答案】B;【解析】如图，作口：以，.于点，，，」?「；：'作：‘？！于点：，」门1 ，,

」.…।I-；i：二」【，」.…।I-；i：二」【，,, -tan150•3「,二：.：：,在 中，由正弦定理B!GfA/我,Siu750sin150二11". ..；.：,nA： .，・•・：「，；■ :\月月1:;.■・、：「故选」.9、【答案】A;sin2a2sinricosci tx竭门【解析】,―二；「‘二J.- ： .2、土一，二1-„i■----..1■1一二-•一■,,・•・一，一।,4・•・：，一4TOC\o"1-5"\h\z..6g /正••I111 ・cosr＞： 1!)故选A10、【答案】C;【解析】H个数随机排列，则从H个位置选，个放•、其余为।,故有「：.一种方法，二个I：不相邻，则由插空法，从I个I形成的，个空中选，个放■、故有L -种方法.则'个I:不相邻的概率为：二1.故选「.11、【答案】A;【解析】设一为点：、/；、，.所在小圆的圆心贝卜一平面一TW,即一为三棱锥3.：中的高，由1,12、【答案】D;【解析】•・•：：•」为奇函数，•・.‘ ■ —」，一..，即：■•:关于点对称，且.‘.一，:—'二•…-2：为偶函数，•・・‘, 门，即・’,■•:关于直线• 2对称，；——「.—：：.为周期函数，且11.，・•・ .•:「三二/时，:.；■.■■■■:■■,.f/⑴=口+方=0'| I.•. |；，.[3—2曰.一:；=;.「.故选3.13、【答案】，-;【解析】1三TOC\o"1-5"\h\z…2342)—3—1) 5-- -「I，口-，匕，切线方程为二・"，"：，即：.'=："-.14、【答案】 ：；【解析】由题意得：■mi；,-1>'',解得.•:=--15、【答案】卜；【解析】如图：由对称性知-,：, ：-,,・•・四边形〃一（”为平行四边形，又,・•・四边形日」，,为矩形，且/；；・=.，：.又二•点「在『上，-，-•,设厂'一,,则厂；一，,，16、【答案】士【解析】由图可知，的最小正周期，；［二一：.

当.：：时，TT・•..一 •••」•/,：），2问7T7T2当.：：时，TT・•..一 •••」•/,：），2问7T7T2-6:. .■,■:；：：或；：一.:「「无整数；满足•的离"17、【答案】（1）甲机床［乙机床;.（2）有.【解析】（1）设；为甲机床生产的产品中一级品的频率，为乙机床生产的产品中一级品的频率，_15g_3 1迎_3，，，3 3答：甲机床生产的产品中一级品的频率为一乙机床生产的产品中一级品的频率为二.400•」一,…以400x(150x80-120x50)2400•」一,।- 270乂130x200工200，：、.- ，~,・•・有!।；的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.18、【答案】证明见解析．【解析】选取①③：不妨设数列的首项为」.，公差为：，且■・'.••：；，，：'.」则，•’ ■■ .L由・：:「I得-'“，--'''' ''I,.。门（修十为） 二••・'■一■ ■■■，故对―，•国，」 ,「•」为定值，♦・丁,、，为等差数列.选取②③：・•卜「.是等差数列，设+'h",:】，.[=工」+2A3十区」「一」一工岂‘.■'： !'i,.•、： ''I,1.1 l.'i/.' :「...，二3Li；『，一：，二!.」或3—,,J.当"一.i时，,一...1,不合题意，舍去当6 「时，一，，即।.「，:.：二1.「，；...二二..当■‘一二时，■・・・・、'.-।上「，」.符合，,/•■'I—--：."',..'是等差数列.选取①②：V.■为等差数列，卜、为等差数列，・•・%. ①，厂: <■■■...…②，由①②得力，・：•「_,即X: ■- .士一：，也即：：!'iI,• ,二•：」！”.19、【答案】（1）证明见解析．（2）一•【解析】（1）・・・侧面一4」；：3为正方形・•・・’!」.平面占「3,

二.！门I平面3Y3.取热的中点一叮，连接二二，七；。•・•［、H分别为.上、朋.的中点，:.…•，，', ■.■1平面巾「3,.在四边形"」一中，股以，（■'''1,.•.：；，,平面 ,.口」所在直线为常轴⑵如图，以L'为原点，所在直线为」轴，口」所在直线为常轴M3.所在直线为.轴建立空间直角坐标系，则"」：..；，「、.：「，.「；，/■..-：, ：,设3；.•「：；「_,显然，平面的一个法向量1.」工, ,设：为平面3一的法向量，则|［三。

20、【答案】（1）,■,■•；；：..■二,-：I.（2）直线W・与■.3相切；理由见解析.【解析】（1），/1，1；,设抛物线的方程为7-，代入：'.'・・・「得I；' ,.•.J: .■,■二：二：-1:I.（2）设i।［；।）, । ）,三二.；），直线只的方程为：

y=的+的y=的+的1/12/2-I! ，即r一■■ । .：一二；直线v.的方程为：1 ,仍期TOC\o"1-5"\h\z.■1 ,助+的."]+由即,..■■■：—：：-；；.•・•直线・！！与・"相切，* ①一\，一一 ①•.•直线一丹乂与■相切，* ②\o"CurrentDocument"*J-- ②①变形为I ，：二「：• ■.I-，②变形为I，- ‘：口，・•・；・，「为方程I’…幼.；"一二的两个根，,2的,・•・：+：一 ,行]又直线•！！■的方程为：''：,<「",「：：•一•，24-姆+1病+121、【答案】（1）]■:在। 上单调递减，在I：[L上单调递增■■1...■ ■, .【解析】（1）由题意得；.， 「一‘，则.」 •2'二'二，■■：1..,令；「•,，得’[I卜」，令.-1,・R，得，,,故：■•:在।一「、：上单调递