广西壮族自治区河池市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区河池市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合，所以.故选：A.2.若，则的值为（）A.2 B.3 C.5 D.8【答案】D【解析】由，得，解得，由，得，解得，所以.故选：D.3.已知则（）A. B.7 C.10 D.12【答案】C【解析】.故选：C.4.“的最小正周期为”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当的最小正周期为时，有，即充分性不成立；当时，的最小正周期为，即必要性成立；所以“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.已知指数函数的图象经过点，则（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】由指数函数的图象经过点，得，解得，所以.故选：A.6.已知正实数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】正实数满足，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值.故选：C.7.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，又，，，所以.故选：C.8.设，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依题意，，而，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论不正确的是（）A.是第三象限角B.若圆心角为的扇形的面积为，则该扇形的弧长为C.若角的终边过点，则D.若角为锐角，则角为钝角【答案】CD【解析】对于A，是第三象限角，A正确；对于B，令扇形所在圆半径为，则，解得，所以该扇形弧长为，B正确；对于C，角的终边过点，则，则，C错误；对于D，当时，角为锐角，而是直角，D错误.故选：CD.10.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，则下列选项中不是同一个函数的是（）A.与 B.与C.与 D.与【答案】ACD【解析】对于A，函数定义域为R，定义域为，A不是；对于B，函数与的定义域均为R，且，与是相同函数，B是；对于C，函数的定义域为，的定义域为R，C不是；对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是.故选：ACD.11.已知，且，则下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由，，得，即，当且仅当时取等号，A错误；显然，解得，当且仅当时取等号，B正确；由选项A知，，当且仅当时取等号，C正确；，当且仅当时取等号，D正确.故选：BCD.12.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于点对称C.直线是函数的一条对称轴D.函数在上有最小值【答案】BD【解析】由题图知：函数的最小正周期，则，，所以函数，将点代入解析式中可得，则，得，因为，所以，因此，故A错误；因为，所以函数的图象关于点对称，故B正确；因为，所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误；当时，，所以，即最小值为，故D正确．故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“”的否定是____________________.【答案】【解析】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“”的否定是：.故答案为：.14.函数的定义域为_______________.【答案】【解析】函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.15.若_____________.【答案】【解析】∵，∴，∴．故答案为：.16.已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为__________.【答案】【解析】由，得，令，则；关于对称，，，为定义在上的奇函数；又为上的增函数，为增函数，在上单调递增，则由，得，，解得：，即的解集为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.集合.（1）求；（2）求.解：（1），所以.（2）或，所以.18.已知.（1）求函数的表达式；（2）设函数，求的定义域.解：（1）在中，令，由，得，即，，于是，因此，所以函数，.（2）由（1）知，函数，，由有意义，得，解得，则在中，，所以函数的定义域为.19.已知幂函数的图象过点.（1）求函数解析式；（2）设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围.解：（1）设函数，由的图象过点，得，解得，所以函数的解析式是.（2）由（1）知，，则，由，得，即，令，依题意，任意，，而函数在上单调递减，，因此，所以实数的取值范围是.20.已知定义域为的函数是偶函数.（1）求的值；（2）判断函数的单调性，并说明理由.解：（1）由函数是上的偶函数，得，，即，因此，整理得，而不恒为0，所以.（2）由（1）知，，函数在上单调递减，在上单调递增，任意，，，当时，，，则，即，又，因此，所以函数在上单调递减，由偶函数的性质得，函数在上单调递增.21.某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农业，为提升特色农产品的知名度，让广告公司设计一个长米，宽米，面积为平方米的长方形广告牌，其中.（1）求关于的函数，并写出的取值范围；（2）如何设计才能使广告牌的周长最小.解：（1）依题意，，整理得，由，得，解得，所以关于函数.（2）由（1）知，，，因此广告牌的周长为：，当且仅当，即时取等号，此时，所以广告牌的长、宽分别为米、米时，广告牌的周长最小.22.已知函数