三重积分-课件

第三节三重积分一、三重积分的概念与性质二、三重积分的计算1、直角坐标（投影法、截面法）2、柱面坐标3、球面坐标第三节三重积分一、三重积分的概念与性质二、三重积分的计一、三重积分的概念与性质讨论密度分布不均匀的物体的质量：(1)一根细棒

：密度为(2)平面薄片：

密度为一、三重积分的概念与性质讨论密度分布不均匀的物体的质量：(1(3)空间立体：

密度为(3)空间立体：密度为(3)空间立体：

密度为(3)空间立体：密度为定义设函数f(x,y,z)在有界闭区域Ω上有界，

作乘积

若对Ω的任意分法，

及点的任意取法

和总趋于确定的极限I

，则称此极限I为函数f(x,y,z)

在区域Ω上的三重积分.（1）分割（2）近似（3）求和（4）取极限将Ω为n个区域定义设函数f(x,y,z)在有界闭区域Ω上有界，作乘积记为积分区域被积函数体积元素注：1、被积函数f(x,y,z)在有界闭区域Ω上连续，

则f(x,y,z)在Ω上三重积分存在.

积分变量2、三重积分与二重积分有类似的性质.

记为积分区域被积函数体积元素注：1、被积函数f(x,y,(2)对称性

(2)对称性解例1

解例1二、三重积分的计算（一）直角坐标用平行坐标平面的平面来划分区域Ω

,

二、三重积分的计算（一）直角坐标用平行坐标平面的平面1、投影法(1)Ω：平行于z轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个.1、投影法(1)Ω：平行于z轴且穿过区域的直线与区域边界的交步骤：1、求Ω在xoy面的投影区域;3、2、过做平行与z轴的射线，确定4、步骤：1、求Ω在xoy面的投影区域;3、2、过(2)Ω：平行于x轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个.(3)Ω：平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个.(2)Ω：平行于x轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多例2解Ω在xoy面的投影区域：例2解Ω在xoy面的投影区域：例3将三重积分化为三次积分例3将三重积分三重积分-课件三重积分-课件三重积分-课件2、截面法

其中Dz是垂直z轴的平面截所得到的一个平面闭区域则2、截面法例4解例4解例5解例5解（二）柱面坐标则、、z称为点M的柱面坐标M在xOy面上的投影点P

的极坐标为(

)

设M(x

y

z)为空间内一点规定、、z的变化范围为

柱面坐标与直角坐标的关系：（二）柱面坐标则、、z称为点M的柱面坐标M在xOy面

柱面坐标系下

以z轴为轴的圆柱面

过z轴的半平面

垂直z轴的平面

用以上三组曲面分割Ω，得

体积元素为柱面坐标系下以z轴为轴的圆柱面过z轴的半平面

柱面坐标系下三重积分为

如何化为三次积分？——投影法1、求Ω在xoy面的投影区域;3、过做平行与z轴的射线，确定2、将化为极坐标：4、柱面坐标系下三重积分为如何化为三次积分？——投影例6解Ω在xoy面的投影区域：化为极坐标：例6解Ω在xoy面的投影区域：化为极坐标：例6将三重积分化为柱面坐标下三次积分解例6将三重积分三重积分-课件（二）球面坐标

设M(x

y

z)为空间内一点其中

球面坐标与直角坐标的关系：则点M可以用一组数

确定M在xOy面上的投影点为P，显然：（二）球面坐标设M(xyz)为空间内

球面坐标系下

以原点为球心的球面

以原点为顶点以z轴

过z轴的半平面

用以上三组曲面分割Ω，得

体积元素为

为轴的圆锥面球面坐标系下以原点为球心的球面以原点为顶点以z

球面坐标系下三重积分为

如何化为三次积分？

一般的，先确定Ω的，再，最后

积分时，先积，再积，最后积球面坐标系下三重积分为如何化为三次积分？一般的，例7将三重积分化为球面坐标下三次积分解例7将三重积分三重积分-课件例6解例6解第三节三重积分一、三重积分的概念与性质二、三重积分的计算1、直角坐标（投影法、截面法）2、柱面坐标3、球面坐标第三节三重积分一、三重积分的概念与性质二、三重积分的计一、三重积分的概念与性质讨论密度分布不均匀的物体的质量：(1)一根细棒

：密度为(2)平面薄片：

密度为一、三重积分的概念与性质讨论密度分布不均匀的物体的质量：(1(3)空间立体：

密度为(3)空间立体：密度为(3)空间立体：

密度为(3)空间立体：密度为定义设函数f(x,y,z)在有界闭区域Ω上有界，

作乘积

若对Ω的任意分法，

及点的任意取法

和总趋于确定的极限I

，则称此极限I为函数f(x,y,z)

在区域Ω上的三重积分.（1）分割（2）近似（3）求和（4）取极限将Ω为n个区域定义设函数f(x,y,z)在有界闭区域Ω上有界，作乘积记为积分区域被积函数体积元素注：1、被积函数f(x,y,z)在有界闭区域Ω上连续，

则f(x,y,z)在Ω上三重积分存在.

积分变量2、三重积分与二重积分有类似的性质.

记为积分区域被积函数体积元素注：1、被积函数f(x,y,(2)对称性

(2)对称性解例1

解例1二、三重积分的计算（一）直角坐标用平行坐标平面的平面来划分区域Ω

,

二、三重积分的计算（一）直角坐标用平行坐标平面的平面1、投影法(1)Ω：平行于z轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个.1、投影法(1)Ω：平行于z轴且穿过区域的直线与区域边界的交步骤：1、求Ω在xoy面的投影区域;3、2、过做平行与z轴的射线，确定4、步骤：1、求Ω在xoy面的投影区域;3、2、过(2)Ω：平行于x轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个.(3)Ω：平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个.(2)Ω：平行于x轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多例2解Ω在xoy面的投影区域：例2解Ω在xoy面的投影区域：例3将三重积分化为三次积分例3将三重积分三重积分-课件三重积分-课件三重积分-课件2、截面法

其中Dz是垂直z轴的平面截所得到的一个平面闭区域则2、截面法例4解例4解例5解例5解（二）柱面坐标则、、z称为点M的柱面坐标M在xOy面上的投影点P

的极坐标为(

)

设M(x

y

z)为空间内一点规定、、z的变化范围为

柱面坐标与直角坐标的关系：（二）柱面坐标则、、z称为点M的柱面坐标M在xOy面

柱面坐标系下

以z轴为轴的圆柱面

过z轴的半平面

垂直z轴的平面

用以上三组曲面分割Ω，得

体积元素为柱面坐标系下以z轴为轴的圆柱面过z轴的半平面

柱面坐标系下三重积分为

如何化为三次积分？——投影法1、求Ω在xoy面的投影区域;3、过做平行与z轴的射线，确定2、将化为极坐标：4、柱面坐标系下三重积分为如何化为三次积分？——投影例6解Ω在xoy面的投影区域：化为极坐标：例6解Ω在xoy面的投影区域：化为极坐标：例6将三重积分化为柱面坐标下三次积分解例6将三重积分三重积分-课件（二）球面坐标

设M(x

y

z)为空间内一点其中

球面坐标与直角坐标的关系：则点M可以用一组数

确定M在xOy面上的投影点为P，显然：（二）球面坐标设M(xyz)为空间内

球面坐标系下

以原点为球心的球面

以原点为顶点以z轴

过z轴的半平面

用以上三组曲面分割Ω，得

体积元素为

为轴的圆锥面